不等式全解大全

1、理科理科理科理科理科理科知識框架理科理科考試說明 1不等式和絕對值不等式不等式和絕對值不等式 (1)能利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均能利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均幾何平均不等式證明幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最大一些簡單的不等式，解決最大(小小)值的問題；了解基本不值的問題；了解基本不等式的推廣形式等式的推廣形式(n個(gè)正數(shù)的形式個(gè)正數(shù)的形式) (2)理解絕對值三角不等式的代數(shù)證明和幾何意義，能理解絕對值三角不等式的代數(shù)證明和幾何意義，能利用絕對值三角不等式證明一些簡單的絕對值不等式利用絕對值三角不等式證明一些簡單的絕對值不等式 (3)掌握掌握|axb|c、|axb|c、|xa|xb|c、|xa|

2、xb|c型不等式的解法型不等式的解法理科理科 2證明不等式的基本方法證明不等式的基本方法 了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法，并能利用它們證明一些簡單不等法、反證法、放縮法，并能利用它們證明一些簡單不等式式 3柯西不等式柯西不等式 能夠利用三維的柯西不等式證明一些簡單的不等式，能夠利用三維的柯西不等式證明一些簡單的不等式，解決最大解決最大(小小)值問題值問題 4數(shù)學(xué)歸納法證明不等式數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 理解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學(xué)歸納理解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題法證明一

3、些簡單問題理科理科命題趨勢 本單元的內(nèi)容，是對必修本單元的內(nèi)容，是對必修5的補(bǔ)充和深化，預(yù)計(jì)的補(bǔ)充和深化，預(yù)計(jì)2011年，年，考查的重點(diǎn)一是絕對值不等式的解法；二是利用不等式的考查的重點(diǎn)一是絕對值不等式的解法；二是利用不等式的性質(zhì)求最值；三是柯西不等式和數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用考查性質(zhì)求最值；三是柯西不等式和數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用考查知識面比較廣，有一定的技巧知識面比較廣，有一定的技巧理科理科使用建議 本單元內(nèi)容是作為高考的選考內(nèi)容，在考試中所占的本單元內(nèi)容是作為高考的選考內(nèi)容，在考試中所占的分值較少，但對提高同學(xué)們的邏輯思維能力、分析解決問分值較少，但對提高同學(xué)們的邏輯思維能力、分析解決問題的能力、數(shù)形結(jié)

4、合的能力和抽象思維能力作用很大為題的能力、數(shù)形結(jié)合的能力和抽象思維能力作用很大為此，在復(fù)習(xí)中建議注意以下幾點(diǎn)：此，在復(fù)習(xí)中建議注意以下幾點(diǎn)： 1重視基礎(chǔ)，強(qiáng)化能力重視基礎(chǔ)，強(qiáng)化能力 本單元是對不等式知識的深化，對不等式的證明，不本單元是對不等式知識的深化，對不等式的證明，不等式的性質(zhì)，不等式的證明方法加以本質(zhì)剖析，因此要把等式的性質(zhì)，不等式的證明方法加以本質(zhì)剖析，因此要把握難度，重視課本知識，不要刻意提高難度本單元的重握難度，重視課本知識，不要刻意提高難度本單元的重理科理科點(diǎn)是絕對值不等式的解法與證明，柯西不等式的運(yùn)用，用點(diǎn)是絕對值不等式的解法與證明，柯西不等式的運(yùn)用，用不等式求函數(shù)極值及數(shù)學(xué)

5、歸納法證明不等式的應(yīng)用不等式求函數(shù)極值及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的應(yīng)用 2重視數(shù)學(xué)思想方法重視數(shù)學(xué)思想方法 解絕對值不等式實(shí)際上就是一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程，通解絕對值不等式實(shí)際上就是一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化變?yōu)楹唵蔚牟坏仁竭^等價(jià)轉(zhuǎn)化變?yōu)楹唵蔚牟坏仁?組組)，當(dāng)然也離不開數(shù)形結(jié)，當(dāng)然也離不開數(shù)形結(jié)合思想證明不等式實(shí)際上是一個(gè)把已知條件轉(zhuǎn)化為結(jié)論合思想證明不等式實(shí)際上是一個(gè)把已知條件轉(zhuǎn)化為結(jié)論的過程，既考查基礎(chǔ)知識，又考查分析問題和解決問題的的過程，既考查基礎(chǔ)知識，又考查分析問題和解決問題的能力對含參數(shù)的不等式問題，對參數(shù)的分類討論必須合能力對含參數(shù)的不等式問題，對參數(shù)的分類討論必須合理準(zhǔn)確、不重

