第三章點(diǎn)、直線和平面的投影

1、第第3章章 點(diǎn)、直線和平面的投影點(diǎn)、直線和平面的投影 31點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影 32直線的投影直線的投影 33平面的投影平面的投影 3.1.1 3.1.1 點(diǎn)的投影含義點(diǎn)的投影含義 點(diǎn)是形體的最基本元素。點(diǎn)的投影規(guī)律是線、面、體點(diǎn)是形體的最基本元素。點(diǎn)的投影規(guī)律是線、面、體投影的基礎(chǔ)。投影的基礎(chǔ)。3 31 1 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影面BCDA線點(diǎn)點(diǎn)的單面投影點(diǎn)的單面投影AaaAAl點(diǎn)的單面投影不能確定該點(diǎn)的空間位置點(diǎn)的單面投影不能確定該點(diǎn)的空間位置空間幾何形體空間幾何形體投投 影影HVOX二、點(diǎn)的兩面投影二、點(diǎn)的兩面投影前面提到：在正投影的條件下，點(diǎn)的單面投影不能唯一確定該點(diǎn)的空間位置，那么，兩面投影呢

2、？Aaa l點(diǎn)的兩面投影能夠唯一點(diǎn)的兩面投影能夠唯一確定點(diǎn)的空間位置。確定點(diǎn)的空間位置。兩面投影體系的建立：V正面投影面H水平投影面OX投影軸axAaa HVOXaxa VHaaxOXl點(diǎn)的正投影規(guī)律：點(diǎn)的正投影規(guī)律： 1、一點(diǎn)在兩投影面體系中的投影，在投影圖上的連線，、一點(diǎn)在兩投影面體系中的投影，在投影圖上的連線，一定垂直于該兩投影面的交線，即垂直于投影軸。一定垂直于該兩投影面的交線，即垂直于投影軸。2、空間一點(diǎn)到某一投影面的距離，等于該點(diǎn)在任意一個(gè)、空間一點(diǎn)到某一投影面的距離，等于該點(diǎn)在任意一個(gè)與該投影面垂直的投影面上的投影到其投影軸的距離。與該投影面垂直的投影面上的投影到其投影軸的距離。

3、HVOXYZ3.1.23.1.2、點(diǎn)的三面投影、點(diǎn)的三面投影及投影規(guī)律及投影規(guī)律Aaa axa ayaz通常我們用大寫字母通常我們用大寫字母表示空間的點(diǎn)，相應(yīng)的小表示空間的點(diǎn)，相應(yīng)的小寫字母表示其水平投影，寫字母表示其水平投影，小寫字母加一撇表示其正小寫字母加一撇表示其正面投影，小寫字母加兩撇面投影，小寫字母加兩撇表示其側(cè)面投影。表示其側(cè)面投影。W1.點(diǎn)的三面投影及投影規(guī)律點(diǎn)的三面投影及投影規(guī)律XAHVOYZaa axa ayazWl點(diǎn)在三面投影面體系中的投影關(guān)系：點(diǎn)在三面投影面體系中的投影關(guān)系：1、一點(diǎn)的正面投影和水平投影必在同一豎直投影連線上；、一點(diǎn)的正面投影和水平投影必在同一豎直投影連線

4、上；2、一點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影必在同一水平投影連線上；、一點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影必在同一水平投影連線上；3、一點(diǎn)的水平投影到、一點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于該點(diǎn)的側(cè)面投影到軸的距離等于該點(diǎn)的側(cè)面投影到 OZ軸的距離，都反映該點(diǎn)到軸的距離，都反映該點(diǎn)到V面得距離。面得距離。a aa OXYHZYWaxayazaya aa OYHZYWaxayazay水平投影和正面投影的連線垂直于OX軸（長(zhǎng)對(duì)（長(zhǎng)對(duì)正）正）；正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸（高平齊）（高平齊）；水平投影到OX軸的距離等于側(cè)面投影到OZ軸的距離（寬相等）（寬相等）。 a aOX軸軸; a a OZ軸軸; a到到OX軸的距離軸

5、的距離= a 到到OZ軸的距離軸的距離 AaAa=aa=aax x= = a a az z=a=ay y0=y0=yA AA A點(diǎn)到點(diǎn)到V面的距離面的距離 Aa =Aa =a ax x= = a a ay y=a=az z0=z0=zA AA A點(diǎn)到點(diǎn)到H面的距離面的距離 Aa a=aa=aay y= = a a az z=a=ax x0=x0=xA AA A點(diǎn)到點(diǎn)到W面的距離面的距離 XVYOWZaa Ya ZaXaaHZAYAXAaOXYWYHaYHaYWaZZaX XAYAZAYAaa A2.2.特殊位置點(diǎn)的投影特殊位置點(diǎn)的投影（1 1）投影面上的點(diǎn)）投影面上的點(diǎn) （2 2）投影軸上的點(diǎn)

