第5章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動2011

1、第第 5 章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸本章將介紹一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系本章將介紹一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系剛體剛體所遵循的所遵循的力學(xué)規(guī)律。著重討論剛體的定軸轉(zhuǎn)動。力學(xué)規(guī)律。著重討論剛體的定軸轉(zhuǎn)動。一、一、 概念概念在受外力作用時不改變形狀和體積的物體稱剛體。在受外力作用時不改變形狀和體積的物體稱剛體。(2)剛體可以看作是由許多質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)剛體可以看作是由許多質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，每一個質(zhì)點(diǎn)叫做剛體的一個系，每一個質(zhì)點(diǎn)叫做剛體的一個質(zhì)元質(zhì)元，剛，剛體這個質(zhì)點(diǎn)系的特點(diǎn)是，在外力作用下各體這個質(zhì)點(diǎn)系的特點(diǎn)是，在外力作用下各質(zhì)元之間的相對位置保持不變。質(zhì)元之間的相對位置保持不變。1. 剛體剛體:mimi

2、(1)(1)剛體是理想化模型。剛體是理想化模型。質(zhì)元質(zhì)元第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動5.1 5.1 剛體轉(zhuǎn)動的描述剛體轉(zhuǎn)動的描述2. 剛體的運(yùn)動形式剛體的運(yùn)動形式: 剛體轉(zhuǎn)動時各質(zhì)元均做圓周運(yùn)動剛體轉(zhuǎn)動時各質(zhì)元均做圓周運(yùn)動, ,而且而且各圓的圓心都在一條固定不動的直線上各圓的圓心都在一條固定不動的直線上, ,這條直線叫轉(zhuǎn)軸。如果轉(zhuǎn)軸方向不隨時間這條直線叫轉(zhuǎn)軸。如果轉(zhuǎn)軸方向不隨時間變化變化, , 則稱則稱定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動。 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動: 轉(zhuǎn)動是剛體的基本運(yùn)動形式之一。轉(zhuǎn)動是剛體的基本運(yùn)動形式之一。平動：平動：轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸 在描述剛體的平動時在描述剛體的平動時, ,可以用一點(diǎn)的運(yùn)可以用一

3、點(diǎn)的運(yùn)動來代表，通常就用剛體的質(zhì)心的運(yùn)動來動來代表，通常就用剛體的質(zhì)心的運(yùn)動來代表整個剛體的平動。代表整個剛體的平動。 剛體的一般運(yùn)動都可以認(rèn)為是剛體的一般運(yùn)動都可以認(rèn)為是平動平動和繞某一轉(zhuǎn)軸和繞某一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動的的結(jié)合結(jié)合。如圖。如圖,車輪的轉(zhuǎn)動。車輪的轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面 二二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述、剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面: 取垂直于轉(zhuǎn)軸取垂直于轉(zhuǎn)軸 的平面為參考系的平面為參考系, 稱轉(zhuǎn)動平面。稱轉(zhuǎn)動平面。vimi轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸其上各質(zhì)元都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動其上各質(zhì)元都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動, ,且所有質(zhì)元的矢徑在相同的時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度相同且所有質(zhì)元的矢徑在相同的

4、時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度相同. .一般用角量描述。一般用角量描述。1.特點(diǎn)特點(diǎn):ox轉(zhuǎn)動方向轉(zhuǎn)動方向ZPrpo 2.角位移角位移1.角位置角位置2.定軸轉(zhuǎn)動的角量描述定軸轉(zhuǎn)動的角量描述dtd rv P點(diǎn)線速度點(diǎn)線速度轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面vrpo oX轉(zhuǎn)動方向轉(zhuǎn)動方向Z4. 角加速度矢量角加速度矢量)s/rad(dtd2 3.角速度角速度 :方向與轉(zhuǎn)動方向成右手螺旋法則。方向與轉(zhuǎn)動方向成右手螺旋法則。當(dāng)減速轉(zhuǎn)動時當(dāng)減速轉(zhuǎn)動時, , 與與 方向相反方向相反; ;當(dāng)加速轉(zhuǎn)動時當(dāng)加速轉(zhuǎn)動時, , 與與 方向相同；方向相同； .當(dāng)角加速度是常量時：當(dāng)角加速度是常量時：)(02022 t 0 2210 tt)( 單位

