第4章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析

1、第第4章章連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析第第4 4章章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析F周期信號的連續(xù)時間傅里葉級數周期信號的連續(xù)時間傅里葉級數 F周期信號的頻譜周期信號的頻譜F周期信號頻譜分析的周期信號頻譜分析的MATLABMATLAB實現實現 F非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換 F非周期信號頻域分析的非周期信號頻域分析的MATLABMATLAB實現實現 F傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質 本章提要本章提要F周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換 F連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 F用用MATLABMATLAB實現連續(xù)系

2、統(tǒng)的頻域分析實現連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 F無失真?zhèn)鬏敆l件無失真?zhèn)鬏敆l件 F理想低通濾波器的特性理想低通濾波器的特性 F連續(xù)信號的抽樣定理連續(xù)信號的抽樣定理 引言引言頻域分析：頻域分析：傅里葉變換將時間信號表示為一系傅里葉變換將時間信號表示為一系列不同頻率的列不同頻率的正弦函數（正弦函數（ ， ）或虛）或虛指函數指函數 之和，用于系統(tǒng)分析的獨立變量就之和，用于系統(tǒng)分析的獨立變量就由時間變量變換為頻率變量，故稱為頻域分析。由時間變量變換為頻率變量，故稱為頻域分析。 tsincos tj tef(t)h(t)時域分析：時域分析：以以沖激函數沖激函數為基本信號，任意激勵可分為基本信號，任意激勵可分解為一系

3、列沖激函數，解為一系列沖激函數，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應就是激勵系統(tǒng)的零狀態(tài)響應就是激勵 與系統(tǒng)沖激響應與系統(tǒng)沖激響應 的卷積積分。的卷積積分。周期信號的連續(xù)時間傅里葉級數周期信號的連續(xù)時間傅里葉級數由數學分析可知，滿足狄利克雷條件的周期信號在區(qū)間 可以展開成在完備正交函數空間的無窮級數。 00()ttT， 狄利克雷條件為： （1）在一個周期內函數連續(xù)或有有限個第一類間斷點； （2）在一個周期內，函數有有限個極大值或極小值。 電子技術中的周期信號大都滿足該條件 三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數 周期為 的周期信號 ， 為基波角頻率 ，其三角形式的傅里葉級數 ： 傅里葉系數 T)(tf12T01

4、111( )cossin)2nnnnaf tantbnt（）（0012( )cos(),0,1,2,tTntaf tnt dt nT0012( )sin(),1,2,tTntbf tnt dt nT 是是 的偶函數，的偶函數， 是是 的奇函數。的奇函數。 nannbn注意：積分區(qū)間只要是一個周期就可。注意：積分區(qū)間只要是一個周期就可。 三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數 是是 的偶函數，的偶函數， 是是 的奇函數。的奇函數。 nAnnn 將上式同頻率項合并，可寫為將上式同頻率項合并，可寫為 式中式中011( )cos()2nnnAf tAnt2200arctannnnnnnbAaAaba

5、 ，cossinnnnnnnaAbA，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數例例4-14-1 將下圖所示的方波信號將下圖所示的方波信號 展開為三角形式傅里葉級展開為三角形式傅里葉級數。數。 )(tf0T2T2T2T T1 1tf (t)三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數解解 取積分區(qū)間取積分區(qū)間 ，)22(TT，222120211020110112( )cos()22( 1)cos()(1)cos()2121 sin()sin()0TTTTnTTaf tnt dtTnt dtnt dtTTntntT nT n12

6、T三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數222120211020110112( )sin()22( 1)sin()(1)sin()2121cos() cos()0,2,4,6,21 cos()4,1,3,5,TTTTnTTbf tnt dtTnt dtnt dtTTntntT nT nnnnnn11114111( )sin()sin(3)sin(5)sin()35f ttttntn三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數奇、偶函數的傅里葉級數：奇、偶函數的傅里葉級數： 是偶函數時，是偶函數時， 是是 的偶函數，的偶函數， 是是 的奇函數，有的奇函數，有 ， ； 是奇函數是奇函數時，時， 是是

7、 的奇函數，的奇函數， 是是 的偶函數，的偶函數，有有 ， ； 是奇諧函數，即是奇諧函數，即 時，時， 的傅里葉級數展開式中只含有奇次諧波分量；的傅里葉級數展開式中只含有奇次諧波分量； 是偶諧函是偶諧函數，即數，即 時，的傅里葉級數展開式中只含有偶時，的傅里葉級數展開式中只含有偶次諧波分量。次諧波分量。( )f t1( )cos()f tntt1( )sin()f tntt2104( )cos()Tnaf tnt dtT0nb ( )f t1( )cos()f tntt1( )sin()f tntt0na 2104( )sin()Tnbf tnt dtT( )f t( )- ()2Tf tf

