第一章 典型方程及定解條件

1、數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)制作：北京理工大學(xué)制作：北京理工大學(xué)參考書目參考書目梁昆淼梁昆淼. 數(shù)學(xué)物理方法（第三版）數(shù)學(xué)物理方法（第三版）. 高等教育出版高等教育出版社，社，1998。李元杰李元杰. 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù). 高等教育出版高等教育出版社，社，2009。彭芳麟彭芳麟. 數(shù)學(xué)物理方程的數(shù)學(xué)物理方程的MATLAB解法與可視化解法與可視化. 清華大學(xué)出版社，清華大學(xué)出版社，2005。石辛民石辛民. 數(shù)學(xué)物理方程及其數(shù)學(xué)物理方程及其MATLAB解算解算.清華大清華大學(xué)出版社，學(xué)出版社， 2011。王元明王元明. 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)（第四版）數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)（第

2、四版）. 高高等教育出版社，等教育出版社，2012。課程內(nèi)容：研究數(shù)學(xué)物理方程的建立、求課程內(nèi)容：研究數(shù)學(xué)物理方程的建立、求 解方法和解的物理意義的分析。解方法和解的物理意義的分析。 Green 方程的導(dǎo)出和定解問題方程的導(dǎo)出和定解問題行波法行波法分離變量法分離變量法數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程基本解法基本解法 積分變換法積分變換法函數(shù)法函數(shù)法差分法差分法 貝貝塞塞爾爾函函數(shù)數(shù)特特殊殊函函數(shù)數(shù)勒勒讓讓德德函函數(shù)數(shù)第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)根據(jù)系統(tǒng)邊界所處的物理?xiàng)l件和初始狀態(tài)列根據(jù)系統(tǒng)邊界所處的物理?xiàng)l件和初始狀態(tài)列出定解條件；出定解條件；主要內(nèi)容主要內(nèi)容從不同的物理模型出發(fā)，建立三類典型方程；

3、從不同的物理模型出發(fā)，建立三類典型方程；提出相應(yīng)的定解問題。提出相應(yīng)的定解問題。1.1 基本方程的建立基本方程的建立導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程的一般方法：導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程的一般方法： 確定所研究的物理量； 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； 劃出研究單元，根據(jù)物理定律和實(shí)驗(yàn)資料寫出 該單元與鄰近單元的相互作用，分析這種相互 作用在一個短時間內(nèi)對所研究物理量的影響， 表達(dá)為數(shù)學(xué)式； 簡化整理，得到方程。 例例 1 1. 弦的微小橫振動弦的微小橫振動 假設(shè)與結(jié)論：假設(shè)與結(jié)論：（1 1）橫振動）橫振動 坐標(biāo)系oxu，位移u(x,t) 12 xudxdxxuds 21 （2）微小振動）微小振動（3）弦柔軟、均勻）弦柔軟、均勻.

4、 張力張力 沿切線方向沿切線方向 , 密度密度 為常數(shù)為常數(shù)；)(xT 建立方程建立方程： 取微元 ，研究在水平方向和鉛垂方向 在不受外力的情況下的運(yùn)動情況。MMMM x+d dx)( dxxT sgdM牛頓運(yùn)動定律：牛頓運(yùn)動定律： F = ma作用在弧作用在弧段段 上的水平方向的力為上的水平方向的力為 MM0coscosTT傾角很小，即傾角很小，即0, 0 近似得近似得TT 垂直方向的力為垂直方向的力為22( , )sinsinu x tTTgdsdst（1）sintg,sintg,.dsdx( , )(, ),.u x tu x dx ttgtgxx22( , )tgtgu x tTTgd