6、不漏同樣函數(shù)與方程的思想在不等式中的理準(zhǔn)確、不重不漏同樣函數(shù)與方程的思想在不等式中的應(yīng)用更不可忽視因此必須加強(qiáng)這些數(shù)學(xué)思想的訓(xùn)練應(yīng)用更不可忽視因此必須加強(qiáng)這些數(shù)學(xué)思想的訓(xùn)練理科理科 3重視不等式的應(yīng)用重視不等式的應(yīng)用 高考中既有對不等式的單獨(dú)考查，又有在函數(shù)、方程、高考中既有對不等式的單獨(dú)考查，又有在函數(shù)、方程、數(shù)列、幾何和實(shí)際應(yīng)用上對不等式的考查，因此備考復(fù)習(xí)數(shù)列、幾何和實(shí)際應(yīng)用上對不等式的考查，因此備考復(fù)習(xí)中應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練，增強(qiáng)應(yīng)用意識，總結(jié)規(guī)律，提高能力中應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練，增強(qiáng)應(yīng)用意識，總結(jié)規(guī)律，提高能力 本單元課時(shí)安排共約需本單元課時(shí)安排共約需4課時(shí)：課時(shí)： 第第67講不等式的性質(zhì)及絕對值不等式

7、講不等式的性質(zhì)及絕對值不等式(1課時(shí)課時(shí)) 第第68講不等式的證明講不等式的證明(1課時(shí)課時(shí)) 第第69講柯西不等式和排序不等式講柯西不等式和排序不等式(1課時(shí)課時(shí)) 45分鐘單元能力訓(xùn)練卷分鐘單元能力訓(xùn)練卷(十三十三) (1課時(shí)課時(shí)) 理科理科理科理科知識梳理baabacacacbcacbc.acbdacbdacbcacbc理科理科anbna2b22ab算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)abcab理科理科a1a2anab0(ab)(bc)0理科理科要點(diǎn)探究 探究點(diǎn)探究點(diǎn)1不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì) 【思路思路】 用不等式的性質(zhì)判斷用不等式的性質(zhì)判斷理科理科理科理科理科理科 【點(diǎn)評

8、】【點(diǎn)評】在符號判斷中，若在符號判斷中，若ab，則，則ab，常用，常用它變換符號判斷問題不等式的基本性質(zhì)是判斷不等式關(guān)它變換符號判斷問題不等式的基本性質(zhì)是判斷不等式關(guān)系的重要方法，它要求我們必須準(zhǔn)確把握不等式性質(zhì)，在系的重要方法，它要求我們必須準(zhǔn)確把握不等式性質(zhì)，在推理過程中使每一步變形都有不等式性質(zhì)做依據(jù)，并注意推理過程中使每一步變形都有不等式性質(zhì)做依據(jù)，并注意不等式性質(zhì)的條件是結(jié)論的充分條件還是必要條件下面不等式性質(zhì)的條件是結(jié)論的充分條件還是必要條件下面設(shè)計(jì)一變式訓(xùn)練設(shè)計(jì)一變式訓(xùn)練理科理科理科理科理科理科 探究點(diǎn)探究點(diǎn)2基本不等式的應(yīng)用基本不等式的應(yīng)用理科理科理科理科 【點(diǎn)評】【點(diǎn)評】 本

9、例較好地體現(xiàn)了利用基本不等式求最值本例較好地體現(xiàn)了利用基本不等式求最值時(shí)應(yīng)充分考慮成立條件，即一正二定三等不過首先需時(shí)應(yīng)充分考慮成立條件，即一正二定三等不過首先需由三點(diǎn)共線推出由三點(diǎn)共線推出a、b的關(guān)系式，利用斜率公式可得的關(guān)系式，利用斜率公式可得理科理科 【思路思路】利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式常用的初等變形有均勻極創(chuàng)造條件利用均值不等式常用的初等變形有均勻裂項(xiàng)、增減項(xiàng)、配系數(shù)等裂項(xiàng)、增減項(xiàng)、配系數(shù)等. 利用均值不等式還可以證明利用均值不

