材料力學(xué)-扭轉(zhuǎn)問(wèn)題

1、第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)3.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例工程上有很多承受扭轉(zhuǎn)變形桿件,例如攪拌器的主軸 實(shí)例實(shí)例實(shí)例實(shí)例傳動(dòng)軸傳動(dòng)軸實(shí)例實(shí)例汽車傳動(dòng)軸汽車傳動(dòng)軸實(shí)例實(shí)例汽車方向盤汽車方向盤實(shí)例實(shí)例絲錐攻絲絲錐攻絲實(shí)例實(shí)例 扭轉(zhuǎn)變形是指桿件受到大小相等扭轉(zhuǎn)變形是指桿件受到大小相等, ,方向相反且方向相反且作用平面垂直于桿件軸線的力偶作用作用平面垂直于桿件軸線的力偶作用, ,使桿件的橫使桿件的橫截面繞軸線產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。截面繞軸線產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。 扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念工程上，把承受扭轉(zhuǎn)變形的桿件稱工程上，把承受扭轉(zhuǎn)變形的桿件稱“軸軸”。其橫截面大都是圓形的。其橫截面大都是圓形的。所以本章主要介紹圓軸扭

2、轉(zhuǎn)。所以本章主要介紹圓軸扭轉(zhuǎn)。MeMe橫截面之間的相對(duì)角位移橫截面之間的相對(duì)角位移 ,稱為扭轉(zhuǎn)角。稱為扭轉(zhuǎn)角。直接計(jì)算直接計(jì)算FdMe 3.23.2、外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖一一. 外力偶的計(jì)算外力偶的計(jì)算 按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算已知已知軸轉(zhuǎn)速軸轉(zhuǎn)速n 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /分鐘分鐘輸出功率輸出功率Pk 千瓦千瓦力偶矩力偶矩Me e)()()(9459mNmprnWkPkMe二二. 扭轉(zhuǎn)內(nèi)力扭轉(zhuǎn)內(nèi)力 : MeMeMeTMeTnn仍采用截面法仍采用截面法:扭轉(zhuǎn)內(nèi)力正負(fù)號(hào)規(guī)則扭轉(zhuǎn)內(nèi)力正負(fù)號(hào)規(guī)則 : 右手螺旋法則右手螺旋法則 ,確定內(nèi)力正負(fù)確定內(nèi)力正負(fù) 扭矩扭矩

3、T扭矩正負(fù)規(guī)定扭矩正負(fù)規(guī)定右手螺旋法則右手螺旋法則右手拇指指向外法線方向?yàn)橛沂帜粗钢赶蛲夥ň€方向?yàn)?正正(+),(+),反之為反之為 負(fù)負(fù)(-)(-)例例 已知已知PkA=19kW,PkB=44kW, PkC=25kW, n =150rpm求求: :作圖示傳動(dòng)軸的扭矩圖作圖示傳動(dòng)軸的扭矩圖. .MAMBMC解解: 1. 求外力偶求外力偶 150199549MA= =1210Nm 同理 MB=2800Nm, MC=1590Nm MAMBMC1-12-2T1- MA=0 討論：交換討論：交換ABAB輪的位置扭矩輪的位置扭矩 將如何變化？將如何變化？1210-1590 xT-2800-1590 xT

4、MAnT1 T2- MA+ MB=0 MBMAT2n2.截面法求內(nèi)力截面法求內(nèi)力( 設(shè)正法設(shè)正法)3.作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖 T1 = 1210 Nm T2 = -1590 Nm3.3 純剪切純剪切l(wèi)XMelX（1） 實(shí)驗(yàn)觀察實(shí)驗(yàn)觀察:A. 各縱向線傾斜角度相同各縱向線傾斜角度相同；正方形網(wǎng)格正方形網(wǎng)格,加外力偶后變加外力偶后變成同樣大小的平行四邊形成同樣大小的平行四邊形。B. 各圓周線的形狀、大小和各圓周線的形狀、大小和間距不變，只是繞軸線作相對(duì)間距不變，只是繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；轉(zhuǎn)動(dòng)；一 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)切應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)切應(yīng)力lXMe二二 推論推論：存在切應(yīng)力存在切應(yīng)力, 且同一圓周上的且同一圓周上的切應(yīng)

