定積分在幾何中簡單應用教學設計方案書

1、定積分在幾何中的簡單應用教學設計設計教師：教學年級：高二年級課題名稱：定積分在幾何中的簡單應用教材版本：人教版咼中數(shù)學選修 2-2授課時間：40分鐘教學構思應用型的課題是培養(yǎng)學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、概括、推理和探索能力的極好素材。本節(jié)課通過創(chuàng) 設情景、熱身訓練、問題探究、抽象歸納，鞏固練習、應用提升等探究性活動，培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)新 精神和實踐能力，使學生們掌握定積分解題的規(guī)律，體會數(shù)學學科研究的基本過程與方法。教學理 念以學生發(fā)展為本。新型的師生關系；新型的教學目標；新型的教學方式；新型的呈現(xiàn)方式。教材分 析定積分的應用是在學生學習了定積分的概念、定積分的計算、定積分的幾何意義之后，對定積分 知

2、識的總結(jié)和升華，通過用定積分解決一些簡單的面積問題，初步感受定積分在解決數(shù)學問題與實際 問題中的作用，體會導數(shù)與定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系。四.教學目 標【知識與技能目標】通過本節(jié)課的探究，學生能夠應用定積分解決不太規(guī)則的平面圖形的面積，能夠初步掌握應用定積分解決實際問題的基本思想和方法?！具^程與方法目標】探究過程中通過數(shù)形結(jié)合的思想，加深對知識的理解，同時體會到數(shù)學研究 的基本思路和方法?！厩楦?、態(tài)度與價值觀目標】探究式的學習方法能夠激發(fā)學生的求知欲，培養(yǎng)學生對學習的濃厚 興趣；探究式的學習過程能夠培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W思維習慣和方法，培養(yǎng)學生勇于探索和實踐的精神； 探究過程中對學生進行數(shù)學美育的滲透

3、，用哲學的觀點指導學生自主探究。五.教學重 點難點【教學重點】應用定積分解決平面圖形的面積，使學生在解決問題的過程中體會定積分的價值?！窘虒W難點】如何恰當選擇積分變量和確定被積函數(shù)。六.教學方 法教學方法是“問題誘導一一啟發(fā)討論一一探索結(jié)果”、“直觀觀察一一抽象歸納一一總結(jié)規(guī)律”的一種研究性教與學的方法，過程中注重“誘、思、探、練”的結(jié)合，從而引導學生轉(zhuǎn)變學習方式。采用激發(fā)興趣、主動參與、積極體驗、自主探究地學習，形成師生互動的教學氛圍。師生活動設計意圖（一） 課前準備：培養(yǎng)學生復復習定積分的概念、定積分的計算、定積分的幾何意義習的學習習慣。（二） 情景引入：展示精美的大橋油畫，講述古代數(shù)學家

4、的故事及偉大發(fā)現(xiàn)：拱形的面積激發(fā)學生們【課件展示】課題：定積分在幾何中的簡單應用的求知欲和油畫圖片探索欲，設下六問：橋拱的面積如何求解呢？懸念，以激發(fā)答：學生的探索教【學生活動】本環(huán)節(jié)安排學生討論，自主發(fā)現(xiàn)解決問題方向一一定積分跟面積的關系，激情，為后面作開啟性的鋪墊。學（三）新課講授：過復習定積分【熱身訓練】練習1計算f J4 -x2 dx 2 計算 Jsinxdx的幾何意義-22程【學生活動】思考口答【課件展示】定積分表示的幾何圖形、練習答案1y 廠7zCv0兀X_2G2 -13 - / 10dx =丄兀x222Ttsin x dx = 0-ji【熱身訓練】練習3 用定積分表示陰影部分面積