5、：單位：rad/s 角速度是矢量角速度是矢量 。P P點(diǎn)線加速度點(diǎn)線加速度 ra ran2 由于在定軸轉(zhuǎn)動中軸的由于在定軸轉(zhuǎn)動中軸的方位不變，故方位不變，故 只只有沿軸的正負(fù)兩個方向，有沿軸的正負(fù)兩個方向，可以用標(biāo)量代替?？梢杂脴?biāo)量代替。 ,將剛體看成許多質(zhì)量分別為將剛體看成許多質(zhì)量分別為m1 ; m2 mimn的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn);各質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的距離分別為各質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的距離分別為 r1 、r2、ri 、rn各質(zhì)點(diǎn)速率分別為各質(zhì)點(diǎn)速率分別為 v1 、v2 、vi、 vnoi1. 第第 i 個質(zhì)點(diǎn)對轉(zhuǎn)軸的角動量個質(zhì)點(diǎn)對轉(zhuǎn)軸的角動量Zmi5.2 5.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律一、剛體的角動量一、

6、剛體的角動量iiLL2. 剛體的角動量剛體的角動量iiiivmriiimr2riviiiiivmrL iipr iiimrL 2 iii)mr( 2定義：定義： iiimrJ)(2-剛體對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量 JL 剛體的角動量剛體的角動量 JL 大?。捍笮。悍较颍悍较颍?的方向。的方向。與線量比較：與線量比較： JLmvp)(轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣性性轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量J)(平平動動慣慣性性慣慣性性質(zhì)質(zhì)量量miMM 2. 整個剛體受合外力矩：整個剛體受合外力矩：FiZmioirivi力矩的方向力矩的方向:二、剛體所受力矩二、剛體所受力矩設(shè)剛體受外力：設(shè)剛體受外力：F1、F2FiFn1.

7、 當(dāng)質(zhì)元受合外力當(dāng)質(zhì)元受合外力Fi 時該力對轉(zhuǎn)軸的力矩時該力對轉(zhuǎn)軸的力矩 沿轉(zhuǎn)軸方向沿轉(zhuǎn)軸方向,并與矢徑并與矢徑 及及 成右手螺旋法則成右手螺旋法則 。rF定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動:iMM M定軸轉(zhuǎn)動中，定軸轉(zhuǎn)動中，M的方向可用正、負(fù)區(qū)分的方向可用正、負(fù)區(qū)分如：使剛體逆時針轉(zhuǎn)動，如：使剛體逆時針轉(zhuǎn)動，M 0使剛體順時針轉(zhuǎn)動，使剛體順時針轉(zhuǎn)動，M 0（代數(shù)和）（代數(shù)和）iiiFrM 三、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律三、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 iiMMtJdd J 剛體對于某一轉(zhuǎn)軸所受的合外力矩等于剛體對該轉(zhuǎn)軸剛體對于某一轉(zhuǎn)軸所受的合外力矩等于剛體對該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘的轉(zhuǎn)動慣量與在此合

8、外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。積。-剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律特例：特例： 平衡時，平衡時， = 0，M= 0 (合力矩為零）合力矩為零） iitLdd iiLdtddtdL JM 應(yīng)用時注意：應(yīng)用時注意：M、 的正負(fù)號的正負(fù)號.m2m1 r例例1. 如圖所示，設(shè)兩重物的質(zhì)量分別為如圖所示，設(shè)兩重物的質(zhì)量分別為m1和和m2，且，且m1m2，定滑輪的半徑為定滑輪的半徑為r，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，輕繩與滑輪間，輕繩與滑輪間無滑動，滑輪軸上摩擦不計設(shè)開始時系統(tǒng)靜止，試求無滑動，滑輪軸上摩擦不計設(shè)開始時系統(tǒng)靜止，試求t時時刻滑輪的角速度刻滑輪的角速度 開始時系統(tǒng)靜止，故

9、開始時系統(tǒng)靜止，故 t 時刻滑輪的角速度：時刻滑輪的角速度： Jrmmgrmm 22121 Jrmmgrtmmt 22121 T1rT2r J 且有：且有：ar T2m2gm2a m1gT1m1a解方程組得：解方程組得：解：解：兩重物加速度大小兩重物加速度大小a相同，滑輪角加速度為相同，滑輪角加速度為 由牛頓第二定律：由牛頓第二定律：隔離物體分析力方向如圖隔離物體分析力方向如圖轉(zhuǎn)動定律：轉(zhuǎn)動定律：m1gT1T1T2T2m2gaa 注意：注意：21TT m rmm2m 2r例例2. 質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為m和和2m、半徑分別為、半徑分別為r和和2r的兩個均勻圓盤，的兩個均勻圓盤，同軸地粘在一起，可