8、t( )f t( )f t( )()2Tf tf t指數形式的傅里葉級數指數形式的傅里葉級數 利用利用 ，考慮到，考慮到 、 ，可得到，可得到指數形式的傅里葉級數。指數形式的傅里葉級數。jjcos2eennAAnn ， 11111011j()j()01j()j()011jj( )cos()21221122212nnnnnnnnntntnnntntnnnnntnnAf tAntAA eeAA eA eA ee指數形式的傅里葉級數指數形式的傅里葉級數 復數復數 ，稱為復傅里葉系數，簡稱，稱為復傅里葉系數，簡稱傅里葉系數，則傅里葉級數的指數形式為傅里葉系數，則傅里葉級數的指數形式為 jj12nnnn

9、nA eF eF1j( )ntnnf tF e1jj0121(cosjsin)211(j)( ),0, 1, 2,2nnnnnnnTntnnFA eAAabf t edtnT 注意：注意：三角形式傅里葉級數與指數形式傅里葉級數雖三角形式傅里葉級數與指數形式傅里葉級數雖然形式不同，但都是將信號表示成直流分量和各次諧波分然形式不同，但都是將信號表示成直流分量和各次諧波分量的和的形式。量的和的形式。 指數形式的傅里葉級數指數形式的傅里葉級數例例4-24-2 求例求例4-14-1中周期信號的指數形式傅里葉級數中周期信號的指數形式傅里葉級數 11111j220jj20202jj1021( )111111

10、jj11 cos()jTntTnTntntTTntntTFf t edtTedtedtTTeeTnTnnn11jj1( )1 cos()jntntnnnf tF enen周期信號的頻譜周期信號的頻譜信號頻譜的概念信號頻譜的概念 從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關系，從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。 周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關系，即頻率的變化關系，即 將將 和和 的關系分別畫在以的關系分別畫在以

11、 為橫軸的平面上為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因為得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因為n0n0，所以稱這種頻譜為單邊譜。，所以稱這種頻譜為單邊譜。 也可畫也可畫 和和 的關系，稱為雙邊譜。若的關系，稱為雙邊譜。若 為實為實數，也可直接畫數，也可直接畫 。nAnnFnnFnF周期信號的頻譜周期信號的頻譜例例4-34-3 ，試畫試畫出的幅度譜和相位譜。出的幅度譜和相位譜。( )12cos(5 )cos(210 )4cos(415 )f tttt 解解： 為周期信號，基波角頻率為周期信號，基波角頻率 。題目中給出的的表達式可。題目中給出的的表達式可以看做的

12、指數形式傅里葉級數，故有以看做的指數形式傅里葉級數，故有 ( )f t1()rad/s001,02A112,5A 221,10A444,15A周期信號的頻譜周期信號的頻譜單邊頻譜圖和雙邊頻譜圖單邊頻譜圖和雙邊頻譜圖 01234214nA0510152015105n0123410.5210.52nF0510152051015-15-10-5n周期信號頻譜的特點周期信號頻譜的特點1112222jjj21211111( )11jsin()2j2sin(),0, 1,j22TTntnntntFf t edtTedteTnTnnnnnTT 以周期矩形脈沖信號為例，說明周期信號頻譜的特點以周期矩形脈沖信號

13、為例，說明周期信號頻譜的特點周期信號頻譜的特點周期信號頻譜的特點 稱為取樣函數，則稱為取樣函數，則sinSa( )xxx1Sa()2nnFT11jj1( )Sa()2ntntnnnnf tF eeT 的變化規(guī)律應符合的變化規(guī)律應符合 的變化規(guī)律，即的變化規(guī)律，即時，時， ；頻率；頻率 的譜的譜線為零。線為零。 時，頻譜如圖所示時，頻譜如圖所示 nFSa( ) x0 x nFT12(1, 2,)mnm 14T周期信號頻譜的特點周期信號頻譜的特點nF2462460周期信號頻譜具有如下特點：周期信號頻譜具有如下特點：（1）離散性；）離散性；（2）諧波性；）諧波性；（3）收斂性。）收斂性。周期信號頻譜

14、的特點周期信號頻譜的特點譜線的結構與波形參數的關系：譜線的結構與波形參數的關系：（1）周期）周期 不變時，譜線間距不變時，譜線間距 不變，此時，不變，此時， 減小，減小，各次諧波分量的振幅減小，在各次諧波分量的振幅減小，在 這段頻率范圍這段頻率范圍（稱為頻帶寬度）內包含的譜線越多（稱為頻帶寬度）內包含的譜線越多 ；（2）脈沖寬度）脈沖寬度 不變時，周期不變時，周期 變大，則譜線間距變大，則譜線間距 變小，譜線變密，各次諧波分量的振幅減小。變小，譜線變密，各次諧波分量的振幅減小。 周期信號趨于單脈沖非周期信號，各次諧波分量的周期信號趨于單脈沖非周期信號，各次諧波分量的振幅趨于零，譜線無限密集，離

