貝葉斯可靠性評估

1、貝葉斯可靠性評估貝葉斯可靠性評估第一節(jié)第一節(jié) 貝葉斯統計簡介貝葉斯統計簡介 1. 貝葉斯的基本出發(fā)點貝葉斯的基本出發(fā)點 2. 先驗分布和后驗分布先驗分布和后驗分布 3. 貝葉斯推斷貝葉斯推斷 4. 經驗貝葉斯方法經驗貝葉斯方法第二節(jié)第二節(jié) 常見故障分布下的貝葉斯推斷常見故障分布下的貝葉斯推斷 1. 二項分布的貝葉斯估計二項分布的貝葉斯估計 2. 指數分布的貝葉斯估計指數分布的貝葉斯估計 Thomas Bayes (1702 1761) 第一節(jié)第一節(jié) 貝葉斯統計簡介貝葉斯統計簡介1.1 1.1 貝葉斯的基本出發(fā)點貝葉斯的基本出發(fā)點貝葉斯學派的最基本的觀點是：任一未知量都可看作一個貝葉斯學派的最基

2、本的觀點是：任一未知量都可看作一個隨機變量，應該用一個概率分布去描述其未知狀況。在抽隨機變量，應該用一個概率分布去描述其未知狀況。在抽樣前就有關于目標變量的先驗信息的概率陳述。這個概率樣前就有關于目標變量的先驗信息的概率陳述。這個概率分布被稱為先驗分布，簡稱先驗分布被稱為先驗分布，簡稱先驗( Prior )( Prior )。 總體信息總體信息 樣本信息樣本信息 經典統計學經典統計學總體信息總體信息 樣本信息樣本信息 先驗信息先驗信息 貝葉斯統計學貝葉斯統計學總體分布和總總體分布和總體所屬分布簇體所屬分布簇給出的信息給出的信息 從總體中抽從總體中抽取的樣本給取的樣本給出的信息出的信息 把數據把

3、數據(樣本樣本)看成是來看成是來自具有一定概率分布的自具有一定概率分布的總體，所研究的對象是總體，所研究的對象是這個總體而不局限于數這個總體而不局限于數據本身。據本身。 根據樣本的信根據樣本的信息來推斷總體的特征息來推斷總體的特征在抽樣之前有關統在抽樣之前有關統計問題的一些信息，計問題的一些信息，一般說來，先驗信一般說來，先驗信息主要來源于經驗息主要來源于經驗和歷史資料和歷史資料 重視先驗信息的收重視先驗信息的收集、挖掘和加工，集、挖掘和加工，并使之數量化，形并使之數量化，形成先驗分布，然后成先驗分布，然后結合樣本數據，得結合樣本數據，得到分布后驗。到分布后驗。貝葉斯可靠性評估貝葉斯可靠性評估

4、第一節(jié)第一節(jié) 貝葉斯統計簡介貝葉斯統計簡介 1. 貝葉斯的基本出發(fā)點貝葉斯的基本出發(fā)點 2. 先驗分布和后驗分布先驗分布和后驗分布 3. 貝葉斯推斷貝葉斯推斷 4. 經驗貝葉斯方法經驗貝葉斯方法第二節(jié)第二節(jié) 常見故障分布下的貝葉斯推斷常見故障分布下的貝葉斯推斷 1. 二項分布的貝葉斯估計二項分布的貝葉斯估計 2. 指數分布的貝葉斯估計指數分布的貝葉斯估計1.2 1.2 先驗分布與后驗分布先驗分布與后驗分布 貝葉斯公式貝葉斯公式 貝葉斯公式的事件形式貝葉斯公式的事件形式：設事件：設事件 互不相容，互不相容，并且并且 (必然事件必然事件)，則對于任一事件，則對于任一事件 ，有，有下面通過貝葉斯公式

