第一型線積分和面積分2

1、2014年5月9日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1第一型線積分和面積分第一型線積分和面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系21.1.定義定義d-各小塊曲面直徑的最大值各小塊曲面直徑的最大值 ( , , )f x y z其中叫其中叫被積函數(shù)被積函數(shù)，.S叫積分曲面叫積分曲面( , , ):( , , )dSx y zSmmx y xS 面面密密度度為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的光光滑滑曲曲面面 質(zhì)質(zhì)量量為為第一型曲面積分的概念和基本性質(zhì)第一型曲面積分的概念和基本性質(zhì)由第由第1節(jié)節(jié)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系3且有界且有界, ,則第一

2、型曲面積分存在則第一型曲面積分存在.在分片光滑曲在分片光滑曲S 上連續(xù)上連續(xù)2. 積分的存在性積分的存在性. 3. 3. 第一型曲面積分的性質(zhì)第一型曲面積分的性質(zhì)()11( )SdSSS （ ）的的面面積積12122( , , )( , , )( , , )SSSSSf x y z dSf x y z dSf x y z dS （ ）當(dāng)當(dāng)S S第一型曲面積分與第一型曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類似的曲線積分性質(zhì)類似.(3)(3) 對(duì)稱性對(duì)稱性( (類似于三重積分類似于三重積分) )( , , )f x y z定定理理 若若1 1南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系4第一型曲面積分的計(jì)算第一

3、型曲面積分的計(jì)算計(jì)算法計(jì)算法:-轉(zhuǎn)化為二重積分轉(zhuǎn)化為二重積分:( ,),( , , )(),xySzz x ySxoyDf x y zC S 設(shè)設(shè)光光滑滑曲曲面面在在面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉?2d1d dxySzzx y面積元素22( , , )( , , ( , ) 1d dxyxySDf x y z dSf x y z x yzzx y 由由曲曲面面積積分分的的定定義義南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系522 , ( , ), 1d d ;xzxzDf x y x z zyyx z( , , )Sf x y z dS .1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy ( , , )

4、Sf x y z dS ( , )( , )yzSxx y zy zD 若若曲曲面面：:( , )( , )zxSyy x zx zD若曲面若曲面類似地類似地, ,南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系6若曲面方程為若曲面方程為( , )( , ) ( , )( , )xx u vSyy u vu vDzz u v ：2dSEGF dudv2( , , ) ( , ), ( , ), ( , )d dSDf x y z dSf x u vy u vz u vEGFu v 由由曲曲面面積積分分的的定定義義222222uuuuvuvuvvvvExyzFx xy yz zGxyz 其中：其中：南京航空航天

5、大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系7例例1 1解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxydxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系8()Sxyz dS 故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2.2125 25xyDdxdy投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy92222(),:1SxydSSzxyz 計(jì)計(jì)算算其其中中及及所所圍圍區(qū)區(qū)域域的的整整個(gè)個(gè)邊邊界界曲曲面面。2222(,):1xySzxyx yDxy 錐錐：SSSSS 平平平平錐錐錐錐21200(21)(21)2dd 2222()(21)()xySDxy

6、dSxydxdy 2222,zxzyxyxyxy:1Sz 平平例例2 2解解221()()2zzxy22( , ):1xyx yDxy南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系10例例 3 3 計(jì)計(jì)算算dSxyz |, 其其中中 為為拋拋物物面面 22yxz （10 z）. 解解依對(duì)稱性知：依對(duì)稱性知：被被積積函函數(shù)數(shù)| xyz關(guān)關(guān)于于xoz、yoz 坐標(biāo)面對(duì)稱坐標(biāo)面對(duì)稱軸對(duì)稱，軸對(duì)稱，關(guān)于關(guān)于拋物面拋物面zyxz22 有有 14成立成立，(1 為為第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyz南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系11dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz

7、|14dxyz SdxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1212222004cossin14dd 2152002sin214dd duuu2514141 .42015125 cossinxy利用極坐標(biāo)132222zxyzR 設(shè)設(shè)球球心心在在原原點(diǎn)點(diǎn)，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)軸軸為為 軸軸S S：,R求求半半徑徑為為面面密密度度為為的的球球面面S S對(duì)對(duì)某某直直徑徑的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量。222222,zxzyxyRxyRxy例例4 4解解22222()()1zzRxyRxy22()1zSIxydS 222