15、散譜成為連續(xù)譜。振幅趨于零，譜線無限密集，離散譜成為連續(xù)譜。 T12T20 T12T周期信號的功率周期信號的功率 周期信號是功率信號，將其在周期信號是功率信號，將其在1 電阻上消耗的平均功電阻上消耗的平均功率稱為歸一化平均功率。如果周期信號是實函數，則平均功率稱為歸一化平均功率。如果周期信號是實函數，則平均功率為率為 2221( )TTPft dtT 將將 表示成傅里葉級數帶入上式，得表示成傅里葉級數帶入上式，得( )f t2222200111222()nnnnnnAPAFFF 上式稱為帕塞瓦爾恒等式，表明了周期信號的平均功率上式稱為帕塞瓦爾恒等式，表明了周期信號的平均功率等于各頻率分量的功率

16、之和，即周期信號在時域和頻域的能等于各頻率分量的功率之和，即周期信號在時域和頻域的能量是守恒的。量是守恒的。 周期信號頻譜分析的周期信號頻譜分析的MATLAB實現實現011( )cos()2kmkkAf tAkt( )f t例例4-4 設周期信號（某電路電壓、電流）設周期信號（某電路電壓、電流） 如下，如下，求該周期信求該周期信號的頻譜號的頻譜12TT其中其中 為為基波角頻率，基波角頻率， 為信號周期。為信號周期。 22kmkkAab2122( )cos()TkTaf tkt dtT，2122( )sin()TkTbf tkt dtT，0,1,2,k ：周期信號有效值公式為：周期信號有效值公式

17、為： 201( )TAf tdtT100mUV50fHz10.02 ,100/Tsrad s若電壓若電壓 ，頻率頻率（即 ）計算總功率有效值和各分功率有效值與誤差。計算總功率有效值和各分功率有效值與誤差。 周期信號頻譜分析的周期信號頻譜分析的MATLAB實現實現1t，1( )sinsinsmmu tUtU，22221000111sinsinsin2TsmUUdtddT322214111( )2241msnUUn211sssUUU解：解：則總功率有效值為則總功率有效值為 各分功率有效值為各分功率有效值為 誤差為誤差為 l 建模建模令令周期信號頻譜分析的周期信號頻譜分析的MATLAB實現實現l M

18、ATLAB程序演示程序演示clc %清屏清屏Um=100; T=0.02; w=2*pi*50; %詳見詳見中取值中取值N=input(輸入諧波次數輸入諧波次數N= ); %取得諧波次數決定所分段數，次數取得諧波次數決定所分段數，次數 越高，分段數越高越高，分段數越高t=linspace(-T/2,T/2); dt=T/99; %取取100個采樣點個采樣點u=Um*abs(sin(w*t); %在一個周期內產生兩個半波在一個周期內產生兩個半波for k=0:N a(k+1)=trapz(u.*cos(k*w*t)*dt/T*2;周期信號頻譜分析的周期信號頻譜分析的MATLAB實現實現 b(k+

19、1)=trapz(u.*sin(k*w*t)*dt/T*2;A(k+1)=sqrt(a(k+1)2+b(k+1)2);end0:N,A(1)/2,A(2:end);%顯示傅立葉分量，恢復與顯示傅立葉分量，恢復與k對應的關系值對應的關系值stem(0:N,A(1)/2,A(2:end)%將對應關系繪制成圖形將對應關系繪制成圖形Us11=sqrt(trapz(u.2)*dt/T)%總功率有效值總功率有效值Us12=sqrt(A(1)2/4+sum(A(2:end).2/2)%各分功率有效值各分功率有效值e=(Us11-Us12)/Us11%誤差誤差周期信號頻譜分析的周期信號頻譜分析的MATLAB實

20、現實現l 程序運行結果程序運行結果輸入諧波次數輸入諧波次數N= 16，回車，回車，程序運行結果如下：（根據用戶需要可以輸入其他諧波次數）程序運行結果如下：（根據用戶需要可以輸入其他諧波次數） 總功率有效值：總功率有效值： Us11 = 70.7107分功率有效值：分功率有效值： Us12 = 70.7085誤誤 差：差： e = 3.0887e-005 各傅立葉分量對應的k值0246810121416010203040506070數值積分存在數值積分存在誤差導致不為零誤差導致不為零非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換 當當 時，周期信號趨于非周期信號，譜線無限密集，時，

