2015年遼寧省大連市高三高考(理科)數(shù)學(xué)第一次模擬考試試題及答案

1、遼寧省大連市2015屆高三第一次模擬考試數(shù) 學(xué)(理)試題第I卷選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合 題目要求的)(1)已知集合 A=x|-1 x 1 , B=xx2_2xE0,則 Ab=()(A)-1,0(B)-1,0(C) 0,1(D) (_oo,1U2,收)(2)設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i (i是虛數(shù)單位)，則Z+z2=()z(A) 1 +i(B) 1 -i(C) -1 -i(D) 1 十i(3)已知a =1,b = J2 ,且a_L(ab),則向量a與向量b的夾角為()nn(A) -(B) -(C)(4)已知AABC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊

2、分別為n3a,b, c,若 a2(D)=b2 +c2 -bc ,bc = 4 ,則AABC的面積(A) 1(B) 1(C)用(D) 22(5)已知 aw2,0,1,3,4, bw1,2,則函數(shù)f (x) =(a2 -2)x +b為增函數(shù)的概率是()(A) 2(B) 3(C) 1(D)55210(6)閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序.若輸出的S為1111,則判斷框中填寫的內(nèi)容可以是()12(A) n=6(B) n 6(C) n 6(D) n 8(7)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為()(A) 32(B) 64(C)誣(D)留333(8)已知

3、直線y =2j2(x-1)與拋物線C: y2 =4x交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M (1,m),若 MA MB = 0 ,則(A)、2(B) -12(C)2(D) 0(9)對(duì)定義在0,1上，并且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)f(x)稱為M函數(shù)， 對(duì)任意的xw0,1,恒有f (x)之0; 當(dāng)K 20,x2至0,斗+x2 E1時(shí)，總有f (x1 +x2)之f (x1)十f (x2)成立，則下列函數(shù)不是M函數(shù)的是()(A)f(x)=x2(B)f(x)=2x1(C)f(x) =ln(x2+1)(D)f(x) =x2+1x -4y 4 0上0)與函數(shù)丫 二4(乂之0)的圖象交于點(diǎn)P ,若函數(shù)y = Jx在 a b點(diǎn)P

4、處的切線過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)F(1,0),則雙曲線的離心率是()(A)2(D)(12)若對(duì)Vx, yw0, +oc),不等式4axWex為 +ex/ +2恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是()(A) 1(B) 1(C) 2(D) 142第II卷二填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答卷紙的相應(yīng)位置上)一一一 1 .3一二一(13)函數(shù)y =3sin x+-cosx ( x= 0,金)的單倜遞增區(qū)間是 .1 6(14) x- I的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 .2x(15)已知定義在 R上的偶函數(shù)f (x)在0,y)單調(diào)遞增，且f(1)=0，則不等式f(x2)之0的解集(16)同底的兩個(gè)正三棱錐內(nèi)接

5、于同一個(gè)球.已知兩個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a,球的半徑為 R設(shè)兩個(gè)正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角分別為u、B ,則tan(a+3)的值是三.解答題：(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)(17)(本小題滿分12分)2已知數(shù)列an中，ai =1 ,其前n項(xiàng)的和為& ,且滿足an =冬(n 2).2Sn -1(I )求證：數(shù)列工是等差數(shù)列；Sn(n)證明：當(dāng) n 之2 時(shí)，81+1 82 +1 83 +.+1 Sn b 0)的上頂點(diǎn)為(0,1),且離心率為 ， a b2(I )求橢圓C的方程;22(n)證明：過(guò)橢圓 Ci： j+I2 = i(m n 0)上一點(diǎn)Q(%,yo

6、)的切線方程為 駕+%2y =1 ； m nm n 22_一(出)以圓x +y =16上一點(diǎn)P向橢圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為 A, B,當(dāng)直線AB分別與x軸、y軸交于M、N兩點(diǎn)時(shí)，求MN的最小值.(21)(本小題滿分12分)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f (x) = f9 e2x+x2 2f (0)x ,2x 1 2g(x) = f (二)二 x 十(1a)x+a, 24(I)求函數(shù)f(x)解析式；(n)求函數(shù)g(x)單調(diào)區(qū)間；(in)若x、y、m滿足| x - m目y -m |,則稱x比y更接近m.當(dāng)a之2且x21時(shí)，試比較和ex + a x哪個(gè)更接近lnx ,并說(shuō)明理由。2B鉛筆請(qǐng)考生在

