高數(shù)同濟六版課件D9_7方向?qū)?shù)與梯度

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九章 一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 二、梯度二、梯度 三、物理意義三、物理意義 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 l),(zyxP定義定義: 若函數(shù)),(zyxff0lim則稱lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz為函數(shù)在點 P 處沿方向 l 的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù).),(),(lim0zyxfzzyyxxf在點 ),(zyxP處沿方向 l (方向角為, ) 存在下列極限: P記作記作 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,),(),(處可微在點若函數(shù)zyxPzyxf),(zyxPl則函數(shù)在該點沿任意方向沿任意方向 l 的方向?qū)?/p>

2、數(shù)存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角為其中l(wèi)證明證明: 由函數(shù)),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在點 P 可微 , 得P故coscoscoszfyfxf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對于二元函數(shù), ),(yxf為, ) 的方向?qū)?shù)為方處沿方向在點(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxxflf特別特別: : 當(dāng) l 與 x 軸同向有時,2,0 當(dāng) l 與 x 軸反向有時,2,xflf向角PlxyOl目錄 上頁 下頁 返

3、回 結(jié)束 在點 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向?qū)?shù) .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx解解: 向量 l 的方向余弦為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在點P(2, 3)沿曲線223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).解解: 將已知曲線用參數(shù)方程表示為2)2, 1 (xxPlz它在點 P 的切向量為,171cos1760 xOy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)4, 1 (174cos1)3,2(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 是曲面n在點 P(1, 1, 1

4、)處指向外側(cè)的法向量,解解: 方向余弦為,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向?qū)?shù).Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在點P 處沿求函數(shù)nn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方向?qū)?shù)公式coscoscoszfyfxflf令向量這說明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：zfyfxfG,)cos,cos,(cosl)1(llGlf,方向一致時與當(dāng)Gl:GGlfmax),cos(lGG目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(P

5、fadrg即)()(PfPfadrg同樣可定義二元函數(shù)),(yxf),(yxP),(, ),(),(yxfyxfyxffyxgrad稱為函數(shù) f (P) 在點 P 處的梯度)(, )(, )(PfPfPfzyx記作(gradient),在點處的梯度 G說明說明: 函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影:向量),(Pf或其中zyx,稱為向量微分算子向量微分算子或 Nabla算子算子.leflfgradgrad( 為方向l 上的單位向量)lezfyfxfG,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Oyx1cf 2cf )(321ccc設(shè)P面上的投影在曲線xOyczyxfz),(cyxfL),(:*稱為函數(shù) f

6、 的等值線等值線或等高線等高線 . ,不同時為零設(shè)yxff則L*上點P 處的法向量為 Pyxff),(Pfg gr ra ad d3cf , ),(yxfz 對函數(shù)函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等值線,指向函數(shù)增大的方向.同樣, ),(zyxfu 的等值面(等量面). czyxf),(當(dāng)其各偏導(dǎo)數(shù)不同其上點 P 處的法向量為Pfgradgrad稱為時為零時, Pf.Pf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 -2-1012-2-101200.511.52-2-1012-2-1012-2-101222122)2(yxeyxz-2-1012-2-1012這是利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica 繪制的曲面及其等高

7、線圖, 帶陰影的等高線圖中, 亮度越大對應(yīng)曲面上點的位置越高等高線圖帶陰影的等高線圖目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: (1) 點P處切平面的法向量為0) 1(0) 1() 1(2zyx032 yx在點 P(1,1,1) 處的切平面方程.故所求切平面方程為即zyxzyxf2),(2) 求函數(shù) f 在點 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向?qū)?shù).求等值面 2),(zyxf)0, 1, 2(2) 函數(shù) f 在點P處增加最快的方向為沿此方向的方向?qū)?shù)為5)(PfnfPPzzyyyzxPfn)ln,2()(1)0, 1, 2()(Pfn思考思考: f 在點P處沿什么方向變化率為0 ?注意注意:

8、對三元函數(shù), 與垂直的方向有無窮多)(Pf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ucucgradgrad)(2)vuvugradgradgrad )(3)uvvuvugradgradgrad)(4)uufufgradgrad)()()6(00) 1 (cc或grad為常數(shù)）c (ucuc)(或vuvu)(或uvvuvu)(或uufuf)()(或2)()5(vvuuvvugradgradgrad2)(vvuuvvu或目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,)(可導(dǎo)設(shè)rf),(222zyxPzyxr為點其中證證:xrf)()(rf yrf)()(rf gradrzrfzrf)()(xrrf)(222zyxxPxO

9、zy,)(ryrf 試證rxrf)( .)()(rerfrfradg處矢徑 r 的模 ,rixrf)(jyrf)(kzrf)()(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rerf)( 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場數(shù)量場 (數(shù)性函數(shù))場向量場向量場(矢性函數(shù))可微函數(shù))(Pf梯度場梯度場)(Pfgrad( 勢 )如: 溫度場, 電勢場等如: 力場,速度場等(向量場) 注意注意: 任意一個向量場不一定是梯度場.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 已知位于坐標(biāo)原點的點電荷 q 在任意點),(4222zyxrrqu),(zyxP試證證證: 利用例5的結(jié)果 這說明場強:處所產(chǎn)生的電

10、勢為垂直于等勢面,且指向電勢減少的方向.Eugrad)4(2rerqE 場強rerqu4gradrerq24Ererfrf)()(grad目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP沿方向 l (方向角),為的方向?qū)?shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP),的方向?qū)?shù)為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為yfxfcossin目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 梯度梯度 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP處的梯度為zfyfxfff,gradgrad 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP

11、處的梯度為),(, ),(yxfyxfffyxg gr ra ad d3. 關(guān)系關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微leflfgradgrad梯度在方向 l 上的投影. 方向: f 變化率最大的方向模: f 的最大變化率之值 梯度的特點目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 42042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyax P130 題 16提示提示:P107 2，3，6，7，8，9，10 作業(yè)作業(yè)第八節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù))ln(222zyxu在點)2,2, 1 (M處的梯度Mugradgrad)2, 2 , 1 (,zuyuxuuMgradgrad解解:,222zyxr令則xu21rx2注意 x , y , z 具有輪換對稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(1992 考研)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束