5、密度形式，介紹貝葉斯方法的一般步下面通過貝葉斯公式密度形式，介紹貝葉斯方法的一般步驟：驟：1. 密度函數記為密度函數記為 ，它表示在隨機變量，它表示在隨機變量 給定某個給定某個值時，總體指標值時，總體指標 的條件分布。的條件分布。12,nA AA1niiA B1() (|)(|),(1,2, ).(1)() (|)iiinjjjP A P B AP A BinP A P B A( | )p xX2. 2. 根據根據 的先驗信息確定的先驗信息確定 的先驗分布的先驗分布 。3.3.從貝葉斯觀點來看，樣本從貝葉斯觀點來看，樣本 的產生要分兩步的產生要分兩步: :首先設想從先驗分布首先設想從先驗分布

6、中產生一個參數中產生一個參數 ；第二步在；第二步在給定給定 下，從總體分布下，從總體分布 中產生一個樣本中產生一個樣本 該樣本發(fā)生的概率與如下聯合概率函數成正比，該樣本發(fā)生的概率與如下聯合概率函數成正比， 這個函數常稱為似然函數，記為這個函數常稱為似然函數，記為 。 4. 樣本和參數的聯合分布為樣本和參數的聯合分布為1.2 1.2 先驗分布與后驗分布先驗分布與后驗分布 1( ,)nxxx( ) ( | )p x1( ,)nxxx1( | )(| )niip xp x( )L( ) 5. 現在的任務是要對未知參數現在的任務是要對未知參數 作出統計推斷作出統計推斷: 在有樣本觀測值后，應根據聯合分

7、布在有樣本觀測值后，應根據聯合分布 對對 作出作出推斷，為此需要把推斷，為此需要把 作如下分解：作如下分解： 中不含中不含 的任何信息。因此能用來對的任何信息。因此能用來對 作出推斷的作出推斷的僅僅是條件分布僅僅是條件分布 ，其計算公式為，其計算公式為1.2 1.2 先先驗分布與后驗分布驗分布與后驗分布 ( , )( | ) ( )h xp x ( , )h x( , )h x( , )( | ) ( )h xhx m x( )m x( | )hx( , )( | ) ( )( | ).(2)( )( | ) ( )h xp xhxm xp xd 1.2 1.2 先先驗分布與后驗分布驗分布與后

8、驗分布這就是貝葉斯公式的密度函數形式。在樣本這就是貝葉斯公式的密度函數形式。在樣本 給定下，給定下，的條件分布被稱為的條件分布被稱為 的后驗分布。的后驗分布。 6. 當當 是離散隨機變量時，先驗分布可用先驗分布列是離散隨機變量時，先驗分布可用先驗分布列 表示。這時后驗分布也是離散的，表示。這時后驗分布也是離散的，例例 14.1 設事件設事件 的概率為的概率為 ，即，即 。為了估計。為了估計而作而作 次獨立觀測，其中事件次獨立觀測，其中事件 出現次數為出現次數為 ，顯，顯然，然， 服從二項分布服從二項分布 ，即，即 x( ),1,2,ii ( |) ( )(| ),1,2,(3)( |) ()i

9、iijjjp xhxip x A( )AnAXX( , )B n 的先驗分布取的先驗分布取 于是樣本于是樣本 與參數與參數 的聯合分布為的聯合分布為再計算再計算 的邊際分布的邊際分布 1.2 先驗分布與后驗分布先驗分布與后驗分布(| )(1),0,1, .xn xnP Xxxnx 1,01( )0, 其他場合。，X( , )(1),0,1, ,01.xn xnh xxnx X最后得到最后得到 的后驗分布的后驗分布該分布恰好是參數為該分布恰好是參數為 和和 的貝塔分布，記的貝塔分布，記為為 。1.2 先驗分布與后驗分布先驗分布與后驗分布1100( )( , )(1)(1) (1)1,0,1, .