5、xdxt于是等式（于是等式（1 1）變成）變成由微積分知識可知，在時刻由微積分知識可知，在時刻t 有有（2）等式（等式（2 2）可以寫成）可以寫成1|xx dxxxttguuudxTT x+d dx)( dxxT sgd由于很小令令 ，取極限得取極限得0dxxxttguuTT略去重力，可得方程略去重力，可得方程,22222xuatu其中其中 。Ta2(3)(3)弦振動方程（弦振動方程（3 3）中只含有兩個自變量）中只含有兩個自變量 和和 ，其中，其中 表示時間表示時間， 表示位置表示位置。由于它們描述的是弦的振動由于它們描述的是弦的振動或波動現(xiàn)象，因而又稱為或波動現(xiàn)象，因而又稱為一維波動方程一

6、維波動方程。xttx注注1 1：如果弦上還受到一個與振動方向相同的外力，且如果弦上還受到一個與振動方向相同的外力，且外力密度為外力密度為F(x,t)，外力可以是壓力、重力、阻力，外力可以是壓力、重力、阻力，則則22( , )sinsinu x tFdsTTgdsdst 22222( , ),uuaf x ttx弦的弦的強(qiáng)迫振動強(qiáng)迫振動方程為方程為( , )( , )F x tf x t 其其中中稱稱為為自自由由項(xiàng)項(xiàng). . 非非齊齊次次方方程程齊齊次次方方程程；, 0, 0 ffMxdx dsgds TT uoxMxNNF。例例 2. 膜的振動膜的振動待研究物理量: 位移 u (x,y,t),得

7、得到到二二維維波波動動方方程程 22220uaut 如如果果薄薄膜膜上上有有橫橫向向外外力力作作用用，設(shè)設(shè)外外力力面面密密度度為為( , , )F x y t，則則得得 2222( , , )uauf x y tt 其其中中( , , )( , , )F x y tf x y t，22222xy 為為二二維維拉拉普普拉拉斯斯算算子子。 例3. 聲學(xué)方程 230ttuau )(002pa u0p0聲波中的空氣密度相對變化量，空氣定比熱與定容比熱之比值，空氣處于平衡狀態(tài)時的壓強(qiáng)，空氣處于平衡狀態(tài)時的密度。其中2223222xyz Lapalce算子三維波動方程 如果空間某物體內(nèi)各點(diǎn)處的溫度不同，則

8、熱量就從如果空間某物體內(nèi)各點(diǎn)處的溫度不同，則熱量就從溫度較高點(diǎn)處到溫度較低點(diǎn)處流動，這種現(xiàn)象叫溫度較高點(diǎn)處到溫度較低點(diǎn)處流動，這種現(xiàn)象叫熱傳導(dǎo)。熱傳導(dǎo)。 考慮物體考慮物體G 內(nèi)的熱傳導(dǎo)問題。函數(shù)內(nèi)的熱傳導(dǎo)問題。函數(shù)u(x,y,z,t) 表表示物體示物體G 在位置在位置 M(x,y,z) 以及時刻以及時刻 t 的溫度。通過的溫度。通過對任意一個小的體積元對任意一個小的體積元V內(nèi)的熱平衡問題的研究，建內(nèi)的熱平衡問題的研究，建立方程。立方程。假設(shè)：假設(shè)：假定物體內(nèi)部沒有熱源，物體假定物體內(nèi)部沒有熱源，物體的熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)，即是各向同性的熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)，即是各向同性的，物體的密度以及比熱是常數(shù)。的

9、，物體的密度以及比熱是常數(shù)。SVM S n 熱場熱場 例 4. 熱傳導(dǎo)方程SVM S n 熱場熱場傅立葉實(shí)驗(yàn)定律傅立葉實(shí)驗(yàn)定律: :物體在無窮小時段物體在無窮小時段d dt內(nèi)沿法線方向內(nèi)沿法線方向n流過一個無窮小面積流過一個無窮小面積d dS的熱量的熱量d dQ與與時間時間d dt, ,面積面積d dS, ,物體溫度沿曲面物體溫度沿曲面d dS法線方向的方向?qū)?shù)成正比法線方向的方向?qū)?shù)成正比. .dd duQkS tn 從時刻從時刻 到時刻到時刻 經(jīng)過曲面經(jīng)過曲面S 流入流入?yún)^(qū)區(qū)域域V 的熱量為的熱量為1t2t211ttSuQkdS dtn 21txyztVkukukudVdtxyz 高斯公式