5、力相同切應(yīng)力相同 橫截面上無(wú)正力橫截面上無(wú)正力；(橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力的方橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力的方向和半徑垂直。向和半徑垂直。)R由現(xiàn)象由現(xiàn)象A 由現(xiàn)象由現(xiàn)象Bxyzdxdydz dxdzdy )(dydxdz)(=單元體單元體 純剪切狀態(tài)純剪切狀態(tài)沿纖維、木紋方向開(kāi)裂可以證明沿纖維、木紋方向開(kāi)裂可以證明實(shí)驗(yàn)證明實(shí)驗(yàn)證明:當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的的剪切比例極限剪切比例極限時(shí)時(shí),G剪切剪切G:稱為材料的切變模量稱為材料的切變模量反映材料的抗剪切變形的反映材料的抗剪切變形的能力能力.(MPa, GPa)12EG剪切剪切21evG22ABCD dxdydz10)(dxddydzdW

6、10)(dVddWdV10ddVdVv當(dāng)切應(yīng)力當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限不超過(guò)材料的剪切比例極限dydzdx3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力lXMelX 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：平面假設(shè)：圓桿的橫截面變形后仍圓桿的橫截面變形后仍為保持為平面為保持為平面一一 變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系 圓軸橫截面像剛性平面一樣圓軸橫截面像剛性平面一樣,繞繞軸線轉(zhuǎn)過(guò)一角度軸線轉(zhuǎn)過(guò)一角度T表面Rddx 內(nèi)部ddx dxd二二 物理?xiàng)l件物理?xiàng)l件：dA三三 平衡條件平衡條件：AdAdxdGddxdxdGGAdAdTTdAAdAdxdG2TT內(nèi)部一一 變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系 dTPGITdxdPITT

7、dAAdAdxdGT2APdAI2極慣性矩極慣性矩APdAI2324DIp實(shí)心圓軸實(shí)心圓軸空心圓軸空心圓軸DdDdDIp444413232tppWTRITRITmax空心圓DdDWt43116Wt 抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)實(shí)心圓163DWt圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件:對(duì)階梯軸，因各段的對(duì)階梯軸，因各段的Wt不同不同 ,最大切應(yīng)最大切應(yīng)力不一定在最大力不一定在最大T所在截面，須綜合考所在截面，須綜合考慮慮T和和Wt，確定確定T/ Wt極值。極值。dNmmprnWkPMe)()(9459 tWTmax由163DWt MPaWTEt54.1611max MPaWTCt98.2133maxM

8、PaWTHt69.2222max解解：36431029116mDWt MPaWTt7 .51max強(qiáng)度滿足。強(qiáng)度滿足。 tWTmax2.3222dDdAAGG空心優(yōu)于實(shí)心空心優(yōu)于實(shí)心（1）改用實(shí)心軸，在改用實(shí)心軸，在最大應(yīng)力不變時(shí)最大應(yīng)力不變時(shí)確定軸的直徑；確定軸的直徑；討論：討論：（2）比較實(shí)心軸和空心軸的重量）比較實(shí)心軸和空心軸的重量。max316TdWt由mmd53得校核軸的強(qiáng)度。校核軸的強(qiáng)度。 例例 已知汽車傳動(dòng)主軸已知汽車傳動(dòng)主軸D = 90 mm, d = 85 mm,60MPaMe= 1.5 kNm。MeMe為什么相同強(qiáng)度條件下空心軸比實(shí)心軸省材料？為什么相同強(qiáng)度條件下空心軸比實(shí)

9、心軸省材料？944.0DdT = Me= 1.5 kNm , 3.5 圓軸扭轉(zhuǎn)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)的變形:pIG抗扭剛度抗扭剛度pGITdxd單位：弧度弧度(rad)pIGTdxd)(180m剛度條件：剛度條件：180pIGTdxdmmm/0.30.1/0.150.0/5.025.0精密軸一般軸粗糙軸dxGITdlppGITl對(duì)于兩端作用力偶長(zhǎng)為對(duì)于兩端作用力偶長(zhǎng)為l 的等直軸的等直軸:若各段的若各段的T 不同，或各段的不同，或各段的Wt同，同，則分段計(jì)算扭轉(zhuǎn)角則分段計(jì)算扭轉(zhuǎn)角,再代數(shù)相加再代數(shù)相加: nipiiiGIlT121剛度條件：180pIGT解：作扭矩圖 GTDI