7、22, 23, 24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.做答時(shí)，用在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑.(22)(本小題滿分10分)選彳41:幾何證明選講如圖所示，AB為圓O的直徑，BC , CD為圓。的切線，B, D為切點(diǎn).(I )求證： AD /OC ;(n)若圓O的半徑為2,求AD OC的值.(23)(本小題滿分10分)選彳4 4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程一a 一一 ，,、,、 ,已知在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)萬(wàn)程為(日為參數(shù))y = 一4 十 2sin(I)以原點(diǎn)為極點(diǎn)、x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程；(n)已知 A(2,0), B(0,2),圓C上任

8、意一點(diǎn)M(x, y),求AABM面積的最大值(24)(本小題滿分10分)選彳45:不等式選講設(shè)函數(shù) f (x) =|2x+2 |x2 .(I)求不等式f (x) 2的解集；27(n)右Vx=R, f(x)之t 一一t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.2201 5年大連市高三一模測(cè)試數(shù)學(xué)(理科)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一.選擇題(1) C; (2) A; (3)(12) D.二.填空題B； (4) C;(5)B ; (6)C;(7) D;(8)B;(9)D;(10)D;(11) A ；(13) 0,；(14) 652 ； (15)Lf(一誓.解答題(17)解:(I)當(dāng) n22時(shí)，Sn- Sn2S22Sn -

9、1J2,Sn 11從而構(gòu)成以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列。(n)由(1)可知,JS1(n -1) 2 =2n -1Sn =2n -11 一二當(dāng)n2 時(shí)，一& =nn(2n -1) n(2n -2)211,1=_(n(n 7) 2 n -111111從而 Si +1S2 +1S3 +. +1Sn#1。一1 從叩 23n221.1 . ，一1)d2 3 n -1 n 212n(18)解：(I )證明：作FM/ C眩 PC于 M點(diǎn)F為PD中點(diǎn)， FM1=1CD2AEM兩平行四邊形，AF/ EM AF遼平面PEC,EM仁平面PEC直線 AF /PEC(n) DAB =60如圖所示，建立坐標(biāo)系,3則 P

10、(0,0,1),C(0,1,0),日一2,0,0),平11. k = , AE =AB = FM22x15，0)1 ,2,0) AP =3 1 1 一萬(wàn)/1AB = 0,1,0 .設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n = x,y,z . n AB =0, n AP=0平面PAB的一個(gè)法向量為y =0y + z = ,取 x=1,則 z = 2n =(1,0,3n PCPC =(0,1, 1),，設(shè)向量 nPC所成角為 8,，cosH = C.24214 _42 PC平面PAB所成角的正弦值為 -14(19)解：解:(I )兩個(gè)班數(shù)據(jù)的平均值都為7,甲班的方差2si(6-7)2+ (5-7)2+ (7-

11、7)2+ (9-7)2+ (8-7)2 _一 =2 ,乙班的方差2S2(4-7)2+ (8-7)2+ (9-7)2+ (7-7)2+ (7-7)214因?yàn)閟2:二_2S2 ,甲班的方差較小，所以甲班的成績(jī)比較穩(wěn)定(n ) X可能取0,1,2P(X =0)P(X =1)=3 12 11-X - r - A =一3P(X =2)=-5X012113P5210所以X分布列為:10 105211311 數(shù)學(xué)期望EX =0父1+1父1+2父=115 2 55 2 5 2 2 Y可能取0,1,2825，3 13342114P(Y=0)=二，P(Y =1) = 9m+ 父=一，P(Y=2)5 5 255 5