8、2221:SzRxyD xyR1222()SxydS 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系14222222()DRxydRxy32332222200022222003342422()23282233RRRRRRdddRRRRRRRRRR22()1zSIxydS 1222()SxydS 15例例5. 計(jì)算計(jì)算2222:.SxyzR解解: 取球面坐標(biāo)系取球面坐標(biāo)系, I0d(cos)2cosRRR 20sindcosRR 20d :sin cos ,sin sin ,cos ,SxRyRzRd(),SSIRz 2dsin d dSR 2lnRRR 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系16222222,0.

9、SdSSzzHxyRxyz 是界于及間的圓柱面是界于及間的圓柱面例6例6解法一解法一122212dSIxyz 22yRx 由由22222d1d d1()0d dyzySxxy zy zRy 22d dRy zRy222212d dyzDRIy zRzRy 2222012ddHRRRzyRzRy.arctan2RH xyzo南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系17解法二解法二cossinxRyRzz令2221DIEGF d dzRz22(sin )( cos )sin0cos00 11ERRFRRG 221DRd dzRz22200HRddzRz.arctan2RH 222222vvvvuvuvuu

10、uuzyxGzzyyxxFzyxE記記xyzo南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系18小結(jié)小結(jié)第一型曲面積分的解法是將其化為投影域上的第一型曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計(jì)算二重積分計(jì)算.1、 第一型曲面積分的概念第一型曲面積分的概念;（按照曲面的不同情況分為三種）（按照曲面的不同情況分為三種）( , , )Sf x y z dS iiiniiSf ),(lim10 2、曲面由直角坐標(biāo)方程表示、曲面由直角坐標(biāo)方程表示19;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(則則.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：

11、若曲面若曲面則則),(:. 2zxyy 若曲面若曲面203、若曲面方程為、若曲面方程為( , )( , ) ( , )( , )xx u vSyy u vu vDzz u v ：2dd dSEGFu v2( , , ) ( , ), ( , ), ( , )SDf x y z dSf x u vy u vz u vEGF dudv 22222222uuuuuvuvuvuvvvvuExyzrFx xy yz zrrGxyzr 其中：其中：南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系21EXEX被被積積函函數(shù)數(shù) ),(zyxf222zyx ,解解關(guān)關(guān)于于坐坐標(biāo)標(biāo)面面、原原點(diǎn)點(diǎn)均均對(duì)對(duì)稱稱 , 積分曲面積分曲面

12、 也具有對(duì)稱性也具有對(duì)稱性 , 故原積分故原積分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系221 ：azyx , 即即yxaz 22d1d dxySzzx ydxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyx2228() 3d dxyDxyaxyx y.324a 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系23思考題思考題 在對(duì)面積的曲面積分化為二重積分在對(duì)面積的曲面積分化為二重積分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 試說明試說明這個(gè)因子的幾何意義這個(gè)因子的幾何意義.221yxzz 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系24思考題解答思考題解答是

13、曲面元的面積是曲面元的面積,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法線與是曲面法線與 軸夾角的余弦軸夾角的余弦的倒數(shù)的倒數(shù).z南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系25一、一、 填空題填空題: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a積為積為, , 則則 ds10_；2 2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 設(shè)設(shè) 為球面為球面2222azyx 在在xoy平面的上方部平面的上方部分分, ,則則 dszyx)(222_；4 4、 zds3_, ,其中其中 為拋物面為拋物面)(222yxz 在在xoy面上方的部分；面上方的部分；5 5

14、、 dsyx)(22_, ,其中其中 為錐面為錐面22yxz 及平面及平面1 z所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面. .練練 習(xí)習(xí) 題題南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系26二、計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分二、計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分: :1 1、 dszxxxy)22(2, ,其中其中 為平面為平面 622 zyx在第一卦限中的部分；在第一卦限中的部分；2 2、 dszxyzxy)(, ,其中其中 為錐面為錐面22yxz 被被 柱面柱面axyx222 所截得的有限部分所截得的有限部分 . .三、求拋物面殼三、求拋物面殼)10)(2122 zyxz的質(zhì)量的質(zhì)量, ,此殼此殼的面密度的大小為的