10、1590 xT1590 N.m2800 N.m1210 N.m tWTmax163TDWt mmMnD7.58163|T|max=1590（N.m) mmGMnD49180324取 D=59 或60mm例例 已知：已知：,80 GPaG 確定圓軸的直徑確定圓軸的直徑.,40MPa ,/2m 例例 傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為n=500=500r/min，主動(dòng)輪，主動(dòng)輪A 輸入功率輸入功率P1=400kW，從動(dòng)輪，從動(dòng)輪C，B 分別輸出功率分別輸出功率P2=160kW，P3=240kW。已知。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 (1)試確定試確定AC 段的直徑段的直徑d1 和和BC 段

11、的直徑段的直徑d2； (2)(2)若若AC 和和BC 兩段選同一直徑，試確定直徑兩段選同一直徑，試確定直徑d； (3)(3)主動(dòng)輪和從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理主動(dòng)輪和從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理? ?1eMABC2eM3eM1d2dnPMe119549mN76405004009549mN 30602eMmN 45803eM解：解： 1.1.外力偶外力偶 2.2.扭矩圖扭矩圖 mm2 .82m102 .821070764016 1633631Td按剛度條件按剛度條件: : mm4 .86m104 .8611080180764032180323429421GTd3.3.直徑直徑d d1 1的選取的選

12、取: : 按強(qiáng)度條件按強(qiáng)度條件 mN7640mN4580 mm4 .861d1eMABC2eM3eM1d2d 31max16dT1803241maxdGT 按剛度條件按剛度條件 : : 4.4.直徑直徑d d2 2的選取的選取 按強(qiáng)度條件按強(qiáng)度條件: : 1eMABC2eM3eM1d2dmN7640mN4580 mm3 .69m103 .6910704580161633632Tdmm76m107611080180458032180323429422GTdmm762d 5.選同一直徑時(shí)選同一直徑時(shí)mm4 .861 dd 6.6.將將主動(dòng)輪按裝在主動(dòng)輪按裝在兩從動(dòng)輪之間兩從動(dòng)輪之間1eMABC2e

13、M3eM1d2dmN7640mN4580 2eMCBA1eM3eM1d2d受力合理受力合理mN3060mN4580 扭轉(zhuǎn)的超定靜問(wèn)題扭轉(zhuǎn)的超定靜問(wèn)題例例 兩端固定的階梯圓截面桿，在兩端固定的階梯圓截面桿，在C處受一力偶處受一力偶m，求支，求支反力偶？反力偶？a2amCAaB2GIpGIpmmBCABmA0BAmmmBBCmTAACmT解：解： 解除約束，以 、 代替。AmBm變形協(xié)調(diào)方程：變形協(xié)調(diào)方程：物理方程：物理方程：求解得求解得:mmA74mmB73)(0CBAcCBACABpBCBCGIaT2pACpACACGIaTGIaT2mmBCABmA例例 由實(shí)心桿由實(shí)心桿1和空心桿和空心桿2組

14、成的組合軸，受扭矩組成的組合軸，受扭矩T，兩者之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，求各自最大切應(yīng)力，兩者之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，求各自最大切應(yīng)力.解解:設(shè)實(shí)心桿和空心桿承擔(dān)的扭矩分別為設(shè)實(shí)心桿和空心桿承擔(dān)的扭矩分別為T1、T2。G2Ip2G1Ip1R2R1T平衡方程：平衡方程：TTT21變形協(xié)調(diào)方程：變形協(xié)調(diào)方程：211111pIGlT2222pIGlTTIGIGIGTppp2211111TIGIGIGTppp2211222TIGIGRGpp2211222TIGIGRGpp2211111聯(lián)立求解，得：聯(lián)立求解，得：G2Ip2G1Ip1R2R1T 討論討論: 1) 實(shí)心桿和空心桿相實(shí)心桿和空心桿相接觸處接觸處的切應(yīng)力情況的切應(yīng)力情況2) 在下述三種情況下的切應(yīng)力分布情況：在下述三種情況下的切應(yīng)力分布情況：（