10、等式還可以證明條件不等式，關(guān)鍵是如何恰當(dāng)?shù)乩煤脳l件本題中條件不等式，關(guān)鍵是如何恰當(dāng)?shù)乩煤脳l件本題中目標(biāo)函數(shù)為積式，而目標(biāo)函數(shù)為積式，而cos2cos2cos21為隱含的為隱含的條件等式，故需創(chuàng)造條件使各因式之和為定值條件等式，故需創(chuàng)造條件使各因式之和為定值理科理科理科理科 探究點(diǎn)探究點(diǎn)3絕對值不等式的性質(zhì)絕對值不等式的性質(zhì) 【思路思路】 (1)平方變形；平方變形；(2)利用絕對值不等式放縮利用絕對值不等式放縮理科理科理科理科 【點(diǎn)評】【點(diǎn)評】 |ab|a|b|，從左到右是一個(gè)不等式，從左到右是一個(gè)不等式放大過程，從右到左是縮小過程，證明不等式可以直接放大過程，從右到左是縮小過程，證明不等式

11、可以直接用，也可利用它消去變量求最值本題是絕對值不等式用，也可利用它消去變量求最值本題是絕對值不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用絕對值三角不等式是證明與絕對值有性質(zhì)的簡單應(yīng)用絕對值三角不等式是證明與絕對值有關(guān)的不等式的重要工具，但有時(shí)還需要通過適當(dāng)?shù)淖冃侮P(guān)的不等式的重要工具，但有時(shí)還需要通過適當(dāng)?shù)淖冃问蛊浞辖^對值不等式的條件使其符合絕對值不等式的條件理科理科 【思路思路】變形使其能運(yùn)用絕對值不等式證明變形使其能運(yùn)用絕對值不等式證明理科理科 【點(diǎn)評】【點(diǎn)評】 |a|b|ab|a|b|是直接證明含有絕是直接證明含有絕對值不等式的重要依據(jù)，有些情況下，需將絕對值運(yùn)算對值不等式的重要依據(jù)，有些情況下，需將絕對值運(yùn)

12、算符號去掉，將問題轉(zhuǎn)化后解決條件符號去掉，將問題轉(zhuǎn)化后解決條件|xa|1在本題的在本題的求解過程中的運(yùn)用也是本題的一個(gè)特色求解過程中的運(yùn)用也是本題的一個(gè)特色理科理科 【思路思路】脫去絕對值符號化為分類討論來求解，或利脫去絕對值符號化為分類討論來求解，或利用絕對值是數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的幾何意義來解決用絕對值是數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的幾何意義來解決 探究點(diǎn)探究點(diǎn)4絕對值不等式的解法絕對值不等式的解法理科理科理科理科 【點(diǎn)評】【點(diǎn)評】解絕對值不等式的關(guān)鍵在于去掉絕對值符解絕對值不等式的關(guān)鍵在于去掉絕對值符號，處理的方法通常是定義、平方、幾何意義等方號，處理的方法通常是定義、平方、幾何意義等方法對含多個(gè)絕對值

13、符號的不等式一般利用法對含多個(gè)絕對值符號的不等式一般利用”零點(diǎn)分割零點(diǎn)分割”法分段討論本題是絕對值不等式的簡單應(yīng)用利用去法分段討論本題是絕對值不等式的簡單應(yīng)用利用去絕對值符號的兩種方法，可以解含有絕對值符號的不等絕對值符號的兩種方法，可以解含有絕對值符號的不等式，也可以轉(zhuǎn)化為求最值或求參數(shù)范圍下面的變式訓(xùn)式，也可以轉(zhuǎn)化為求最值或求參數(shù)范圍下面的變式訓(xùn)練是含參數(shù)的絕對值不等式的求解問題練是含參數(shù)的絕對值不等式的求解問題理科理科理科理科理科理科規(guī)律總結(jié)理科理科理科理科理科理科知識梳理作差比較法作差比較法作商比較法作商比較法綜合法綜合法充分充分理科理科分析法分析法矛盾矛盾反證法反證法放大或縮小放大或

14、縮小放縮法放縮法理科理科P1(P0)Pn1nn0nk1理科理科要點(diǎn)探究 探究點(diǎn)探究點(diǎn)1比較法比較法 【思路思路】利用差值比較，通過因式分解判斷差值符利用差值比較，通過因式分解判斷差值符號號理科理科【點(diǎn)評】【點(diǎn)評】差值比較是證明不等式的首先方法，本題差值比較是證明不等式的首先方法，本題通過因式分解后分析符號，成功比較大小學(xué)習(xí)中應(yīng)通過因式分解后分析符號，成功比較大小學(xué)習(xí)中應(yīng)該重視基礎(chǔ)知識和基本技能該重視基礎(chǔ)知識和基本技能理科理科 【思路思路】 作差比較兩個(gè)代數(shù)式的大小作差比較兩個(gè)代數(shù)式的大小理科理科 【點(diǎn)評點(diǎn)評】 當(dāng)作差的代數(shù)式含有字母無法判斷符號時(shí)，當(dāng)作差的代數(shù)式含有字母無法判斷符號時(shí)，對字母進(jìn)

