阻抗匹配中圓圖的巧妙使用

1、阻抗匹配與史密斯(Smith)圓圖：根本原理本文利用史密斯圓圖作為RF阻抗匹配的設(shè)計指南.文中給出了反射系數(shù)、阻抗和導(dǎo)納的作圖范例,并用作圖法設(shè)計了一個頻率為60MHz的匹配網(wǎng)絡(luò).實踐證實：史密斯圓圖仍然是計算傳輸線阻抗的根本工具.在處理RF系統(tǒng)的實際應(yīng)用問題時,總會遇到一些非常困難的工作,對各局部級聯(lián)電路的不同阻抗進行匹配就是其中之一.一般情況下,需要進行匹配的電路包括天線與低噪聲放大器(LNA)之間的匹配、功率放大器輸生(RFOUT)與天線之間的匹配、LNA/VCO輸由與混頻器輸入之間的匹配.匹配的目的是為了保證信號或能量有效地從信號源傳送到負載.在高頻端,寄生元件(比方連線上的電感、板層

2、之間的電容和導(dǎo)體的電阻)對匹配網(wǎng)絡(luò)具有明顯的、不可預(yù)知的影響.頻率在數(shù)十兆赫茲以上時,理論計算和仿真已經(jīng)遠遠不能滿足要求,為了得到適當(dāng)?shù)淖罱K結(jié)果,還必須考慮在實驗室中進行的RF測試、并進行適當(dāng)調(diào)諧.需要用計算值確定電路的結(jié)構(gòu)類型和相應(yīng)的目標(biāo)元件值.有很多種阻抗匹配的方法,包括：計算機仿真：由于這類軟件是為不同功能設(shè)計的而不只是用于阻抗匹配,所以使用起來比擬復(fù)雜.設(shè)計者必須熟悉用正確的格式輸入眾多的數(shù)據(jù).設(shè)計人員還需要具有從大量的輸生結(jié)果中找到有用數(shù)據(jù)的技能.另外,除非計算機是專門為這個用途制造的,否那么電路仿真軟件不可能預(yù)裝在計算機上. 手工計算：這是一種極其繁瑣的方法,由于需要用到較長幾公里

3、的計算公式、并且被處理的數(shù)據(jù)多為復(fù)數(shù). 經(jīng)驗：只有在RF領(lǐng)域工作過多年的人才能使用這種方法.總之,它只適合于資深的專家. 史密斯圓圖：本文要重點討論的內(nèi)容.本文的主要目的是復(fù)習(xí)史密斯圓圖的結(jié)構(gòu)和背景知識,并且總結(jié)它在實際中的應(yīng)用方法.討論的主題包括參數(shù)的實際范例,比方我由匹配網(wǎng)絡(luò)元件的數(shù)值.當(dāng)然,史密斯圓圖不僅能夠為我們找生最大功率傳輸?shù)钠ヅ渚W(wǎng)絡(luò),還能幫助設(shè)計者優(yōu)化噪聲系數(shù),確定品質(zhì)因數(shù)的影響以及進行穩(wěn)定性分析.圖1.阻抗和史密斯圓圖根底根底知識在介紹史密斯圓圖的使用之前,最好回憶一下RF環(huán)境下大于100MHzIC連線的電磁波傳播現(xiàn)象.這對RS-485傳輸線、PA和天線之間的連接、LNA和下變

4、頻器/混頻器之間的連接等應(yīng)用都是有效的.大家都知道,要使信號源傳送到負載的功率最大,信號源阻抗必須等于負載的共輾阻抗,即：Rs+jXs=Rl-jXL圖2.表達式Rs+jXs=RL-jXL的等效圖在這個條件下,從信號源到負載傳輸?shù)哪芰孔畲?另外,為有效傳輸功率,滿足這個條件可以防止能量從負載反射到信號源,尤其是在諸如視頻傳輸、RF或微波網(wǎng)絡(luò)的高頻應(yīng)用環(huán)境更是如此.史密斯圓圖史密斯圓圖是由很多圓周交織在一起的一個圖.正確的使用它,可以在不作任何計算的前提下得到一個外表上看非常復(fù)雜的系統(tǒng)的匹配阻抗,唯一需要作的就是沿著圓周線讀取并跟蹤數(shù)據(jù).史密斯圓圖是反射系數(shù)伽馬,以符號表示的極座標(biāo)圖.反射系數(shù)也可

