利用空間向量解決空間距離問題

1、立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法 -距離問題距離問題一、求點(diǎn)到平面的距離一、求點(diǎn)到平面的距離一般方法：一般方法：利用定義先作出過利用定義先作出過這個(gè)點(diǎn)到平面的垂這個(gè)點(diǎn)到平面的垂線段，再計(jì)算這個(gè)線段，再計(jì)算這個(gè)垂線段的長(zhǎng)度。垂線段的長(zhǎng)度。還可以用等積法求距離還可以用等積法求距離. .OdP向量法求點(diǎn)到平面的距離向量法求點(diǎn)到平面的距離AOdnPsin|AP nAP n d|AP nn 其中其中 為斜向量，為斜向量， 為法向量。為法向量。nAP sindAP sin| APd 二、直線到平面的距離二、直線到平面的距離AOdnPd|AP nn 其中其中 為斜向量，為斜向量， 為法向量。為法向量

2、。nAP l三、平面到平面的距離三、平面到平面的距離AOdnPd|AP nn 四、異面直線的距離四、異面直線的距離nabd|AP nn ?n?AP 是與是與 都垂直的向量都垂直的向量n, a b AP點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)到平面的距離：直線到平面的距離：直線到平面的距離：平面到平面的距離：平面到平面的距離：異面直線的距離：異面直線的距離：四種距離的統(tǒng)一向量形式：四種距離的統(tǒng)一向量形式：d|AP nn ABCD1A1B1C1DExyz(1) 求求B1到面到面A1BE的距離；的距離；如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為中，棱長(zhǎng)為1，E為為D1C1的中點(diǎn)，求下列問題：的中點(diǎn)，

3、求下列問題：ABCD1A1B1C1DExyz如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為中，棱長(zhǎng)為1，E為為D1C1的中點(diǎn)，求下列問題：的中點(diǎn)，求下列問題：(2) 求求D1C到面到面A1BE的距離；的距離；ABCD1A1B1C1Dxyz如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為中，棱長(zhǎng)為1，E為為D1C1的中點(diǎn)，求下列問題：的中點(diǎn)，求下列問題：(3) 求面求面A1DB與面與面D1CB1的距離；的距離；ABCD1A1B1C1DExyz如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為中，棱長(zhǎng)為1，E為為D1C1的中點(diǎn)，求下列問題：的中點(diǎn)，求

4、下列問題：(4) 求異面直線求異面直線D1B與與A1E的距離的距離.FEB1C1D1DCA練習(xí)練習(xí)1：已知棱長(zhǎng)為已知棱長(zhǎng)為1的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分別是分別是B1C1和和C1D1 的中點(diǎn)，求點(diǎn)的中點(diǎn)，求點(diǎn)A1到平到平面面DBEF的距離。的距離。BxyzA1練習(xí)練習(xí)2：已知棱長(zhǎng)為已知棱長(zhǎng)為1的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1，求平面求平面DA1C1和平面和平面AB1C間的距離。間的距離。B1C1D1DCABxyzA1練習(xí)練習(xí)3:已知棱長(zhǎng)為已知棱長(zhǎng)為1的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1，求直線求直線DA1和和AC間的距離。間的距離。B1C1D1DCABx

5、yzA1小結(jié)小結(jié) 利用法向量來(lái)解決上述立體幾何題目，最大利用法向量來(lái)解決上述立體幾何題目，最大的的優(yōu)點(diǎn)就是不用象在進(jìn)行幾何推理時(shí)那樣去優(yōu)點(diǎn)就是不用象在進(jìn)行幾何推理時(shí)那樣去確定垂足的位置確定垂足的位置，完全依靠計(jì)算就可以解決，完全依靠計(jì)算就可以解決問題。但是也有局限性，用代數(shù)推理解立體問題。但是也有局限性，用代數(shù)推理解立體幾何題目，關(guān)鍵就是得幾何題目，關(guān)鍵就是得建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系，把向量通過坐標(biāo)形式表示出來(lái)，所以能用這把向量通過坐標(biāo)形式表示出來(lái)，所以能用這種方法解題的立體幾何模型一般都是如：正種方法解題的立體幾何模型一般都是如：正（長(zhǎng)）方體、直棱柱、正棱錐等。（長(zhǎng)）方體、直棱柱

6、、正棱錐等。練習(xí)練習(xí)4：如圖在直三棱柱如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AC=BC=1, ACB=900,AA1= ,2求求B1到平面到平面A1BC的距離。的距離。B1A1BC1ACxyz練習(xí)練習(xí)5：如圖在直三棱柱如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AC=BC=AB=1, AA1=2求求B1到平面到平面A1BC的距離。的距離。B1A1BC1ACxyzM練習(xí)練習(xí)6： 已知正方形已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為4，CG平面平面ABCD，CG=2,E、F分別是分別是AB、AD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求點(diǎn)求點(diǎn)B到平面到平面GEF的距離。的距離。GBDACEFxyzSABCNMOxyz練習(xí)練習(xí)7

7、：在三棱錐在三棱錐S-ABC中，中，ABC 是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為4的正三角的正三角形，平面形，平面SAC垂直平面垂直平面ABC，SA=SC= ， M、N分別為分別為AB、SB的中點(diǎn)，求：點(diǎn)的中點(diǎn)，求：點(diǎn)B到平面到平面CMN的距離的距離.32.)3()2(;)1(的距離的距離到平面到平面求點(diǎn)求點(diǎn)的大??；的大??；求二面角求二面角證明：證明：CMNBBCMNSBAC ABCD1A1B1C1DExyz1111( , , )2AEABnx y zABE =(-1, ,0),=(0,21,-1)設(shè)為面的法)向量，則110,0,n AEn AB 10,20,xyyz 2 ,2 ,yxzx即11110,1,0 ,BABEAB 選點(diǎn) 到面的斜向量為11(1,2,2)xABEn 取 ，得平面的一個(gè)法向量111123AB nBABEdn 得 到面的距離為ABCD1A1B1C1DExyzDxyz1解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，DD 所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，1)如圖所示111(0,0,1), (1,1,0),(1,0,1),(0,1)2DBAE則111,0 ,2AE 11,1, 1D B 11( , , ),nx y zAE D B