第七章應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)分析

1、材料的基本變形回顧材料的基本變形回顧軸向拉伸壓縮軸向拉伸壓縮軸的扭轉(zhuǎn)變形軸的扭轉(zhuǎn)變形梁的彎曲變形梁的彎曲變形基本假設(shè)基本假設(shè)連續(xù)性假設(shè)、各向同性假設(shè)、均勻性假設(shè)連續(xù)性假設(shè)、各向同性假設(shè)、均勻性假設(shè)平面假設(shè)平面假設(shè)圣維南原理圣維南原理拉壓拉壓?jiǎn)蜗蚴芰僭O(shè)單向受力假設(shè)彎曲彎曲內(nèi)力內(nèi)力軸力軸力扭矩扭矩彎矩、剪力彎矩、剪力應(yīng)力應(yīng)力N APTI,zzzMy IQSI b強(qiáng)度強(qiáng)度 max max應(yīng)力應(yīng)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系變關(guān)系EG2 1EG 22M xd wdxEI變形變形NF llEA PTddxGI剛度剛度 maxPdTdxGI maxmax,wLL超靜定問題超靜定問題處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理處理方法：變

2、形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合，求全部方程與平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。未知力。梁的彎曲回顧梁的彎曲回顧彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力剪力-彎矩剪力圖-彎矩圖剪力-彎矩與載荷集度的關(guān)系彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力對(duì)稱彎曲正應(yīng)力對(duì)稱彎曲切應(yīng)力梁的強(qiáng)度條件梁的非對(duì)稱彎曲斜彎曲、拉(壓)彎曲組合彎曲變形彎曲變形撓曲線方程-積分法求解位移疊加法靜不定梁的計(jì)算梁的剛度條件計(jì)算簡(jiǎn)圖：梁的類型，支座形式剪力、彎矩的正負(fù)符號(hào)，剪力彎矩方程QxMddddQqxzIMy bISFzzS ;Mxw22ddddwx載荷疊加、逐段鋼化靜定基 maxmax,LwLw慣性矩，平行軸定理合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)合理剛度設(shè)計(jì) 71 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的

3、概念72 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析解析法解析法73 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法圖解法74 三向應(yīng)力狀態(tài)研究三向應(yīng)力狀態(tài)研究應(yīng)力圓法應(yīng)力圓法75 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力 - - 應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系 （廣義虎克定律（廣義虎克定律）78 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能7 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念一、引言一、引言1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸 P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MPxx y xxy拉拉 中中 有有 剪剪xx根據(jù)微元根據(jù)微元 的局部平衡：的局部平衡：x y xxy剪剪 中中 有有 拉拉

4、 yx xy yx xy 不僅橫截面上存在應(yīng)力，斜截面上也存不僅橫截面上存在應(yīng)力，斜截面上也存在應(yīng)力；不僅要研究橫截面上的應(yīng)力，而在應(yīng)力；不僅要研究橫截面上的應(yīng)力，而且也要研究斜截面上的應(yīng)力。且也要研究斜截面上的應(yīng)力。2、應(yīng)力的三個(gè)重要概念、應(yīng)力的三個(gè)重要概念 應(yīng)力的點(diǎn)的概念應(yīng)力的點(diǎn)的概念; 應(yīng)力的面的概念應(yīng)力的面的概念; 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念. 橫截面上正應(yīng)力分析和切應(yīng)力分析的結(jié)果表明：橫截面上正應(yīng)力分析和切應(yīng)力分析的結(jié)果表明：同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同，此即同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的應(yīng)力的點(diǎn)的概念點(diǎn)的概念。 QFMzNF 微元平衡分析結(jié)果表明：即使同一點(diǎn)微元平衡分析

