正交矩陣的性質(zhì)

1、高等代數(shù) 習(xí)題課 正交矩陣的性質(zhì)講課：楊忠鵬制作：林志興 楊忠鵬 2003.06.05習(xí)題課習(xí)題課 正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì)一、正交矩陣的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)一、正交矩陣的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)二、有限維歐氏空間里的正交矩陣二、有限維歐氏空間里的正交矩陣三、正交矩陣的特征根三、正交矩陣的特征根習(xí)題課習(xí)題課 正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì)一、正交矩陣的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)一、正交矩陣的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì) 問(wèn)題問(wèn)題 正交矩陣之和？正交矩陣之和？nnRAEAA1 定義定義 ， 若若 稱稱 A 為正交矩陣為正交矩陣2 運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì) 正交矩陣之積為正交陣正交矩陣之積為正交陣正交矩陣的轉(zhuǎn)置為正交陣正交矩陣的轉(zhuǎn)置為正交陣 正

2、交矩陣的伴隨矩陣為正交矩陣正交矩陣的伴隨矩陣為正交矩陣 數(shù)乘正交矩陣？數(shù)乘正交矩陣？習(xí)題課習(xí)題課 正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì)nnnnijRaA2121),()(njijijiji, 2 , 1, 0, 1 A為正交矩陣為正交矩陣 njijijiji, 2 , 1, 0, 1 A為正交矩陣為正交矩陣 1AA A為正交矩陣為正交矩陣3 正交矩陣的判定正交矩陣的判定習(xí)題課習(xí)題課 正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì) 的關(guān)系如何？的關(guān)系如何？ ijaijMijA 元素元素 與其余子式與其余子式 ，代數(shù)余子式，代數(shù)余子式1|00iiaijajiji?00 當(dāng)某當(dāng)某 時(shí)，時(shí)，|ijaji, 的上界？的上界？|i

3、iai問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 的上界？的上界？習(xí)題課習(xí)題課 正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì)二、有限維歐氏空間里的正交矩陣二、有限維歐氏空間里的正交矩陣nR 空間空間 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。A為正交矩為正交矩 陣陣 A的行（列）向量組是的行（列）向量組是 n 維行（列）向量維行（列）向量nnRA 1 矩陣矩陣 ，則，則習(xí)題課習(xí)題課 正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì)2 n維歐氏空間維歐氏空間 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 ，)(RVnn,21矩陣矩陣 滿足滿足nnRA),(21n12(,)nA n,21則則 為標(biāo)準(zhǔn)正交基為標(biāo)準(zhǔn)正交基 A為正交矩陣為正交矩陣習(xí)題課習(xí)題課 正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性

4、質(zhì) A是正交變換是正交變換 A為正交矩陣為正交矩陣 則則 標(biāo)準(zhǔn)正交基，若標(biāo)準(zhǔn)正交基，若)(RVnn,213A為為n維歐氏空間維歐氏空間 的線性變換，的線性變換， 是一組是一組),(21nAn),(21nnRAA ，習(xí)題課習(xí)題課 正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì) 1A A為第二類的，若為第二類的，若 。1A A為第一類的為第一類的(旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn))，若，若 ；)(RVn4n維歐氏空間維歐氏空間 的正交變換的分類的正交變換的分類習(xí)題課習(xí)題課 正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì) ),(21ndiagAPPAPP1 使使),(21nPn),(21即即diag),(21n 對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣n,21向量，即向量，即A在在

5、 下的矩陣為實(shí)下的矩陣為實(shí)n,21存在標(biāo)準(zhǔn)正交基存在標(biāo)準(zhǔn)正交基 是是A的特征的特征AA A為對(duì)稱變換為對(duì)稱變換 則則),(21nAn),(21nnRA標(biāo)準(zhǔn)正交基，且標(biāo)準(zhǔn)正交基，且 A ，)(RVnn,215 A為為n維歐氏空間維歐氏空間 的線性變換，的線性變換， 為一組為一組習(xí)題課習(xí)題課 正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì)1 在不同的教材上曾出現(xiàn)下面的命題在不同的教材上曾出現(xiàn)下面的命題三、正交矩陣的特征根三、正交矩陣的特征根 正交矩陣的特征根的模等于正交矩陣的特征根的模等于1。 正交矩陣的實(shí)特征根為正交矩陣的實(shí)特征根為1或或1； 正交變換的特征根為正交變換的特征根為1或或1；習(xí)題課習(xí)題課 正交矩陣的