5、培養(yǎng)學生用 發(fā)展、聯(lián)系的 哲學思想解 決問題引導學生由X為積分變量的定積分類型來發(fā)現(xiàn)以Y為積分變量的另一種定積分類型?！镜贸鼋Y(jié)論】定積分表示曲邊梯形面積的兩種類型【板書】配合學生探究的進展書寫推理的過程 【課件展示】圖1選擇X為積分變量，曲邊梯形面積為=f圖2選擇Y為積分變量，曲邊梯形面積為【問題探究】【課件展示】 探究由曲線所圍平面圖形的面積解答思路培養(yǎng)學生樂 于嘗試、敢于 創(chuàng)新的精神。【學生活動】思考、探究、討論【展示結(jié)論】曲邊形面積 A二A1-A2【教師簡單點評】探索到的結(jié)論一定可行嗎？這就需要通過實踐來檢驗。2 2【例題實踐】例1計算由曲線 y = x與y = x所圍圖形的面積. 【師

6、生活動】探究解法的過程.1. 找到圖形-畫圖得到曲邊形.2. 曲邊形面積解法-轉(zhuǎn)化為曲邊梯形，做出輔助線3. 定積分表示曲邊梯形面積-確定積分區(qū)間、被積函數(shù)4.計算定積分.【板書】根據(jù)師生探究的思路板書重要分析過程【課件展示】解答過程解：作出草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積2y x2得到交點橫坐標為xS曲邊梯形OABC - S曲邊梯形二 0 x dx- ；x2dx通過探究，發(fā) 現(xiàn)并掌握數(shù) 學學科研究 的基本過程 與方法鞏固了學生 的作圖能力， 在尋找曲邊 梯形的過程 中提高了學 生的想象能 力。完成了一般 理論和具體 問題的有機 結(jié)合，初步達 到了識記的 目標，突顯了 教學重點。使學生懂得

7、如何靈活選 擇積分變量， 確定被積函 數(shù)，通過該題= 2x231 3 _X 3突破教學難 點?！纠}實踐】例2 計算由y=x-4與y - 2x所圍圖形的面積.【師生活動】討論探究解法的過程1. 找到圖形-畫圖得到曲邊形.2. 曲邊形面積解法-轉(zhuǎn)化為曲邊梯形，做出輔助線.3 定積分表示曲邊梯形面積-確定積分區(qū)間、被積函數(shù)問題：表示不出定積分探討：X為積分變量表示不到，那換成 Y為積分變量呢?4.計算定積分【板書】根據(jù)師生探究的思路 板書重要分析過程【課件展示】解答過程解：作出草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積解方程組f 2y = x2得到交點坐標為（2,-2）及（8,4）選y為積分變量14 12

8、S = J2+8）匯 6- 打 3 y dy=18探索到的結(jié) 果通過實踐， 學生都得到 了一些解題 心得，及時指 導學生進行 抽象歸納，便 是探究的階 段小結(jié)，得到 解題的一般 方法。趁學生們還 沉浸在成功 的喜悅之中， 探索欲望高 漲的時候，適 時給學生擴 大成就感的【抽象歸納】解由曲線所圍的平面圖形面積的解題步驟【學生活動】學生根據(jù)例題探究的過程來歸納【教師簡單點評】幫助學生修改、提煉，強調(diào)注意注意選擇y型積分變量時，要把函數(shù)變形成用y表示x的函數(shù)【課件展示】解由曲線所圍的平面圖形面積的解題步驟：1. 畫草圖，求出曲線的交點坐標.2. 將曲邊形面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積.3. 根據(jù)圖形特點選擇

9、適當?shù)姆e分變量.（注意選擇y型積分變量時，要把函數(shù)變形 成用y表示x的函數(shù)）4確定被積函數(shù)和積分區(qū)間.5 計算定積分，求出面積.【鞏固練習】練習4計算由曲線與y = x - 4及x軸所圍平面圖形的面積.【學生活動】學生分組合作完成機會。所以準 備了鞏固練 習，目的在于 鞏固解題方 法、由一題多 解鍛煉學生 的發(fā)散思維【成果展示】邀請同學們把自己的成果展示給大家，發(fā)現(xiàn)這道題目有多種解答方法，過 程中解決學生在解題過程中暴露出來的各種問題。A:B:C:S 二 Silxdx-14 4- 24 一8 一0 2xd4 2xdx -s 7 -s2 = 1 (4 8) 42 L|4dx0 2【師生活動】此題