6、）投影軸上的點(diǎn) a aax3.3.已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影a a aaxazaz解法一解法一:解法二解法二:a 通過(guò)作通過(guò)作45線使線使a az=aax用圓規(guī)直接量取用圓規(guī)直接量取a az=aax例例2:已知已知A點(diǎn)的坐標(biāo)值點(diǎn)的坐標(biāo)值A(chǔ)(12，10，15)，求作，求作A點(diǎn)的三面投影圖點(diǎn)的三面投影圖。 作投影軸作投影軸； 量?。毫咳。?OaOax x=12=12、OaOaz z=15=15、OaOaYHYH=Oa=OaYWYW=10=10, , 得得a ax x、a az z、OaOaYHYH、OaOaYWYW等點(diǎn)等點(diǎn) ； 步驟步驟: :aaaOXYWHYZaZ1

7、5YWaYHa10aX12過(guò)過(guò)a ax x、a az z、a aYHYH、a aYWYW等點(diǎn)分別作等點(diǎn)分別作 所在軸的垂線，交點(diǎn)所在軸的垂線，交點(diǎn)a a、a a、a a 既為所求。既為所求。 空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置，是以其中一個(gè)點(diǎn)為基準(zhǔn)，來(lái)判斷空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置，是以其中一個(gè)點(diǎn)為基準(zhǔn)，來(lái)判斷另一個(gè)點(diǎn)在該點(diǎn)的前或后、左或右、上或下。另一個(gè)點(diǎn)在該點(diǎn)的前或后、左或右、上或下。 3.1.3 3.1.3 兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置當(dāng)空間兩點(diǎn)到兩個(gè)投影面的距離都分別對(duì)應(yīng)相等時(shí)，該兩點(diǎn)處當(dāng)空間兩點(diǎn)到兩個(gè)投影面的距離都分別對(duì)應(yīng)相等時(shí)，該兩點(diǎn)處于同一投射線上，它們?cè)谠撏渡渚€所垂直的投影面上的投影重于同一投射線上，

8、它們?cè)谠撏渡渚€所垂直的投影面上的投影重合在一起，這兩點(diǎn)稱為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。合在一起，這兩點(diǎn)稱為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。OXa bW YHYaabbOH(b)aWYBAXZVabab( )H面重影，面重影，被擋被擋住的投影加住的投影加( )3.2 3.2 直線的投影直線的投影直 線一般位置直線特殊位置直線投影面垂直線投影面平行線投影面平行線投影面平行線平行于某一投影面而平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜投影面垂直線投影面垂直線正平線正平線（平行于面）（平行于面）側(cè)平線側(cè)平線（平行于面）（平行于面）水平線水平線（平行于面）（平行于面）正垂線正垂線（垂直于面）（垂直于面）側(cè)垂線側(cè)

9、垂線（垂直于面）（垂直于面）鉛垂線鉛垂線（垂直于面）（垂直于面）統(tǒng)稱特殊位置直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面垂直于某一投影面一般位置直線一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線3.2.13.2.1投影面垂直線鉛垂線（鉛垂線（垂直于垂直于H面，同時(shí)平行于面，同時(shí)平行于V、W面的直線）面的直線）Zb Xa ba(b)OYHYWaVWHXYZOABb a(b)a ab 水平投影積聚為一點(diǎn)；水平投影積聚為一點(diǎn)；正面投影及側(cè)面投影平行于正面投影及側(cè)面投影平行于OZ軸，且反映實(shí)長(zhǎng)。軸，且反映實(shí)長(zhǎng)。VWHXYZOAB正垂線（正垂線（垂直于垂直于V面，同時(shí)平行于面，同時(shí)平行于H、W面的

10、直線）面的直線）ZX(a)b baOYHYWabbababa 正面投影積聚為一點(diǎn)；水正面投影積聚為一點(diǎn)；水平投影及側(cè)面投影平行于平投影及側(cè)面投影平行于OY軸，且反映實(shí)長(zhǎng)。軸，且反映實(shí)長(zhǎng)。VWXYZOABH側(cè)垂線（側(cè)垂線（垂直于垂直于W面，同時(shí)平行于面，同時(shí)平行于H、V面的直線）面的直線）baababYWZXa(b)baOYHab 側(cè)面投影積聚為一點(diǎn)；水平投影側(cè)面投影積聚為一點(diǎn)；水平投影及正面投影平行于及正面投影平行于OX軸，且反映實(shí)軸，且反映實(shí)長(zhǎng)。長(zhǎng)。3.2.2 3.2.2 投影面平行線投影面平行線的投影特性可概括如下：投影面平行線的投影特性可概括如下：（1）直線在它所平行的投影面上的投影反映