10、高斯公式 210ttxyztVcukukukudVdtxyz 流入熱量使物體內(nèi)溫度變化，在時間間隔流入熱量使物體內(nèi)溫度變化，在時間間隔 中物體中物體溫度從溫度從 變化到變化到 所需吸收熱量為所需吸收熱量為12 ,t t1( , , , )u x y z t2( , , ,)u x y z t 221, , , , ,dVQcu x y z tu x y z tV 比熱比熱密度密度2211ttttVVuucdt dVcdV dttt 由于所考察的物體內(nèi)部沒有熱源由于所考察的物體內(nèi)部沒有熱源, , 根據(jù)能量守恒定律根據(jù)能量守恒定律可得可得21,QQ 即即由于時間由于時間 , , 和區(qū)域和區(qū)域 V

11、都是任意選取的都是任意選取的, ,并且并且被積函數(shù)連續(xù)被積函數(shù)連續(xù), , 于是得于是得1t2t xyzuckukukutxyz ( (非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程) )對于均勻的各向同性物體，對于均勻的各向同性物體， k為常數(shù)，記為常數(shù)，記2kac 則得齊次熱傳導(dǎo)方程則得齊次熱傳導(dǎo)方程: :2222222uuuuatxyz 三維熱傳導(dǎo)方程三維熱傳導(dǎo)方程若物體內(nèi)部有熱源若物體內(nèi)部有熱源 F(x,y,z,t), , 則熱傳導(dǎo)方程為則熱傳導(dǎo)方程為 2222222, , ,uuuuafx y z ttxyz其中其中 , , ,.Ffx y z tc 在上述熱傳導(dǎo)方程中在

12、上述熱傳導(dǎo)方程中, , 描述空間坐標(biāo)的獨(dú)立變量描述空間坐標(biāo)的獨(dú)立變量為為 , , 所以它們又稱為三維熱傳導(dǎo)方程所以它們又稱為三維熱傳導(dǎo)方程. . 當(dāng)考當(dāng)考察的物體是均勻細(xì)桿時察的物體是均勻細(xì)桿時, , 如果它的側(cè)面絕熱且在同如果它的側(cè)面絕熱且在同一截面上的溫度分布相同一截面上的溫度分布相同, , 則可以得到一維熱傳導(dǎo)則可以得到一維熱傳導(dǎo)方程方程 , ,x y z222uuatx 22222uuxyuat 類似類似, , 如果考慮一個薄片的熱傳導(dǎo)如果考慮一個薄片的熱傳導(dǎo), , 并且薄片的并且薄片的側(cè)面絕熱側(cè)面絕熱, , 可以得到二維熱傳導(dǎo)方程可以得到二維熱傳導(dǎo)方程0)(22222 yuxuatu

13、二維熱傳導(dǎo)方程 0)(222 xuatu維熱傳導(dǎo)方程 0)(2222222 zuyuxuatu三維熱傳導(dǎo)方程 當(dāng)我們考察氣體的擴(kuò)散當(dāng)我們考察氣體的擴(kuò)散, ,液體的滲透液體的滲透, , 半導(dǎo)體半導(dǎo)體材料中的雜質(zhì)擴(kuò)散等物理過程時材料中的雜質(zhì)擴(kuò)散等物理過程時, , 若用若用 表示所擴(kuò)表示所擴(kuò)散物質(zhì)的濃度散物質(zhì)的濃度, , 則濃度所滿足的方程形式和熱傳導(dǎo)則濃度所滿足的方程形式和熱傳導(dǎo)方程完全相同方程完全相同. . 所以熱傳導(dǎo)方程也叫所以熱傳導(dǎo)方程也叫擴(kuò)散方程擴(kuò)散方程. .u dVzyxdSnE),(4 4靜靜電電學(xué)學(xué)基基本本定定律律：穿穿過過閉閉合合曲曲面面向向外外的的電電通通量量等等于于區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)