5、以從數(shù)學(xué)上定義為單端口散射參數(shù),即s11o史密斯圓圖是通過驗證阻抗匹配的負載產(chǎn)生的.這里我們不直接考慮阻抗,而是用反射系數(shù)L,反射系數(shù)可以反映負載的特性如導(dǎo)納、增益、跨導(dǎo),在處理RF頻率的問題時,區(qū)更加有用.我們知道反射系數(shù)定義為反射波電壓與入射波電壓之比：圖3.負載阻抗負載反射信號的強度取決于信號源阻抗與負載阻抗的失配程度.反射系數(shù)的表達式定義為：VIjicZt+Z小(equ21)由于阻抗是復(fù)數(shù),反射系數(shù)也是復(fù)數(shù).為了減少未知參數(shù)的數(shù)量,可以固化一個經(jīng)常由現(xiàn)并且在應(yīng)用中經(jīng)常使用的參數(shù).這里Zo特性阻抗通常為常數(shù)并且是實數(shù),是常用的歸一化標(biāo)準(zhǔn)值,如50a、75a、100q和600a于是我們可以

6、定義歸一化的負載阻抗:z=Zt./Zo=(R*jX)/Zo=r+jx(cqu2.2)據(jù)此,將反射系數(shù)的公式重新寫為:4-備=©-ZC_十乙+z口(乙+乙)/-ITTr+y.x+l(cqu2.3從上式我們可以看到負載阻抗與其反射系數(shù)間的直接關(guān)系.但是這個關(guān)系式是一個復(fù)數(shù),所以并不實用.我們可以把史密斯圓圖當(dāng)作上述方程的圖形表示.為了建立圓圖,方程必需重新整理以符合標(biāo)準(zhǔn)幾何圖形的形式(如圓或射線).首先,由方程2.3求解由;(cqu1A)并且(eqLi2.5)令等式2.5的實部和虛部相等,得到兩個獨立的關(guān)系式:i+r；-2.rr+r；(equ2.6(equ2.7)重新整理等式2.6,經(jīng)過

7、等式2.8至2.13得到最終的方程2.14.這個方程是在復(fù)平面(rr,ri)上、圓的參數(shù)方程(x-a)2+(y-b)2=R2,它以(r/r+1,0)為圓心,半徑為1/1+r.r+jr；-2；.rr+r.r；=i-r；-r；r2+rT;-2.rTr+r.r；+T;=I-r(1+r),r；-2j+Tj,+(r+l)T;=1-rr；-,rr+r；=-tcqiJ2.S)(equ2.9)(cqu2,10)(cqn2.11)dqu2.12(equ2.13)tcqiJ24)r+I1+r更多細節(jié)參見圖4ar+ll+r圖4a.圓周上的點表示具有相同實部的阻抗.例如,R=1的圓,以0.5,0為圓心,半徑為0.5.

8、它包含了代表反射零點的原點0,0負載與特性阻抗相匹配.以0,0為圓心、半徑為1的圓代表負載短路.負載開路時,圓退化為一個點以1,0為圓心,半徑為零.與此對應(yīng)的是最大的反射系數(shù)1,即所有的入射波都被反射回來.在作史密斯圓圖時,有一些需要注意的問題.下面是最重要的幾個方面： 所有的圓周只有一個相同的,唯一的交點1,0O 代表04也就是沒有電阻r=0的圓是最大的圓. 無限大的電阻對應(yīng)的圓退化為一個點1,0 實際中沒有負的電阻,如果由現(xiàn)負阻值,有可能產(chǎn)生振蕩. 選擇一個對應(yīng)于新電阻值的圓周就等于選擇了一個新的電阻.作圖經(jīng)過等式2.15至2.18的變換,2.7式可以推導(dǎo)由另一個參數(shù)方程,方程2.19oA

