第2章力系的平衡

1、2022-5-141第第2 2章章 力系的平衡力系的平衡靜力學靜力學 核心內(nèi)容核心內(nèi)容 力系簡化結(jié)果力系簡化結(jié)果平衡條件（幾何、解析）一般平衡條件（幾何、解析）一般特殊特殊 各類平衡問題求解各類平衡問題求解 2022-5-142一、一般一、一般力系平衡條件與平衡方程力系平衡條件與平衡方程 2.1 2.1 一般力系的平衡原理一般力系的平衡原理 0000Rii,()FFMMF力系平衡且 稱為一般力系平衡的幾何條件稱為一般力系平衡的幾何條件 1. 1.一般力系的平衡條件一般力系的平衡條件幾何上幾何上, , 力矢多邊形和力偶矩矢多邊形同時封閉力矢多邊形和力偶矩矢多邊形同時封閉2022-5-143 思考

2、：思考：1 1）圖示受力圓板平衡嗎？）圖示受力圓板平衡嗎？DCBAFDCBA2 2）圖示力系沿正方體棱邊，）圖示力系沿正方體棱邊， 大小相等，平衡嗎？若不平大小相等，平衡嗎？若不平衡，試加一力使之平衡。衡，試加一力使之平衡。 FFFFFF2022-5-144 2.2.一般力系的平衡方程一般力系的平衡方程1) 1)基本形式基本形式2)2)其它形式其它形式 4 4矩式矩式 、 5 5矩式、矩式、6 6矩式及其補充條件矩式及其補充條件. . 000 xyzFFF000 xyzMMM由由 向直坐標軸投影向直坐標軸投影, ,得得00 0ii()FM F2022-5-145空間匯交力系的平衡方程空間匯交力

3、系的平衡方程, , 取匯交于取匯交于OO點點空間平行力系的平衡方程空間平行力系的平衡方程, , 讓各力線平行于讓各力線平行于z z軸軸000 xyzMMF000 xyzFFF空間力偶系空間力偶系0,0,0 xyzMMM1. 1. 空間特殊力系的平衡方程空間特殊力系的平衡方程2022-5-146平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程 ( (置各力線于置各力線于xoy平面，則平面，則) )000ABCMMM三矩式三矩式( (A,B,C不共線）不共線）000 xABFMF二矩式二矩式(ABx)0 0 0 xyzFFM基本式基本式2. 2. 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程2022-5-14

4、7平面匯交力系平面匯交力系,取匯交點為坐標原點取匯交點為坐標原點0,0 xyFF平面平行力系平面平行力系,取取y軸平行于各力軸平行于各力0 ,0yzFM平面力偶系平面力偶系0iM2022-5-148（1 1）力系平衡時，對任意軸）力系平衡時，對任意軸x，有，有 （2 2）各類力系獨立平衡方程數(shù)）各類力系獨立平衡方程數(shù) 一般 平行 匯交 力偶 空間 6 3 3 3 可用于判斷問題是否可解可用于判斷問題是否可解3. 3. 平衡方程要點平衡方程要點=0 0 xxFM 一般 平行 匯交 力偶 空間 6 3 3 3 平面 3 2 2 1 2022-5-149思考：思考：下列問題是否可解？下列問題是否可解

5、？三桿平行三桿平行F 三桿匯交三桿匯交FM兩桿平行兩桿平行M4 4桿匯交桿匯交G4 4桿平行桿平行F2022-5-1410例例1 1 三根直桿三根直桿AD，BD，CD在點在點D處互相聯(lián)結(jié)構(gòu)成支架，處互相聯(lián)結(jié)構(gòu)成支架， ABC組成等邊三角形，各桿和纜繩與地面的夾角均為組成等邊三角形，各桿和纜繩與地面的夾角均為60o，W=500kN的載荷。求平衡時各桿的軸向壓力。的載荷。求平衡時各桿的軸向壓力。1 1、匯交力系、匯交力系 2022-5-1411研究對象：三根直桿研究對象：三根直桿+ +重物重物+ +纜繩纜繩受力分析：匯交力系受力分析：匯交力系,WFFFFPCBA500kNPFWkWkjFkjFkj