11、實(shí)長(zhǎng)，）直線在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，且反映對(duì)其他兩個(gè)投影面傾角的實(shí)形；且反映對(duì)其他兩個(gè)投影面傾角的實(shí)形；（2）該直線在其他兩個(gè)投影面上的投影分別平行于）該直線在其他兩個(gè)投影面上的投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，且小于實(shí)長(zhǎng)。相應(yīng)的投影軸，且小于實(shí)長(zhǎng)。 事實(shí)上，在直線的三面投影中，若有兩面投影垂事實(shí)上，在直線的三面投影中，若有兩面投影垂直于同一投影軸，而另一投影處于傾斜狀態(tài)，則該直直于同一投影軸，而另一投影處于傾斜狀態(tài)，則該直線必平行于傾斜投影所在的投影面，且反映與其他兩線必平行于傾斜投影所在的投影面，且反映與其他兩投影面夾角的實(shí)形。投影面夾角的實(shí)形。ABVWHXYZO水平線（水平線（平行

12、平行H面，同時(shí)傾斜于面，同時(shí)傾斜于V、W面的直線）面的直線）aababb Xa b ab baOZYHYW水平投影反映實(shí)長(zhǎng)及傾角，正面投影及側(cè)面投影垂直于水平投影反映實(shí)長(zhǎng)及傾角，正面投影及側(cè)面投影垂直于OZ軸軸 VWHXYZOAB正平線（正平線（平行平行V面，同時(shí)傾斜于面，同時(shí)傾斜于H、W面的直線）面的直線）aababb正面投影反映實(shí)長(zhǎng)及傾角，水平投影及側(cè)面投影垂直于正面投影反映實(shí)長(zhǎng)及傾角，水平投影及側(cè)面投影垂直于OY軸軸 Xabab baOZYHYW VWHXYZOAB側(cè)平線（側(cè)平線（平行平行W面，同時(shí)傾斜于面，同時(shí)傾斜于H、V面的直線）面的直線）aa b a bb側(cè)面投影反映實(shí)長(zhǎng)及傾角，水

13、平投影及正面投影垂直于側(cè)面投影反映實(shí)長(zhǎng)及傾角，水平投影及正面投影垂直于OX軸軸 bXZa b baOYHYWaZXabaOYHYWabbABVWHXYZObbabaal一般位置直線的特點(diǎn)：一般位置直線的特點(diǎn)：1、一般線對(duì)各基本投影面都傾斜；直線對(duì)投影面的傾角，、一般線對(duì)各基本投影面都傾斜；直線對(duì)投影面的傾角， 就是該直線和它在該投影面上的投影所夾的角；就是該直線和它在該投影面上的投影所夾的角；2、一般線上各點(diǎn)到同一個(gè)投影的距離都不等；、一般線上各點(diǎn)到同一個(gè)投影的距離都不等；3、一般線對(duì)、一般線對(duì)H、V、W面得傾角面得傾角、，他們的，他們的 投影都不反映實(shí)形。投影都不反映實(shí)形。3.2.33.2.

14、3一般位置直線：線段的實(shí)長(zhǎng)和傾角線段的實(shí)長(zhǎng)和傾角 根據(jù)一般位置直線的投影求解其實(shí)長(zhǎng)根據(jù)一般位置直線的投影求解其實(shí)長(zhǎng)及傾角是畫法幾何綜合習(xí)題中的常遇見(jiàn)的基及傾角是畫法幾何綜合習(xí)題中的常遇見(jiàn)的基本問(wèn)題之一，也是工程實(shí)際中經(jīng)常需要解決本問(wèn)題之一，也是工程實(shí)際中經(jīng)常需要解決的問(wèn)題。而用的問(wèn)題。而用直角三角形法直角三角形法求解實(shí)長(zhǎng)及傾角求解實(shí)長(zhǎng)及傾角最為簡(jiǎn)便、快捷。最為簡(jiǎn)便、快捷。XOababABababXOB0直角三角形法直角三角形法(求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)水平投影面的夾角求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)水平投影面的夾角)mmABABmAB0=abBB0=AB兩點(diǎn)的高度差mab 直角三角形法的四要素：投影長(zhǎng)、坐標(biāo)差、實(shí)長(zhǎng)、