9、-+工.；-2丁+2T,(equ2.15)1+-2Tf+工,=2Tf/x(equ2.16),2*2T廣+I+r；0(cqu2.17)Xr；-2Tr+UT;-rr+(equ2.18XX廣(Tr-1)2+(r,-J2=(equ2.19)同樣,2.19也是在復(fù)平面rr,時上的圓的參數(shù)方程x-a2+y-b2=R2,它的圓心為1,1/x,半徑1/x.更多細節(jié)參見圖4b圖4b.圓周上的點表示具有相同虛部x的阻抗.例如,x=1的圓以(1,1)為圓心,半徑為1.所有的圓(x為常數(shù))都包括點(1,0).與實部圓周不同的是,x既可以是正數(shù)也可以是負數(shù).這說明復(fù)平面下半部是其上半部的鏡像.所有圓的圓心都在一條經(jīng)過橫

10、軸上1點的垂宜線上.完成圓圖為了完成史密斯圓圖,我們將兩簇圓周放在一起.可以發(fā)現(xiàn)一簇圓周的所有圓會與另一簇圓周的所有圓相交.假設(shè)阻抗為r+jx,只需要找到對應(yīng)于r和x的兩個圓周的交點就可以得到相應(yīng)的反射系數(shù).可互換性上述過程是可逆的,如果反射系數(shù),可以找到兩個圓周的交點從而讀取相應(yīng)的r和x的值.過程如下： 確定阻抗在史密斯圓圖上的對應(yīng)點 找到與此阻抗對應(yīng)的反射系數(shù)I 特性阻抗和找由阻抗 將阻抗轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納 我生等效的阻抗 我由與反射系數(shù)對應(yīng)的元件值尤其是匹配網(wǎng)絡(luò)的元件,見圖7唯論由于史密斯圓圖是一種基于圖形的解法,所得結(jié)果的精確度直接依賴于圖形的精度.下面是一個用史密斯圓圖表示的RF應(yīng)用實例：例

11、：特性阻抗為50%負載阻抗如下：Zi=100+Z2=75Z3=Z4=150-一j50-j100-一j200-Z5=g開Z6=0短Z8=184Z7=50-路路-j900Q對上面的值進行歸一化并標(biāo)示在圓圖中見圖5:Z1=2+jZ2=1.5-j2Z3=j4Z4=3Z5=8Z6=0Z7=1Z8=3.68-j18S圖5.史密斯圓圖上的點現(xiàn)在可以通過圖5的圓圖直接解由反射系數(shù)ro畫由阻抗點等阻抗圓和等電抗圓的交點,只要讀生它們在直角坐標(biāo)水平軸和垂直軸上的投影,就得到了反射系數(shù)的實部rr和虛部ri見圖6.該范例中可能存在八種情況,在圖6所示史密斯圓圖上可以直接得到對應(yīng)的反射系數(shù)r：1=0.4+：2=0.51

12、-：3=0.875+-4=0.50.2j0.4j0.48j：8=0.96-：5=1：6=-10.1j圖6.從X-Y軸宜接讀出反射系數(shù)的實部和虛部用導(dǎo)納表示史密斯圓圖是用阻抗電阻和電抗建立的.一旦作曲了史密斯圓圖,就可以用它分析串聯(lián)和并聯(lián)情況下的參數(shù).可以添加新的串聯(lián)元件,確定新增元件的影響只需沿著圓周移動到它們相應(yīng)的數(shù)值即可.然而,增加并聯(lián)元件時分析過程就不是這么簡單了,需要考慮其它的參數(shù).通常,利用導(dǎo)納更容易處理并聯(lián)元件.我們知道,根據(jù)定義Y=1/Z,Z=1/Yo導(dǎo)納的單位是姆歐或者J(早些時候?qū)Ъ{的單位是西門子或S).并且,如果Z是復(fù)數(shù),那么Y也一定是復(fù)數(shù).所以Y=G+jB(2.20),其