21、周期信號趨于非周期信號，譜線無限密集，離散譜成為連續(xù)譜，各次諧波分量的振幅趨于零，故利用傅離散譜成為連續(xù)譜，各次諧波分量的振幅趨于零，故利用傅里葉級數無法分析非周期信號的頻譜。為了表示非周期信號里葉級數無法分析非周期信號的頻譜。為了表示非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度函數的概念。的頻譜特性，引入頻譜密度函數的概念。 T 周期信號周期信號1j( )ntnnf tF e 復振幅復振幅 1j221( )TntTnFf t edtT非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換當當 時，時， T 0nF 1j22( )TnTnTFf t edt1j1( )ntnnf tTF eTj12

22、(j )limlim( )tnnTTFFTFf t edt 離散量離散量 趨于連續(xù)量趨于連續(xù)量 ，譜線間隔，譜線間隔 趨趨于無窮小量于無窮小量 ， 成為成為 的函數，一般是復函數，記的函數，一般是復函數，記為為 ，求和轉化為積分，則有，求和轉化為積分，則有 T 1n12TdnTF(j )Fj1( )(j )2tf tFed傅里葉正變換傅里葉逆變換非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換可以記為可以記為 或或1(j ) ( )( ) (j )Ff tf tFFF( )(j )f tF 稱為稱為 的傅里葉變換或頻譜密度函數，簡稱頻的傅里葉變換或頻譜密度函數，簡稱頻譜。譜。 稱為

23、稱為 的傅里葉反變換或原函數。的傅里葉反變換或原函數。(j )F( )f t( )f t(j )F復函數復函數 可以寫為可以寫為 (j )Fj ()(j )(j )( )j ( )FFeRX 非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換 存在傅里葉變換的充分但非必要條件存在傅里葉變換的充分但非必要條件 ( )f t( )f t dt 利用傅里葉變換公式可以方便地求出：利用傅里葉變換公式可以方便地求出：-(0)( )Ff t dt-()2(0)F jdf典型信號的傅里葉變換典型信號的傅里葉變換（一）矩形脈沖信號（門函數（一）矩形脈沖信號（門函數）01t( )gt22jj22(j

24、)( )Sa()2ttFf t edtedt（二）單邊指數函數（二）單邊指數函數( )0tet，01tjj0(j )( )1,0jtttFf t edteedt典型信號的傅里葉變換典型信號的傅里葉變換（三）雙邊指數函數（三）雙邊指數函數(0)te01tte( )f t0jj022(j )112jjttttFeedteedt（四）沖激函數及其導數（四）沖激函數及其導數 j( )( )1tttedtjj0( )( )jtttdettedtdt 典型信號的傅里葉變換典型信號的傅里葉變換（五）單位直流信號（五）單位直流信號 不滿足絕對可積，故不能直接使用公式計算其頻譜。不滿足絕對可積，故不能直接使用公

25、式計算其頻譜?？伎紤]到雙邊指數函數慮到雙邊指數函數 （ ）當）當 時，時， ，所以雙邊指數函數的頻譜當，所以雙邊指數函數的頻譜當 就應是單位就應是單位直流信號的頻譜。直流信號的頻譜。 1( )()( )ttf tetet001( )1f t 011222202(j ),00,02lim,0FfF(t)=即單位直流信號的頻譜是沖激函數，其強度為即單位直流信號的頻譜是沖激函數，其強度為 典型信號的傅里葉變換典型信號的傅里葉變換22200022limlim1lim2tan2ddarc12( ) 典型信號的傅里葉變換典型信號的傅里葉變換（六）符號函數（六）符號函數 01-1sgn() tt 可以看作是

26、可以看作是 （ ）當）當 時的極限。時的極限。 1( )()( )ttf tetet 000jj112202202)j2,02jlim j0,0ttttFfeedteedt F(j(t)=2sgn( ),(0)0jtF典型信號的傅里葉變換典型信號的傅里葉變換（七）單位階躍函數（七）單位階躍函數 單位階躍函數不滿足絕對可積條件，不能直接用傅里單位階躍函數不滿足絕對可積條件，不能直接用傅里葉變換公式求其頻譜函數葉變換公式求其頻譜函數 1( )1 sgn( )2tt111 ( ) sgn( )( )22jtttFFF非周期信號的頻譜函數非周期信號的頻譜函數jj ()(j )( )( )cos()j(