5、結(jié)果表明：即使同一點(diǎn)不同方向面上的應(yīng)力也是各不相同的，此不同方向面上的應(yīng)力也是各不相同的，此即即應(yīng)力的面的概念應(yīng)力的面的概念。x y x yx xyxx y x 過一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之過一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點(diǎn)的為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)（State of the Stresses of a Given Point）。）。應(yīng)應(yīng) 力力哪一個(gè)面上哪一個(gè)面上？哪一點(diǎn)哪一點(diǎn)？哪一點(diǎn)哪一點(diǎn)？哪個(gè)方向面哪個(gè)方向面？指明指明四、普遍四、普遍狀態(tài)狀態(tài)下的應(yīng)力表示下的應(yīng)力表示三、單元體三、單元體：?jiǎn)卧w構(gòu)件內(nèi)的點(diǎn)的代表物，是包圍被研究點(diǎn) 的無(wú)限小的幾何體，常用的是正六面體。 單元體的

6、性質(zhì)a、平行面上，應(yīng)力均布； b、平行面上，應(yīng)力相等。過一點(diǎn)有無(wú)數(shù)的截面，這一點(diǎn)的各個(gè)截面上應(yīng)力情況的集合，稱為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（State of Stress at a Given Point）。xyz x z y xy二、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：二、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：三、單元體三、單元體：xyz x z y xy 過一點(diǎn)的兩個(gè)正交面上,如果有與相交邊垂直的剪應(yīng)力分量,則兩個(gè)面上的這兩個(gè)剪應(yīng)力分量一定等值、方向相對(duì)或相離。0 :zM單元體平衡證明0d)dd(d)dd(yxzxzyyxxyyxxy五、剪應(yīng)力互等定理（五、剪應(yīng)力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stres

7、s): zx六、原始單元體（已知單元體）：六、原始單元體（已知單元體）： 例例11 畫出下列圖中的A、B、C點(diǎn)的已知單元體。 PPAA x xMPxyzBC x xB xzC xy yx三、基本變形的應(yīng)力狀態(tài)三、基本變形的應(yīng)力狀態(tài)1、單向拉伸和壓縮2、扭轉(zhuǎn)3、純彎曲4、橫力彎曲平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài) 與與Z軸相關(guān)的應(yīng)力為零軸相關(guān)的應(yīng)力為零四、為什么要進(jìn)行應(yīng)力狀態(tài)分析？四、為什么要進(jìn)行應(yīng)力狀態(tài)分析？1、材料力學(xué)的強(qiáng)度理論一般是基于主應(yīng)力的。對(duì)于處于一般、材料力學(xué)的強(qiáng)度理論一般是基于主應(yīng)力的。對(duì)于處于一般受力狀態(tài)下的微體，要對(duì)單元體不同方位微面上的應(yīng)力變形進(jìn)受力狀態(tài)下的微體，要對(duì)單元體不同方位微

8、面上的應(yīng)力變形進(jìn)行分析，以確定主應(yīng)力的方位和大小。行分析，以確定主應(yīng)力的方位和大小。2、可以加深對(duì)應(yīng)力是一個(gè)張量的理解，不同方位微面上的應(yīng)、可以加深對(duì)應(yīng)力是一個(gè)張量的理解，不同方位微面上的應(yīng)力值對(duì)應(yīng)于應(yīng)力張量的坐標(biāo)變換。力值對(duì)應(yīng)于應(yīng)力張量的坐標(biāo)變換。3、應(yīng)力狀態(tài)分析是學(xué)習(xí)彈性體力學(xué)的基礎(chǔ)。、應(yīng)力狀態(tài)分析是學(xué)習(xí)彈性體力學(xué)的基礎(chǔ)。七、主單元體、主平面、主應(yīng)力：七、主單元體、主平面、主應(yīng)力：主單元體(Principal bidy)： 各側(cè)面上剪應(yīng)力均為零的單元體。主平面(Principal Plane)： 剪應(yīng)力為零的截面。主應(yīng)力(Principal Stress ）： 主平面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力排列

9、規(guī)定：按代數(shù)值大小，321 1 1 2 2 3 3xyz x y z單向應(yīng)力狀態(tài)（Unidirectional State of Stress）： 一個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。 二向應(yīng)力狀態(tài)（Plane State of Stress）： 一個(gè)主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)。三向應(yīng)力狀態(tài)（ ThreeDimensional State of Stress）： 三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。A x x zx x xB xz72 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析解析法解析法等價(jià)等價(jià) x xy yxyzxy x xy yO平面應(yīng)力狀態(tài)一般形式平面應(yīng)力狀態(tài)一般形式示例一示例一：FPl/2l/2S平面平面5432

