曾瑾言第四課后習(xí)題

1、第二章：函數(shù)與波動方程將方程式左邊加減相等的量C:得:d2'-dx22mm E C-V(x) CQ =oP69當(dāng)勢能V(r)改變一常量否？C時,即V(r)_； V(r) c ,粒子的波函數(shù)與時間無關(guān)部分變否？能量本征值變(解)設(shè)原來的薛定諤方程式是將 EVgL =0dx這兩個方程式從數(shù)學(xué)形式上來說完全相同，因此它們有相同的解' (x),從能量本征值來說，后者比前者增加了Co設(shè)粒子勢能的極小值是Vmin證明En >V(證)先求粒子在某一狀態(tài)中的平均值能量E一舟2E in *2 V(r) d3x 2m其中動能平均值一定為正：2T： ii"(2)'-d3x2m

2、-2 * *=i汐” ”d2m一2 * 一2 * =_：f )d '-d .2m2m2'2'2用高斯定理:TC ) ds*d. =*2m B2m 2m、？中間一式的第一項是零，因為假定滿足平方可積條件，因而T 0因此 T V V ,能讓能量平均值V Vmin 因此 E Vmin 令 S n (本征態(tài))則E=En而En Vmin得證2.1設(shè)一維自由粒子的初態(tài)' x,0二eiP0,求* x,t o解:i- x,t =e屮(x,t©(p)e#2 二'p=':px_Ei)d p(1)這是一維波包的通用表示法，是一種福里哀變換，上式若令'

3、 (x,0)e'Pxd pt = 0應(yīng)有（2）但按題意，此式等于 ； （x）。但我們知道一維:.函數(shù)一種表示是:dk(3)將（2）（ 3）二式比較：知道£，并且求得（p;2 -，是（1）成為 (x,t)- (px -Ei)edp(4)p，能量是E,為了，其波函數(shù)：這是符合初條件的波函數(shù)，但p, E之間尚有約束條件2p（因為是自由粒子，總能量等于動能），2m代入（4）1O0(x-t2-p.：px_P i)2m(5)將此式變形成高斯積分，容易得到所需結(jié)果:imx25）二丄mxithSp p 二利用積分rd =-=0' (x,t)二2m 二it22.2對于一維自由運(yùn)動粒子，

4、設(shè)屮（x,0）=6（x）求|屮（X,t）。（解）題給條件太簡單，可以假設(shè)一些合理的條件，既然是自由運(yùn)動，可設(shè)粒子動量是 能代表一種最普遍的一維自由運(yùn)動，可以認(rèn)為粒子的波函數(shù)是個波包（許多平面波的疊加）寫出共軛函數(shù)（前一式(x,t)二 1i變號)：2 1 -it' (x,t)x(2 二')2 m 心. m本題也可以用Fresnel積分表示，為此可將（6）式積分改為:3 21-(罟dp-i_si n0(mX)2dp2mt2mimx2屮（x t） 1用課本公式得 *（Vi）屮（x,t）2兀衣:"e 21，兩者相乘，可得相同的結(jié)果。t22.2設(shè)一維自由粒子的初態(tài) 屮（X,0）

5、=5（X ），求屮（X,tj）。-be-be提示：利用積分公式cos 2 d sin 2 d=二 2-beexpl- 2 d =. exp i : 4】。解：作Fourier變換:1 誌j.乙0二2一 pp， 1 ,p =r 'x,0e-(x)eJpx dx=12m2：'.rxz： Wp-:edp =1-boimx2 2 te-J exp -it2mp2 2m)mx fl p tdpmx 2 ” r p_ t ，則eimx2 2 帝2m2m2 teimx2滋.J7es/4 =兀4m.expiYlmxx,宀m2.3設(shè)一維自由粒子初態(tài)為 屮（x,0），證明在足夠長時間后屮（x,t

6、）= #罟expi兀/4】exp/mx卉i/4e.x。1 乂式中 k - x,0 e±kxdx是'-：x,0的Fourier變換。提示：利用12兀證：根據(jù)平面波的時間變化規(guī)律eikx，eikx",任意時刻的波函數(shù)為, 1屮(x,t)=W=k eikx-k2t/2mdk1 imx2/2 k=2- e-He| 斑，Zdk®(k)exp|i - 2m(1)當(dāng)時間足夠長后（所謂 t ：），上式被積函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)具有-函數(shù)的性質(zhì)，取(2)參照本題的解題提示，即得' x,t ：1_ eimx22t2 二聲e®4陥(kk mX dkt./4 imx