15、行分類討論對字母進(jìn)行分類討論理科理科 探究點(diǎn)探究點(diǎn)2綜合法和分析法綜合法和分析法理科理科理科理科 【點(diǎn)評點(diǎn)評】 本題考查了不等式的證明中的分析法對于本題考查了不等式的證明中的分析法對于不等式的證明，要求考生要熟練掌握不等式證明的幾種不等式的證明，要求考生要熟練掌握不等式證明的幾種基本方法基本方法 比較法、綜合法、分析法分析法是從結(jié)比較法、綜合法、分析法分析法是從結(jié)論出發(fā)尋找結(jié)論成立的充分條件，而綜合法常常要觀察論出發(fā)尋找結(jié)論成立的充分條件，而綜合法常常要觀察不等式兩邊的變量和整體形式變化，應(yīng)用基本不等式，不等式兩邊的變量和整體形式變化，應(yīng)用基本不等式，或構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性等在證明的過程中要正確

16、運(yùn)用或構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性等在證明的過程中要正確運(yùn)用不等式的有關(guān)性質(zhì)及重要的結(jié)論，并且要注意運(yùn)用多種不等式的有關(guān)性質(zhì)及重要的結(jié)論，并且要注意運(yùn)用多種方法進(jìn)行一題多解方法進(jìn)行一題多解. 理科理科 【思路思路】利用綜合法，借助基本不等式證明利用綜合法，借助基本不等式證明理科理科理科理科理科理科理科理科 【思路思路】用反證法用反證法 探究點(diǎn)探究點(diǎn)3不等式的其他證明方法不等式的其他證明方法理科理科理科理科 【點(diǎn)評】【點(diǎn)評】反證法的實(shí)質(zhì)是證明原命題的等價(jià)命反證法的實(shí)質(zhì)是證明原命題的等價(jià)命題用反證法證明命題時(shí)，推導(dǎo)出的矛盾可能多種題用反證法證明命題時(shí)，推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾

17、，有的與多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與事實(shí)相違背等等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的根事實(shí)相違背等等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的根據(jù)所給不等式的特點(diǎn)，結(jié)合不等式的性質(zhì)和不等式據(jù)所給不等式的特點(diǎn)，結(jié)合不等式的性質(zhì)和不等式的有關(guān)定理，恰當(dāng)?shù)剡x取證明方法，是證明不等式的有關(guān)定理，恰當(dāng)?shù)剡x取證明方法，是證明不等式的基本思路在比較法、綜合法證明無效時(shí)，可以的基本思路在比較法、綜合法證明無效時(shí)，可以考慮反證法、放縮法、換元法、或者構(gòu)造二次函數(shù)考慮反證法、放縮法、換元法、或者構(gòu)造二次函數(shù)法等方法證明法等方法證明理科理科 【思路思路】 對不等式左邊進(jìn)行放縮，利用數(shù)列求和方對不等式左邊進(jìn)行放縮，利用數(shù)列求

18、和方法法 放縮法的依據(jù)是不等式的傳遞性，運(yùn)用放縮法證明放縮法的依據(jù)是不等式的傳遞性，運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)，要注意放縮適度，放的過大或過小都不能達(dá)不等式時(shí)，要注意放縮適度，放的過大或過小都不能達(dá)到證明目的常用方法：到證明目的常用方法：(1)舍去或添加一些項(xiàng)；舍去或添加一些項(xiàng)；(2)將分將分子或分母放大或縮小子或分母放大或縮小理科理科理科理科 探究點(diǎn)探究點(diǎn)4數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法理科理科 【思路思路】 結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟判斷結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟判斷 【點(diǎn)評】【點(diǎn)評】數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊一湊假設(shè)，二湊結(jié)論結(jié)論”首先要根據(jù)題目的條件和問題的實(shí)際確定需要

19、驗(yàn)首先要根據(jù)題目的條件和問題的實(shí)際確定需要驗(yàn)證的第一初始值證的第一初始值n0，而在第二步假設(shè)，而在第二步假設(shè)nk(kn0)時(shí)命題成時(shí)命題成立，一定要把這一假設(shè)作為已知條件，來推證立，一定要把這一假設(shè)作為已知條件，來推證nk1時(shí)時(shí)命題成立否則，則不是數(shù)學(xué)歸納法的證明下面的變命題成立否則，則不是數(shù)學(xué)歸納法的證明下面的變式訓(xùn)練體現(xiàn)了數(shù)學(xué)歸納法的證明方法式訓(xùn)練體現(xiàn)了數(shù)學(xué)歸納法的證明方法理科理科規(guī)律總結(jié)理科理科理科理科理科理科設(shè)設(shè) 為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù). ., , ,a b c d()()2222abcd聯(lián)聯(lián) 想想理科理科思考解答思考解答變形變形你能簡明地寫出這個(gè)定理的證明？你能簡明地寫出這個(gè)定理的證明