27、 )sin()( )j ( )(j )tFf tedtf tt dtf tt dtRXFe 22(j )( )( )( )( )arctan( )( )(j ) cos ( )( )(j ) sin ( )FRXXRRFXF 非周期信號的頻譜函數非周期信號的頻譜函數當當 為實函數時，可以得到以下結論：為實函數時，可以得到以下結論： ( )f t（1 1）( j )(j ) , ()( ), ()( ),()( )FFRRXX （2 2） ，其中，其中 是是 的共軛函數；的共軛函數； ()( j )( )j ( )(j )ftFRXF(j )F(j )F（3 3）若）若 ，則則 的頻譜函數的頻譜

28、函數 是是 的實函數，的實函數，且是且是 的偶函數，的偶函數，即即 ， ； ()( )ftf t( )f t(j )F(j )( )FR( j )(j )FF（4 4）若）若 ，則則 的頻譜函數的頻譜函數 是是 的虛函數，的虛函數，且是且是 的奇函數，的奇函數，即即 ， 。 ()( )ftf t ( )f t(j )F(j )j( )FX( j )(j )FF 非周期信號的頻譜函數非周期信號的頻譜函數當當 為虛函數時，可以得到以下結論：為虛函數時，可以得到以下結論： ( )f t（1 1）( j )(j ) , ()( ), ()( ),()( )FFRRXX （2 2） ，其中，其中 是是

29、的共軛函數；的共軛函數； ()( j )( )j ( )(j )ftFRXF (j )F(j )F（3 3）若）若 ，則則 的頻譜函數的頻譜函數 是是 的虛函數，的虛函數，且是且是 的偶函數，的偶函數，即即 ， ； ()( )ftf t( )f t(j )F(j )j( )FX( j )(j )FF（4 4）若）若 ，則則 的頻譜函數的頻譜函數 是是 的實函數，的實函數，且是且是 的奇函數，的奇函數，即即 ， 。 ()( )ftf t ( )f t(j )F(j )( )FR( j )(j )FF 非周期信號頻域分析的非周期信號頻域分析的MATLAB實現實現(j )F40/ ,40/rad s

30、rad s 例例5 設非周期信號（方波）設非周期信號（方波） 如下，用如下，用MATLAB求該信求該信號在號在 的頻譜。的頻譜。01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91方波信號j(j )( )tFf t edt解：解：0 10 tss這里我們取這里我們取l建模建模 通過傅立葉變換得出非周期通過傅立葉變換得出非周期信號頻譜公式如下：信號頻譜公式如下：非周期信號頻域分析的非周期信號頻域分析的MATLAB實現實現lMATLAB程序演示程序演示tf=10;N=input(輸入時間分割點數目：N= ) dt=10/N;t=1:N*dt; %對所取時間進行分割f=

31、ones(1,N/2),zeros(1,N/2); plot(t,f,linewidth,1.5),grid %產生方波信號圖w1=input(輸入頻譜寬度：w1= )n1=input(輸入頻譜點數：n1= )w2=linspace(0,w1,nf);dw=w1/(n1-1);f1=f*exp(-j*t*w2)*dt; %求信號的傅立葉變換w=-fliplr(w2),w2(2:n1); %求信號的負頻率F=fliplr(f1),f1(2:n1); %求信號負頻率的頻譜plot(w,abs(F),linewidth,1.5),grid非周期信號頻域分析的非周期信號頻域分析的MATLAB實現實現-

32、40-30-20-1001020304000.511.522.533.544.55非周期信號時域頻譜圖l程序運行結果程序運行結果注意注意：這里頻譜寬度和點數如果：這里頻譜寬度和點數如果取的不好會發(fā)生頻率泄漏取的不好會發(fā)生頻率泄漏輸入時間分割點數目：輸入時間分割點數目：N= 256輸入頻譜寬度：輸入頻譜寬度：w1= 40輸入頻譜點數：輸入頻譜點數：n1= 64傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質（一）線性（一）線性 若若 （ ），則對于任意常數），則對于任意常數 ，有，有( )(j )iif tF1,2,inia11( )(j )nniiiiiia f ta F（二）對稱性（二）對稱性 若若 ，則有

33、，則有( )(j )f tF(j )2()Ftf 傅傅里里葉葉變變換換對對的的兩兩種種函函數數是是固固定定的，的，本本性性質質為為 和和 的的互互求求提提供供方方便。便。 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質sinSa( )ttt1( )f tt例例4.64.61 1求 和 的頻譜函數。 解解：（1）( )Sa()2g t212取 ， 門函數的幅度為 ，則由線性性質 21( )Sa( )2g t221Sa( )2()( )2tggF（2）2sgn( )jt22 sgn()2 sgn( )jt 1jsgn( )t 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質（三）時移性（三）時移性( )(j )f tF0t若若