7、e(3)(4)x處的主要成分為 k = mx t，即mx物理意義：在足夠長時間后，各不同k值的分波已經(jīng)互相分離，波群在2X = kt/m，強(qiáng)度乂 I®（k由，因子m/A描述整個波包的擴(kuò)散，波包強(qiáng)度2 2設(shè)整個波包中最強(qiáng)的動量成分為衆(zhòng)0，即k=ko時I®（時最大，由（4）式可見，當(dāng)t足夠大以后，卩|的最大值出現(xiàn)在 mx t二k0處，即x二k0t m處，這表明波包中心處波群的主要成分為k0。2.4 1.72.5設(shè)質(zhì)量為m的粒子在勢場 V（r）中運(yùn)動。（a）證明粒子的能量平均值為-2w =（能量密度）2m（b）證明能量守恒公式:W2R s = 0, s =-.:t2m屮+竺_京屮

8、ct（能流密度）證：（a）粒子的能量平均值為（設(shè)已歸一化）2皿宀V(1)d3r *Vd3r *2' d3rI" 1 匚"2m2m(2)其中T的第一項可化為面積分，而在無窮遠(yuǎn)處歸一化的波函數(shù)必然為因此Tdi* 2m(3)結(jié)合式（1）、（ 2）和（3），可知能量密度w7 ,2m(4)且能量平均值E = d 3r w。(b) 由( 4)式，得cw克2:t -( *)亠；" 2m |L trJ竺V屮+V空ct+ :t一22m-V-V-t燈屮+£_v屮ct一宀-t-V :t*V-:t二 2 V ,2m：t:tcPt屮.t（二：幾率密度）22 V 2m（定態(tài)

9、波函數(shù)，幾率密度t不隨時間改變）w粒子滿足含時間薛定諤方程及其共軛方程式:所以.:tJ"2m.:t2 * 弓2m則有22m ；:ts.?t.：t ；：t ；：t公式得證。2.6考慮單粒子的Schr?dinger 方程2i r,t - ；t2 r,t V. r iV2 rr,t（ 1）2mV與v2為實函數(shù)。(a )證明粒子的幾率(粒子數(shù))不守恒。(b)證明粒子在空間體積.內(nèi)的幾率隨時間的變化為i i'H*2im s- 2V_屮帝屮* )dS+才仃Jd3r屮*屮證：(玄)式(1)取復(fù)共軛,i :t(2),得'22V. -iV2 *2mh22_:* . 2：*V2*V 2m

10、j:t此即幾率不守恒的微分表達(dá)式。rft*= _ *l :t2im0,心廠些八一：（2）+2iV” V（3）利用高斯定理將右方第一項變形:J© 心3xQP*hi-'、（汀t門 2mi（3）（V *vr -rvr *）-ds 2 弓*V，d3x-2mi（）- - o> 0，因而（3）式(4)如果粒子的運(yùn)動范圍是無限的，并且符合平方可積條件，則在無限遠(yuǎn)處 的面積分等于0。:p 2匚二？*V2（xFd3xft 7 ,這證明總幾率P -?*?d3x不守恒，因為-0。J J JQ漁（3式（3）對空間體積.積分，得ho列滬沙）一喬叮ww3"祀cm*Q*仰伴屮屮可屮)dS+

11、£出d3rV2屮屮 2im s"上式右邊第一項代表單位時間內(nèi)粒子經(jīng)過表面進(jìn)入體積.的幾率（=jdS ），而第二項代表體積.中"產(chǎn) 生”的幾率，這一項表征幾率（或粒子數(shù)）不守恒。2.7 1.82.8在非定域勢中粒子的薛定諤方程式是：i 心x，t =ix，t V x,x Px，t d3x（ 1）：t2mx求幾率守恒對非定域勢的要求。此時，只依賴于波函數(shù)？在空間一點的幾率波是否存在？解按題意，是要求寫出幾率守恒的條件，從這個條件尋出V x, x應(yīng)當(dāng)遵守的要求。幾率守恒的條件是：UfP9d3x = 0亠*岡 訊*、 3 ”或川甲+甲d3X =0（2 ）Old d 丿與13

12、題類似，可寫出1的共軛方程式：.- _ ：2 _ _ _ _專V（x, t=V2¥*（x, tm，x 緊 *（x，, w （3 ）:t2mx- -將1和3中的 和想等同的式子代入到2式中去，就得到如下的條件:V * d3x2mi ,；i*- - *-*-33川* (x, t)川V(x, x¥(x x, t)屮(x, t)川 V (x, x護(hù)(xH, t)d3x d3x 丄 0Q -""_將前式等號左方第一項變成面積分高斯定理，第二項變成六重積分：氏 * u -1I審一八汀 ds -(4 )*33tv x, x ? x； t d x d x =02mi s

13、iniiiiTf * x，tv x，xF x； t x，門x前式等號左方第一項由于波函數(shù)平方可積條件(7* > 0, 7 x > 0當(dāng)x時)可消去，因？ x, t和? x , t形式相同，xx對易，X-; x',x'； x對易：111111* x, t V x, V* x', X 中 x', t d3x d3x = 0(5)Q xH這積分式定積分，它等于零的可能性要求被積函數(shù)為零，即：V x, x =V* x, x因此V x, x 必須是x, x 實函數(shù)。2.9設(shè)N個粒子的哈密頓量為：N - 2N冷一E ° 口吃VP 巧im 2mi二?(叩

