信號與系統(tǒng)第三章

1、信號與系統(tǒng)第三章第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 3.1 周期信號分解為傅里葉級數 3.2 信號在正交函數空間的分解 3.3 周期信號的頻譜 3.4 非周期信號的頻譜 3.5一些常見信號的頻域分析 3.6 傅里葉變換的性質及其應用 3.7 相關函數與譜密度 3.8 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 3.9 信號的無失真?zhèn)鬏敽屠硐霝V波器 3.10 希爾伯特變換 3.11取樣定理 3.12 多路復用 習題3第第3章章連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 上一章討論了連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析。它是以沖激函數為基本信號，任意信號可以分解為一系列加權的沖激信號之和，而系統(tǒng)的零狀態(tài)響應是輸入信號與沖激響

2、應的卷積。本章將以正弦函數或虛指函數為基本信號，任意信號可以表示成一系列不同頻率的正弦信號或虛指函數信號之和。連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析就是將時間變量變換為頻率變量的分析方法，這種方法以傅里葉（Fourier）變換理論為工具，將時間域映射到頻率域，揭示了信號內在的頻率特性以及信號時間特性與頻率特性之間的密切關系。3.1周期信號分解為傅里葉級數周期信號分解為傅里葉級數 一個連續(xù)時間信號若每隔一定的時間 T 按相同的變換規(guī)律重復變化，此信號稱為周期信號。 3.1.1 三角型傅里葉級數三角型傅里葉級數 由高等數學知識，以 T 為周期的周期信號 f(t) ，若滿足下列狄里赫利（Dirichlet）條件：

3、 1. 在一個周期內滿足絕對可積，即 2. 在一個周期內只有有限個極大值和極小值； 3. 在一個周期內只有有限個不連續(xù)點。則可展開為如下三角型傅里葉級數 (3.1-2)式中，也稱基本角頻率,系數a0 , an , bn 稱為三角型傅里葉級數的系數，它們分別為 ftd tTT( ) 22)sincos()(1000nnntnbtnaatf (3.1-3a) (3.1-3b) (3.1-3c) TdttfTa)(10TntdtntfTa0cos)(2, 2 , 1sin)(20ntdtntfTbTn 利用信號波形的對稱性，可以方便地求取傅里葉級數的系數。 1. f(t)為偶函數 2. f(t)為奇

4、函數 3. f(t)為偶諧函數 4. f(t)為奇諧函數 ，則 只含有常數項和余弦項；而 。 f tft( )()bn 0 , 則 只含正弦項；而 。ftft( )() aan000,，偶半波對稱,則 只含有偶次諧波。ftTft()( )2)()2(tfTtf，奇半波對稱,則 只含有奇次諧波。若將式(3.1-2)中同頻率項合并，即 三角型傅里葉級數可寫成工程上更為實用的形式：3.1.2 指數型傅里葉級數指數型傅里葉級數三角函數與虛指數函數有著密切的關系，根據歐拉（Eular）公式，有 故三角型傅里葉級數和指數型傅里葉級數實質上是同一級數的兩種不同的表現形式。 antbntAntnnnncoss

5、incos()000ftAAntnnn( )cos()001tjntjntjntjneetneejtn000021cos,21sin00于是，可將原傅里葉級數寫成緊湊的形式 (3.1-10)ftF enjntn( ) 0這就是指數型傅里葉級數。將式(3.1-3)中的an和bn代入式(3.1-9a)即可求得指數型傅里葉級數的系數 (3.1-11)一般情況下，Fn是關于變量n0的復函數，故又稱為指數型傅里葉級數的復系數 .當f(t)是實周期信號時，其傅里葉復系數Fn的模和實部是n0偶函數；Fn的相角和虛部是n0的奇函數。 指數型傅里葉級數中出現負頻率分量，這只是一種數學表達形式，沒有太多的物理意義

6、。實際上，正負頻率分量總是共軛成對地出現。一對共軛的正負頻率分量之和構成一個實際的諧波分量.FTft edtnTTj nt1220( )3.2 信號在正交函數空間的分解信號在正交函數空間的分解 傅里葉級數表明，滿足狄里赫利條件的任意周期信號可以用一系列正、余弦函數或虛指數函數的線性組合來表示。本節(jié)試圖探討是否還可以用其他函數的線性組合來表示一個任意函數。把信號分解為某種基本信號的疊加是分析信號和系統(tǒng)的基本思想。信號分解為正交函數的原理與矢量分解為正交矢量的概念相似。本節(jié)首先回顧矢量的正交分解，然后引入函數正交的概念，最后討論任意信號分解為正交信號之和。3.2.1矢量的正交與分解矢量的正交與分解

7、3.2.2正交函數正交函數矢量正交的概念可以推廣到函數或信號。3.2.3用正交函數表示信號用正交函數表示信號由n個正交矢量構成一個n維矢量空間，該矢量空間中的任意矢量均可按式(3.2-4)進行分解。這同樣可以推廣到函數空間。對于某給定信號，可以選擇各種可能的完備正交函數集來表示。但三角函數集和虛指數函數集是最重要、最方便的，這是因為它們具有一些顯著的優(yōu)點。 （1）三角函數和指數函數是自然界中最常見、最基本的函數。 （2）三角函數和虛指數函數是簡諧函數，用它們表示信號，就自然建立了時間和頻率這兩個基本物理量之間的聯系。很多系統(tǒng)（例如濾波器、信息傳輸信道等）的特性主要是由頻域特性來描述的。（3）簡

