高中數(shù)學圓的方程經(jīng)典例題與解析

1、高中數(shù)學圓的方程經(jīng)典例題與解析例1求過兩點A(1 ,4)、B(3,2)且圓心在直線 y 0上的圓的標準方程并判斷點P(2,4)與圓的關系.分析：欲求圓的標準方程，需求出圓心坐標的圓的半徑的大小，而要判斷點P與圓的位置關系，只須看點 P與圓心的距離和圓的半徑的大小關系，假設距離大于半徑，那么點在圓外；假設距離等于半徑，貝U點在圓上；假設距離小于半徑，貝U點在圓內(nèi). 解法一：待定系數(shù)法設圓的標準方程為(x a)2 (y b)2 r2.圓心在y 0上，故b 0 .圓的方程為(x a)2 y2r2 .又該圓過 A(1,4)、B(3,2)兩點.2 2(1 a)16 r2 2(3 a)4 r2 2 2解之

2、得：a 1 , r2 0 .所以所求圓的方程為(x 1) y20 .解法二：直接求出圓心坐標和半徑因為圓過A(1,4)、B(3,2)兩點，所以圓心C必在線段 AB的垂直平分線丨上，又因為kAB1，故丨的斜率為1，又AB的中點為(2,3)，故AB的垂直平分線丨的方程為：y3 x 2 即 x y 10 .又知圓心在直線 y 0上，故圓心坐標為 C( 1 , 0)半徑rAC|v'(11)24220 .故所求圓的方程為(x1)2y220.又點 P(2,4)到圓心 C( 1,0)的距離為d PC %/(2 1)2 42 <25 r .點P在圓外.說明：此題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞

3、著求圓的圓心和半徑這兩個關鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點之間的距離和半徑的大小關系來判定點與圓的位置關系，假設將點換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關系呢？例2圓o： x2 y2 4，求過點P 2,4與圓O相切的切線.解：T點P 2,4不在圓O上，切線PT的直線方程可設為 y kx 2 42k 4根據(jù)d r f 2解得k即 3x 4y 100因為過圓外一點作圓得切線應該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在易求另一條切線為x 2 說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補回漏掉的解.此題還有其他解法，例如把所設的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決也要注意漏解.還可以運用x0x y0y

4、r2，求出切點坐標x0、y0的值來解決，此時沒有漏解.例3、直線 3x y 2 3 0截圓x2 y2 4得的劣弧所對的圓心角為解：依題意得，弦心距 d y/3，故弦長 AB 2 Jr2 d 2 2，從而 OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為AOB .3例4圓(X 3)2 (y 3)2 9上到直線3x 4y 11 0的距離為1的點有幾個？分析：借助圖形直觀求解或先求出直線11、|2的方程，從代數(shù)計算中尋找解答.2 2解法一：圓(x 3) (y 3)9的圓心為。1(3,3)，半徑r 3.3 3 4 3 11 設圓心01到直線3x 4y 110的距離為d，那么d23 .J32 42如圖，在

5、圓心 01同側(cè)，與直線3x 4y 11 0平行且距離為1的直線11與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意.J0 ."3又 rd 3 21 .與直線3x 4y 110平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意.符合題意的點共有 3個.解法二：符合題意的點是平行于直線 3x 4y 110，且與之距離為 1的直線和圓的交點.設所求直線為 3x 4y m 0,貝U d m 115，即 m 6，或 m 16，也即l1:3x 4y 6 0,或 l2：3x 4y 16 0.22設圓ONx 3) (y 3)9的圓心到直線l1、I2的距離為d1、d?，那么di3, d23 3 4 3 16、32 42

6、-li與Oi相切，與圓Oi有一個公共點;J與圓Oi相交，與圓Oi有兩個公共點.即符合題意的點共3個.說明：對于此題，假設不留心，那么易發(fā)生以下誤解:設圓心Oi到直線3x 4y ii 0的距離為d，那么d3 3 4 3 ii,3242圓 Oi到 3x 4y ii0距離為i的點有兩個.0的距離，d r,只能說明此直顯然，上述誤解中的 d是圓心到直線3x 4y ii線與圓有兩個交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為 i.到一條直線的距離等于定值的點， 在與此直線距離為這個定值的兩條平行直線上， 因此 題中所求的點就是這兩條平行直線與圓的公共點. 求直線與圓的公共點個數(shù)， 一般根據(jù)圓與 直線的位置

7、關系來判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比擬來判斷.例5：圓x2 y2 2x 0和圓x22y 4y 0的公切線共有條。解：圓(x i)2222y i的圓心為Oi(i,0)，半徑rii,圓x (y 2)4的圓心為O2(0, 2)，半徑r22, OiO2<5, rir23,r2rii./r2riOiO2rir2,兩圓相交共有2條公切線。例6自點A 3,3發(fā)出的光線丨射到x軸上，被x軸反射，反射光線所在的直線與圓C： x2 y2 4x 4y 7 0相切i求光線丨和反射光線所在的直線方程.2光線自A到切點所經(jīng)過的路程.分析、略解：觀察動畫演示，分析思路.根據(jù)對稱關系，首先求出點A的對稱點A