10、為一題多解，解體的大方向分為選X做積分變量和選 Y做積分變量.問：遇到一題多解時，你會想到什么？答：找最簡單的解法問：以次題為例，如何尋找最簡解法？答：我們熟悉X做積分變量的類型；做輔助線時，盡量將曲邊形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的平面圖形，如三角形、矩形、梯形和 曲邊梯形組合的圖形【鞏固練習】兀 練習5 計算由曲線 y = sin x與y二cos x及x = 0、x = 2所圍平面圖形的面積.【學生活動】學生獨立思考【成果展示】邀請一位同學把自己的成果展示給大家體現(xiàn)了對稱 的思想和分 類思想，培養(yǎng) 學生的觀察 能力和分析 思考問題的 嚴密性，在此 過程中進行 了數(shù)學美育 的滲透。把本節(jié)課的 探究活動推

11、向高潮，解決 了前面設下 的懸念的同 時，實現(xiàn)了生 活中的實際 問題與抽象 數(shù)學的完美 結(jié)合。鞏固定積分 解題的基本 方法和步驟。0JTJT3 二 4cosxdx-4 sin xdxjiji£ 二 _2sinxdx- 一2cosxdx44【師生活動】解答思路清晰，表達正確問：此題還有其他解法嗎？ 答：S1 - S2所以只算一個S,取2倍就可以了 .【教師點評】做的漂亮， 解題時要注意發(fā)現(xiàn)題目的特征，聯(lián)系我們以前的知識將問題化簡后再解答，提高效率【應用提升】如圖，一橋拱的形狀為拋物線， 已知該拋物線拱的高為常數(shù) h， 寬為常數(shù)b.求證：拋物線拱的面積 s = 3 bh3【師生活動】探究

12、解題方法1. 建立平面直角坐標系確定拋物線方程2. 求由曲線圍成的平面圖形面積的解題步驟問：如何建立平面直角坐標系會 使得拋物線方程的求解簡單答：以拋物線的頂點為坐標原點建 立坐標系【學生活動】學生獨立求解拋物線方程教學 過 程【成果展示】投影學生練習如圖建立平面直角坐標系，可設拋物線方程為y = _ax2 (a > 0)，代拋物線上一點(b, h)入方程，2A KA K則有 h = a( )2解得a = 2，所以拋物線方程為y =2 x2.2bb【教師點評】在投影中與全班同學一起點評學生的練習【師生活動】探究、并在投影中完成該題問：所求圖形有什么特點？答：左右對稱；可以解答一半取 2倍

13、.【成果展示】在黑板上與學生共同完成b- 4h 21設一半的面積為 S,則有 2s 2 h + 2( x )dx20b2_= 2|bh+( 4h2 x3)|計=-bh123b2小3(四).互動小結(jié)問：本節(jié)課我們做了什么探究活動呢？答：用定積分解曲邊形面積。問：如何用定積分解決曲邊形面積問題呢？答：1.畫草圖，求出曲線的交點坐標.2將曲邊形面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積.3. 根據(jù)圖形特點選擇適當?shù)姆e分變量.(注意選擇y型積分變量時，要把函數(shù)變形成用y表示x的函數(shù))4. 確定被積函數(shù)和積分區(qū)間.5. 計算定積分，求出面積.問：解答曲線所圍的平面圖形面積時須注意什么問題？答：選擇最優(yōu)化的積分變量；根據(jù)圖形特點選擇最優(yōu)化的解題方法問：體會到什么樣的數(shù)學研究思路及方法呢？答：從問題出