10、(2)1xn xnm xh xddxnxnxxnxnn (1) 1(1) 1( , )(2)( | )(1),01.( )(1) (1)xn xh xnhxmxxn x 1x1nx(1,1)xnx共軛先驗分布共軛先驗分布 設設 是總體分布中的參數是總體分布中的參數( (或參數向量或參數向量) )， 是是 的先驗的先驗密度函數，假如由抽樣信息算得的后驗密度函數與密度函數，假如由抽樣信息算得的后驗密度函數與 有相同的函數形式，則稱有相同的函數形式，則稱 是是 的共軛先驗分布。應該的共軛先驗分布。應該指出，共軛先驗分布是對某一分布中的參數而言的。指出，共軛先驗分布是對某一分布中的參數而言的。 1.2

11、 先驗分布與后驗分布先驗分布與后驗分布( ) ( ) ( ) 共軛先驗分布的優(yōu)點是計算方便，后驗分布的一些參數，共軛先驗分布的優(yōu)點是計算方便，后驗分布的一些參數，特別是后驗均值可得到很好的解釋；缺點是有時會出現誤特別是后驗均值可得到很好的解釋；缺點是有時會出現誤用用 。 超參數的確定超參數的確定 先驗分布中所含的未知參數稱為超參數。下面結合貝先驗分布中所含的未知參數稱為超參數。下面結合貝塔分布來介紹幾種超參數的確定方法。塔分布來介紹幾種超參數的確定方法。1.2 先驗分布與后驗分布先驗分布與后驗分布例例 14.2 14.2 二項分布中成功概率二項分布中成功概率 的共軛先驗分布是貝塔的共軛先驗分布

12、是貝塔分布分布 ，其中，其中 是兩個超參數。下面介紹確定是兩個超參數。下面介紹確定 的幾種常用方法：的幾種常用方法： 1 1、先驗矩方法、先驗矩方法 若用先驗信息能獲得成功概率若用先驗信息能獲得成功概率 的若干估計值，記為的若干估計值，記為 ，一般它們可從歷史數據整理加工中獲得，由此，一般它們可從歷史數據整理加工中獲得，由此可計算前兩階先驗矩可計算前兩階先驗矩 ：然后令其分別等于貝塔分布的前兩階矩，解之，可得然后令其分別等于貝塔分布的前兩階矩，解之，可得1.2 先驗分布與后驗分布先驗分布與后驗分布( ,) , , 1,k12和2121111,.kkiiiikk 2 2、先驗分位數方法、先驗分位

13、數方法假如根據先驗信息可以確定貝塔分布的兩個分位數，則可假如根據先驗信息可以確定貝塔分布的兩個分位數，則可利用這兩個分位數來確定利用這兩個分位數來確定 。譬如用上、下四分位數。譬如用上、下四分位數 來確定來確定 ， 分別滿足如下兩個方程分別滿足如下兩個方程1.2 先驗分布與后驗分布先驗分布與后驗分布2121121222121,(1). , UL與, UL與110111()(1)0.25,( ) ( )()(1)0.25.( ) ( )LUdd從這兩個方程解出從這兩個方程解出 ，即可確定超參數。，即可確定超參數。3 3、先驗均值和先驗分位數方法、先驗均值和先驗分位數方法若能得到先驗均值若能得到先

14、驗均值 和先驗分布的和先驗分布的 分位數分位數 ，則可列，則可列出下列方程出下列方程用數值方法求解上述方程組，即可得到超參數用數值方法求解上述方程組，即可得到超參數 的的數值解。數值解。1.2 先驗分布與后驗分布先驗分布與后驗分布, pp110,()(1).( ) ( )pdp, 后驗的核后驗的核 在給定樣本分布在給定樣本分布 和先驗分布和先驗分布 后，可用貝葉斯后，可用貝葉斯公式計算公式計算 的后驗分布的后驗分布由于由于 不依賴于不依賴于 ，在計算，在計算 的后驗分布中僅起到一的后驗分布中僅起到一個正則化因子的作用。假如把個正則化因子的作用。假如把 省略，把貝葉斯公式省略，把貝葉斯公式改寫為

15、如下等價形式改寫為如下等價形式(4)(4)右端稱為后驗分布的核，一旦核知道了右端稱為后驗分布的核，一旦核知道了, ,后驗便知道了后驗便知道了, ,因此經常通過后驗核的計算來簡化后驗分布的計算。因此經常通過后驗核的計算來簡化后驗分布的計算。1.2 先驗分布與后驗分布先驗分布與后驗分布( | )p x( ) ( | )( | ) ( )/( )hxp xm x 。 ( )m x( )m x( | )( | ) ( )(4)hxp x 。這部分講一個這部分講一個例子來說明。例子來說明。貝葉斯可靠性評估貝葉斯可靠性評估第一節(jié)第一節(jié) 貝葉斯統計簡介貝葉斯統計簡介 1. 貝葉斯的基本出發(fā)點貝葉斯的基本出發(fā)

