2平面直角坐標系中的伸縮變換

1、4.3.2平面直角坐標系中的伸縮變換1 .了解平面直角坐標系中的伸縮變換，能運用伸縮變化進行簡單的變換.2 .體會平面直角坐標系中的伸縮變換給圖形帶來的變化.基礎(chǔ)初探1 .橫坐標的伸縮變換kx-x,一般地，由，（k0）所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為k向著丫n=y軸的伸縮變換（當k1時，表示伸長；當0k0）所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為k向著xky=y軸的伸縮變換（當k1時，表示伸長；當0k0）,一一的作用下，點P（x,y）對應到點P（x，y）,稱小為平面直Ly=屋底。）角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱為伸縮變換.思考探究1.91 .如果x軸的單包長度保持不變，y軸的單包長度縮小為原來的5，圓

2、x+y2=4的圖形變?yōu)槭裁磮D形？伸縮變換可以改變圖形的形狀嗎？那平移變換呢？2【提示】x2+y2=4的圖形變?yōu)闄E圓：+y2=1.伸縮變換可以改變圖形的形狀，但平移變換僅改變位置，不改變它的形狀.2 .如何理解平面直角坐標系中的伸縮變換？【提示】在平面直角坐標系中進行伸縮變換，即改變x軸或y軸的單位長度，將會對圖形產(chǎn)生影響.其特點是坐標系和圖形發(fā)生了改變，而圖形對應的方程不發(fā)生變化.如在下列平面直角坐標系中，分別作出f(x,y)=0的圖形：(1)x軸與y軸具有相同的單位長度；(2)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的k倍；1“(3)x軸上的單包長度為y軸上單包長度的口第(1)種坐標系中的意思是x軸

3、與y軸上的單位長度一樣，f(x,y)=0的圖形就是我們以前學過的平面直角坐標系中的f(x,y)=0的圖形；第(2)種坐標系中的意思是如果x軸上的單位長度保持不變，y軸上的單位長度縮小為原來的k，止匕時f(x,y)=0表示的圖形與第(1)種坐標系k中的圖形是不同的；第(3)種坐標系中的意思是如果y軸上的單位長度保持不變，x軸上的單位長度縮小為原來的1,止匕時f(x,y)=0表示的圖形與第(1)種坐標系k中的圖形是不同的.質(zhì)疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流:疑問1:解惑：疑問2:解惑：疑問3:解惑：佇山J伸縮變換(kw0,且21).kx=x對下列曲線進行伸縮變換gy(1

4、)y=kx+b；(2)(x-a)2+(yb)2=r2.自主解答】設(shè)P(x,y)是變換前的點，P(x，y)是變換后的點，由1kx=x，lx=kx,題意，得彳即dW=y，ly=：y.(1)由1y=k(1x/)+b,v=kx+kb,得直線y=kx+b經(jīng)過伸縮變換后Kk的方程為y=kx+kb,仍然是一條直線.當b=0時，該直線和原直線重合；當bw0時，該直線和原直線平行.(2)由(kx-a)2+(ky/b)2=r2,(x一ka)2+(ykb)2=(kr)2,得圓(xa)2+(yb)2=r2經(jīng)過伸縮變換后的方程為(xka)2+(ykb)2=(kr)2,它是一個圓心為(ka,kb),半徑為|kr|的圓.再

5、練一題1.在同一平面直角坐標系中，將直線x2y=2變成直線2y=4,求滿足圖象變換的伸縮變換.x=入冬/0【解】設(shè)變換為i,y=ny(j0代入直線方程2xy=4得：2入/n廠4,即入上多=2,比較系數(shù)得：即直線x-2y=2圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標擴大到原來的4倍可得到直線2y=4.伸縮變換的應用1列曲線y=2sin3x變換成曲線y=3sin2x,求它的一個伸縮變換.【導學號：98990021x=MA0卜【思路探究】設(shè)S,代入y=3sin2x,所得式再與y=y=曙m0)2sin3x比較即可求卜.【自主解答】將變換后的曲線y=3sin2x改成y=3sin2xx=入戶0),設(shè)伸縮變換4代入y

6、=3sin2xy=440),得.尸3sin(2入)一3,.、一即y=in(2人):，與y=2sin3x比較系數(shù)，,_32七3,壯2，得3即o=2,匹=5,2,3x=/x,所以伸縮變換為3確定一個伸縮變換，實際上就是求其變換方法，將新舊坐標分清，代入對應的曲線方程，然后比較系數(shù)即可.再練一題222.(1)圓x2+y2=a2經(jīng)過什么樣的伸縮變換，可以使方程變?yōu)閨2+*=1(0b0,【解】設(shè)變換為y=仙ym0,一巾x2y2/口fx2代入萬程一“十工廠=1,得一9-十22yy_4=1.與x2+y2=1比較，將其變形為奈+才y2=1,比較系數(shù)得七3,尸2.x=3x,22i即將圓x2+y2=1上所有點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標變y=2y,為原來的2倍，可得橢圓年+=1.94,、一一1,1 .直線x+4y6=0按伸縮系數(shù)萬向著x軸的伸縮變換后，直線的萬程是【答案】x+8y-6=02 .直線2x-3y=0按伸縮系數(shù)3向著y軸的伸縮變換后，直線的方程是【答案】2x-9y=03,曲線x2+y2=4按伸縮系數(shù)2向著y軸的伸縮變換后，曲線的方程是【導學號：98990022xy/【答案】+匚=116