第五章平面波函數(shù)ppt課件

1、第五章 平面波函數(shù)5.1平板介質(zhì)波導(dǎo) 5.1.1標(biāo)量波函數(shù) 標(biāo)量波函數(shù)是矢量波函數(shù)的根底 ，矢量動搖方程的直 角分量滿足標(biāo)量動搖方程。 在引見平板介質(zhì)波導(dǎo)之前，先簡單引見標(biāo)量波函數(shù)。 在直角坐標(biāo)系中，動搖方程為： 5.1.1 用分別變量法解上述方程。令 代入式5.1.1得到： 5.1.2上式中的各項相互獨立，分解為： 5.1.3其中 為分別常數(shù)，它們滿足： 5.1.4 式5.1.3中的三個公式方式一樣，稱為調(diào)和方程式，它們的解稱為調(diào)和函數(shù)，用 , , 表示，它們是線性的。 5.15上式為根本波函數(shù)。根本波函數(shù)加權(quán)求和或求積分后，仍是動搖方程的解。對于有界問題， 等取離散值，有 5.1.6對于有

2、界問題， 等取延續(xù)值，有 5.1.7()xh k x()yh k x()zh k x = (x) (x) (x)xyzh kh kh k =(,)h(x)h(x)h(x)xyxyxyzkkB k kkkk,xyk k,xyk k =f(,)h(x)h(x)h(x)ddxyxyxyzxykkkkkkkkk 我們詳細(xì)地討論一下平面波函數(shù)的動搖特性： 對于 ：當(dāng) 為正實數(shù)時，代表沿x方向的無衰減行波；當(dāng) 為實部大于零的復(fù)數(shù)時，代表沿x方向的衰減行波。對于 ：當(dāng) 為正實數(shù)時，代表沿x方向的無衰減行波；當(dāng) 為實部大于零的復(fù)數(shù)時，代表沿x方向的衰減行波。當(dāng) 為純虛數(shù)時，上述兩波變?yōu)榈蚵鋱黾彼偎p。x-jk

3、xh(k ) = exjkxh(k ) = exkxkxkxkxk對于 ： 當(dāng) 為實數(shù)時代表純駐波；當(dāng) 為復(fù)數(shù)時代表部分駐波。 分別稱為沿x,y,z方向的波數(shù),用一個矢量表示為 (5.1.8)于是根本波函數(shù) 5.1.9 xkxxxh(k ) = cosk x,sink xxk-y-x-z =yxzjkjkjkeeexk =exkyeykz+ezk,xyzkkk 可寫成 5.1.10 電磁場矢量滿足矢量動搖方程，其直角分量滿足標(biāo)量動搖方程，可以由矢量平面波對波數(shù)的迭加得到。這一思緒不僅適用于平面波函數(shù)，也適用于其它坐標(biāo)系中的波函數(shù)；不僅適用于各向同性媒質(zhì)，而且適用于各向異性媒質(zhì)。5.1.2平板介

4、質(zhì)波導(dǎo)對于各向同性介質(zhì)的平板介質(zhì)波導(dǎo)，如以下圖所示： 圖 5.1.1 平板介質(zhì)波導(dǎo) 波導(dǎo)構(gòu)造以z軸對稱,其中 表示介質(zhì)的厚度,.上半平面在x=/2處,下半平面在x = -/2處。 和 分別為自在空間及介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。a,dd00 ,假設(shè)把問題放在二維里思索，且設(shè)在y方向波函數(shù)無變化，即： 0。波沿z方向傳播，用 表示波沿z方向的變化。對于TM波，我們?nèi)。玫綀龅姆至勘磉_(dá)式如下： 5.1011詳細(xì)可參考橫磁波與橫電波的推導(dǎo)公式y(tǒng)z-jk ze其中： 。特別地， 0，我們有， 5.1.12 這里只給出TM模的求解過程，TE模的求解與之類似。另外由于平板介質(zhì)波導(dǎo)關(guān)于x軸對稱，那么得到的TM模

