第二章 拉伸與壓縮

1、2-1 軸向拉伸與壓縮的概念軸向拉伸與壓縮的概念受力特征：桿受一對大小相等、方向相反的縱受力特征：桿受一對大小相等、方向相反的縱向力，力的作用線與桿軸線重合向力，力的作用線與桿軸線重合 NP應(yīng)用截面法應(yīng)用截面法NP一、內(nèi)力內(nèi)力 軸力圖軸力圖 例：求圖示桿例：求圖示桿1-1、2-2、3-3截面上的軸截面上的軸力力解：解：N110kNN25 kNN320 kNNNN12310520 kNkNkN1、橫截面上的應(yīng)力、橫截面上的應(yīng)力NPNAPPPpPAppcoscossinsincossin222pPAcosPAcoscospcossin22200max4522max900一、低碳鋼的拉伸實(shí)驗(yàn)一、低碳

2、鋼的拉伸實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)試件標(biāo)準(zhǔn)試件標(biāo)距標(biāo)距 ，通常取，通常取 或或lldld510液壓式萬能試驗(yàn)機(jī)液壓式萬能試驗(yàn)機(jī)底座底座活動試臺活動試臺活塞活塞油管油管lPPAllOabcdeOabcde彈性變形：彈性變形：外力卸去后能夠恢復(fù)的變形外力卸去后能夠恢復(fù)的變形塑性變形（永久變形）：塑性變形（永久變形）： 外力卸去后不能恢外力卸去后不能恢復(fù)的變形復(fù)的變形這一階段可分為：斜直線這一階段可分為：斜直線Oa和微彎曲線和微彎曲線ab。Oabcde比例極限比例極限p彈性極限彈性極限e屈服極限屈服極限Oabcde上屈服極限上屈服極限下屈服極限下屈服極限s 強(qiáng)化階段的變形絕大部分是塑性變形。強(qiáng)化階段的變形絕大部分是塑

3、性變形。Oabcde強(qiáng)度極限強(qiáng)度極限bOabcde比例極限比例極限p 屈服極限屈服極限s 強(qiáng)度極限強(qiáng)度極限bOabcde其中其中s和和b是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)延伸率延伸率:lll1100%AAA1100%截面收縮率截面收縮率 :冷作硬化現(xiàn)象經(jīng)冷作硬化現(xiàn)象經(jīng)過退火后可消除過退火后可消除卸載定律：卸載定律：冷作硬化冷作硬化材料在卸載時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變成直線關(guān)系材料在卸載時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變成直線關(guān)系cdfpe二、其它材料的拉伸實(shí)驗(yàn)二、其它材料的拉伸實(shí)驗(yàn)對于在拉伸過程對于在拉伸過程中沒有明顯屈服階段中沒有明顯屈服階段的塑性材料，通常規(guī)的塑性材料，通常規(guī)定定以產(chǎn)生以產(chǎn)生0.2的塑性的塑性應(yīng)

4、變所對應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變所對應(yīng)的應(yīng)力作作為屈服極限，并稱為為屈服極限，并稱為名義屈服極限名義屈服極限，用，用0.2來表示。來表示。0 2 .02%.OCL3TU3bO灰口鑄鐵的灰口鑄鐵的拉伸實(shí)驗(yàn)拉伸實(shí)驗(yàn)b一般金屬材料的壓縮試件都做成圓柱形狀。一般金屬材料的壓縮試件都做成圓柱形狀。hd 1530.低碳鋼壓縮時(shí)的低碳鋼壓縮時(shí)的-曲線曲線拉伸拉伸壓縮壓縮鑄鐵壓縮時(shí)的鑄鐵壓縮時(shí)的-曲線曲線bbOO拉伸拉伸壓縮壓縮b拉b壓固體材料在保持應(yīng)力不變的情況下，應(yīng)固體材料在保持應(yīng)力不變的情況下，應(yīng)變隨時(shí)間緩慢增長的現(xiàn)象稱為變隨時(shí)間緩慢增長的現(xiàn)象稱為蠕變?nèi)渥儭Ｕ硰椥圆牧显诳倯?yīng)變不變的條件下粘彈性材料在總應(yīng)變不變的條件下