16、點 2. 先驗分布和后驗分布先驗分布和后驗分布 3. 貝葉斯推斷貝葉斯推斷 4. 經驗貝葉斯方法經驗貝葉斯方法 第二節(jié)第二節(jié) 常見故障分布下的貝葉斯推斷常見故障分布下的貝葉斯推斷 1. 二項分布的貝葉斯估計二項分布的貝葉斯估計 2. 指數分布的貝葉斯估計指數分布的貝葉斯估計 從貝葉斯觀點看，后驗分布從貝葉斯觀點看，后驗分布 集總體信息、樣本集總體信息、樣本信息和先驗信息于一體，全面描述了參數信息和先驗信息于一體，全面描述了參數 的概率分布。的概率分布。因此有關參數因此有關參數 的點估計、區(qū)間估計、假設檢驗等統計的點估計、區(qū)間估計、假設檢驗等統計推斷應該從后驗分布推斷應該從后驗分布 按需要提取有

17、關信息。下面按需要提取有關信息。下面分別介紹貝葉斯點估計和區(qū)間估計。分別介紹貝葉斯點估計和區(qū)間估計。貝葉斯點估計貝葉斯點估計 參數參數 的點估計可選用后驗分布的點估計可選用后驗分布 的某個位置特的某個位置特征數。常用的有如下三種形式：征數。常用的有如下三種形式：1.1.后驗期望后驗期望 2. 后驗中位數后驗中位數3. 后驗眾數后驗眾數1.3 貝葉斯推斷貝葉斯推斷( | )hx( | )hx( | )hx一般場合下，這三種貝一般場合下，這三種貝葉斯估計是不同的。當葉斯估計是不同的。當后驗密度函數對稱時，后驗密度函數對稱時，這三種貝葉斯估計重合，這三種貝葉斯估計重合，譬如后驗分布為正態(tài)分譬如后驗分

18、布為正態(tài)分布。布。例例 14.5 為估計不合格品率為估計不合格品率 ，今從一批產品中隨機抽取，今從一批產品中隨機抽取 件，其中件，其中 不合格品數服從二項分布不合格品數服從二項分布 。若取貝。若取貝塔分布塔分布 作為的先驗分布，且超參數作為的先驗分布，且超參數 已知，則已知，則后驗分布仍為貝塔分布后驗分布仍為貝塔分布 。這時不合格品。這時不合格品率率 的后驗眾數估計的后驗眾數估計 和后驗期望估計和后驗期望估計 分別為分別為這兩個貝葉斯估計是不同的。這兩個貝葉斯估計是不同的。估計量的評價估計量的評價 1.3 貝葉斯推斷貝葉斯推斷nX( , )B n( ,) , (,)xnx maxEmax1,.

19、2Exxnn評價一個貝葉斯估計評價一個貝葉斯估計 的好壞，最好的方法是考察的好壞，最好的方法是考察均方差。具體定義如下：均方差。具體定義如下：設參數設參數 的后驗分布為的后驗分布為 ， 的貝葉斯估計為的貝葉斯估計為 ，則則 的后驗期望的后驗期望稱為稱為 的后驗均方差。當的后驗均方差。當 為后驗期望估計為后驗期望估計 時，后驗均方差即為后驗方差，即時，后驗均方差即為后驗方差，即其平方根其平方根 稱為后驗標準差。稱為后驗標準差。1.3 貝葉斯推斷貝葉斯推斷對( | )hx2()2|( | )() ,xMSExE( | )EEx( | )( | )MSExVarx1/2( | )Varx 的后驗均方