5、的解是關(guān)于x軸的奇函數(shù)或偶函數(shù)。令 代表x的奇函數(shù)， 代表x的偶函數(shù)，那么 ym22zmm-E =1E =(k -)jH = -zxzykxkxe在介質(zhì)內(nèi)的TM模的解方式為 5.1.13在空氣中的TM模的解方式為 5.1.14這里A、B、u、v為常數(shù)，這時波在介質(zhì)中是無衰減傳播的。u和v不為實數(shù)時的情況將在第三節(jié)講述。選擇 和 ，使公式更簡約些。從上面的公式可以得到分別參數(shù)方程為 -jzod= Asinux, 2zkaex-jz-z= B, 2= -B, -2zzkovxajkovxaae exae ex0kjvdku 5.1.15把上面的分別參數(shù)方程代入公式5.1.12就得到方程 2222d

6、dd2222000u += k= -v +k= zzkk2-zsin 2zvxkaeex-2 -z0-BE =v j2zjk zvxae ex-2z0BE =v -j2zjk zvxae ex根據(jù) 和 在 處需滿足的條件，也就是電場和磁場在邊境處延續(xù)，即在邊境處電場和磁場分別相等。由此得到下面的方程：把上面的兩個方程左右兩邊分別相除得到： 5.1.16 zEyH2xa 22-va/2d0Aua-Bu sin=v2e-va/2uaAu cos= -Bv2ed0uauavatan=222 這個公式和前面的色散關(guān)系式5.1.15是決議TM模的截止頻率和 的特征方程。 同樣對于x的偶函數(shù)的TM模，我們

7、選擇 5.1.17 它的分量參數(shù)公式依然是公式5.1.15。而它的場量也由公式5.1.12給出。根據(jù) 和 在 處的延續(xù)性條件，我們得到： 5.1.18該公式就是決議偶TM模的截止頻率和 的特征方程。zk-ed-v-ea= Acosux 2= B 2zzjk zxjk zaexaeexzEyHd0uauava-cot=2222xa zk平板介質(zhì)波導(dǎo)的截止頻率和截止波長與金屬波導(dǎo)有一些不同，當(dāng)頻率高于截止頻率時，介質(zhì)波導(dǎo)傳輸波是無衰減的，這時 是實數(shù)。低于截止頻率時，就產(chǎn)生衰減，這時 = 。波在傳輸時有衰減，就必需計算能量的減少。由于介質(zhì)波導(dǎo)是無損耗傳輸波的，那么衰減就只能是波在傳輸過程中向周圍輻

8、射引起的。也就是說介質(zhì)波導(dǎo)可以用作天線要求傳輸波的頻率低于截止頻率。 無衰減模的 必需界于介質(zhì)的相位常數(shù) 和空氣的常數(shù) 之間，即： 00tt 但是，當(dāng) 時，表示波在沿著x方向傳播時，能量不是衰減，而是指數(shù)遞增的；同理 ，當(dāng) 時表示波在沿z方向傳播時，能量是指數(shù)遞增的。 這種波我們稱之為“非正規(guī)模；而傳輸過程中能量衰減的波我們稱之為“正規(guī)模。 “非正規(guī)模在通常情況下，是不存在的，但在特殊的區(qū)域是可以存在的。0t0v5.3.2 走漏模 v v 對于走漏模，又可以稱為走漏波。它的參數(shù): v ， ， ， 5.3.10v 根據(jù)前面的分析，我們知道走漏模是向x方向和z方向傳播的?；蛘哒f它的傳播方向可以分解