15、傾角。已知四要素中的任意兩個(gè)，便可確定另外兩個(gè)。 解題時(shí)，直角三角形畫在任何位置都不影響解題結(jié)果，但用哪個(gè)長(zhǎng)度來(lái)作直角邊不能搞錯(cuò)。輔助投影法輔助投影法(求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)正投影面的夾角求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)正投影面的夾角)ABababXOmXOababX1O1ax1a1b1bxaxbx1A1A1l1.直線上的點(diǎn)的投影特性：直線上的點(diǎn)的投影特性：（1）直線上的點(diǎn)的投影，必落在該直線的同面投影上；）直線上的點(diǎn)的投影，必落在該直線的同面投影上；（2）一直線上兩線段長(zhǎng)度之比，等于他們的投影長(zhǎng)度之比。）一直線上兩線段長(zhǎng)度之比，等于他們的投影長(zhǎng)度之比。3.2.4 3.2.4 直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)ACBabc從屬性

16、從屬性AcabCBcbacCBAC定比性定比性ababC c cXO例：判斷點(diǎn)例：判斷點(diǎn)K是否在線段是否在線段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上， 故點(diǎn)故點(diǎn)K不在不在AB上。上。應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理abka b k 另一判斷法是另一判斷法是因因a k :k b ak:kb 故點(diǎn)故點(diǎn)K不在不在AB上。上。 2.直線的跡點(diǎn) 直線與投影面的交點(diǎn)，稱為直線的跡點(diǎn)。 跡點(diǎn)的投影符合直線的投影規(guī)律，也符合投影面內(nèi)點(diǎn)的投影規(guī)律。3.2.5 3.2.5 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置兩直線平行兩直線相交兩直線交叉一、一、兩直線平行兩直線平行 兩直線在空間互相平行，

17、則它們的同面投影也相互兩直線在空間互相平行，則它們的同面投影也相互平行。反之，若兩直線的各個(gè)同面投影均相互平行，則平行。反之，若兩直線的各個(gè)同面投影均相互平行，則該兩直線在空間也一定相互平行。該兩直線在空間也一定相互平行。ADCBabdcadcbXOadcbabdcXO 注意注意：對(duì)于一般位置的兩直線，僅根據(jù)它們的水平投影及正面投影是否平行，就可判定它們?cè)诳臻g是否平行。但是對(duì)于側(cè)平線，則必須考察它們的側(cè)面投影，才可以斷定它們?cè)诳臻g的真實(shí)位置。adcbadcbacdbXZOYHYWAB、CD不平行 當(dāng)互相平行的兩直線垂直于某一投影面時(shí)，則在該投影面上的投影（積聚為兩點(diǎn)），反映它們?cè)诳臻g的真實(shí)距離

18、。ADCBa(b)c(d) 兩直線相交必有一個(gè)公共交點(diǎn)，因此：若空間兩直線相交，則它們的各同面投影均相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。反之亦然。XOadcbkadckbXOadcbadcbkkADCBK二、二、兩直線相交 注意注意：對(duì)于一般位置的兩直線，僅根據(jù)它們的水平投影及正面投影是否平行，就可判定它們?cè)诳臻g是否平行。但是對(duì)于側(cè)平線，則必須考察它們的側(cè)面投影，才可以斷定它們?cè)诳臻g的真實(shí)位置。adcbadcbacdbXZOYHYWAB、CD不平行 當(dāng)互相平行的兩直線垂直于某一投影面時(shí)，則在該投影面上的投影（積聚為兩點(diǎn)），反映它們?cè)诳臻g的真實(shí)距離。ADCBa(b)c(d)三、三、兩直線交叉兩直線交叉

19、空間兩直線即不平行也不相交時(shí)，稱為交錯(cuò)?？臻g兩直線即不平行也不相交時(shí)，稱為交錯(cuò)。VHXOABCDaacdbcdbXOacdbacdbOacdbacdbX 空間兩直線交錯(cuò)時(shí)，空間兩直線交錯(cuò)時(shí)，它們的同面投影可能相交它們的同面投影可能相交，但交點(diǎn)不可能符合點(diǎn)的，但交點(diǎn)不可能符合點(diǎn)的投影規(guī)律；它們的某個(gè)同投影規(guī)律；它們的某個(gè)同面投影可能平行，但不可面投影可能平行，但不可能三個(gè)同面投影都同時(shí)出能三個(gè)同面投影都同時(shí)出現(xiàn)平行?，F(xiàn)平行。m(n)mnf (e)ef思考：當(dāng)兩直線交錯(cuò)時(shí)，可能出現(xiàn)投影的交點(diǎn)在同思考：當(dāng)兩直線交錯(cuò)時(shí)，可能出現(xiàn)投影的交點(diǎn)在同 一豎直線上或者水平線上嗎？一豎直線上或者水平線上嗎？3.2