20、差有如下分解的后驗均方差有如下分解可見，可見， 的后驗均值估計的后驗均值估計 是使后驗均方差達是使后驗均方差達到最小的估計，所以實際中常取后驗均值作為到最小的估計，所以實際中常取后驗均值作為 的貝葉的貝葉斯估計。斯估計。注意注意: :評價貝葉斯估計的時候不用評價貝葉斯估計的時候不用“無偏性無偏性”? 因為貝葉斯推斷是基于后驗分布的統計推斷，這意味因為貝葉斯推斷是基于后驗分布的統計推斷，這意味著只考慮已出現的數據著只考慮已出現的數據( (樣本觀測值樣本觀測值) )，而推斷與未出現，而推斷與未出現的數據無關的數據無關 。1.3 貝葉斯推斷貝葉斯推斷2( | )( | )() .EMSExVarx(

21、 | )EEx貝葉斯區(qū)間估計貝葉斯區(qū)間估計 設參數設參數 的后驗分布為的后驗分布為 ，對給定樣本，對給定樣本 和概和概率率 ，若存在這樣的，若存在這樣的兩個統計量兩個統計量 與與 ，使得，使得 則稱區(qū)間則稱區(qū)間 為參數為參數 的可信水平為的可信水平為 的貝葉斯可的貝葉斯可信區(qū)間，或簡稱為信區(qū)間，或簡稱為 的的 可信區(qū)間?？尚艆^(qū)間。1.3 貝葉斯推斷貝葉斯推斷( | )hxx1(01)( )LLx( )UUx(| )1LUPx ,LU 11如滿足如滿足則則 稱為稱為 的的 ( (單側單側) )可信下限；相應的滿足可信下限；相應的滿足則則 稱為稱為 的的 ( (單側單側) )可信上限?？尚派舷?。

22、可信區(qū)間和可信水平與經典統計的置信區(qū)間和置可信區(qū)間和可信水平與經典統計的置信區(qū)間和置 信水平的區(qū)別與聯系？信水平的區(qū)別與聯系？ 可信區(qū)間不止一個，常用的有最大后驗密度可信區(qū)間與可信區(qū)間不止一個，常用的有最大后驗密度可信區(qū)間與等尾可信區(qū)間等等。等尾可信區(qū)間等等。1.3 貝葉斯推斷貝葉斯推斷(| )1LPx L1(| )1UPx U1最大后驗密度可信區(qū)間最大后驗密度可信區(qū)間 設參數設參數 的后驗分布為的后驗分布為 ，對于給定可信水，對于給定可信水平平 ，如果存在區(qū)域，如果存在區(qū)域 滿足下面兩個條件滿足下面兩個條件 1 1 2 2 任給任給 ，總有不等式，總有不等式 則稱則稱 是是 的最大后驗密度區(qū)

23、域估計。如果的最大后驗密度區(qū)域估計。如果 又是一個區(qū)又是一個區(qū)間，則稱為最大后驗密度間，則稱為最大后驗密度(HPD)(HPD)可信區(qū)間?？尚艆^(qū)間。 1.3 貝葉斯推斷貝葉斯推斷( | )hx1(01)D(| )( | )1DPD xhx d 12,DD12(| )(| )hxhxDD示例：示例： 設設 是來自是來自 的一個樣本，未知參數的一個樣本，未知參數是是 ，求，求 的區(qū)間估計。的區(qū)間估計。 采用貝葉斯假設，這時采用貝葉斯假設，這時于是于是 的后驗分布是逆伽瑪分布。將密度寫為如下形式的后驗分布是逆伽瑪分布。將密度寫為如下形式1.3 貝葉斯推斷貝葉斯推斷1,nxx2( ,)N 222221(

24、| )exp() / (2) /nniihxx22221(| , )exp(/)( )()aaba bba 其中其中 注意到注意到 的密度是非對稱的，因此對稱地截的密度是非對稱的，因此對稱地截取分位點并不能得到最大后驗密度區(qū)域。對于可信水平取分位點并不能得到最大后驗密度區(qū)域。對于可信水平 ,該區(qū)域為由滿足下列等式的該區(qū)域為由滿足下列等式的 和和 構成的區(qū)間構成的區(qū)間(1) (1) (2)(2) 這一結果與經典方法常見的置信區(qū)間不同。這一結果與經典方法常見的置信區(qū)間不同。1.3 貝葉斯推斷貝葉斯推斷211,() / 22niinabx2(| , )a b 11c2c12 ,c c2122212(