10、以繞通過盤心且垂直盤面的水平光滑同軸地粘在一起，可以繞通過盤心且垂直盤面的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為固定軸轉(zhuǎn)動，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為9mr2 / 2，大小圓盤邊緣，大小圓盤邊緣都繞有繩子，繩子下端都掛一質(zhì)量為都繞有繩子，繩子下端都掛一質(zhì)量為m的重物，如圖所的重物，如圖所示求盤的角加速度的大小示求盤的角加速度的大小 列方程列方程 T2 (2r)T1r = 9mr2 / 2 mgT2 = ma2 T1mg = ma1 2r = a2 r = a1 rg192mgT2T2T1T1mga2a1解：受力分析如圖解：受力分析如圖解聯(lián)立方程，得：解聯(lián)立方程，得：1. 定軸轉(zhuǎn)動慣量定義定軸轉(zhuǎn)動慣量定

11、義:iiirmJ2分立剛體分立剛體:轉(zhuǎn)動慣量等于剛體中每個轉(zhuǎn)動慣量等于剛體中每個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與這一質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與這一質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離的平方的乘積的總和。的距離的平方的乘積的總和。mioiri5.3 5.3 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算連續(xù)剛體連續(xù)剛體: dmrJ2dmor2. 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算 例例 1 .剛性三原子分子其質(zhì)量分布如圖所示，剛性三原子分子其質(zhì)量分布如圖所示，求繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量求繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量233222211rmrmrmJ r1r2r3m1m2m3轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸ox圖圖dxdm例例 2 質(zhì)量為質(zhì)量為m ，長為，長為 l 的均勻細(xì)棒，分別求其繞垂直中心轉(zhuǎn)的均勻細(xì)棒，

12、分別求其繞垂直中心轉(zhuǎn)軸和繞一端轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。軸和繞一端轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。ox圖圖(2)dmdx解解:設(shè)棒單位長質(zhì)量設(shè)棒單位長質(zhì)量: =m/l,1. 繞中心軸轉(zhuǎn)動，在圖繞中心軸轉(zhuǎn)動，在圖中建立一維坐標(biāo)系中建立一維坐標(biāo)系,dmxJ 21dxxll 2222121ml 取取 dm=dx2.繞一端的轉(zhuǎn)動慣量，建立一維坐標(biāo)系如圖繞一端的轉(zhuǎn)動慣量，建立一維坐標(biāo)系如圖所示所示dmxJ22dxxl02231mlRoRZ例例 3. 求質(zhì)量為求質(zhì)量為 m ，半徑為，半徑為 R 的均勻薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)的均勻薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量，軸與圓環(huán)平面垂直并通過其圓心。動慣量，軸與圓環(huán)平面垂直并通過其圓心。dmdmRJ2mdmR22mR

13、解解: 解：解：設(shè)面密度為設(shè)面密度為 ，取半徑為，取半徑為 r 寬寬為為 dr 的薄圓環(huán)的薄圓環(huán)rdrdsdm 2 dmrJ 2例例4: 求質(zhì)量為求質(zhì)量為 m、半徑為、半徑為 R、薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤、薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。平面垂直并通過盤心。rdrO Rrdrr022 242121mRR 記住幾個典型的轉(zhuǎn)動慣量：記住幾個典型的轉(zhuǎn)動慣量：*圓環(huán)（通過中心軸）圓環(huán)（通過中心軸）*圓盤、圓柱（通過中心軸）圓盤、圓柱（通過中心軸）*細(xì)棒（端點(diǎn)垂直軸）細(xì)棒（端點(diǎn)垂直軸）*細(xì)棒（質(zhì)心垂直軸）細(xì)棒（質(zhì)心垂直軸）221mRJ 231mLJA 2121mLJc J = mR2Z3.