14、所所含含電電量量的的倍倍，即即例例5 靜電場的勢方程靜電場的勢方程 E1 ),(zyx ),(4divzyxE 即123312cos( , )cos( , )cos( , ) divE ndSEn xEn yEn zdSEEEdVE dVxyz 奧氏公式故 dVdVE 4div第一章 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出和定解問題),(4graddivzyxu ),(4222222zyxzuyuxu 0222222 zuyuxu故即 Laplace方程 Poisson方程當(dāng)內(nèi)沒有電荷時 EuEgrad靜電場是有勢場，故存在勢函數(shù)u, 有波動方程 聲波、電磁波、桿的振動；熱傳導(dǎo)方程 物質(zhì)擴(kuò)散時的濃度變化規(guī)律, 長

15、海峽中潮汐波的運(yùn)動， 土壤力學(xué)中的滲透方程;Laplace方程 穩(wěn)定的濃度分布, 靜電場的 電位, 流體的勢.總總 結(jié)：結(jié)：222220uuatx2220uuatx 22220uuxy 一維齊次波方程：一維齊次波方程：一維齊次熱方程：一維齊次熱方程：二維二維Laplace方程：方程：方程20 ttxxua u的解 1( , )sincosxatu x tll， 2( , )coscosxatux tll， 3, )sincos22xatu x tll（， 4( , )coscos22xatux tll。 一一 . . 初始條件及初始條件及CauchyCauchy問題問題 描述某系統(tǒng)或某過程初始

16、狀況的條件稱為， 初值條件與對應(yīng)方程加在一起構(gòu)成或稱。.0)(0)(齊次初始條件且xx)(),(00 xuxuttt )(),(xx 初始位移、初始速度分別為 ,稱波動方程的初值條件波動方程的初值條件. .l 弦振動問題弦振動問題l 熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程)(0 xut 稱為熱傳導(dǎo)方程的初值條件熱傳導(dǎo)方程的初值條件. . 不同類型的方程，相應(yīng)初值條件的個數(shù)不同。 初始條件給出的應(yīng)是整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而非 系統(tǒng)中個別點(diǎn)的初始狀態(tài)。注注意意注注意意 例例. .長為 l 兩端固定的弦，初始時刻將弦的中點(diǎn)拉起 hhut 0hulx 2/( )( )xu02llh lxxllhlx xlhut2l ),

17、(220 ,20正確寫法正確寫法（I I）第一類邊界條件）第一類邊界條件1Suf *（IIII）第二類邊界條件）第二類邊界條件2Sufn （IIIIII）第三類邊界條件）第三類邊界條件3Suufn 二二. 邊界條件邊界條件描述某系統(tǒng)或過程邊界狀況的約束條件稱為邊界條件邊界條件.例例1 1.長為l的弦，一端固定，一端以 sint t 規(guī)律運(yùn)動),(),(),(tzyxftzyxuzyx tuulxxsin, 00 第一類邊界條件第一類邊界條件例例2 2.長為l的桿，一端溫度為0，一端溫度為 (t t )00,( )xx luut 弦振動問題弦振動問題：弦的一端（如：弦的一端（如 x = l）可以

18、在垂直）可以在垂直 x 軸的直線上自由的上下滑動，且不受垂直方向的軸的直線上自由的上下滑動，且不受垂直方向的外力，我們稱這種端點(diǎn)為外力，我們稱這種端點(diǎn)為“自由端自由端”。sintanx luTTTxux0l第二類邊界條件第二類邊界條件),(tzyxfnu 在這一端點(diǎn)，邊界上的張力沿垂直于在這一端點(diǎn)，邊界上的張力沿垂直于x軸的方向的軸的方向的分量為分量為0 0，因此在方程的推導(dǎo)中知，因此在方程的推導(dǎo)中知 , , 即即0 xluTx 當(dāng)該點(diǎn)處的張力沿垂直當(dāng)該點(diǎn)處的張力沿垂直x 軸的方向的分量是軸的方向的分量是 t 的已的已知函數(shù)知函數(shù) 時，有時，有( ) t x lutx 0( , )0 xlxx