25、)(| , )1ccP cca b d 12(| , )(| , )ca bca b假設檢驗假設檢驗 假設檢驗是統計推斷中的一類重要問題。貝葉斯學派假設檢驗是統計推斷中的一類重要問題。貝葉斯學派在處理這類問題上直截了當。假設檢驗問題如下在處理這類問題上直截了當。假設檢驗問題如下 這里這里 是參數空間是參數空間 中不相交的兩個非空子集。在獲中不相交的兩個非空子集。在獲得后驗分布得后驗分布 后，對原假設后，對原假設 和備擇假設和備擇假設 ，分，分別計算后驗概率別計算后驗概率然后比較然后比較 與與 的大小，當后驗概率比的大小，當后驗概率比(或稱后驗機會比或稱后驗機會比)1.3 貝葉斯推斷貝葉斯推斷0

26、011:,:HH01與( | )hx0H1H(| ),0,1iiPxi01 時接受原假設時接受原假設 ；當；當 時接受時接受備擇假設備擇假設 ；當；當 時，不宜作出判斷，時，不宜作出判斷，尚需進一步抽樣或進一步搜集先驗信息。尚需進一步抽樣或進一步搜集先驗信息。例子：例子：1.3 貝葉斯推斷貝葉斯推斷01/10H01/11H01/1貝葉斯可靠性評估貝葉斯可靠性評估第一節(jié)第一節(jié) 貝葉斯統計簡介貝葉斯統計簡介 1. 貝葉斯的基本出發(fā)點貝葉斯的基本出發(fā)點 2. 先驗分布和后驗分布先驗分布和后驗分布 3. 貝葉斯推斷貝葉斯推斷 4. 經驗貝葉斯方法經驗貝葉斯方法第二節(jié)第二節(jié) 常見故障分布下的貝葉斯推斷常

27、見故障分布下的貝葉斯推斷 1. 二項分布的貝葉斯估計二項分布的貝葉斯估計 2. 指數分布的貝葉斯估計指數分布的貝葉斯估計經驗貝葉斯方法經驗貝葉斯方法 經驗貝葉斯方法經驗貝葉斯方法( (簡稱簡稱EBEB方法方法) )是是Robbins(1955)Robbins(1955)提出的，提出的，原意是折衷經典學派和貝葉斯學派，原意是折衷經典學派和貝葉斯學派，Neyman(1962)Neyman(1962)曾稱之曾稱之為統計判決的一大突破。為統計判決的一大突破。EB方法的基本思想方法的基本思想 用歷史樣本估計先驗分布，以代替真正的先驗分布，用歷史樣本估計先驗分布，以代替真正的先驗分布，進行進行BayesB

28、ayes分析。具體說來，分析。具體說來，EBEB方法即承認參數是隨機變量，方法即承認參數是隨機變量，但但又以經典觀點利用歷史數據及當前數據來得到參數的又以經典觀點利用歷史數據及當前數據來得到參數的BayesBayes解。解。 1.4 經驗貝葉斯方法經驗貝葉斯方法 表示歷史數據表示歷史數據 與參數與參數 ，而，而 表示當前數據表示當前數據 與相應的未知參數與相應的未知參數 。這里。這里 的母體分布類型一樣，但因的母體分布類型一樣，但因 不一樣，而不是同不一樣，而不是同一母體，而一母體，而 服從同一未知的先驗分布服從同一未知的先驗分布 ，問題是建立一個依賴于問題是建立一個依賴于 的統計量來估計的統

29、計量來估計 記其估計為記其估計為 ，當然希望，當然希望 盡可能接近已盡可能接近已知知 時時 的的Bayes解。解。 1.4 經驗貝葉斯方法經驗貝葉斯方法( ;)iix12,nx xx1,n( ; )xx12,nx xxx1,n 1,n ( )G12,nx xxx1( , )nnxx xn( )G具體步驟具體步驟 記樣本為記樣本為 ，其母體的密度為，其母體的密度為 ，未知的先驗，未知的先驗分布函數記為分布函數記為 ，其密度為，其密度為 ，則，則 的邊的邊緣密度緣密度 為為 EB方法認為樣本是從方法認為樣本是從 抽取的，故可由抽取的，故可由 估計估計 或其特征，由于假設已知或其特征，由于假設已知