6、iFkjiFWFFFFPPCCBBAAoooooooooooooo60sin60cos60sin60cos60sin60cos60cos60sin60cos60sin60cos60cos60sin60cosoo0:00:cos6000:sin600 xBAyBACPzABCPFFFFFFFFFFFFFWkN 69kN 569CBAFFF2022-5-1412 例例2 2 起重機的穩(wěn)定性問題起重機的穩(wěn)定性問題, ,求求Gomin, xmax(p57例例2-2).2 2、平行力系、平行力系 2022-5-14131212,MMFdMM解：解： 由封閉的力偶矩三角形由封閉的力偶矩三角形,得得2ABM

7、Fd故2ABABMFdFFll3、力偶系、力偶系例例3 已知已知:盤徑均為盤徑均為d，AB=l，各力大小相同均為本，各力大小相同均為本F. 試確定軸試確定軸承承A，B的約束力的約束力(P60例例2-5)。位于垂直于位于垂直于MAB的平面內(nèi)的平面內(nèi),即與即與x,或或y軸夾角為軸夾角為450,與與xy面垂直的平面內(nèi)面垂直的平面內(nèi),指向由右手法則定指向由右手法則定.2022-5-1414解：解： 折桿的受折桿的受力如圖力如圖b。 例例4 4：試求圖示折桿的固定端處約束力。試求圖示折桿的固定端處約束力。 1m2m1m2m1KN1KN3KN2KN1KN1KN3KN2KNxMNxFQyFxMyMQzFzM

8、01 22 14kN m01 23 28kN m01 22 26kN mxyyzzM,MM,MM,M T2 5kNQF剪力01kN02kN01 3 4kNxNyQyzQzFFFFFF 由由4、一般力系、一般力系228610kN mM彎矩2022-5-1415思考：如何求各段內(nèi)力函數(shù)？思考：如何求各段內(nèi)力函數(shù)？ 分三段，三個坐標分三段，三個坐標 如：將如：將D處處2m，改為，改為x，則，則CD段段扭矩為常數(shù)，彎矩為線性函數(shù)扭矩為常數(shù)，彎矩為線性函數(shù) 1m2mDA1m2m1KN1KN3KN2KN2022-5-1416已知已知 q、l 試求圖示簡支梁，橫截面內(nèi)試求圖示簡支梁，橫截面內(nèi)力隨軸線的變化規(guī)

9、律（內(nèi)力函數(shù)）。力隨軸線的變化規(guī)律（內(nèi)力函數(shù)）。 解：解：約束力約束力 2AyByqlF= F=0 02yQqlFFqx (xl )qlBAxAyFByF在在x處作截面，研究左半段，受力如圖處作截面，研究左半段，受力如圖由 qx2qlQF2xM由 20 022cqlqMMxx(xl )5 5、變形體的內(nèi)力計算、變形體的內(nèi)力計算2022-5-1417qlBA210 28maxdMlxMqldx得，MQF21ql82ql2ql2l2022-5-1418例例6 如圖如圖a所示，等截面直梁受橫向荷載所示，等截面直梁受橫向荷載q(x) 作用，作用，試寫出橫截面上的內(nèi)力的平衡微分方程。試寫出橫截面上的內(nèi)力

10、的平衡微分方程。圖a2022-5-1419解：解：取梁的微段取梁的微段dx, ,受力如圖受力如圖b, , 橫截面上的橫截面上的內(nèi)力有內(nèi)力有: : 剪力剪力FQ , ,彎矩彎矩 M, q(x)視為常量視為常量. .圖 b由由 0yF ，得得( )( )d( )( )d0QQQFxFxFxq xx由由 0CM，得得d( )( )d( )( )d( )d02QxM xM xM xFxxq xx略去上式中的二階微量略去上式中的二階微量 d( )d2xq xx，得得 d( )d( )( ),( )ddQQFxM xq xFxxx第三個方程2022-5-1420例例7 試導出理想流體試導出理想流體( (無