10、1543211x 12 2x 2 23 3 3S平面平面4PlFMz 2PF示例二示例二FPlaSxzy4321S平面平面yxzMzFQyMx43211pxWM 1 zzxWM 1 43pxWM 3 pxWM 4 zzxWM 4 規(guī)定： 截面外法線同向?yàn)檎?繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正； 逆時(shí)針為正。圖1設(shè)：斜截面面積為S，由分離體平衡得： Fn00cossinsinsincoscos22SSSSSyxyxyx一、任意斜截面上的應(yīng)力一、任意斜截面上的應(yīng)力xy x xy yO y yx x xyOn圖2圖1xy x xy yO y yx x xyOn圖22sin2cos22xyyxyx2cos2si

11、n2xyyx考慮剪應(yīng)力互等和三角變換，得：同理：02cos22sin:000 xyyxdd令二、極值應(yīng)力二、極值應(yīng)力yxxy22tg0和兩個(gè)極值：）、（由此得兩個(gè)駐點(diǎn)：20101！極值正應(yīng)力就是主應(yīng)力 00 xy x xy yO）2222xyyxyxm inm ax （1在剪應(yīng)力相對(duì)的象限內(nèi)，且偏向于x 及y較大的一側(cè)。0dd:1令xyyx22tg101045 , 4面成即極值剪應(yīng)力面與主平222x yyxminmax ）（xy x xy yO 主單元體21max2max1 ;例例2 分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。解：確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫其原 始單元體求極值應(yīng)力0yxPnxyWM2

12、xy xyC yxMCxyO xy yx222122xyyxyx）（破壞分析321; 0;4522tg00yxxy0110022tgxyyxMPa200;MPa240:ss低碳鋼MPa300198;MPa960640MPa28098:bybLb灰口鑄鐵低碳鋼鑄鐵22minmax2xyyx）（73 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法圖解法2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyx對(duì)上述方程消去參數(shù)（2），得：一、應(yīng)力圓（一、應(yīng)力圓（ Stress Circle）xy x xy yO此方程曲線為圓應(yīng)力圓（或莫爾圓，由德國(guó)工程師：Otto Mohr引入）

13、y xyx x xyOn建立應(yīng)力坐標(biāo)系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應(yīng)力圓的畫法二、應(yīng)力圓的畫法在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)A( x，xy)和B(y，yx) AB與 軸的交點(diǎn)C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓應(yīng)力圓； x xy yxyOn O CA( x , xy)B( y , yx)x2 nD( , 以上由單元體公式以上由單元體公式應(yīng)力圓（原變換）應(yīng)力圓（原變換）下面尋求：下面尋求：由應(yīng)力圓由應(yīng)力圓單元體公式（逆變換）單元體公式（逆變換）只有這樣，應(yīng)力圓才能與公式等價(jià)只有這樣，應(yīng)力圓才能與公式等價(jià)換句話，單元體與應(yīng)力圓是否有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系？換句話，單元體與應(yīng)力圓是否有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系？為什么說有這

14、種對(duì)應(yīng)關(guān)系？為什么說有這種對(duì)應(yīng)關(guān)系？ 222222222221800000cossincos)cosR(sin)cosR()sin(R)(sinRDExyyxo 2222222222222218020000sincos)sinsincos(cosR)cos(R)(cosRECOCOExyyxyxyxyxoyx0 CA( x , xy)B( y , yx)x2 n D( , E2 0 0 x xy yxyOn O CA( x , xy)B( y , yx)x2 nD( , 三、單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系三、單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系面上的應(yīng)力( ， ) 應(yīng)力圓上一點(diǎn)( ， )面的法線 應(yīng)力圓的半徑兩