34、 ， 為實常數，則有為實常數，則有 0j0()(j )tf tteF0t( )f t0t 信號在時域中的延時和頻域中的移相相對性，若信號在時域中的延時和頻域中的移相相對性，若在時域中信號右移在時域中信號右移，其頻譜函數的幅度不變，而各其頻譜函數的幅度不變，而各頻率分量的相位比頻率分量的相位比 各頻率分量的相位滯后各頻率分量的相位滯后 。傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質例例4.62求如圖所示信號的頻譜函數。-1-441t( )f t3解：解：222( )3( )3(4)3(4)f tg tg tg t2( )2Sa( )g t由時移特性可知 j42j42(4)2Sa( )(4)2Sa( )g t

35、eg tej4j4 ( )2Sa( )2Sa( )2Sa( )2Sa( )12cos(4 )f teeF傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質（四）頻移性（四）頻移性0j0( )j()tf t eF( )(j )f tF0 若若 ， 為實常數，則有為實常數，則有0000j-jj-j00cos(),sin()22jtttteeeett00000011( )cos()j()j()2211( )sin()j()j()2j2jf ttFFf ttFF( )1f t 時時000000cos()()()sin()()()jjtt 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質（五）尺度變換（五）尺度變換( )(j )f tF

36、a 若若 ， 為實常數（為實常數（ ），則有），則有0a 1()(j)f atFaa()( j )ftF1a 當當 時，得到時，得到 1a 1/ a 由尺度變換特性可知，由尺度變換特性可知， 時，信號在時域中時，信號在時域中壓縮，其頻譜在頻域中擴展，各分量的幅度降為原壓縮，其頻譜在頻域中擴展，各分量的幅度降為原來的來的 ，信號的持續(xù)時間與其頻帶寬度成反比。，信號的持續(xù)時間與其頻帶寬度成反比。 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質( )(j )f tF()f atb例例4.64.64 4若已知 ，求信號 的頻譜函數。解：解：根據時移特性j()(j )bf tbeF根據尺度變換特性 j1()(j)ba

37、f atbeFaa 試先應用尺度變換特性再應用時移特性求 的頻譜函數 ()f atb傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質（六）卷積定理（六）卷積定理1、時域卷積定理、時域卷積定理1212( )( )(j )(j )f tf tFF11( )(j )f tF22( )(j )f tF若若 ， ，則有，則有 2、頻域卷積定理、頻域卷積定理11( )(j )f tF22( )(j )f tF若若 ， ，則有，則有 12121( )( )(j )(j )2f tf tFF 顯然，時域卷積定理與頻域卷積定理是對稱的，顯然，時域卷積定理與頻域卷積定理是對稱的，這由傅里葉變換的對稱性決定。這由傅里葉變換的對稱性

38、決定。 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質例例4.64.65 5已知 ，利用卷積定理求該余弦脈沖的頻譜函數。cos()(1)2( )0(1)ttf ttcos()2t2( )g t解：解：該余弦脈沖可以看作是余弦信號 與門函數 的乘積。cos()()()222t F2( )2Sa( )g tF2( )cos()( )2f ttg t21(j )cos()( )Sa()Sa()2222Ftg tFF傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質（七）微分特性（七）微分特性1、時域微分特性、時域微分特性( )( )(j )(j )nnftF( )(j )f tF( )( )( )nnnd f tftdt若若 ，

39、，則有，則有( )( jt)( )(j )nnf tF( )t( )j(j )nnnf tF2、頻域微分特性、頻域微分特性 也可以寫為也可以寫為 ( )(j )f tF( )(j )(j )nnnd FFd若若 ， ，則有，則有 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質( )f t-1104( )f tt-1104( )ftt-4-110( )ftt(-8)(4)(4)(a)(b)(c)例例4.64.66 6求如圖（a）所示信號 的頻譜函數。傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質( )( )( )dftddf tftdtdtdt2( )(j ) ( )ftf tFF( )f t解解：利用時域微分性質求 的頻

40、譜( )4 (1)4 (1)8 ( )ftttt( )1t 由于 ， ，由傅里葉變換的線性性質、時移性質，可得j-j2( )4488cos1=16sin2ftee221( )( )4Sa ()(j )2f tftF傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質（八）積分特性（八）積分特性( 1)(j )( )(0) ( )jFftF 1、時域積分特性、時域積分特性( )(j )f tF( 1)( )( )tftf x dx若若 ， ，則有，則有( 1)( )(0) ( )(j )-jtf tftF2、頻域積分特性、頻域積分特性( )(j )f tF( 1)(j )(j )FF x dx若若 ， ，則有，則有