20、？理科理科二維形式的柯西不等式 定理1:(二維形式的柯西不等式) .,)()(,等號成立等號成立時(shí)時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)則則都是實(shí)數(shù)都是實(shí)數(shù)若若bcadbdacdcbadcba22222 證明思路1：(代數(shù)證法)22222222222222)()()( )( :2bdacbcadbdaccbdadbcadcba證明證明 證明思路2：(構(gòu)造向量法).,),(),(兩邊平方后得證兩邊平方后得證利用利用則則設(shè)設(shè) bdacdcbadcba2222什么時(shí)候“=”成立？理科理科 可以體會到，運(yùn)用柯西不等式，思路一步到可以體會到，運(yùn)用柯西不等式，思路一步到位，簡潔明了！解答漂亮！位，簡潔明了！解答漂亮！理科理科

21、另外由這兩個(gè)結(jié)論，你和以前學(xué)過的什么知識會有聯(lián)想.理科理科三角不等式三角不等式理科理科111(,)P xy222(,)P xyO Oxy|-|12xx12|-|yy這個(gè)圖中有什么這個(gè)圖中有什么不等關(guān)系不等關(guān)系? ?O Oxy(,)111Pxy(,)222Pxy理科理科課堂練習(xí)課堂練習(xí)理科理科理科理科用柯西不等式證明不等式用柯西不等式證明不等式理科理科理科理科理科理科理科理科 探究點(diǎn)探究點(diǎn)4含參變量的柯西不等式的應(yīng)用含參變量的柯西不等式的應(yīng)用 【思路思路】 分離變量，再考慮如何運(yùn)用柯西不等式分離變量，再考慮如何運(yùn)用柯西不等式理科理科理科理科求函數(shù)求函數(shù) 的最大值的最大值 51102yxx 例例1

22、.22231,49,.xyxy若求的最小值 并求最小值點(diǎn)引：引：的最大值求滿足設(shè)實(shí)數(shù)zyxSzyxzyx32, 332,222例例2.理科理科變式引申變式引申:.,94, 13222并并求求最最小小值值點(diǎn)點(diǎn)的的最最小小值值求求若若yxyx )61,41(,2194614113232.32, 1312.2194, 1)32()11)(94(:222222222最最小小值值點(diǎn)點(diǎn)為為的的最最小小值值為為得得由由時(shí)時(shí)取取等等號號即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)由由柯柯西西不不等等式式解解yxyxyxyxyxyxyxyxyx 理科理科理科理科理科理科 探究點(diǎn)探究點(diǎn)2用柯西不等式證明不等式用柯西不等式證明不等式 【思

23、路思路】利用常數(shù)利用常數(shù)“1”的代換，結(jié)合三元的均值不等的代換，結(jié)合三元的均值不等式或柯西不等式求解式或柯西不等式求解理科理科理科理科例例4.4.ABC之三邊長為之三邊長為4，5，6，P為三角形為三角形內(nèi)部一點(diǎn)內(nèi)部一點(diǎn)P，P到三邊的距離分別為到三邊的距離分別為x，y，z，求求x2+y2+z2的最小值。的最小值。456xyzDFEABCP理科理科2152654s解： ABC面積面積=4715232527215)()(csbsass4715)654(21zyx又2715654zyx而(4x+5y+6z)2(x2+y2+z2)(42+52+62)x2+y2+z244225456xyzDFEABCP理科理科理科理科理科理科理科理科知識梳理adbck理科理科bi0(i1,2，n)aikbi(i1,2，n)a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn理科理科要點(diǎn)探究 探究點(diǎn)探究點(diǎn)1用柯西不等式求最值用柯西不等式求最值 【思路思路】這個(gè)函數(shù)的解析式是兩部分的和，要把它這個(gè)函數(shù)的解析式是兩部分的和，要把它化為化為acbd的形式的形式理科理科理科理科理科理科理科理科理科理科 探究點(diǎn)探究點(diǎn)2用柯西不等式證明不等式用柯西不等式證明不等式 【思路思路】利用常數(shù)利用常數(shù)“1”的代換，結(jié)合三元的均值不等的代換，結(jié)合三元的均值不等式或