15、面夾角 兩半徑夾角2 ；且轉(zhuǎn)向一致。223122xyyxyxROC）（半徑四、在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力四、在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力22minmaxminmax22xyyxR）（半徑OC A( x , xy)B( y , yx)x2 1 1minmax2 0 0 1 2 330080 , ,yx例例 單元體上應(yīng)力如圖，求出主應(yīng)力，畫出主單元體單元體上應(yīng)力如圖，求出主應(yīng)力，畫出主單元體3080單位：?jiǎn)挝唬篗Pa80301 3 OA (80, 3080, 30BCx y D1、取、取 的中點(diǎn)的中點(diǎn)C為圓心為圓心yx, 以以 AC 為半徑畫莫爾圓為半徑畫莫爾圓2、算出心標(biāo)、算出心標(biāo) 0C = -40，半徑

16、，半徑3、算出主應(yīng)力、切應(yīng)力極值、算出主應(yīng)力、切應(yīng)力極值5022DCADACR4、算出方位角、算出方位角MPaMPaRC 9010031 MPaR -minmax50 5、畫出主單元體、畫出主單元體 （1）A點(diǎn)對(duì)應(yīng)于右垂面點(diǎn)對(duì)應(yīng)于右垂面 （2）右垂面）右垂面順順時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)針轉(zhuǎn)1 3 OA (80, 3080, 30BCx y Do 257712863618086360. .DCADtg arcACD 3080單位：?jiǎn)挝唬篗Pa802 1 o 得主單元體的最大得主單元體的最大 拉應(yīng)力所在的面拉應(yīng)力所在的面 （3）垂直做主單元體的）垂直做主單元體的 另一個(gè)面另一個(gè)面o 3例例3 求圖示單元體的主應(yīng)力

17、及主平面的位置。(單位：MPa)4532532595150AB 1 2解法1圖解法：主應(yīng)力坐標(biāo)系如圖AB的垂直平分線與 軸的交點(diǎn)C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓應(yīng)力圓0 1 2BAC20 (MPa)(MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn) 3 1 2BAC20 (MPa)(MPa)O20MPa主應(yīng)力及主平面如圖3004532532595150 10 2ABMPa 0MPa 20MPa 1203212cos2sin2xyyx4532532595150解法2解析法：分析建立坐標(biāo)系如圖xyyxyMPa325MPa45?x222122xyyxyx）（60 xy

18、OMPa325MPa95006060Christian Otto Mohr (1835-1918) Blaise Pascal (1623-1662) 三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)三個(gè)主應(yīng)力均不為零三個(gè)主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)。的應(yīng)力狀態(tài)。 特例特例三個(gè)主應(yīng)力中至少有一個(gè)大小三個(gè)主應(yīng)力中至少有一個(gè)大小及其主方向是已知的。據(jù)此，平面應(yīng)力及其主方向是已知的。據(jù)此，平面應(yīng)力狀態(tài)即為三向應(yīng)力狀態(tài)的特例。狀態(tài)即為三向應(yīng)力狀態(tài)的特例。74 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)研究復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)研究應(yīng)力圓法應(yīng)力圓法 z x y xy yx至少有一個(gè)主應(yīng)力及其主方向已知至少有一個(gè)主應(yīng)力及其主方向已知 y xy yx x z三向應(yīng)力狀態(tài)特例

19、的一般情形三向應(yīng)力狀態(tài)特例的一般情形【例8-2】 二向應(yīng)力狀態(tài)。二向應(yīng)力狀態(tài)。空間應(yīng)力狀態(tài)空間應(yīng)力狀態(tài) 2 1xyz 31231 1、空間應(yīng)力狀態(tài)、空間應(yīng)力狀態(tài)2 2、三向應(yīng)力分析、三向應(yīng)力分析彈性理論證明，圖a單元體內(nèi)任意一點(diǎn)任意截面上的應(yīng)力都對(duì)應(yīng)著圖b的應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點(diǎn)。圖圖a圖圖b整個(gè)單元體內(nèi)的最大剪應(yīng)力為： max231max 2 1xyz 3123例例4 求圖示單元體的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。（MPa）解：由單元體圖知：y z面為主平 面501建立應(yīng)力坐標(biāo)系如圖，畫應(yīng)力圓和點(diǎn)1,得:27505832144max5040 xyz3010 (M Pa) （M Pa ） ABCAB 1

