高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)常見習(xí)題類型及解法

1、高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)常見習(xí)題類型及解法高考試題中的三角函數(shù)題相比照較傳統(tǒng)，難度較低，位置靠前，重點(diǎn)突出。因此，在復(fù)習(xí) 過程中既要注重三角知識的根底性，突出三角函數(shù)的圖象、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性 等性質(zhì)。以及化簡、求值和最值等重點(diǎn)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，又要注重三角知識的工具性，突出三角與 代數(shù)、幾何、向量的綜合聯(lián)系，以及三角知識的應(yīng)用意識。一、知識整合1 熟練掌握三角變換的所有公式，理解每個(gè)公式的意義，應(yīng)用特點(diǎn)，常規(guī)使用方法等； 熟悉三角變換常用的方法一一化弦法，降幕法，角的變換法等；并能應(yīng)用這些方法進(jìn)行三角函 數(shù)式的求值、化簡、證明；掌握三角變換公式在三角形中應(yīng)用的特點(diǎn)，并能結(jié)合三角形的公式 解決一

2、些實(shí)際問題.2熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的性質(zhì)，并能用它研究復(fù)合函數(shù) 的性質(zhì)；熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)圖象的形狀、特點(diǎn)，并會(huì)用五點(diǎn) 畫出函數(shù)y Asin( x)的圖象；理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會(huì)用這兩種變換研究函數(shù)圖象的變化.二、高考考點(diǎn)分析2004年各地高考中本局部所占分值在1722分，主要以選擇題和解答題的形式出現(xiàn)。主要考察內(nèi)容按綜合難度分，我認(rèn)為有以下幾個(gè)層次：第一層次：通過誘導(dǎo)公式和倍角公式的簡單運(yùn)用，解決有關(guān)三角函數(shù)根本性質(zhì)的問題。如 判斷符號、求值、求周期、判斷奇偶性等。第二層次：三角函數(shù)公式變形中的某些常用技巧的運(yùn)用。如輔助角

3、公式、平方公式逆用、 切弦互化等。第三層次：充分利用三角函數(shù)作為一種特殊函數(shù)的圖象及周期性、奇偶性、單調(diào)性、有界 性等特殊性質(zhì)，解決較復(fù)雜的函數(shù)問題。如分段函數(shù)值，求復(fù)合函數(shù)值域等。三、方法技巧1. 三角函數(shù)恒等變形的根本策略。1常值代換：特別是用"1的代換，女口 仁cos2 0 +sin2B =tanx cotx=tan45 °等。2 2 2 2 2 22項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;配湊角：a =a + B一 3,3 =等。2 23降次與升次。4化弦切法。4引入輔助角。asin 0 +bc

4、os 0 =-.a2 b2 sin( 0 + )，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan =-確定。a2. 證明三角等式的思路和方法。1思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。2證明方法：綜合法、分析法、比擬法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。3. 證明三角不等式的方法：比擬法、配方法、反證法、分析法，禾U用函數(shù)的單調(diào)性，禾U用 正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。4. 解答三角高考題的策略。1發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析。2尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。3合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?，促?/p>

5、差異的轉(zhuǎn)化。四、例題分析例 1. tan .2，求1cosSi ;2sin2 sin .cos2cos2 的值.cos sin例 2求函數(shù) y 1 sinx cosx (sinx cosx)2 的值域。例 3函數(shù) f (x) 4sin2x 2sin 2x 2, x R。1求f (x)的最小正周期、f (x)的最大值及此時(shí)x的集合;n2證明：函數(shù)f (x)的圖像關(guān)于直線x 上對稱。81 2<3例 4. 函數(shù) y= cos x+ sinx cosx+1 x R,2 21當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；2該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?例 5.

6、函數(shù) f(x) sin cos 3 cos .3 33I將f(x)寫成Asin( x)的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)；n如果 ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac,且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時(shí)函 數(shù)f(x)的值域.例6.在吐ABC中,a、b、c分別是角 A、B、C的對邊，且cosCcosB3a c(1)求sin B的值;假設(shè)b 4.2，且a=c，求込ABC的面積。例 7.向量 a (2cos a 2 sin a, b=( sin a cos a, x a (t2 3)b,y ka b，且 x y 0 ,(1) 求函數(shù)k f (t)的表達(dá)式；(2) 假設(shè)t 1,3，求f(t)的最大

7、值與最小值。b|例 &向量 a (cos asin a, b=(cos ,in p), |a(1)求 cos( a p)的值；n n 小_j5. 、. 假設(shè)0 a ,p 0,且sin p ，求sin a的值。2213例9平面直角坐標(biāo)系有點(diǎn)P(1,cosx), Q(cosx,1),x ,4 4(1)求向量op和OQ的夾角 的余弦用x表示的函數(shù)f (x)；2)求的最值.解：1cos sincossin/ sin1 cos sin1 tan1 tancossin2sin cos22 cossin2 sin cossin22 cos22cos2sin2COSsin . 1 cos說明：利用齊次