6、性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì))()()( xxxxAxAxxAAx)( xxxx212 可得可得即即, 0,xxEAA注意此時(shí)注意此時(shí) 由（由（1）和（）和（2）對(duì)（對(duì)（1）兩邊取共軛轉(zhuǎn)置）兩邊取共軛轉(zhuǎn)置)()(xxAxxAAx（2）nCxCxAx)0(, （1）xn的證明：設(shè)的證明：設(shè) 為為 維非零復(fù)向量，維非零復(fù)向量， 為復(fù)數(shù)，為復(fù)數(shù)， 且且習(xí)題課習(xí)題課 正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì)2正交矩陣正交矩陣A的特征根的特征根 AEfA)(nnnaa11 共軛出現(xiàn)的。共軛出現(xiàn)的。 nnRA 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，由（時(shí)，由（3）知）知A的非實(shí)的復(fù)特征根是成對(duì)的非實(shí)的復(fù)特征根是成對(duì)n,21iCi,這里這里 為矩陣為矩陣A

7、的所有特征根的所有特征根niiA1 iii) niniiiiatrA11 ii)AatrAann) 1(,1 i) （3） 特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式習(xí)題課習(xí)題課 正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣正交矩陣 的特征根的特征根 nnRAkiiii, 2 , 1, 12nkst2kst,這里這里 ， 為非負(fù)整數(shù)為非負(fù)整數(shù)且且kk,2211非實(shí)特征根非實(shí)特征根121s負(fù)特征根負(fù)特征根 （4）121t正特征根正特征根ii) 可設(shè)可設(shè) 12非實(shí)特征根為成對(duì)共軛非實(shí)特征根為成對(duì)共軛 與與 出現(xiàn)，出現(xiàn)， 且且實(shí)特征根為實(shí)特征根為1或或1i) 分類分類習(xí)題課習(xí)題課 正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì)3正交矩陣正交矩陣A

8、的行列式的行列式 )(11stAkk2211)(1s ssA) 1( ， 是是1作為作為A的特征根的重?cái)?shù)的特征根的重?cái)?shù) （5） 即即 在（在（4）之下）之下1A 或或1（簡(jiǎn)單證明，由定義給出）（簡(jiǎn)單證明，由定義給出）習(xí)題課習(xí)題課 正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì) 4正交矩陣正交矩陣 的三類特征根的三類特征根nnRA 特征根為特征根為1或或1。 ts n為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)， 與與 的奇偶性相反，且至少有的奇偶性相反，且至少有1個(gè)個(gè)st n為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)， 與與 的奇偶性相同的奇偶性相同 習(xí)題課習(xí)題課 正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì)5n 維歐氏空間中的正交變換維歐氏空間中的正交變換A特征根的存在情況

9、特征根的存在情況 若若A有特征根，則特征根有特征根，則特征根1的重?cái)?shù)與的重?cái)?shù)與n的奇偶性相同。的奇偶性相同。相同。相同。 A必以必以1為特征根且重?cái)?shù)為奇數(shù)，特征根為特征根且重?cái)?shù)為奇數(shù)，特征根1的重?cái)?shù)與的重?cái)?shù)與n的奇偶性的奇偶性1A A為第二類的為第二類的 即即 若若A有特征根，則特征根有特征根，則特征根1的重?cái)?shù)為偶數(shù)，特征根的重?cái)?shù)為偶數(shù)，特征根1的重?cái)?shù)的重?cái)?shù)與與n 的奇偶性相同的奇偶性相同1A A為第一類的即為第一類的即才是才是A的特征根，約定當(dāng)?shù)奶卣鞲?，約定當(dāng) 不是特征根時(shí)，其重?cái)?shù)為不是特征根時(shí)，其重?cái)?shù)為0： 注意此時(shí)注意此時(shí)A與在標(biāo)正基下的正交矩陣與在標(biāo)正基下的正交矩陣A的對(duì)應(yīng)關(guān)系，的對(duì)應(yīng)關(guān)系，A的實(shí)特征根的實(shí)特征根習(xí)題課習(xí)題課 正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì) 設(shè)設(shè)A是是3 3正交陣且正交陣且 證明證明A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為1A 31t這里這里1)(23ttf， 證明第二類正交變換一定以證明第二類正交變換一定以1作為它的一個(gè)特征值。作為它的一個(gè)特征值。特征值。特征值。 證明奇數(shù)維歐氏空間中的旋轉(zhuǎn)一定以