41、( 1)(j )( )jFft(0)( )0Ff t dt時，時，( 1)( )(j )-jtf tF(0)0f時，時，傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質( )f t216( )sinj2ft 例例4.64.67 7利用時域積分性質求例4.66中信號 的頻譜函數。2( )16sin2ft 解：解：由例4.66已知根據時域積分性質22216( )sin4Sa ()(j )22f t ( )f t( )f t( )f t 注意：注意：若信號 中含有直流分量，應先將 的頻譜分成兩個部分，對不含直流分量的部分利用微分性質（或積分性質）求其頻譜函數，再利用線性性質求兩部分頻譜函數之和即為 的頻譜函數。 周

42、期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換11jj1( )=2()ntTnnntnnnnftF eFeFn FFF（一）周期信號的傅里葉變換（一）周期信號的傅里葉變換12( ) 對上式兩邊取傅里葉變換，并考慮傅里葉變換的線性對上式兩邊取傅里葉變換，并考慮傅里葉變換的線性性質、頻移性質，結合性質、頻移性質，結合1j( )ntTnnftF eT( )Tft12T 周期為周期為 的信號的信號 ，基波角頻率為，基波角頻率為 ，將其展，將其展開成指數形式的傅里葉級數為開成指數形式的傅里葉級數為周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換11j22j221( )11( )TntTnTntTFf t edtTt e

43、dtTT1112( )()( )TntnT Ft( )Tt01T2T2TT(a)11( )0112121(b)1( )Tt例例4.74.71 1 求如圖（a）所示周期單位沖激函數序列 的傅里葉變換 解：解：周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換nF0(j )F（二）周期信號傅里葉系數（二）周期信號傅里葉系數 與單脈沖傅里葉變換與單脈沖傅里葉變換 的關系的關系0( )( )( )TTftf tt00( )(j )f tF，根據時域卷積定理，可得，根據時域卷積定理，可得 01011( )( )( )(jn)()TTnftf ttFn FFF0( )f t 周期信號第一個周期的單脈沖信號表示為周期

44、信號第一個周期的單脈沖信號表示為 ，根據沖激函根據沖激函數的卷積積分性質，則有數的卷積積分性質，則有11011(j )2()(jn) ()nnnFFnFn 110101(jn)(j )2nnFFFT連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析（一）基本信號（一）基本信號 激勵下的零狀態(tài)響應激勵下的零狀態(tài)響應j tejj()j-jjzs( )( )( ) ( )ttttyeh thedehedeh t=Fj tet(j )H 上式表明：線性時不變系統(tǒng)，在上式表明：線性時不變系統(tǒng)，在 作用下的零狀作用下的零狀態(tài)響應是基本信號本身乘上一個與態(tài)響應是基本信號本身乘上一個與 無關的常量無關的常量 。 的傅里葉變

45、換記為的傅里葉變換記為( )h t(j )H，稱為頻率響應函數（系統(tǒng)函數）。，稱為頻率響應函數（系統(tǒng)函數）。( )h t(j )H反映了系統(tǒng)的時域特性，反映了系統(tǒng)的時域特性，反映了系統(tǒng)的頻域特性。反映了系統(tǒng)的頻域特性。連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析LTI連續(xù)系統(tǒng)( )f tzs( )yt基本信號j tej(j )tHe齊次性j1(j )2tFedj1(j ) (j )2tFHe d時不變性j1(j )2tFedj1(j )(j )2tFHed1 (j )( )Ff tF1 (j )(j )( )( )FHf th tF（二）一般信號（二）一般信號 激勵下的零狀態(tài)響應激勵下的零狀態(tài)響應(

46、)f t連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析頻域分析法求解零狀態(tài)響應的步驟：頻域分析法求解零狀態(tài)響應的步驟：(j ) ( )Ff tF(j ) ( )Hh tFZS(j )(j ) (j )YHFZSZS1( )(j )ytYF求求 ；求頻率響應函數求頻率響應函數 ；求零狀態(tài)響應的傅里葉變換求零狀態(tài)響應的傅里葉變換 ；求零狀態(tài)響應求零狀態(tài)響應 。連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析2(j )(j )4j(j )3 (j )(j )YYYF2(j )11(j )(j )(j )4j3(j1)(j3)YHF( )4( )3 ( )( )y ty ty tf t2( )( )tf tet例例4.84

47、.81 1 描述某系統(tǒng)的微分方程為 ，求激勵 時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。解：解：對微分方程兩端取傅里葉變換，得2311( )() ( )22ttty teeet1111(j )(j ) (j )(j1)(j2)(j3)2(j1)j22(j3)YHF1(j ) ( )j2Ff tF 由于 ，故零狀態(tài)響應的傅里葉變換為連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析( )h t（1）畫出電路的頻域模型，并求出系統(tǒng)的沖激響應函數 ；( )2cosf tt( )RUt（2）若激勵為 ， 求零狀態(tài)響應 。1R 1L ( )RUt例例4.84.82 2 電路如圖(a)所示，圖中 ， ， 為激勵， 為響應，( )f tL(