12、 5 5 25數(shù)學(xué)期望EY =0M3+1父14+2父-8 = 6252525(20)解：(I ) = b =1,a=2,b=1 ,所以Y分布列為：Y012P3148252525,橢圓C方程為(H)法一：橢圓X22L2 n=1,y 0時(shí),y = n，12 X2 m故 y .= -C1 : -2 m，當(dāng)yo 0時(shí),2 m2 nxoV。n2 n2 mx0oV。切線方程為(x -x0 ),V。222 22 22 2n x0x+my0y=my0+n x0 = m n ,同理可證，y0 17+2116 件16Vp xp25o162r rXD當(dāng)且僅當(dāng)4 yp2=16片,即Xp264216 -Xp =一, V

13、p = 一時(shí)取等,55，MN 5二MN的最小值為-.12分22綜上：-2+與=1在點(diǎn)（x。，y。）處的切線方程為色5+3學(xué)=1。 m nm n（其它解法可酌情給分）（出）設(shè)點(diǎn)P （xp，Vp ）為圓x2 + V2 =16上一點(diǎn)，PA P B1橢圓(21)(本小題滿分12分)解：(I) f(x) = f(1)e2xN+2x2f(0),所以 f(1)= f(1)+22f (0),即 f (0) =1 .又 f(0)=deN,所以 f(1) = 2e2, 2所以 f (x) =e2x +x2 -2x . v f (x) =e2x2x+x2,、-,x、12,，、x 1 212,，、x ,，、.g(x)

14、 = f(一)x (1 a)x a=e xx x (1-a)x a=e -a(x-1).2444a g(x) =exa,當(dāng)aw 0時(shí)，g(x) 0,函數(shù)f (x堆R上單調(diào)遞增； 6分當(dāng) a0時(shí)，由 g*(x) =ex a=0得x = lna,.xw(，,lna )時(shí)，g (x) 0, g(x)單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)a00時(shí)，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,)；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(lna,單調(diào)遞減區(qū)間為(-,ln a ). . 8分(3)(出)解：設(shè) p(x) = - - ln x,q(x) =exJ + a -ln x , x p(x) = -er - e 時(shí)，p(x) 0,

15、xxq(x)在x乏1,十無(wú))上為增函數(shù)，又q(1) = 0,xn,)時(shí)，q (x) 0 , q(x)在 x W1,z)上為增函數(shù)，.q(x) -q(1) =a 2 0 .ex -1當(dāng) 1WxWe 時(shí)，| p(x) |-| q(x) |= p(x)q(x) = ea,xe x.ex設(shè) m(x)=e a ,則 m(x) =-2e e 時(shí)，| p(x) |-| q(x) |=p(x)q(x) =-一+2ln xe a2lnxe a, x設(shè) n(x) =2ln x-ex -a ,則 n(x) =- -e1 , n (x)=2ex，e時(shí)為減函數(shù)，n (x) n (e) =e 0 ,e. . . ， 、，

16、 、-e 1 一n(x)在 xe時(shí)為減函數(shù)，二 n(x) n(e) =2ae 0,e 一 x i 一. | p(x) V q(x) |,二一比 e 更接近 ln x .綜上：在a豈2, x豈1時(shí)，e比ex更接近lnx.12 分90 二,x(22)解：(1)連接 BD,ODr CB,CD 是圓 O 的兩條切線，, BD _L OC ,，/ODB+/DOC又 AB 為 圓 O 的 直 徑 ，AD 1 DB:./ADO +/ODB =90二 ZOAD =/ODA，二 /OAD =/DOC ,即得證，5 分(2) AO =OD ,，/DAO =/DOC，：. RtABAD s iCODAD OC =AB OD =8 10 分.，、/x=3 + 2 cos8c(23)解：(1)圓C的參數(shù)萬(wàn)程為,(8為參數(shù))y = 一4 +2sin8所以普通方程為(x3)2 +(y+4)2 =42 分，圓 C 的極坐標(biāo)方程：P2 6Pcos8+8Psin8+21 =0-5 分(2)點(diǎn)M(x, y)到直線AB x y+2=0的距離為6分.| 2cos - 2 sin 二 9 |八d 尸17 分2ABM 的面積 S =1父| AB |y=|2cos8 -2sin9 +9|=|2V2sin(8) + 9|249 分所以AABM面積的最大值為9