8、的坐標為3, 3，其次設過 A的圓C的切線方程為y k x 33根據(jù)d r,即求出圓C的切線的斜率為 k -或k -34進一步求出反射光線所在的直線的方程為4x 3y 30或 3x 4y 30最后根據(jù)入射光與反射光關于x軸對稱，求出入射光所在直線方程為4x 3y 3 0 或 3x 4y 302 2 2光路的距離為 A'M，可由勾股定理求得 A M A C CM 7 .說明：此題亦可把圓對稱到 x軸下方，再求解.例7圓0：x 32 y 42 1 , Px,y為圓O上的動點，求d x2 y2的最大、最小值.圓02：x 22 y21 , Px, y為圓上任一點求 匚2的最大、最小值，求x 1

9、x 2y的最大、最小值.分析：1、2兩小題都涉及到圓上點的坐標，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決.解：1法1由圓的標準方程(x 3)2(y4)21 .可設圓的參數(shù)方程為x 3cos,是參數(shù).y 4sinJ那么d x2y2 96 cos2 cos168si nsi n2266 cos8si n2610 cos(其中tan所以dmax26 1036, dmin261016.彳.加上半徑1,圓上點到原法 2圓上點到原點距離的最大值d1等于圓心到原點的距離d1點距離的最小值d2等于圓心到原點的距離 d1減去半徑所以 d132 42 1 6.d2. 32 42 14.所以 dmax 36 . dmin

10、16.2(2)(法 1)由(x 2)2y 1得圓的參數(shù)方程:2 cos是參數(shù).sin 2cos 3令也上t,cos 3所以tmaxsin(3t ,t2 sin(3ttmin即的最大值為3一3，最小值為3一3 .x 144此時 x 2y 2 cos2sin2 5cos( ) 所以x 2y的最大值為 25，最小值為25 (法2)設 2 k，那么kx y k 20 由于P(x, y)是圓上點，當直線與圓有交點x 1時，如下列圖，打兩條切線的斜率分別是最大、最小值.2k k 2.1 k21，得k3.34所以LJ2的最大值為 9，最小值為x 144令x 2y t,同理兩條切線在 x軸上的截距分別是最大、

11、最小值.1,得m所以x 2y的最大值為 25，最小值為 2 5 例8、圓x2 y2 x 6y m 0與直線x 2y 3 0相交于P、Q兩點，O為原點，且OP OQ，求實數(shù)m的值.分析：設P、Q兩點的坐標為( , yj、區(qū)，y2),那么由匕kg1 ,可得X1X2 yy 0 ,再利用一元二次方程根與系數(shù)的關系求解.或因為通過原點的直線的斜率為1，由直線l與圓的方程構(gòu)造以 1為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關系得出xxkoP koQ的值，從而使問題得以解決.1，也即：X1X2 yiy20 解法一：設點P、Q的坐標為 , y1、x2 , y2 一方面，由OP OQ，得另一方面，(X1 ,yj、XX2

12、,y2是方程組2X2y2 3 0的實數(shù)解，即X1、y x 6y m 0x2是方程5x210x4m27 0的兩個根.- %x22,X-|X24m 275 yiXiX2又P、Q在直線x 2y 30上,1 1畑尹尹將代入，得y2m 1251-9 3(x1 X2)4X1X2 將、代入，解得 m 3，代入方程，檢驗0成立, m 3 解法二：由直線方程可得3 x 2y，代入圓的方程x2 y2 x 6y m 0，有221m2x y 1(x 2y)(X 6y)-(x2y)0,39整理，得(12 m)x2 4(m 3)xy (4m 27) y20 由于x 0 ,故可得(4m 27)(-)2 4(m 3)- 12

13、 mxx kop, koQ是上述方程兩根故kop koQ 1 得12 m4m 27經(jīng)檢驗可知1，解得m 3 m 3為所求.說明：求解此題時，應防止去求 P、Q兩點的坐標的具體數(shù)值除此之外，還應對求出的m值進行必要的檢驗，這是因為在求解過程中并沒有確保有交點P、Q存在.解法一顯示了一種解這類題的通法，解法二的關鍵在于依據(jù)直線方程構(gòu)造出一個關于 乂的二次齊次方程，雖有規(guī)律可循，但需一定的變形技巧，同時也可看出，這種方法給人x以一種淋漓酣暢，一氣呵成之感.例9、對于圓x2 (y 1)2 1上任一點P(x,y)，不等式x y m 0恒成立，求實 數(shù)m的取值范圍.分析一：為了使不等式x y m 0恒成立

14、，即使x y m恒成立，只須使(x y)minm就行了 因此只要求出x y的最小值，m的范圍就可求得.解法一：令u x y,x y u由22x2 (y 1)21得：2y2 2(u 1)y u202 20 且4(u 1) 8u ,- 4(u22u1)0 .即 u22u1)012 u 12 , umin 12，即(x y)min 12又x y m 0恒成立即x ym恒成立. (x y)min 12 m 成立， m 2 1.分析二：設圓上一點P(cos , 1 sin )因為這時P點坐標滿足方程 x2(y 1)2 1問題轉(zhuǎn)化為利用三解問題來解.解法二：2 2設圓 x (y 1)1 上任一點 P(cos ,1 sin )0, 2 ) x cos , y 1 sint x y m 0恒成立 cos1 sinm 0