13、中G叫作元件的電導(dǎo),B稱電納.在演算的時候應(yīng)該小心謹慎,根據(jù)似乎符合邏輯的假設(shè),可以得出:G=1/R及B=1/X,然而實際情況并非如此,這樣計算會導(dǎo)致結(jié)果錯誤.用導(dǎo)納表示時,第一件要做的事是歸一化,y=Y/Yo,得由y=g+jbo但是如何計算反射系數(shù)呢通過下面的式子進行推導(dǎo)：結(jié)果是G的表達式符號與z相反,并有r(y)=-r(z).如果知道z,就能通過將的符號取反找到一個與(0,0)的距離相等但在反方向的點.圍繞原點旋轉(zhuǎn)180可以得到同樣的結(jié)果.(見圖7).圖7.180.度旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果當(dāng)然,外表上看新的點好似是一個不同的阻抗,實際上Z和1/Z表示的是同一個元件.在史密斯圓圖上,不同的值對應(yīng)不同的

14、點并具有不同的反射系數(shù),依次類推由現(xiàn)這種情況的原因是我們的圖形本身是一個阻抗圖,而新的點代表的是一個導(dǎo)納.因此在圓圖上讀生的數(shù)值單位是姆歐.盡管用這種方法就可以進行轉(zhuǎn)換,但是在解決很多并聯(lián)元件電路的問題時仍不適用.導(dǎo)納圓圖在前面的討論中,我們看到阻抗圓圖上的每一個點都可以通過以復(fù)平面原點為中央旋轉(zhuǎn)180°后得到與之對應(yīng)的導(dǎo)納點.于是,將整個阻抗圓圖旋轉(zhuǎn)180°就得到了導(dǎo)納圓圖.這種方法十分方便,它使我們不用建立一個新圖.所有圓周的交點等電導(dǎo)圓和等電納圓自然由現(xiàn)在點-1,0.使用導(dǎo)納圓圖,使得添加并聯(lián)元件變得很容易.在數(shù)學(xué)上,導(dǎo)納圓圖由下面的公式構(gòu)造：G=rt+jr,解這個方

15、程口一1；-加1+1；-兀(i+C+yCMi+C-jr)i+r；+2rr+r；接下來,令方程3.3的實部和虛部相等,我們得到兩個新的獨立的關(guān)系：十rj+2.rr+r；i+r；+2.rf從等式3.4,我們可以推導(dǎo)由下面的式子:牛：+2&r+gr：=ir；-r：U+g)T；Z2&r;+(g+】)-:=i-g(tqu3.6)(equ3.7)(tqu3.S)(cqu3.9)(equ3.11)(equ3.12)(equ3.10)它也是復(fù)平面r,i上圓的參數(shù)方程x-a2+y-b2=R2方程3.12,以-g/g+1,0為圓心,半徑為1/1+g.(equ113)tequ3.14(equ3.15

16、)(equ3J6)(equ3.17)從等式3.5,我們可以推導(dǎo)由下面的式子：卜*阻+/>.r；=-2.rfl+r/+2,C+-C；=-2Ttih2r；+it+J+L+-r=ob2,211r+2r+i+r-+-r+-二o'r1blb2b-區(qū)+1)、(1；n同樣得到x-a2+y-b2=R2型的參數(shù)方程方程3.17求解等效阻抗當(dāng)解決同時存在串聯(lián)和并聯(lián)元件的混合電路時,可以使用同一個史密斯圓圖,在需要進行從z到y(tǒng)或從y到z的轉(zhuǎn)換時將圖形旋轉(zhuǎn).考慮圖8所75網(wǎng)絡(luò)其中的兀件以Zo=50si進行了歸一化o串聯(lián)電抗x對電感元件而言為正數(shù),對電容元件而言為負數(shù).而電納b對電容元件而言為正數(shù),對電感