8、式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)會(huì)使解題過程簡化。sincos2如果不具備，通過構(gòu)造的方法得到，進(jìn)行弦、切互化，就解:sin x cosxj2sin(x n) 72,J2，那么原函數(shù)可化為4所以,2時(shí),(t 1)2ymax3函數(shù)的值域?yàn)?y解：f(x) 4s in2寸，因?yàn)閠x 2sin 2x2.2 ，所以2sin x 2(1 2sin2x)2sin 2x 2cos 2x 2、. 2 sin(2x n)4(1)所以f(x)的最小正周期T n,因?yàn)閤 R,冗冗3 n所以，當(dāng)2x 2k n ，即x k n 時(shí)，f (x)最大值為2 2 ；428冗證明：欲證 明函數(shù)f (x)的圖像關(guān)于直線x 對稱，只要證明對任意x R

9、，有8f(冗8x)f(x)成立，8因?yàn)閒(冗x)2、2 s in2(x)2. 2sin(n 2x)2 2cos2x，8842f(冗8x)2 si n2(nn-x)-842、2 sin(n2x)22 2 cos2x，所以f(冗8x)f( 8 x)成立，從而函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線nx對稱。81 2 I 31213解：1y= cos x+ sinx cosx+1= (2cos x 1)+2 21 、. 3=cos2x+sin 2x+441=sin( 2x+ )+2 62sinx cosx+1451= (cos2x sin +sin2x426cos)+564所以y取最大值時(shí)，只需 2x+= +2k

10、 n , k Z，即卩x= +k n , k Z。6 2 6所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí)，自變量 x的集合為x|x= +k n ,k Z62將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換:i把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移 一，得到函數(shù)y=sin(x+ )的圖像;6ii把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的1倍縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=sin(2x+ )2的圖像;iii 把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的1丄倍橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)21y= sin(2x+ )的圖像;2 65iv丨把得到的圖像向上平移5個(gè)單位長度，得到函數(shù)4綜上得到 y=丄cos?x+ 3 sinxcosx+1 的圖像。2 2說明：此題是2000年

11、全國高考試題，屬中檔偏容易題,1 5y= sin( 2x+ )+ 的圖像。2 64主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。是化成關(guān)于sinx,cosx的齊次式，降幕后最終化成y= a2 b2 sin 1還可以解法如下：當(dāng)這類題一般有兩種解法：(3 x+ ) + k的形式，二是化成某一個(gè)三角函數(shù)的二次三項(xiàng)式。此題12.3 1cos x sin xcosxcosx=0 時(shí)，y=1 ; 當(dāng) cosx 豐 0 時(shí)，y= 222+1 = 2sin x cos x1 tan2(y 1)tan 2x 3 tanx+2y 3=0化簡得:/ tanx 3 7R,.A =3- 8(y 1)(2y 3) > 0,解之得

12、：蘭 w y <4 4_7.yma)=4，此時(shí)對應(yīng)自變量x的值集為x|x=k1 . 2x 3 “sin(12 32I由 sin(空 )=0 即333解：f (x)cos空)31 . 2x sin -2 3n + ,k Z63 2xcos2xk (kz)得x33ksin®33k 121以 cos B ，又 0 B3n，所以sin B1 cos2 B2.23cosx2 a2 c.2 2ba2 cac2ac iac12ac2ac2ac211,0 x2x5cosx3 2333952x2x. 3 sin(|-| |，sinsin()1,對稱中心的橫坐標(biāo)為n由 b

13、2=ac即f(x)的值域?yàn)?：3,1-.2綜上所述，x (0, ,f (x)值域?yàn)?.3,1.3 2說明：此題綜合運(yùn)用了三角函數(shù)、余弦定理、根本不等式等知識，還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想 來解決函數(shù)值域的問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，對知識進(jìn)行整合的能力。cosC 3a c 亠 cosC 3sin A sin C解：(1)由正弦定理及，有 cosB bcosBsi nB即 sin BcosC 3sin AcosB sin C cosB，所以 sin(B C) 3sin AcosB ,又因?yàn)?ABC n, sin(B C) si nA，所以 si nA 3si n AcosB，因?yàn)?si nA 0

14、,所b0，又 x y0,b)ka2(t23)b2 t k(t2133丄tt;4430 ,解得t1，列表如下：43)a b222(2)在“ABC中，由余弦定理可得 a c ac 32，又a c , 3422所以有一a32,即a 24，所以込ABC的面積為31 1 2廠Sacsin B a sin B 8 2。2 2解： a24， b21， a所以 x y 孑(t23)b ( ka1 33所以 k -t3 -t，即 k f (t)4 4由(1)可得，令f (t)導(dǎo)數(shù)t24t-1(-1, 1)1(1 , 3)f (t)導(dǎo)數(shù)00+f(t)極大值遞減極小值遞增min1而 f i2, fi21 992 , D -，所以 f(t)max -，f(t)mi解：因?yàn)閍(cos a，in a, b=(cos ft sin所以 a b (cos a cos ft sin a sin ft ,又因?yàn)閍b|2乜，所以5.(cos a cos ft)2 (sin a sin ft)2即 2 2cos( aft)4cos( aft)50na ,2n c-ft20,0a ftn，又因?yàn)閏os( aft)-，所以s