20、.6 3.2.6 直角投影定直角投影定理理 一般情況下，要使一個(gè)角不變形的投射到某一投影面上，必須使此角的兩邊都平行于該投影面。但是對(duì)于直角，只要有一邊平行于某一投影面，則此直角在該投影面上的投影仍舊是直角。ACBacb 兩條互相垂直的直線，若其中有一條兩條互相垂直的直線，若其中有一條是某一投影面的平行線，則它們?cè)谠撏队笆悄骋煌队懊娴钠叫芯€，則它們?cè)谠撏队懊娴耐队氨鼗ハ啻怪?。面的投影必互相垂直。AHBCacbcOXba cba例1：確定A點(diǎn)到正平線CD的距離。bXOcdaadcbmm所求距離abBACaccabXHYVZWbZXYHVWPHPVPWPabBACaccabXHYVZWbcXOab

21、abcXOabcabc(1) (1) 不在同一不在同一直線上的三點(diǎn)直線上的三點(diǎn)(2) (2) 一直線一直線和線外一點(diǎn)和線外一點(diǎn)(3)(3)兩相交兩相交直線直線(4)(4)兩平行直線兩平行直線dXOacdacbbcXOababc(5) (5) 平面圖形平面圖形XOabcabcZXYHVWPHPVPWPPVPHPWYHXYWZO對(duì)對(duì)H H、V V、W W面均傾斜面均傾斜HH面，對(duì)面，對(duì)V V、W W面均傾斜面均傾斜VV面，對(duì)面，對(duì)H H、W W面均傾斜面均傾斜WW面，對(duì)面，對(duì)H H、V V面均傾斜面均傾斜HH面，面，VV面，面，WW面面VV面，面，HH面，面，WW面面WW面，面，HH面，面，VV面

22、面XZY 一般位置平面的投影特性一般位置平面的投影特性: : 1 1、abc abc 、 a ab bc c和和 a ab bc c均為均為 ABCABC的類似形。的類似形。 2 2、不反映、不反映 、 、 的真實(shí)角度的真實(shí)角度 。 a cbaca b b CABYWZXa b b oYHa c c bac鉛垂面的投影特性：鉛垂面的投影特性：1 1、平面的水平投影、平面的水平投影abcabc積聚為一條線，積聚線與積聚為一條線，積聚線與OXOX、OYOY夾角夾角反映反映了平面與了平面與V V、W W面的面的、 角，其角，其= 90= 90；2 2 、a ab bc c和和 a ab bc c為為

23、 ABCABC的類似形的類似形 ; ;a b a b baozYHYWcc c XxYVWHozPPHABCacbxzYVWHoPPHPWPVAaZXYHYWPVPWPHaa a 1 1、平面的正面投影、平面的正面投影a ab bc c積聚為一條線積聚為一條線 ；積聚線與；積聚線與OXOX、OZOZ夾角夾角反映了平面反映了平面與與H H、W W的的、 角，其角，其 =90=90 。 2 2、abcabc、 a ab bc c 為為 ABCABC的類似形的類似形 ; ;zxa b a b baoYHYWc c cXzYVWHoQVAc Ca b BYVHWXZOQWQVQHQQVQWQHYHYW

24、XZO 1、平面的側(cè)面投影a ab bc c積聚為一條線 ；積聚線與OY、OZ的夾角反映平面的、角，其 = 90； 2 、abcabc、 a ab bc c為 ABC的類似形 ；XzYVWHOSHSBCa b Ac YWXab b baoYHa cc c ZSWSHSVYHYWZXOYXZVHWOSSVSWSHxzYVWHO 水平面的投影特性：水平面的投影特性：1 1、a ab bc c、a ab bc c積聚為一條線，具有積聚性。積聚為一條線，具有積聚性。2 2、水平投影、水平投影 abc abc 反映反映 ABC ABC實(shí)形。實(shí)形。 CABcaabbacbczcYWXa b b baoYHa c c 1 1、abc abc 、a ab bc c積聚為一條線，具有積聚性。積聚為一條線，具有積聚性。2 2、正平面投影、正平面投影 a ab bc c反映反映 ABC ABC實(shí)形實(shí)形 。 XzYVWHObacabcbcaCBAc YWabb oYHa c bcaXZXzYVWHOc側(cè)平面的投影