17、元件而言為負數(shù).圖8.一個多元件電路這個電路需要進行簡化見圖9.從最右邊開始,有一個電阻和一個電感,數(shù)值都是1,我們可以在r=1的圓周和1=1的圓周的交點處得到一個串聯(lián)等效點,即點Ao下一個元件是并聯(lián)元件,我們轉(zhuǎn)到導(dǎo)納圓圖將整個平面旋轉(zhuǎn)180°,此時需要將前面的那個點變成導(dǎo)納,記為A'o現(xiàn)在我們將平面旋轉(zhuǎn)180.,于是我們在導(dǎo)納模式下參加并聯(lián)元件,沿著電導(dǎo)圓逆時針方向負值移動距離0.3,得到點Bo然后又是一個串聯(lián)元件.現(xiàn)在我們再回到阻抗圓圖.圖9,將圖8網(wǎng)絡(luò)中的元件拆開進行分析在返回阻抗圓圖之前,還必需把剛剛的點轉(zhuǎn)換成阻抗此前是導(dǎo)納,變換之后得到的點記為B',用上述方

18、法,將圓圖旋轉(zhuǎn)1800回到阻抗模式.沿著電阻圓周移動距離1.4得到點C就增加了一個串聯(lián)元件,注意是逆時針移動負值.進行同樣的操作可增加下一個元件進行平面旋轉(zhuǎn)變換到導(dǎo)納,沿著等電導(dǎo)圓順時針方向由于是正值移動指定的距離1.1.這個點記為D.最后,我們回到阻抗模式增加最后一個元件串聯(lián)電感.于是我們得到所需的值,z,位于0.2電阻圓和0.5電抗圓的交點.至此,得由z=0.2+j0.5.如果系統(tǒng)的特性阻抗是50g,有Z=10+j25d見圖10圖10.在史密斯圓圖上畫出的網(wǎng)絡(luò)元件逐步進行阻抗匹配史密斯圓圖的另一個用處是進行阻抗匹配.這和我由一個已知網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗是相反的過程.此時,兩端通常是信號源和負載阻

19、抗是固定的,如圖12所示.我們的目標(biāo)是在兩者之間插入一個設(shè)計好的網(wǎng)絡(luò)已到達適宜的阻抗匹配.圖11.阻抗而元件未知的典型電路初看起來好似并不比找到等效阻抗復(fù)雜.但是問題在于有無限種元件的組合都可以使匹配網(wǎng)絡(luò)具有類似的效果,而且還需考慮其它因素比方濾波器的結(jié)構(gòu)類型、品質(zhì)因數(shù)和有限的可選元件.實現(xiàn)這一目標(biāo)的方法是在史密斯圓圖上不斷增加串聯(lián)和并聯(lián)元件、直到得到我們想要的阻抗.從圖形上看,就是找到一條途徑來連接史密斯圓圖上的點.同樣,說明這種方法的最好方法是給由一個實例.我們的目標(biāo)是在60MHz工作頻率下匹配源阻抗Zs和負載阻抗Zl見圖12.網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)已經(jīng)確定為低通,L型也可以把問題看作是如何使負載轉(zhuǎn)變成數(shù)值等于Zs的阻抗,即ZS復(fù)共輾.下面是解的過程：圖12.圖11的網(wǎng)絡(luò),將其對應(yīng)的點畫在史密斯圓圖上要做的第一件事是將各阻抗值歸一化.如果沒有給由特性阻抗,選擇一個與負載/信號源的數(shù)值在同一量級的阻抗值.假設(shè)Z.為50Q.于是zs=0.5-j0.3,z*s=0.5+j0.3,Zl=2-j0.5o下一步,在圖上標(biāo)由這兩個點,A代表Zl,D代表Z*s然后判別與負載連接的第一個元件并聯(lián)電容,先把zL轉(zhuǎn)化為導(dǎo)納,得到點A'o確定連接電容C后下一