20、 2 3 max應(yīng)力狀態(tài)的分類應(yīng)力狀態(tài)的分類 1. 拉伸型拉伸型2. 壓縮型壓縮型3. 混合型混合型8-7 應(yīng)變分析應(yīng)變分析 1.應(yīng)變狀態(tài)概念應(yīng)變狀態(tài)概念 應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變狀態(tài)概念與應(yīng)力狀態(tài)概念相對(duì)應(yīng)。概念與應(yīng)力狀態(tài)概念相對(duì)應(yīng)。 1）凡提到應(yīng)變，必須指明是哪一）凡提到應(yīng)變，必須指明是哪一點(diǎn)點(diǎn)，沿哪個(gè)，沿哪個(gè)方向方向。2）一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)，即指通過一點(diǎn)不同方向上的應(yīng)變情況；）一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)，即指通過一點(diǎn)不同方向上的應(yīng)變情況； 或指所有方向上應(yīng)變分量的集合，應(yīng)變分析就是研究或指所有方向上應(yīng)變分量的集合，應(yīng)變分析就是研究一點(diǎn)不一點(diǎn)不同方向上同方向上應(yīng)變的變化規(guī)律。應(yīng)變的變化規(guī)律。3）與空間一般應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)應(yīng)

21、力分量相對(duì)應(yīng)，空間一般）與空間一般應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)應(yīng)力分量相對(duì)應(yīng)，空間一般應(yīng)變狀態(tài)也有應(yīng)變狀態(tài)也有九個(gè)應(yīng)變分量九個(gè)應(yīng)變分量： 同樣有同樣有同樣可以應(yīng)用解析法或應(yīng)變圓法找到某一空間方位上的三個(gè)主應(yīng)變同樣可以應(yīng)用解析法或應(yīng)變圓法找到某一空間方位上的三個(gè)主應(yīng)變同樣約定同樣約定對(duì)于各向同性材料，對(duì)于各向同性材料，應(yīng)力主軸應(yīng)力主軸與與應(yīng)變主軸應(yīng)變主軸是重合的。是重合的。 2.平面應(yīng)變分析平面應(yīng)變分析 平平面面應(yīng)應(yīng)變變分分析析 分析計(jì)算得到分析計(jì)算得到同樣有同樣有平平面面應(yīng)應(yīng)變變圓圓平面一般應(yīng)變狀態(tài)平面一般應(yīng)變狀態(tài) 平面一般應(yīng)力狀態(tài)平面一般應(yīng)力狀態(tài) 75 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力 - - 應(yīng)

22、變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系 （廣義虎克定律（廣義虎克定律）一、單拉下的應(yīng)力一、單拉下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系二、純剪的應(yīng)力二、純剪的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系Gxyxy)( 0 x,y,zii0zxyzxyz xxyz x yExxxyExzE) 0 x,y,z(i,jij三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力 - - 應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系依疊加原理,得:zyxzyxxEEEE1 xzyyE1yxzzE1GxyxyGyzyzGzxzxzyxxE1 xyz z y xy x主應(yīng)力主應(yīng)力 - - 主應(yīng)變關(guān)系主應(yīng)變關(guān)系四、平面狀態(tài)下的應(yīng)力四、平面狀態(tài)下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系: :0zxyzz方向一致13221E12

23、331E32111ExyxyGyxxE21xyyE21 1 3 202tg2yxxyyxxy02tg主應(yīng)力與主應(yīng)變主應(yīng)力與主應(yīng)變方向一致。方向一致。0202tg)()1)(1222tgyxxyyxxyyxxyEG五、體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系五、體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系321aaaV)1 ()1 ()1 (3322111aaaV3211VVV體積應(yīng)變：)(21 )(21321zyxEE體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系: 1 3 2a1a2a3例例7 已知一受力構(gòu)件自由表面上某一點(diǎn)處的兩個(gè)面內(nèi)主應(yīng)變分別為：1=24010-6， 2=16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為 =0.3， 試求