11、粘性無粘性) )的靜力平衡微分方的靜力平衡微分方 程。設(shè)單位質(zhì)量的體分布力為程。設(shè)單位質(zhì)量的體分布力為f。由由 0yF ，得，得d d(d )d dd d d0ypp x zpyx zfx y zy10ypfy故解：解：在靜止流體中取邊長分別為在靜止流體中取邊長分別為dx,dy,dz的微小六面體的微小六面體, , 受體積力受體積力 及及6個側(cè)面上的表面壓力作用個側(cè)面上的表面壓力作用. . 考察左考察左右兩側(cè)面中點的壓強大小如圖所示，并視為整個側(cè)面的右兩側(cè)面中點的壓強大小如圖所示，并視為整個側(cè)面的平均壓強。平均壓強。 VFf2022-5-1421同理可得同理可得1010 xzpfxpfz故有故有

12、1()xyzpppfffxyzijkijk即1pf,xyzpppfffpxyz式中：f =ijkijk2022-5-1422一、靜定與超靜定概念一、靜定與超靜定概念 未知量個數(shù)未知量個數(shù)Nr獨立方程數(shù)獨立方程數(shù)Ne e 未知量個數(shù)未知量個數(shù)Nr獨立方程數(shù)獨立方程數(shù)Ne e 僅用靜力平衡條件就能求解的問題僅用靜力平衡條件就能求解的問題靜定：靜定：超靜定：超靜定： 只用靜力平衡條件不能求解的問題只用靜力平衡條件不能求解的問題超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)=獨立方程數(shù)獨立方程數(shù)NNe e未知量個數(shù)未知量個數(shù)NNr r自由度數(shù)自由度數(shù)=獨立方程數(shù)獨立方程數(shù)NNe e未知量個數(shù)未知量個數(shù)NNr r2022-5-1

13、423FMFMNr=6 Ne e =6 =6靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)Nr=7 Ne e =6 =6一次超靜定結(jié)構(gòu)一次超靜定結(jié)構(gòu)Nr=5 Ne e =6 =6一自由度機構(gòu)一自由度機構(gòu)FM2022-5-1424Nr=8 Ne e = =6二次超靜定二次超靜定( ) cFNr=8 Ne e = =6二次超靜定二次超靜定Nr=9 Ne e = =8一次超靜定一次超靜定思考：思考：試判斷下列系統(tǒng)是否靜定？試判斷下列系統(tǒng)是否靜定？BA( )a0f GCDACB( )bF2022-5-1425二二 物系平衡問題解法物系平衡問題解法 1. .物系平衡的兩個特點：物系平衡的兩個特點： 1) )整體、單體、整體、單體、

14、任意各部分物體都是平衡體任意各部分物體都是平衡體, , 均均可取為分離體可取為分離體, , 存在取必要分離體及先后順序存在取必要分離體及先后順序問題。問題。 2) )約束力都是未知的約束力都是未知的, , 但并非需求的但并非需求的, , 需求力只需求力只是全部未知力的一小部分是全部未知力的一小部分, , 存在列寫必要平衡存在列寫必要平衡方程問題方程問題. .2022-5-14262. .一般步驟：一般步驟： 1) ) 凡取整體考慮能求出部分需求量的優(yōu)先取整凡取整體考慮能求出部分需求量的優(yōu)先取整體體, , 否則取單體或部分物體否則取單體或部分物體. . 3) ) 巧取矩心、投影軸、盡量避免聯(lián)立方

15、程巧取矩心、投影軸、盡量避免聯(lián)立方程. .常選常選未知力的交點為矩心以及與多個未知力相垂直未知力的交點為矩心以及與多個未知力相垂直的投影軸的投影軸. . 2) ) 凡所取凡所取單體或部分物體單體或部分物體考慮能求出部分需求考慮能求出部分需求量的優(yōu)先取該量的優(yōu)先取該單體或部分物體單體或部分物體. . 物系平衡的例2022-5-14272.2.3 3 考慮摩擦時的物體平衡考慮摩擦時的物體平衡2022-5-1428摩擦分類：摩擦分類：滑動摩擦滑動摩擦滾動摩擦滾動摩擦干摩擦干摩擦粘性摩擦粘性摩擦一、滑動摩擦一、滑動摩擦2022-5-1429SFF1. 1. 靜摩擦力定義與特征：靜摩擦力定義與特征： 靜