5、,變變形恢復(fù)力（回彈應(yīng)力）隨時(shí)間逐漸降低的現(xiàn)形恢復(fù)力（回彈應(yīng)力）隨時(shí)間逐漸降低的現(xiàn)象稱為象稱為應(yīng)力松弛應(yīng)力松弛。軸向拉壓桿內(nèi)的最大正應(yīng)力軸向拉壓桿內(nèi)的最大正應(yīng)力:maxmaxNA強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件：式中：式中： 稱為最大工作應(yīng)力；稱為最大工作應(yīng)力； 稱為材料的許用應(yīng)力。稱為材料的許用應(yīng)力。maxmax NAmax 的安全系數(shù)大于材料的極限應(yīng)力1nnuu對于脆性材料對于脆性材料ubbbn 對于塑性材料對于塑性材料usssn 一、校核桿的強(qiáng)度一、校核桿的強(qiáng)度已知已知Nmax、A、，驗(yàn)算構(gòu)件是否滿足，驗(yàn)算構(gòu)件是否滿足強(qiáng)度條件。強(qiáng)度條件。二、設(shè)計(jì)截面二、設(shè)計(jì)截面已知已知Nmax、,根據(jù)強(qiáng)度條件，求根據(jù)

6、強(qiáng)度條件，求A。三、確定許可載荷三、確定許可載荷已知已知A、，根據(jù)強(qiáng)度條件，根據(jù)強(qiáng)度條件,求求Nmax。例例1一直徑一直徑d=14mm的圓桿，許用應(yīng)力的圓桿，許用應(yīng)力=170MPa，受軸向拉力，受軸向拉力P=2.5kN作作用，試校核此桿是否滿足強(qiáng)度條件。用，試校核此桿是否滿足強(qiáng)度條件。maxmax.NA251041410162326MPa 解：解：滿足強(qiáng)度條件。滿足強(qiáng)度條件?？v向應(yīng)變縱向應(yīng)變lll bbb ll bb橫向應(yīng)變橫向應(yīng)變比例常數(shù)稱為彈性模量比例常數(shù)稱為彈性模量lPlAlPlE A胡克定律胡克定律Hookes law稱為橫向變形系數(shù)或泊松稱為橫向變形系數(shù)或泊松(Poisson)比比l

7、lEPA1E或或 E lPlE AlxdxdxN x( )N x( )ddlN xE A xx( )( )lN xE A xxl( )( )d 例：例：圖示桿，圖示桿，1 1段為直徑段為直徑 d d1 1=20mm=20mm的圓桿，的圓桿，2 2段為邊長段為邊長a=25mma=25mm的方桿，的方桿，3 3段為直徑段為直徑d d3 3=12mm=12mm的圓桿。已知的圓桿。已知2 2段桿內(nèi)的應(yīng)力段桿內(nèi)的應(yīng)力2 2=-30MPa=-30MPa，E=210GPaE=210GPa，求整個(gè)桿的伸長，求整個(gè)桿的伸長l l解解:PA22230251875.kNlN lE AN lE AN lE A1 11

8、2 223 33187502101002002404002502001249222. 0272.mm (縮短）例：求圖示結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)例：求圖示結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)A的垂直位移。的垂直位移。解解:NNP122cosllN lEAPlEA1212cos例：圖示結(jié)構(gòu)中三桿的剛度均為例：圖示結(jié)構(gòu)中三桿的剛度均為EA, AB 為剛體，為剛體，P、l、EA皆為已知。求皆為已知。求C點(diǎn)的點(diǎn)的垂直和水平位移。垂直和水平位移。解解:NNPN13220,llPlEAl13220,N1N3N2圖（a）AABNACNP0coscos, 00sinsin, 0PNNFNNFABACyABACxcos2PNNACAB圖示結(jié)構(gòu)圖示結(jié)構(gòu),若

9、各桿件為等直桿且材料若各桿件為等直桿且材料和截面尺寸均相同和截面尺寸均相同,抗拉壓剛度為抗拉壓剛度為EA, 桿長均為桿長均為 , 求各桿的內(nèi)力。求各桿的內(nèi)力。：ACDBPl對于該問題，取節(jié)點(diǎn)A作為研究對象，受力如圖(a)所示，列平衡關(guān)系式有：ACDBP兩個(gè)獨(dú)立方程含有三個(gè)未知量，僅憑靜力平衡方程不能求出該問題的全部解。在此結(jié)構(gòu)豎直方向加上材料和截面尺寸與其他兩桿相同的等直桿AD后（這是工程中常見的三桿桁架結(jié)構(gòu)），求此時(shí)各桿內(nèi)力 。圖（b）AABNACNPADN僅用靜力平衡方程求解不出結(jié)構(gòu)所有未知力的問題。也稱為超靜定問題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜不定結(jié)構(gòu)或超靜定結(jié)構(gòu)。 以節(jié)點(diǎn)A為研究對象，其受力情況如