24、該點(diǎn)處的主應(yīng)力及另一主應(yīng)變。03 :自由面上解所以，該點(diǎn)處為平面應(yīng)力狀態(tài)12MPa3 .4410)1603 . 0240(3 . 011021016292121EMPa3 .2010)2403 . 0160(3 . 0110210 16291222E669132103 .3410)3 .443 .22(102103 . 0E;MPa3 .20; 0;MPa3 .44321 334 2. 10-6 例例8 圖a所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。為測(cè)量容器所承受的內(nèi)壓力值，在容器表面用電阻應(yīng)變片測(cè)得環(huán)向應(yīng)變 t =350l06，若已知容器平均直徑D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210G

25、Pa，=0.25，試求:1.導(dǎo)出容器橫截面和縱截面上的正應(yīng)力表達(dá)式；2.計(jì)算容器所受的內(nèi)壓力。pODxABy圖apppxtmL1、軸向應(yīng)力:(longitudinal stress)解：容器的環(huán)向和縱向應(yīng)力表達(dá)式用橫截面將容器截開，受力如圖b所示,根據(jù)平衡方程42DpDm4pDmp m mxD圖b用縱截面將容器截開，取長(zhǎng)為L(zhǎng)的一部分為研究對(duì)象，受力如圖c所示2、環(huán)向應(yīng)力：(hoop stress)Dlplt22pDt3、求內(nèi)壓（以應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系求之）241EpDEmttMPa36. 3)25. 02(5 . 01035001. 0102104 )2(469DEptt m外表面yp t tDd)d

26、2(Dlpz圖cO76 平面內(nèi)的應(yīng)變分析平面內(nèi)的應(yīng)變分析xyO 一、疊加法求應(yīng)變分析公式一、疊加法求應(yīng)變分析公式cosd11xaDD21cosx2sin/cossinsin/cos1xxxaabbBOEAODabcd AOB剪應(yīng)變： 直角的增大量?。ㄖ挥羞@樣，前后才對(duì)應(yīng)） DD1EE1 sind22ycDD22siny2sin/cossin/cossin2yyyccccBOEAODxyOabcd AOBDD2EE2 cosd33xycADdsocxysin32233sincos/coscossin/sinxyxyxyccccBOEAODDD3EE3 xy xy xyOabcd AOBcossi

27、nsincos2231xyyxii2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx 2231sincos2sin2sinxyyxii2sin212cos22xyyxyx2cos212sin22xyyx 2、已知一點(diǎn)A的應(yīng)變（ ），畫應(yīng)變圓xyyx,二、應(yīng)變分析圖解法二、應(yīng)變分析圖解法應(yīng)變圓應(yīng)變圓（ Strain Circle） 22 ; 2 ; 1、應(yīng)變圓與應(yīng)力圓的類比關(guān)系建立應(yīng)變坐標(biāo)系如圖在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn) A(x，xy/2) B(y，-yx/2)AB與 軸的交點(diǎn)C便是圓心以C為圓心，以AC為半徑畫圓應(yīng)變圓。 /2 /2ABC /2 /2三、三、 方向上的方向上的應(yīng)變與應(yīng)變與應(yīng)變圓的

28、對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)變圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系maxmin20D(，/2)2n方向上的應(yīng)變( ， /2) 應(yīng)變圓上一點(diǎn)(， /2) 方向線 應(yīng)變圓的半徑兩方向間夾角 兩半徑夾角2 ；且轉(zhuǎn)向一致。ABC四、主應(yīng)變數(shù)值及其方位四、主應(yīng)變數(shù)值及其方位22minmax21xyyxyx）（ 22 ; 2 ; yxxy02tg22minmax22xyyxyx）（yxxytg220例例5 已知一點(diǎn)在某一平面內(nèi)的 1、 2、 3 方向上的線應(yīng)變分別為 1、 2、 3，求該面內(nèi)的主應(yīng)變。解：由iixyiyixicossinsincos22i =1,2,3這三個(gè)方程求出 x， y， x y；然后再求主應(yīng)變。22minmax21xyyxyx）（例例6 用45應(yīng)變花測(cè)得一點(diǎn)的三個(gè)線應(yīng)變后，求該點(diǎn)的主應(yīng)變。xyu45o0max 2)(2122max）（）（yuuxyx 2)(2122min）（）（yuuxyxyxyxu22tg07 78 8 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能332211212121u)(31321m 2 3 1圖圖 a圖圖 c 3 - m