極限的定義與性質(zhì)

1、 第一章 1.2.1、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限, )(xfy 對(duì)0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自變量變化過(guò)程的六種形式:1.2.3、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 函數(shù)的極限 1.2.2、單側(cè)極限、單側(cè)極限1.2.4、無(wú)窮極限、無(wú)窮極限1.2.5 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)例例1.2.1 考察函數(shù)21( )1xf xx在當(dāng)x趨向于1時(shí)函數(shù)值的變化。解解 如圖，該函數(shù)定義域?yàn)閛xy1考察x從x=1的左側(cè)及右側(cè)接近1時(shí)，其函數(shù)值的變化情況 。列表如下1.x

2、oxy1結(jié)論：當(dāng)結(jié)論：當(dāng)x充分接近充分接近1（但不等于（但不等于1）, y的值的值接近于常數(shù)接近于常數(shù)2.2.0000011.0000011.9999990.9999992.0011.0011.9990.9992.011.011.990.992.11.11.90.91x 211xyx211xyx1x 一般地，我們有)(xf在點(diǎn)0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf當(dāng)反之， 若不存在這樣的常數(shù) A， 則稱當(dāng)0 xx 時(shí))(xf沒有極限或極限不存在。則例1.2.1可表示為211lim2.1xxx( )f x的值任意地接近常數(shù)A, 函數(shù)如果當(dāng)x充分接近0 x時(shí)，

3、則稱)(xf當(dāng)0 xx 的極限為A,記作時(shí)函數(shù)例例1.2.2 設(shè)函數(shù)1,1,( )0,1, xxf xx求解解如圖，1lim( ).xf xoxy1.觀察其函數(shù)圖象，得1lim( )2.xf x結(jié)論：結(jié)論：函數(shù)在某點(diǎn)的極限的存在與否與函數(shù)在該點(diǎn)是否函數(shù)在某點(diǎn)的極限的存在與否與函數(shù)在該點(diǎn)是否有定義或等于什么并無(wú)關(guān)系有定義或等于什么并無(wú)關(guān)系.0lim().xxCC為任意常數(shù)解解如圖， 觀察其函數(shù)圖象，得oxy0 xyC0lim.=xxC C解解如圖， 觀察其函數(shù)圖象，得0lim .xxxoxy0 x00lim.xxxxxx1sinlim0 xx1sinlim0不存在 .解解如圖， 觀察其函數(shù)圖象，

4、得 O x y-2-2-1-11122)(xf在點(diǎn)0 x右（或左）鄰域內(nèi)有定義 ,0lim( )xxf xA（或( )f x函數(shù)如果當(dāng)x從0 x的右側(cè)（左側(cè)）充分接近時(shí)，0 x的值任意地接近常數(shù)A, 則稱)(xf在處的右（或左）函數(shù)0 x記作極限為A,有時(shí)記為0lim( ),xxf xA0()f xA（或0()f xA0,10,00, 1)(xxxxxxf討論 0 x時(shí))(xf的左右極限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解:如圖)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1例例1.2.7 設(shè)函數(shù)21( ),1xf xx求解解如圖，oxy11li

5、m( )xf x1lim( )xf x和1lim( )xf x211lim1xxx1lim(1)xx2,1lim( )xf x211lim1xxx1lim(1)xx2.由這兩個(gè)例子，得一般地定理定理1.2.1 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1( )f xx例例1.1.8x 當(dāng)時(shí)，0;y x 當(dāng)時(shí)，0;y oxyx 當(dāng)時(shí)，0;y )(xf對(duì)大于（或小于）某個(gè)數(shù)X的x都lim( )xf xA（或)(xf記作的極限為A,lim( ).xf xA( )f x函數(shù)有定義， 如果當(dāng)x無(wú)限地趨向時(shí)，（或)的值任意地接近常數(shù)A, 則稱當(dāng)x