16、摩擦力的定義靜摩擦力的定義 兩相互接觸的物體，有相對滑動趨勢時，在其兩相互接觸的物體，有相對滑動趨勢時，在其接觸面產(chǎn)生阻止物體運動的力叫接觸面產(chǎn)生阻止物體運動的力叫 靜滑動摩擦力靜滑動摩擦力。2022-5-1430靜摩擦力特征靜摩擦力特征1. 是約束力，隨主動力的改變而改變是約束力，隨主動力的改變而改變2. 存在一個極限值存在一個極限值maxSFF2022-5-1431（f 動摩擦系數(shù)）動摩擦系數(shù)）dNFfF（fS 靜滑動摩擦系數(shù)靜滑動摩擦系數(shù)）maxSNFf F2. 2. 庫侖摩擦定律庫侖摩擦定律2022-5-1432 滑動摩擦力滑動摩擦力是一種切向約束反力，方向總是是一種切向約束反力，方向

17、總是 與物體運動趨勢方向相反。與物體運動趨勢方向相反。a a. . 當有滑動趨勢時當有滑動趨勢時 FSfSFN b b. . 當滑動即將發(fā)生時當滑動即將發(fā)生時 Fmax=fSFN c c. . 當滑動已經(jīng)發(fā)生時當滑動已經(jīng)發(fā)生時 Fd=f FN (一般一般: f fS )2022-5-1433maxNNNtgsmsFf FfFF 摩擦角的定義：當摩擦力達到最大值時其全反力摩擦角的定義：當摩擦力達到最大值時其全反力 與法線的夾角稱為摩擦角。與法線的夾角稱為摩擦角。 3. 3. 摩擦角與自鎖摩擦角與自鎖2022-5-14342022-5-1435摩擦系數(shù)的測定：摩擦系數(shù)的測定：OA繞繞O 軸轉(zhuǎn)動使物

18、塊剛開始下軸轉(zhuǎn)動使物塊剛開始下滑時測出滑時測出角，角，tgtg =fs , (, (即為即為該兩種材料間的靜該兩種材料間的靜摩摩擦系數(shù)擦系數(shù)) )。maxNNNtgsmsFf FfFF2022-5-1436自鎖的概念與條件：自鎖的概念與條件：m 2022-5-14372022-5-14382022-5-14392022-5-14402022-5-14412022-5-1442為何值時自鎖？求已知,) 1sfPFPFo90多大時，礦石不上滑？鄂氏破障機，咬入角)2M22022-5-1443maxsNFf F 1) 1)三個要點三個要點: : (1) (1) 在靜摩擦狀態(tài)在靜摩擦狀態(tài), ,摩擦力的

19、方向可以假設(shè)摩擦力的方向可以假設(shè), ,大小由大小由 平衡方程定平衡方程定. . 在臨界摩擦狀態(tài)在臨界摩擦狀態(tài), ,摩擦力的方向不能假設(shè)，要根摩擦力的方向不能假設(shè)，要根據(jù)物體運動趨勢來判斷據(jù)物體運動趨勢來判斷, ,大小由方程大小由方程 . . (2) (2) 平衡有個范圍平衡有個范圍, ,解也有一個范圍解也有一個范圍, ,須用不等式表須用不等式表達達. . (3) (3) 解題方法：解題方法：解析法解析法 幾何法幾何法4.4.考慮滑動摩擦的平衡問考慮滑動摩擦的平衡問題題2022-5-1444SsNFf F(1)(1)物體肯定能平衡物體肯定能平衡, ,摩擦力按靜摩擦狀態(tài)處理摩擦力按靜摩擦狀態(tài)處理. .(2)(2)物體處于臨界摩擦狀態(tài)，摩擦力按臨界狀態(tài)處理物體處于臨界摩擦狀態(tài)，摩擦力按臨界狀態(tài)處理. . (3)(3)物體能否平衡不能預(yù)先確定物體能否平衡