14、轉(zhuǎn)動慣量的物理意義及性質(zhì)轉(zhuǎn)動慣量的物理意義及性質(zhì): 轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小轉(zhuǎn)動慣性大小的量度的量度; 轉(zhuǎn)動慣量不僅轉(zhuǎn)動慣量不僅與剛體質(zhì)量有關(guān)與剛體質(zhì)量有關(guān),而且與剛體而且與剛體轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置 及剛體的及剛體的質(zhì)量分布質(zhì)量分布有關(guān)有關(guān);轉(zhuǎn)動慣量具有轉(zhuǎn)動慣量具有迭加性迭加性;J=J1+J2+J3 轉(zhuǎn)動慣量具有相對性轉(zhuǎn)動慣量具有相對性;ZCdZ 剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通過質(zhì)心并與該軸平行的轉(zhuǎn)動慣量體對通過質(zhì)心并與該軸平行的轉(zhuǎn)動慣量加上剛體質(zhì)量與兩軸間距的二次方的乘加上剛體質(zhì)量與兩軸間距的二次方的乘積。積。 平行軸定理：平行軸定理：J

15、= Jc+ m d 2例例1: 如圖一質(zhì)量為如圖一質(zhì)量為M 長為長為l的勻質(zhì)細(xì)桿，中間和右端各有一質(zhì)的勻質(zhì)細(xì)桿，中間和右端各有一質(zhì)量皆為量皆為m的剛性小球，該系統(tǒng)可繞其左端且與桿垂直的水平的剛性小球，該系統(tǒng)可繞其左端且與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動，若將該桿置于水平位置后由靜止釋放，軸轉(zhuǎn)動，若將該桿置于水平位置后由靜止釋放，求求:桿轉(zhuǎn)到與桿轉(zhuǎn)到與水平方向成水平方向成角時角時,桿的角加速度是多少桿的角加速度是多少?解解:設(shè)轉(zhuǎn)軸垂直向里為正設(shè)轉(zhuǎn)軸垂直向里為正,系統(tǒng)對該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為系統(tǒng)對該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 222312MlmllmJ 該系統(tǒng)所受的合力矩為該系統(tǒng)所受的合力矩為 cosmglcoslmgcos

16、lMgM 22 cosgl )Mm()mM(41536 由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律: M=J 可得可得方向方向:指里。指里。lmgmgMg5.4 5.4 轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用 練習(xí)練習(xí)1：如圖所示：如圖所示,有兩個質(zhì)量分別為有兩個質(zhì)量分別為 M1 、M2 ，半徑分別，半徑分別為為 R1 、R2 的勻質(zhì)定滑輪，輪緣上繞一細(xì)繩的勻質(zhì)定滑輪，輪緣上繞一細(xì)繩, 其兩端掛著質(zhì)其兩端掛著質(zhì)量分別為量分別為m1 和和m2 的物體。若的物體。若m1 m2 , 忽略軸承處的摩擦忽略軸承處的摩擦, 且繩子與滑輪間無相對滑輪且繩子與滑輪間無相對滑輪, 求滑輪的角加速度及繩子的張求滑輪的角加速度及繩子的張力力T1

17、、2 、T 3 。m2m1T2T1T3M1 R1M2 R2解：解：隔離物體分析力隔離物體分析力m1gm2gT1T1T3T3T2T2由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律可列方程如下律可列方程如下2222amTgm 1111amgmT 222223221 RMRTRT 222111 RaRa 121111321 RMRTRT 12121121RgMM)m2(m)m2(m gmMM)m)MM(T122214 11112(mm22122RgMM)m) 1122(mm2(m gmMM)m)MM(T222224 11112(mmgMM)m)MM(T22234 11112212(mmmmm當(dāng)當(dāng) M

18、 1，M2 質(zhì)量可以忽略時質(zhì)量可以忽略時 T1= T2= T3rivimiZoi一、沖量矩一、沖量矩-力矩作用于剛體的時間累積效應(yīng)力矩作用于剛體的時間累積效應(yīng)21ttMdt定義定義:二、角動量定理二、角動量定理: : JL 1.剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量:2. 角動量定理角動量定理:122121LLdtdtdLMdttttt dtdLM 轉(zhuǎn)動物體所受合外力矩的沖量矩轉(zhuǎn)動物體所受合外力矩的沖量矩,等于在這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)等于在這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)動物體角動量的增量。動物體角動量的增量。 - 角動量定理角動量定理5.5 5.5 角動量守恒角動量守恒角動量也稱動量矩。角動量也稱動量矩。例例2 一棒長一棒