9、為x和z兩個方向。v 由于 ，波在向z方向傳播時是衰減的；v ，波在向x方向傳播時，能量是以指數(shù)的v 方式遞增的。v v 我們用以下圖來表示走漏波的傳輸過程，它的能量就像從一個外表走漏出來一樣，所以被稱為走漏模。 0r0rp 0 00ta圖 5.3.2 走漏波走漏模是“非正規(guī)模，它只能存在于一部分空間內(nèi)。典型的例子就是，沿著波導(dǎo)傳輸?shù)牟ǎ诓▽?dǎo)狹縫處向外輻射，能量經(jīng)過狹縫輻射出去。所以在z方向上能量衰減，但是在x方向能量卻是添加的。 圖 5.3.3 走漏模波導(dǎo) 經(jīng)過上圖我們來進(jìn)一步討論走漏模的存在區(qū)域。 走漏模是非正規(guī)模，它只能在部分區(qū)間存在，而不能存在于一切的空間。 上圖中的波導(dǎo)構(gòu)造為例：

10、由于波在x方向能量以指數(shù)遞增，在z方向能量以指數(shù)遞增，在上圖中的無漏波區(qū)域，波的能量無限增大。從能量的角度來說，這種情況是不能夠的存在的，由于它不能滿足無窮遠(yuǎn)處的邊境條件。否那么的話在無漏波區(qū)域，波的能量將無限地添加。 而在有漏波區(qū)域，由于波在x方向能量以指數(shù)遞增，在z方向能量以指數(shù)遞減。兩種趨勢處于平衡，波的能量不能無限地添加，走漏模就能存在。 總之，漏波能且僅能存在于上述扇形區(qū)域。 總的來說，在實平面內(nèi)，解色散方程所得到的解，就是我們前面所討論的各種導(dǎo)模。即波導(dǎo)中均勻平面波構(gòu)成了導(dǎo)模，它們的參數(shù)均為實數(shù)，屬正規(guī)模。它是波導(dǎo)中傳輸能量的主要方式。 走漏模是在復(fù)平面內(nèi)解色散方程所得到的一種結(jié)果

11、。波導(dǎo)中的非均勻平面波構(gòu)成了走漏模。走漏模參數(shù)為復(fù)數(shù)，且符合前面討論過的規(guī)定，屬于非正規(guī)模，是波導(dǎo)中能量損耗的一種方式。 q5.4譜域伽略金法q5.4.1微帶線簡介 q 我們曾在傳輸線實際3.3.3中引見過微帶線的相關(guān)知識，如今我們分析微帶線的色散特性。這就需求從麥克斯韋方程出發(fā)，結(jié)合邊境條件進(jìn)展求解。q 在頻率不太高的情況下，微帶線中的場縱向分量小，可以將微帶線縱向的場當(dāng)作準(zhǔn)TEM模來分析，而忽略其中的高次模和色散特性。 q 頻率較高時，微帶線中的縱向電場和磁場的混合模不能忽略，在微帶線中沿Z方向傳輸?shù)牟ㄓ?和 分量，這時整個電磁場可以由兩個標(biāo)量位函數(shù)導(dǎo)出。zEzH5.4譜域伽略金法5.4.

12、1微帶線簡介 下面我們經(jīng)過用譜域的迦略金法解微帶線來討論微帶線的介電常數(shù)與頻率之間的關(guān)系。 以下圖是一個屏蔽微帶線的橫截面圖， 其中： 1區(qū)是介質(zhì)基片， 介電常數(shù)是 ， 介質(zhì)基片的上面是自在空間， 其他所需參數(shù)都標(biāo)注在圖中。 r圖 5.4.1 屏蔽微帶線表示圖 按照公式5.1.11和5.1.23，對于TM模，引入一 個標(biāo)量位函數(shù) ，對于TE模，引入另一個標(biāo)量位函數(shù) ，它們滿足亥姆霍茨方程： 5.4.1 其中： me222200mmeekk k 通常情況下，對于沿著z方向傳輸?shù)膶?dǎo)行波， 可以寫成如下的方式： 5.4.2 也滿足亥姆霍茨方程： 5.4.3 ,mezzkk( , , )( , )(

13、, , )( , )jzmmTjzeeTx y zx y ex y zx y e ( , ),( , )mTeTx yx y2222( , )( , )0( , )( , )0mTcmTeTceTx ykx yx ykx y 222zkckk用 表示 ，得到微帶線中混和模的場分量如下： 5.4.4 其中下標(biāo) 表示空氣中的場， 表示介質(zhì)中的場。,mTeT( , ),( , )mTeTx yx yzz222cizzz222cizkkkkkkkkkkeTimTixieTimTiyizieTieTieTimTixieTimTiyizimTimTiEjjxyEjjyxEHjjyxHjjxyH 1i 2i