30、，則可由上式，則可由上式估計估計 或其特征，再由現在樣本去獲得或其特征，再由現在樣本去獲得 的的Bayes解。解。 1.4 經驗貝葉斯方法經驗貝葉斯方法X( | )p x( )G( )( )G X( )m x( )( | )( )m xp xdG( )m x1,nxx( )m x( | )p x( )G線性線性EB方法方法 令令 的的EB估計估計 是樣本是樣本 的線性函數的線性函數 若研究的概率分布滿足假定若研究的概率分布滿足假定 ?？梢宰C明可以證明 這樣，用過去樣本這樣，用過去樣本 的均值的均值 及樣本方差及樣本方差 估計估計1.4 經驗貝葉斯方法經驗貝葉斯方法xaxb2( | )Var x

31、abc2()() ()()1()(1)()c Var XabE Xc E XE XxE XcVar X1,nxxx2s 及及 ，得到，得到 的的EB估計估計顯然，泊松分布，二項分布，指數分布滿足前述假定。顯然，泊松分布，二項分布，指數分布滿足前述假定。對二項分布對二項分布 為成功數，為成功數， 為可靠性，則令為可靠性，則令 ，有，有1.4 經驗貝葉斯方法經驗貝葉斯方法()E X()Var X2221()(1)csabxcxxxxcs( |)(1)xn xnP x RRRx xRxtn(1)( |),( |)RRE t RR Var t Rn故故 ，因此，因此例例 進行五組成敗型試驗，每組試驗進

32、行五組成敗型試驗，每組試驗 次，試驗成次，試驗成功次數依次為功次數依次為18,20,17,18,1618,20,17,18,16，現試驗，現試驗 次，成功次，成功 次數次數 ，求，求 的的LEBLEB估計估計 。解解：每組試驗的成功概率：每組試驗的成功概率1.4 經驗貝葉斯方法經驗貝葉斯方法10,abcn 2()(1)1(1)n ttttRtnns20n 20n 17x RR0.9,1.0,0.85,0.9,0.8iixtn因此因此 1.4 經驗貝葉斯方法經驗貝葉斯方法122110.89,1()0.0055,10.8550.89 0.110.891(0.85 0.89)45 0.00550.8

33、854niiniittnsttnxtnR貝葉斯可靠性評估貝葉斯可靠性評估第一節(jié)第一節(jié) 貝葉斯統計簡介貝葉斯統計簡介 1. 貝葉斯的基本出發(fā)點貝葉斯的基本出發(fā)點 2. 先驗分布和后驗分布先驗分布和后驗分布 3. 貝葉斯推斷貝葉斯推斷 4. 經驗貝葉斯方法經驗貝葉斯方法第二節(jié)第二節(jié) 常見故障分布下的貝葉斯推斷常見故障分布下的貝葉斯推斷 1. 二項分布的貝葉斯估計二項分布的貝葉斯估計 2. 指數分布的貝葉斯估計指數分布的貝葉斯估計 如果成敗型試驗結果為如果成敗型試驗結果為( (n,rn,r) )，成功概率，成功概率 的先驗分的先驗分布取為布取為 ，則則 的后驗分布是的后驗分布是 定理定理 設設 是自然數，則是自然數，則假定先驗分布的超參數假定先驗分布的超參數 已知，且已知，且 ，則，則 的的可信可信水平為水平為 的等尾可信區(qū)間為的等尾可信區(qū)間為 2.1 二項分布的二項分布的Bayes估計估計( , )a b(,)ar bnr( , ),2 ,2a bab(2 ,2 )1bFaba, a bxr1相應的相應的 (單側單側)可信下限與可信下限與(單側單側)可信上限分別為可信上限分別為2.1 二項分布的二項分布的Bayes估計估計/2/21/21/2(