19、長l，質(zhì)量，質(zhì)量m，其質(zhì)量分布與，其質(zhì)量分布與O點(diǎn)距離成正比點(diǎn)距離成正比 將細(xì)棒放在粗糙的水平面上，棒可繞將細(xì)棒放在粗糙的水平面上，棒可繞 O 點(diǎn)轉(zhuǎn)動，如圖。棒與點(diǎn)轉(zhuǎn)動，如圖。棒與桌面的摩擦系數(shù)為桌面的摩擦系數(shù)為 。求：求：(1) 細(xì)棒對細(xì)棒對 O 點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量。點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量。 (2) 細(xì)棒繞細(xì)棒繞 O 點(diǎn)的摩擦力矩。點(diǎn)的摩擦力矩。 (3) 細(xì)棒從以細(xì)棒從以0 開始轉(zhuǎn)動到停止所經(jīng)歷的時間。開始轉(zhuǎn)動到停止所經(jīng)歷的時間。解：解：drdm (1)取取微微元元dmrJm 2rdrlm22 drrlml3022 2024212mllmrl O0 Zdm,2 2rlm （2）細(xì)棒上距）細(xì)棒上距 O 點(diǎn)點(diǎn)

20、r 處長處長 dr 的線元所受的摩擦力：的線元所受的摩擦力：gdmdf rdfdM 對對 O點(diǎn)的摩擦力矩點(diǎn)的摩擦力矩(選選z軸方向?yàn)檎┹S方向?yàn)檎?drg rdrlmg22 drrlgm222 221(1)mlJ （3）由角動量原理）由角動量原理00 JJMdtt glt 430 022132 mlmglt 有：有： MfdMM細(xì)棒繞細(xì)棒繞 O 點(diǎn)的摩擦力矩點(diǎn)的摩擦力矩:drrlgml2022 mgl 32 rdfdM drrlgm222 O0 Zdm四、角動量守恒定律四、角動量守恒定律:由角動量定理可知：由角動量定理可知：1.1.角動量守恒有兩種情況角動量守恒有兩種情況: :注意注意: :

21、當(dāng)剛體所受合力矩為零時即當(dāng)剛體所受合力矩為零時即M=0時時,其角動量其角動量 L保持守恒。保持守恒。3.3.角動量守恒定律與動量守恒定律、角動量守恒定律與動量守恒定律、 能量守恒定律一樣能量守恒定律一樣都是自然界的規(guī)律。都是自然界的規(guī)律。一是轉(zhuǎn)動慣量與角速度都不變一是轉(zhuǎn)動慣量與角速度都不變; ;二是兩者都變但二者的乘積不變。二是兩者都變但二者的乘積不變。恒量恒量 J（M=0時）時）2.0 iF0 iM 0 iF0 iM0 iF0 iM例：例：(i)1F2F(ii)1F2F1221LLMdttt 例例. 如圖所示，在半徑為如圖所示，在半徑為R的具有光滑豎直固定中心軸的水平的具有光滑豎直固定中心軸

22、的水平圓盤上，有一人靜止站立在距轉(zhuǎn)軸為圓盤上，有一人靜止站立在距轉(zhuǎn)軸為 處，人的質(zhì)量是圓盤處，人的質(zhì)量是圓盤質(zhì)量的質(zhì)量的1/10開始時盤載人對地以角速度開始時盤載人對地以角速度 0勻速轉(zhuǎn)動，現(xiàn)在勻速轉(zhuǎn)動，現(xiàn)在此人垂直圓盤半徑相對于地以速率此人垂直圓盤半徑相對于地以速率v沿與盤轉(zhuǎn)動相反方向作沿與盤轉(zhuǎn)動相反方向作圓周運(yùn)動，已知圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為圓周運(yùn)動，已知圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 。12R212MRRv R/2人與盤視為系統(tǒng)，所受對轉(zhuǎn)軸合外力矩人與盤視為系統(tǒng)，所受對轉(zhuǎn)軸合外力矩為零，系統(tǒng)的角動量守恒（選盤開始為零，系統(tǒng)的角動量守恒（選盤開始轉(zhuǎn)動時的方向?yàn)檎较颍┺D(zhuǎn)動時的方向?yàn)檎较颍?解：