6、 （或)x 時(shí)函數(shù))(xf對(duì)絕對(duì)值大于某個(gè)正數(shù)X的x都有定義，lim( )xf xA記作的極限為A,( )f x函數(shù)如果當(dāng)|x|無(wú)限地趨向時(shí)，的值任意地接近常數(shù)A, )(xf則稱當(dāng)x 時(shí)函數(shù)1( )f xx于是在例1.1.8中l(wèi)imxx1=0，oxylimxx1=0，limxx1=0.定理定理1.2.2 .lim( )xf xAlim( )lim( )xxf xf xA( )arctan ,f xx例例1.1.9 設(shè)lim arctanxx求lim( )xf x，lim( )xf x，lim( ).xf x解解如圖 /2-/2 O x y，2lim arctanxx ，2所以lim( )xf

7、x不存在。有一類特別地、重要的極限定義定義1 .2.4. 若0 xx 時(shí) , 函數(shù),0)(xf則稱函數(shù))(xf0 xx )x(或?yàn)闀r(shí)的無(wú)窮小無(wú)窮小 .)x(或例例1.1.10 因?yàn)?1lim(1)xx=0，故當(dāng)1x 時(shí)函數(shù)1x為無(wú)窮小無(wú)窮小 .例例1.1.11 因?yàn)?limxx1=0，故當(dāng)x 時(shí)函數(shù)1x為無(wú)窮小無(wú)窮小 .例例1.1.12 如圖 limxxe=0，故當(dāng)x 時(shí)函數(shù)為無(wú)窮小無(wú)窮小 .oxyxye當(dāng)x 時(shí)函數(shù)xye接近于0 ，所以xe但當(dāng)x 時(shí)函數(shù)不是無(wú)窮小無(wú)窮小 .xe注注1: 無(wú)窮小與很小的數(shù)。 注注2: 無(wú)窮小是與x的變化過(guò)程有關(guān)。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1( )f

8、xx例例1.1.130 x當(dāng)時(shí)，oxyy值不斷增大，且有一種趨勢(shì)，趨向正無(wú)窮大。此時(shí)極限并不存在， 記為0lim=.xx1+-0 x 同樣當(dāng)時(shí)，y值不斷減小，且有一種趨勢(shì)，趨向負(fù)無(wú)窮大。此時(shí)極限并不存在， 記為-0lim- .xx 1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(xf在點(diǎn)0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,0lim( )+xxf x 或記作則稱)(xf當(dāng)0 xx 趨向于正無(wú)窮大（或負(fù)無(wú)窮大）時(shí)函數(shù)( )f x變得任意大， 函數(shù)如果當(dāng)x充分接近0 x時(shí)，( )(-f x或）0lim( )-xxf x 如果上述定義中將( )f x(或( )f x敘述成( ) ,f x則稱當(dāng)x趨近0 x時(shí)函數(shù)(

9、 )f x趨向于無(wú)窮大，記作0lim( )xxf x 注注1: 上述中的極限稱為無(wú)窮極限. 注注2: 無(wú)窮大是與x的變化過(guò)程有關(guān)。無(wú)窮極限并不代表 極限存在。 注注3: 和無(wú)窮小類似，不要把無(wú)窮大與很大的數(shù)(如一億)混淆.注注4: 無(wú)窮大一定無(wú)界, 反之不然 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 201lim,xx例例1.1.14 求201lim,xx201lim.xx解解 如圖 O x y-2-2-1-11122201lim,xx 201lim,xx 所以201lim.xx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.1.14 求10lim.xxe解解 如圖所以 O x y-3-3-2-2-1-111223310lim,xxe 10lim0,xxe10limxxe不存在。定理定理1.2.4(局部有界性） ,)(lim0Axfxx若則存在1.2.5 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)最后無(wú)窮大與無(wú)窮小有如下的關(guān)系定理定理1.2.3 在自變量的同一極限變化過(guò)程中, 如果函數(shù) ( )f x為無(wú)窮大， 則 1( )f x為無(wú)窮?。?反之如果( )f x為無(wú)窮小， 則 1( )f x為無(wú)窮大。 0 x的一個(gè)鄰域， 使得函數(shù)( )f x在該鄰域里有界。定理定理1.2.5(唯一性）