14、2N,t)是它的任一態(tài)函數(shù)，定義：珥")八(r,t)j(r,t)八 j(,t)：i(ri,t)d'ad'a d'rN?*?-_ hji(ri,t)d'Md3rNem?*)2im求證：j = 0-:t證明按定義：+=4f(r,t) 瞇ct i=11i.ms d3忙=送jdl-dl/d'gd3m(0 甞+斗甲)it t多粒子的體系的狀態(tài)？（汀2m,t）應(yīng)當(dāng)滿足多粒子薛定諤方程式，寫出這個方程式和其共軛方程式:-tk 2mjk(6a)八(-kv k2m尸JjFjk(6b)將前二式等式右方的式子代替左方的-jt，代進(jìn)式.:tii 、kC2 -八簽廠)2

15、im.9匕d3rid3ri，一丄（？*Vjk宇jk In3333丹*22*:-i '' i d rf d d ri 1 d r（宇 ' k k ?）k 2Im3333辦*=一（Jdld3r/3rMd£送；;代 J普一甲可岀）k 2im又待證的公式的等號左方第二項是： j 八 'i ' ji（i,t）弋1 J J ）ji（Gtji（i,t）ii=1 ji（ri,t） 2 j2（D,t）' i ji（ri,t）、i ji（i,t）id'r,dU dZ ,i fF*"W*）2im ifP fPA八.dl-djdli-d%,k

16、 （*7F*）t i t ik 2im將式兩個求和合一，注意到i = k的項不存在，因而等值異號。2.10*設(shè)在曲線坐標(biāo)（q1q2q3）中線元ds表為ds gikdqidqk，寫出這曲線坐標(biāo)中的薛定諤方程式，寫出球面坐標(biāo)系中的薛定諤方程式。q的上標(biāo)改成下標(biāo)。）（解）dx-dq! dq dq3同樣關(guān)于y,z有類似的二式。（這里為書寫方便qiq q(1)* 參看 Amer.J.Phys.Vol.41.1973-11|_®2 丿L匚 L匚,1.L、 L、2 X 3 z Zdqdq2IL： qi q ：q ：q ：q qX :x :y :y :z :z2dq2dq3q ：q ：q 3823L

17、、-L、-dqsdqq3 :qi:q3 :q2 ：x :x :y :y :z :z q ：q令gik = '（ 'XX）為坐標(biāo)變換系數(shù)：xyz為i動k設(shè)沿曲線坐標(biāo)等勢面的單位矢量是a（, a2， a3則grad宇八吋- cP -=i j k:x：y ;z印汀a2Ca3、g11 ： q1g22 :92g33 ： q31gug 22g 33a1922933?q'、2- -div gradl= 1二g22g33 " jgng22g33 匂gn呦+ 占g33gn o* +& gng22/sL/-s Jj-. Lj. J J-'q2g 22:92：3 g

18、33 ：勺3代入直角坐標(biāo)薛定諤方程式:(2)i qqzqst = .t衣28g22g33 6空+ © giig33 sf2mgiig22g33 ：qgii：q ：q §22：-giig22 _. V q1q2q3 汶 iq1q2q3t-q3 g33:? qiqzqst -?xqiq2q3 , yqgqs , zqq? , tV =Vxqq2q3在球坐標(biāo)情形 x = r sin rcos'-：, y = rsin r sin'-：, z = rcosr式正交坐標(biāo)系giiS2g 22I = r®丿g33代入后得Ids/cr 丿 c9sin亠. 拠)si

19、n，Ksin 二、 胡J2.11寫出動量表象中的不含時Schr?dinger方程。解：經(jīng)典能量方程-Jdp在動量表象中，只要作變換p； P， r一所以在動量表象中，Schr?dinger為:2m叫嗚川p“（p卜2.11寫出動量表象中的薛定諤方程式。解：本題可有二種：A :含時間薛定諤方程式, A :寫出含時間薛氏方程式：B：定態(tài)薛定諤方程式。.t(1)為將前式變換成動量表象，可寫出含時間的表象變換式:為了能用（3）變換（1 ）式，將（P，X,1）式遍乘teipx/ d3pteJpx/ d3x(3)2二- 3/"卩，對空間積分:1(2曲 3/2-ip x/ 一 .3e d x :t22m12 3/2宀V x n左方變形1/2t 2/2 r ” A等號右方第一積分是可以用三重積分的分部積分來變形的，這式寫成標(biāo)量:-22m：2-2y-2G+r 2 j-z，陽護(hù) pyy PzZ / dxdydz計算(5)ezy x x的x部分分部積分法:ipxx pyy pzZ/ dxdydz二d 工 eiPxx pyy PzZ/ dydzzyx H=ei(Pxx