23、解：021 ）（人人盤盤人人盤盤JJvJJR 求求 ：圓盤對地的角速度圓盤對地的角速度 221MRJ 盤盤2240141MRRmJ 人人解得：解得：Rv1020210 2224874121Ml)l(MMlJ (2) 碰前棒作平動，對碰前棒作平動，對 O 點(diǎn)的角動量按質(zhì)心處理。故有點(diǎn)的角動量按質(zhì)心處理。故有MlvlMvL414 解：解：(1) 細(xì)棒繞細(xì)棒繞 O 點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量(3) 設(shè)碰后的角速度為設(shè)碰后的角速度為。碰撞中外力矩為零，角動量守恒，。碰撞中外力矩為零，角動量守恒， JMlv 41vl712 vlO4l例例2 光滑的水平桌面上有一個長為光滑的水平桌面上有一個長為 l，質(zhì)量為

24、，質(zhì)量為 M 的均勻細(xì)棒，的均勻細(xì)棒，以速度以速度v運(yùn)動，與一固定于桌面上的釘子運(yùn)動，與一固定于桌面上的釘子O相碰，碰后細(xì)棒繞相碰，碰后細(xì)棒繞 O 點(diǎn)轉(zhuǎn)動，點(diǎn)轉(zhuǎn)動，(1) 細(xì)棒繞細(xì)棒繞 O 點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量；點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量；(2) 碰前棒對碰前棒對 O 點(diǎn)的角動量；點(diǎn)的角動量；(3) 碰后棒轉(zhuǎn)動的角速度碰后棒轉(zhuǎn)動的角速度。求：求：所以所以dtdLM 外外復(fù)復(fù) 習(xí)：習(xí)：三、三、 角動量角動量 JL iiirmJ2 dmrJ2二、二、 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量四四、 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 JM 外外六六、剛體的角動量守恒定律、剛體的角動量守恒定律常常量量。則則，若若外外 JLLM 0 0,五五、剛體的角動量原理、剛

25、體的角動量原理LdtMtt 21外外一、剛體一、剛體：在運(yùn)動過程中形變可以忽略的物體。：在運(yùn)動過程中形變可以忽略的物體。將剛體看成許多質(zhì)量分別為將剛體看成許多質(zhì)量分別為m1 、m2 mimn的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn);各質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的距離分別為各質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的距離分別為 r1、r2 ri rn221iikivmE整個剛體的動能整個剛體的動能kiikEE一、一、 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能221JEk稱剛體的轉(zhuǎn)動動能稱剛體的轉(zhuǎn)動動能則第則第 i 個質(zhì)元的動能個質(zhì)元的動能 2221iirm221iiivm2221iiirm5.6 5.6 轉(zhuǎn)動中的功和能轉(zhuǎn)動中的功和能cPmgyE 剛體的重力勢能可按質(zhì)心的重力勢能計算。剛體的重

26、力勢能可按質(zhì)心的重力勢能計算。二、剛體的重力勢能二、剛體的重力勢能O-力矩作用于剛體的空間累積效應(yīng)力矩作用于剛體的空間累積效應(yīng)當(dāng)力持續(xù)作用于剛體使其角位置由當(dāng)力持續(xù)作用于剛體使其角位置由1到到2時時,力矩的功為力矩的功為21MdArdFdA rdF cos rdF sin Md 如圖力如圖力 F作用于作用于P點(diǎn)使剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過微小角度點(diǎn)使剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過微小角度d ,P點(diǎn)對應(yīng)的線位移為點(diǎn)對應(yīng)的線位移為dr, 力所作的元功力所作的元功dr三、力矩的功三、力矩的功drpF當(dāng)力矩為常量時當(dāng)力矩為常量時,功為功為)(12 MA對于同一轉(zhuǎn)軸對于同一轉(zhuǎn)軸,剛體中所有內(nèi)力矩功的總和為零。剛體中所有內(nèi)力矩功的總和為零。四、四、 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理則在該過程中力矩的功為：則在該過程中力矩的功為：21MdA即即,合外力矩對剛體做定軸轉(zhuǎn)動所作的功合外力矩對剛體做定軸轉(zhuǎn)動所作的功,等于剛體等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量轉(zhuǎn)動動能的增量-剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 設(shè)剛體初始時的角位置和角速度分別為設(shè)剛體初始時的角位置和角速度分別為1和和1，末態(tài)的末態(tài)的角位置和角速度分別為角位置和角速度分別為2和和2,21dJ2