10、 圖（b）所示，則列平衡方程有0coscos, 00sinsin, 0PNNNFNNFABADACyABACx（1）（2）作作和和：各桿在內(nèi)力作用下沿軸向伸長：各桿在內(nèi)力作用下沿軸向伸長或縮短?；蚩s短。：各桿在內(nèi)力作用下沿軸向的伸：各桿在內(nèi)力作用下沿軸向的伸縮量須滿足本構(gòu)關(guān)系（或物理關(guān)系）?？s量須滿足本構(gòu)關(guān)系（或物理關(guān)系）。EANll （3）（二）本例中桿件的變形量應(yīng)滿足的（二）本例中桿件的變形量應(yīng)滿足的：APA2A3A1AABNACNPADNCDBA由式（由式（1）和式（）和式（3）知）知AB桿和桿和AC桿的變形量相等，桿的變形量相等，即即:ACABllAAAA即31， AB桿和AC桿變形后

11、，其鉸接點(diǎn)按“以切以切代弧法代弧法”確定為過A1、A3作AA1和AA3垂線的相交點(diǎn)A2。又因各構(gòu)件變形后仍鉸接于一點(diǎn)，即各構(gòu)件的變形要相即各構(gòu)件的變形要相容、協(xié)調(diào)，容、協(xié)調(diào)，故A2點(diǎn)也是AD桿變形后的鉸接位置。再按“以切代弧法”知AD桿的變形量為AA2。cosADACABlll（4）.321AAlACAAlADAAlABACADAB桿變形量：；桿變形量：；桿變形量：BDCAA2A3A1cosEAlNAElNAElNADADACACABAB將物理關(guān)系式（將物理關(guān)系式（3）代入（）代入（4）得）得變形幾何（協(xié)調(diào)變形幾何（協(xié)調(diào)/相容）關(guān)系：相容）關(guān)系：最后，聯(lián)立式最后，聯(lián)立式 (1)、 (2) 、(

12、5)求解得：求解得：332cos21cos21cosPNPNNADACAB 至此問題得以解決，相應(yīng)地可以進(jìn)行應(yīng)力、應(yīng)至此問題得以解決，相應(yīng)地可以進(jìn)行應(yīng)力、應(yīng)變、強(qiáng)度計(jì)算（包括強(qiáng)度校核、截面尺寸設(shè)計(jì)、許變、強(qiáng)度計(jì)算（包括強(qiáng)度校核、截面尺寸設(shè)計(jì)、許用外載確定）等后繼計(jì)算工作。用外載確定）等后繼計(jì)算工作?；喓蟮没喓蟮茫?cosADACABNNN（5）受力圖受力圖變形圖變形圖聯(lián)聯(lián)立立求求解解變變形形相相容容方方程程物理物理方程方程例：求圖示桿的支反力。例：求圖示桿的支反力。解：靜力平衡條件：解：靜力平衡條件：RRPAB( ) 1變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：lllACBC 0R lE AR lE A

13、AB120R lR lAB122( )引用胡克定律：引用胡克定律：由此得：由此得：聯(lián)立求解聯(lián)立求解(1)和和(2), 得：得：RllPRllPAB21, 例：剛性梁例：剛性梁AD由由1、2、3桿懸掛，已知三桿桿懸掛，已知三桿材料相同，許用應(yīng)力為材料相同，許用應(yīng)力為，材料的彈性模量，材料的彈性模量為為 E，桿長均為，桿長均為l，橫截面面積均為，橫截面面積均為A，試求結(jié)，試求結(jié)構(gòu)的許可載荷構(gòu)的許可載荷P解：靜力平衡條件：解：靜力平衡條件：變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：NNNP1232331( )llll213123,即：即：N lE AN lE AN lE AN lE A213123,NNNN213

14、1232,( )聯(lián)立求解聯(lián)立求解(1)和和(2), 得：得：NPNPNP123314614914,333914NAPA 3桿軸力為最大桿軸力為最大,其強(qiáng)度條件為其強(qiáng)度條件為:PA149 PA149 例：如圖所示，為剛桿，例：如圖所示，為剛桿，1、2、3桿、均相同，求各桿內(nèi)力值。桿、均相同，求各桿內(nèi)力值。解：靜力平衡條件：解：靜力平衡條件：變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：NNNPNN1231220l1l2l3lll2132引用胡克定律，可得：引用胡克定律，可得：NNN2132 例：求圖示等直桿件的兩端支反力。例：求圖示等直桿件的兩端支反力。桿件兩端固定桿件兩端固定解：解：變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：