14、 v5.4.2伽略金法 v v首先我們把混合模中的兩個標(biāo)量位 和 在x方向進(jìn)展傅里葉變換，得到下面的關(guān)系式：v v5.4.5v其中 是離散的傅里葉變換變量。v對于 的偶模或 的奇模， k為整數(shù)。對于 的奇?；?的偶模， 。 v menzEzH(21)/2nkazEzH/nka利用上面的傅里葉變換，可以得到亥姆霍茨方程的傅里葉變換為： 5.4.6其中： 2222zikkin對于微帶線中的場分量，利用上面的傅里葉變換，得到下面的關(guān)系式： 5.4.7 求解亥姆霍茨方程的傅里葉變換方程，它的邊境條件為：在屏蔽殼的上壁和下壁，電場都為0。所以亥姆霍茨方程的傅里葉變換方程在空氣中和介質(zhì)中的解為： 5.4.

15、8上面方程中 是未知的待定系數(shù)。 ,A B C D把微帶線中介質(zhì)與空氣的交接面 上的邊境條件轉(zhuǎn)換成譜域，詳細(xì)如下： 5.4.9上式中， 是 導(dǎo)帶在x、z方向上未知面電流密度的傅里葉變換式。 yhyh把方程5.4.7和方程5.4.8帶入方程5.4.9中，經(jīng)化簡得到含有 的代數(shù)方程。 (5.4.10)這一組方程包括未知系數(shù) 和未知的面電流密度 。 解該方程組得到用 表示 的方程組。, ,A B C D, ,A B C D, ,A B C D在微帶線上還有一個邊境條件：在導(dǎo)帶上電流密度不等于零，但電場切向分量為零；在介質(zhì)分界面上，電流密度為零，但電流切向分量不等于零，即： 5.4.11 這里 是未知

16、的函數(shù)。把上面的邊境條件進(jìn)展傅里葉變換，將用 表示 的方程組代入方程(5.4.10)中，并消去 ，得到下面的方程： 5.4.12 ( ), ( ), ( ), ( )g x h x u x v xA,B,C,DA,B,C,D 其中： 是表示 ， 之間關(guān)系的 系數(shù)矩陣。111221,22G ,G ,GG2212110122(sinh()cosh()sinh()znkhhGjh 2222222200120022122201220222cosh()cosh()sinh()()sinh()zzzn kn khhGjhjkkh 22221222101022()cosh()sinh()zzkkkkhGjj

17、h 2212220122(sinh()cosh()sinh()znkhhGjh 下面運用伽略金法將 展開成 基函數(shù)的級數(shù)， 5.4.13 上式中， 是未知的常數(shù)?；瘮?shù)的選擇必需使得它 們的逆變換在|x|w范圍內(nèi)解為0。 把上面的級數(shù)帶入方程5.4.12中，并對不同的基函數(shù) 取內(nèi)積。 xmzmJ(n),J(n)mmc ,d 由于 的逆變換在w|x|a的范圍內(nèi)為0，在|x|w內(nèi)有值； 而 的逆變換在w|x|a的范圍內(nèi)有值，在|x|)222xwsin , ( x)ww2J (x) =w0( x )2那么上述電流的傅里葉變換為： 5.4.20 將高次模的 ，帶入方程5.4.18中，解得 ，再它們把帶入方程5.4.17，得到含未知系數(shù) 的齊次線性代數(shù)方程。 x132z122nwnwnw2sin()2sin() 21-cos()3nw222J (x)= + cos()-+nwnwnwnw2()()2222nw2sin()2J (n)= nw() -2x1z1J ,J11122122imzimzimzimzK (k ),K (k ),K (k ),K (k )mmc ,d方程有非零解解的條件是系數(shù)矩陣的