19、luulnxtu 或或*熱傳導(dǎo)問題：熱傳導(dǎo)問題：如果物體和周圍介質(zhì)處于絕熱狀如果物體和周圍介質(zhì)處于絕熱狀態(tài)，即在表面上熱量的流速始終為態(tài)，即在表面上熱量的流速始終為0 0，則由方程，則由方程推導(dǎo)過程可知，有邊界條件推導(dǎo)過程可知，有邊界條件0 .Sun ,SuM tn 當(dāng)物體與外界接觸的表面當(dāng)物體與外界接觸的表面 S 上各單位面積在單位上各單位面積在單位時間內(nèi)流過的熱量已知時，由傅立葉定律，在時間內(nèi)流過的熱量已知時，由傅立葉定律，在 S 上有上有 ，這表明溫度沿外法線方向的方，這表明溫度沿外法線方向的方向?qū)?shù)是已知的，故邊界條件可以表示為向?qū)?shù)是已知的，故邊界條件可以表示為dQukdSdtn 第

20、三類邊界條件第三類邊界條件 ),(tzyxfnuhu )(0kTxuulx 例例 (1) 弦的振動（端點(diǎn)彈性連結(jié)）lxuk 彈性力lxxuT 張力)()(1hkuxuulx (2) 熱傳導(dǎo)問題（端點(diǎn)自由冷卻）dSdtnukdQ 2)(1uuhnuk dSdtuuhdQ)(11 散失的熱量內(nèi)部流到邊界的熱量即 21dQdQ關(guān)于邊界條件有兩點(diǎn)說明： （1）邊界條件只要確切說明邊界上的物理狀況即可； （2）應(yīng)區(qū)分邊界條件和泛定方程中的外力或源。 其它附加條件其它附加條件（1）銜接條件00(0, )(0, )u xtu xt, 00(0, )(0, )( )u xtu xtTTF txx （2）自然邊

21、界條件 自然有界條件 0|xy 有限, 自然周期條件 ( , )( ,2)uu 。 )(|)( )(|)0,( 0002xuxxutxuautttxxtt 弦振動的Cauchy問題 )( )(|)0,( 002xxutxuautxxt 只包含初值條件的定解問題稱為初值問題初值問題初值問題初值問題(Cauchy問題問題) ), ,()(),( ),(0,),( 0)(02tzyxfunuzyxzyxutzyxuuuautzzyyxxt 包含初值條件和邊界條件的定解問題稱為混合問題混合問題 (初邊值問題初邊值問題) )熱傳導(dǎo)方程的混合問題熱傳導(dǎo)方程的混合問題波動方程的混合問題波動方程的混合問題 0

22、, 0)0( )(),()0,0( 0002lxxxtttxxttuulxxuxutlxuau 只附加邊界條件的定解問題稱為邊值問題邊值問題. 初值條件、邊界條件統(tǒng)稱為定解條件定解條件初值問題、邊值問題、混合問題統(tǒng)稱為定解問題定解問題. .21110nnnijiijiijiuuABcufx xx fcuyubxubyuayxuaxua21222221222112一般線性二階偏微分方程（n個自變量）兩個自變量二階線性偏微分方程的一般形式 記2121122( , )x yaa a ( , )0 x y當(dāng)時,雙雙曲曲型型， ( , )0 x y當(dāng)時,拋拋物物型型， ( , )0 x y當(dāng)時,橢橢圓圓型型。 雙雙曲曲型型方方程程的的第第一一標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型 DCuBuAuu 雙雙曲曲