15、llllACCDDB 0RaEARP aEARaEA()0解：靜力平衡條件：解：靜力平衡條件：變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：NNNN13122cosllh21cosN lEAN lEAh21coscos引用胡克定律：引用胡克定律：線膨脹系數(shù)線膨脹系數(shù) ：單位長度的桿溫度升：單位長度的桿溫度升高高1時(shí)桿的伸長量時(shí)桿的伸長量.T溫度升高解：解：變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：llTNl TRlEA即：即：RAE T(壓） 例例:在溫度為在溫度為時(shí)安裝的鐵軌，時(shí)安裝的鐵軌，每段長度為每段長度為12.5m，兩相鄰段鐵軌間預(yù)，兩相鄰段鐵軌間預(yù)留的空隙為留的空隙為=1.2mm，當(dāng)夏天氣溫升為，當(dāng)夏天氣溫升為40

16、時(shí)，鐵軌內(nèi)的溫度應(yīng)力為多少？已時(shí)，鐵軌內(nèi)的溫度應(yīng)力為多少？已知：知：E=200GPa，線膨脹系數(shù)，線膨脹系數(shù)12.510-6 。解：解： 變形協(xié)調(diào)條件為變形協(xié)調(diào)條件為llll TNlEATN12103.125 10125 38125200 1012 10693.NANA758 . MPa(壓）例：如圖所示，鋼柱與銅管例：如圖所示，鋼柱與銅管等長為，置于二剛性平板等長為，置于二剛性平板間間,受軸向壓力受軸向壓力.鋼柱與銅鋼柱與銅管的橫截面積、彈性模量、管的橫截面積、彈性模量、線膨脹系數(shù)分別為線膨脹系數(shù)分別為s、s、s，及，及c、c、c。試。試導(dǎo)出系統(tǒng)所受載荷僅由銅導(dǎo)出系統(tǒng)所受載荷僅由銅管承受時(shí)，

17、所需增加的溫度管承受時(shí)，所需增加的溫度。（二者同時(shí)升溫）。（二者同時(shí)升溫）開有圓孔的板條開有圓孔的板條帶有切口的板條帶有切口的板條maxmax因桿件外形突然變化而引起局部應(yīng)力急劇增大的因桿件外形突然變化而引起局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象，稱為現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中應(yīng)力集中.：發(fā)生應(yīng)力集中的截面上的最大應(yīng)力：發(fā)生應(yīng)力集中的截面上的最大應(yīng)力0maxk理論應(yīng)力集中系數(shù)：理論應(yīng)力集中系數(shù)：max：同一截面上按凈面積算出的平均應(yīng)力：同一截面上按凈面積算出的平均應(yīng)力0max一、剪切的實(shí)用計(jì)算一、剪切的實(shí)用計(jì)算構(gòu)件的受力特點(diǎn)：作用于構(gòu)件兩側(cè)的外力的合力是一對構(gòu)件的受力特點(diǎn)：作用于構(gòu)件兩側(cè)的外力的合力是一對大小相等、方

18、向相反、作用線相距很近的橫向力。大小相等、方向相反、作用線相距很近的橫向力。變形特點(diǎn)：以兩力變形特點(diǎn)：以兩力P之間的橫截面為分界面，構(gòu)之間的橫截面為分界面，構(gòu) 件的兩部分沿該面發(fā)生相對錯(cuò)動。件的兩部分沿該面發(fā)生相對錯(cuò)動。 剪應(yīng)力在剪切面上的分布情況比較復(fù)雜，在剪應(yīng)力在剪切面上的分布情況比較復(fù)雜，在工程設(shè)計(jì)中為了計(jì)算方便，假設(shè)剪應(yīng)力在剪切面工程設(shè)計(jì)中為了計(jì)算方便，假設(shè)剪應(yīng)力在剪切面上均勻分布。據(jù)此算出的平均剪應(yīng)力稱為名義剪上均勻分布。據(jù)此算出的平均剪應(yīng)力稱為名義剪應(yīng)力。應(yīng)力。AQ=QA 剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：許用剪應(yīng)力許用剪應(yīng)力可以從有關(guān)設(shè)計(jì)手冊中查可以從有關(guān)設(shè)計(jì)手冊中查得，或通過材料剪切實(shí)驗(yàn)來確定。得，或通過材料剪切實(shí)驗(yàn)來確定。假設(shè)擠壓應(yīng)力在擠壓計(jì)算面積上均勻假設(shè)擠壓應(yīng)力在擠壓計(jì)算面積上均勻分布，則分布，則bsbs=AF當(dāng)擠壓面為平面時(shí)，當(dāng)擠壓面為平面時(shí)，Abs等于此平面等于此平面的面積。的面積。當(dāng)擠壓面為圓柱面當(dāng)擠壓面為圓柱面時(shí)：時(shí)：Abs等于此圓柱面在直等于此圓柱面在直徑面上的投影面積，徑面上的投影面積，即即At dbs 擠壓強(qiáng)度條件：擠壓強(qiáng)度條件