數(shù)學(xué)分析反常積分PPT學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)分析反常積分?jǐn)?shù)學(xué)分析反常積分收斂收斂上有界，則廣義積分上有界，則廣義積分在在若函數(shù)若函數(shù)且且上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間定理設(shè)函數(shù)定理設(shè)函數(shù) axadxxfadttfxFxfaxf)(),)()(0)(),)( 不通過被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分收不通過被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分收斂性的判定方法斂性的判定方法.由定理由定理1，對于非負(fù)函數(shù)的無窮限的廣義積，對于非負(fù)函數(shù)的無窮限的廣義積分有以下比較收斂原理分有以下比較收斂原理第1頁/共20頁也發(fā)散也發(fā)散發(fā)散，則發(fā)散，則且且并并也收斂；如果也收斂；如果收斂，則收斂，則并且并且上連續(xù)，如果上連續(xù)，如果區(qū)間區(qū)間在在、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)比較審斂原理比較審

2、斂原理定理定理 aaaadxxfdxxgxaxfxgdxxfdxxgxaxgxfaxgxf)()(),()()(0)()(),()()(0),)()()(2證證.)()()()()()(0 ababaadxxgdxxgdxxfdxxgxgxfba收斂，得收斂，得及及，由，由設(shè)設(shè)上有上界上有上界在在即即),)()( adxxfbFba第2頁/共20頁由定理知由定理知收斂收斂 adxxf)(.)(,)(),()(0必定發(fā)散必定發(fā)散則則發(fā)散發(fā)散且且如果如果 aadxxfdxxgxfxg也收，這與假設(shè)矛盾也收，這與假設(shè)矛盾收斂，由第一部分知收斂，由第一部分知如果如果 aadxxgdxxf)()(例如，

3、例如， 時發(fā)散時發(fā)散當(dāng)當(dāng)時收斂；時收斂；當(dāng)當(dāng)廣義積分廣義積分11)0(Ppaxdxap第3頁/共20頁發(fā)散發(fā)散則則，使得，使得常數(shù)常數(shù)收斂；如果存在收斂；如果存在則則，使得，使得及及存在常數(shù)存在常數(shù)如果如果上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)比較審斂法比較審斂法定理定理 aapdxxfxaxNxfNdxxfxaxMxfpMxfaaxf)()()(0)(),()(10. 0)()0(),)()(3第4頁/共20頁例例.1134的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分 xdx解解,111103/43434xxx , 134 p根據(jù)比較審斂法，根據(jù)比較審斂法，.1134收斂收斂廣義積分廣義積

4、分 xdx第5頁/共20頁發(fā)散發(fā)散則則或或如果如果收斂；收斂；存在，則存在，則使得使得，如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)極限審斂法極限審斂法定理定理 axxapxdxxfxxfdxxfdxxfxfxpxfaaxf)(),)(lim(0)(lim)()(lim1. 0)()0(),)()(4例例.112的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分 xxdx解解, 111lim22 xxxx所給廣義積分收斂所給廣義積分收斂第6頁/共20頁例例.1122/3的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分dxxx 解解2222/31lim1limxxxxxxxx , 根據(jù)極限

5、審斂法，所給廣義積分發(fā)散根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散例例.arctan1的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分dxxx 解解xxxxxxarctanlimarctanlim ,2 根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散第7頁/共20頁也收斂也收斂收斂；則收斂；則如果如果上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定理定理 aadxxfdxxfaxf)()(),)(5證證).)()(21)(xfxfx 令令, )()(0)(xfxx ，且，且,)(收斂收斂dxxfa .)(也收斂也收斂dxxa , )()(2)(xfxxf 但但,)()(2)( bababadxxfd

6、xxdxxf .)()(2)( aaadxxfdxxdxxf 即即收斂收斂.第8頁/共20頁.)(5稱為絕對收斂稱為絕對收斂條件的廣義積分條件的廣義積分滿足定理滿足定理定義定義 adxxf必定收斂必定收斂絕對收斂的廣義積分絕對收斂的廣義積分 adxxf)(例例5.)0,(sin0的收斂性的收斂性常數(shù)常數(shù)都是都是判別廣義積分判別廣義積分 abadxbxeax解解.,sin0收斂收斂而而 dxeebxeaxaxax.sin0收斂收斂 dxbxeax所以所給廣義積分收斂所以所給廣義積分收斂.第9頁/共20頁.)(),()()(10)(),()()(10.)(lim, 0)(,()()2(60發(fā)散發(fā)散

7、則廣義積分則廣義積分，使得，使得及及收斂；如果存在常數(shù)收斂；如果存在常數(shù)則廣義積分則廣義積分，使得，使得及及常數(shù)常數(shù)如果存在如果存在上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)比較審斂法比較審斂法定理定理 baqbaqaxdxxfbxaaxNxfqNdxxfbxaaxMxfqMxfxfbaxf第10頁/共20頁發(fā)散發(fā)散分分則廣義積則廣義積或或，使得，使得如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)收斂；收斂；則廣義積分則廣義積分存在存在，使得，使得如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)極限審斂法極限審斂法定理定理 baqaxqaxbaqaxaxdxxfxfaxdxfaxqdxxfxf

8、axqxfxfbaxf)(),)()(lim(0)()(lim1)(,)()(lim10.)(lim, 0)(,()()2(0000第11頁/共20頁例例6.ln31的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分 xdx解解的左鄰域內(nèi)無界的左鄰域內(nèi)無界被積函數(shù)在點被積函數(shù)在點1 x由洛必達(dá)法則知由洛必達(dá)法則知xxxxx11limln1)1(lim0101 , 01 根據(jù)極限審斂法根據(jù)極限審斂法2,所給廣義積分發(fā)散所給廣義積分發(fā)散.第12頁/共20頁例例7.1sin31的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分dxxx 解解也收斂也收斂從而從而dxxx 101sin收斂，收斂，而而 1,11sinxdx

9、xxx收斂，收斂，dxxx 101sin根據(jù)比較審斂原理根據(jù)比較審斂原理,第13頁/共20頁)0()(01 sdxxessx定義定義特點特點: 1.積分區(qū)間為無窮積分區(qū)間為無窮;.001. 2右領(lǐng)域內(nèi)無界右領(lǐng)域內(nèi)無界的的時被積函數(shù)在點時被積函數(shù)在點當(dāng)當(dāng) xs,1121011 dxxeIdxxeIsxsx設(shè)設(shè);,1)1(1是常義積分是常義積分時時當(dāng)當(dāng)Is ,10時時當(dāng)當(dāng) s函數(shù)函數(shù)三、三、 第14頁/共20頁,111111sxssxxexxe ., 2, 111收斂收斂根據(jù)比較審斂法根據(jù)比較審斂法而而Is , 0lim)(lim)2(112 xsxsxxexxex., 12也收斂也收斂根據(jù)極限審斂法根據(jù)極限審斂法I.0)2(),1(01均收斂均收斂對對知知由由 sdxxesxs)(s o第15頁/共20頁 函數(shù)的幾個重要性質(zhì)：函數(shù)的幾個重要性質(zhì)：).0()()1( ssss遞推公式遞推公式.)(0 ss時，時，當(dāng)當(dāng)).10(sin)1()(3 ssss余元公式余元公式.2)()(0122012 duuesuxdxxessusx有有，中，作代換中，作代換在在 第16頁/共20頁比較審斂法極限審斂法無窮限的廣義積分審斂法比較審斂法極限審斂法無界函數(shù)的廣義積分審斂法廣廣義義積積分分審審斂斂法法絕對收斂絕對