48、)f t( )RUtR(a)解解:(1)jL(j)F(j)RUR(b)1(j )j1j( )( )tRHRLh tet連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析( )2cos2 (1)(1)f t j45j452(j )(j )(j ) (1)(1)1j2(1)2(1)1j1j112(1)2(1)22RUFHee 12( ) j45jj45j11( )2cos(45 )22ttRUteeeet（2）根據 及傅里葉變換的頻移特性，可得用用MATLAB實現連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析實現連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析例例4.9-1 連續(xù)信號函數如下，求該信號的頻譜連續(xù)信號函數如下，求該信號的頻譜解解：(j )(j )(j )

49、YFHl建模建模 該信號輸出的頻譜為該信號輸出的頻譜為210500( )ttf te用用MATLAB實現連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析實現連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析lMATLAB程序演示程序演示tf=10;N=input(輸入時間分割點數目：輸入時間分割點數目：N= ) dt=10/N;t=1:N*dt; %對所取時間進行分割對所取時間進行分割f=ones(1,N/2),zeros(1,N/2); plot(t,f,linewidth,1.5),grid %產生方波信號圖產生方波信號圖w1=input(輸入頻譜寬度：輸入頻譜寬度：w1= )n1=input(輸入頻譜點數：輸入頻譜點數：n1= )w2=linspa

50、ce(0,w1,nf);dw=w1/(n1-1);f1=f*exp(-j*t*w2)*dt; %求信號的傅里葉變換求信號的傅里葉變換 用用MATLAB實現連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析實現連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析w=-fliplr(w2),w2(2:n1); %求信號的負頻率求信號的負頻率F=fliplr(f1),f1(2:n1); %求信號負頻率的頻譜求信號負頻率的頻譜subplot(2,2,1),plot(t,f,linewidth,1.5),grid %繪制連續(xù)脈沖信號波形繪制連續(xù)脈沖信號波形subplot(2,2,2),plot(w,abs(F),linewidth,1.5),grid %繪制連續(xù)脈沖信

51、號頻譜繪制連續(xù)脈沖信號頻譜H=freqs(1000,1,30,300,1000,w); Y=H.*F; subplot(2,2,3),plot(w,abs(Y),linewidth,1.5),grid %繪制濾波后的連續(xù)信號頻譜繪制濾波后的連續(xù)信號頻譜y=Y*exp(j*w*t)/pi*dw; %傅里葉變換的逆變換傅里葉變換的逆變換subplot(2,2,4),plot(t,f,t,y,linewidth,1.5),grid %繪制濾波后的連續(xù)信號的波形繪制濾波后的連續(xù)信號的波形 用用MATLAB實現連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析實現連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析l程序運行結果程序運行結果經反復驗證，取經反復驗證，取

52、N=128，w1=20，n1=128，運行結果如下圖，運行結果如下圖 連續(xù)脈沖信號 連續(xù)脈沖信號頻譜 脈沖信號濾波后頻譜 脈沖信號濾波后波形無失真?zhèn)鬏敆l件無失真?zhèn)鬏敆l件失真的分類失真線性失真非線性失真：產生新的頻率分量幅度失真相位失真不產生新的頻率分量無失真?zhèn)鬏敹x：系統(tǒng)的輸出與輸入相比，只有幅度的大小和出現時間的先后不同，而沒有波形上的變化。 無失真?zhèn)鬏敆l件無失真?zhèn)鬏敆l件 輸出與輸入滿足條件 時域 頻域 到無失真?zhèn)鬏攲ο到y(tǒng)的要求 時域 頻域( )()dy tKf ttj(j )(j )dtYKeF( )()dh tKttj(j )dtHKeK(j ) , ( )H (j )HK( )dt 無

53、失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅頻特性和相頻特性理想低通濾波器的特性理想低通濾波器的特性(j ) , ( )H (j )H( )dt 理想低通濾波器的幅頻特性和相頻特性1cc理想低通濾波器的頻率響應函數為理想低通濾波器的頻率響應函數為 jcc,(j )0,dteH 稱為截止角頻率，能稱為截止角頻率，能使信號通過的頻率范圍稱為使信號通過的頻率范圍稱為通帶，通帶，阻止信號通過的頻率阻止信號通過的頻率范圍稱為阻帶或止帶。范圍稱為阻帶或止帶。ccc( )Sa()dh ttt理想低通濾波器的特性理想低通濾波器的特性()httdtc0理想低通濾波器在理想低通濾波器在時，即沒用激勵作用時已產時，即沒用激勵作用時已產生響應，不滿足因果關系，生響應，不滿足因果關系，在物理上是不可實現的。在物理上是不可