8、諧信號容易產生、傳輸和處理。（4）三角函數（或指數函數）信號通過線性時不變系統(tǒng)后，仍為三角函數（或指數函數）信號，其重復頻率不變，只是幅度和相位發(fā)生變化，給計算帶來方便。 （5）三角函數和指數函數的加、減、乘、微分和積分運算后仍然是三角函數和指數函數。 （6）以后我們會看到，時域中的卷積運算在頻域中會轉變?yōu)槌朔e運算，從而找到了計算積分的一種新的簡便方法。 3.3周期信號的頻譜周期信號的頻譜 式（3.1-4）和式（3.1-10）說明，周期信號可分解為各次諧波頻率分量的疊加，而傅里葉系數 或 反映了不同諧波分量的幅度， 或 反映了不同諧波分量的相位。將它們沿頻率 （或 ）軸分布的圖形畫出來，就稱為

9、周期信號的頻譜（Spectrum）圖。這種圖形清晰地表征了周期信號的頻域特性，從頻域角度反映了該信號攜帶的全部信息。3.3.1 3.3.1 周期信號的單邊頻譜和雙邊頻譜周期信號的單邊頻譜和雙邊頻譜周期信號的三角型傅里葉級數中，分量的形式 , 為整數，故把 隨 變化的圖形 稱為單邊幅度頻譜，把 隨變化的圖形稱為單邊相位頻譜，兩圖合在一起稱為的單邊頻譜。0nnAnFnn)cos(0nntnA0nnA0nAnn0nn0類此，周期信號的指數型傅里葉級數中，把 隨 變化的圖形 稱為雙邊幅度頻譜，把 隨 變化的圖形 稱為雙邊相位頻譜。兩圖合在一起稱為的雙邊頻譜。 畫頻譜圖時必須注意下面幾點：（1） , 但

10、當 時， ;（2）三角型傅里葉級數必須統(tǒng)一用余弦函數來表示；（3）由于 表示振幅，故 ；（4）當 f(t) 是實信號時，雙邊幅度頻譜 是的偶函數，雙邊相位頻譜 的奇函數；（5）為了使圖形清晰，采用豎線代替點的辦法來表示相應幅度或相位的數值，稱為譜線，譜線只在基波的整倍數處出現。nF0n0nnFnn0nn0nA0nA00AF 2nnAF 0nFnn0nn0一般情況下， 是關于 的復函數。但當f(t) 是實偶函數, 也為實偶函數；而f(t)為實奇函數時 為虛奇函數。故若將一般的實信號分解為偶分量和奇分量之和，由式(2.3-6)和式(3.1-12) , 有 若 的頻譜是 ，則 的偶分量 的頻譜是 的

11、實部 ，即 ；而 的奇分量 的頻譜是 的虛部乘以j ，即 。nF0nnFnFnnnIRFj)()()(tftftfoe)(tfnF)(tf)(tfenFnR)(tf)(tfonFnI j信號的頻譜圖和信號的波形圖同樣都形象地描述了信號的全部特性，前者是信號的頻域描述法，而后者是信號的時域描述法。周期信號的頻譜有如下特點： (1) 離散性：譜線沿頻率呈離散分布，這種頻譜稱為離散頻譜； (2) 諧波性：各譜線間呈等距分布，相鄰譜線間的距離正好等于基波頻率，不可能包含不是基波整數倍的其它頻率分量； (3) 收斂性： （或 ）一般隨 總是趨于零。tnAnF 3.3.2周期信號的功率譜周期信號的功率譜周

12、期信號屬于功率信號。為了方便，研究周期信號 在 1 電阻上消耗的平均功率，稱為歸一化平均功率，如果 是實信號，無論它表示電壓還是電流，其平均功率為 (3.3-2)式中，T 為周期信號的周期。 (3.3-6)式(3.3-6)稱為帕什瓦爾（Parseval）定理。也稱功率等式。該式表明周期信號的平均功率不僅可以在時域中求取，還可以在頻域中確定。)(tf)(tfTdttfTP)(12PFFAAnnnn0221022122 從式(3.3-6b)右邊兩項分別就是周期信號的直流分量和各次諧波分量在1 電阻上消耗的平均功率，因此，它表明了周期信號在時域中的平均功率等于頻域中的直流分量和各次諧波分量的平均功率

13、之和。把各平均功率分量即 隨 變化的圖形 稱為周期信號的功率頻譜，簡稱功率譜（ Power spectrum ）。顯然，周期信號的功率譜也是離散頻譜?？梢?，功率譜是相應的雙邊幅度頻譜的平方，而與相應的相位譜無關。從周期信號的功率譜中可以看出各平均功率分量的分布情況，另外還可以確定在周期信號的有效頻帶寬度內諧波分量所具有的平均功率占整個周期信號的平均功率之比。2nF0n02nFn 3.4非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜 前面幾節(jié)討論了周期信號的頻譜，在自然界里除了周期信號外，還廣泛存在著非周期信號。這些非周期信號能否分解為指數型級數，應該如何分解。這些就是本節(jié)要討論的問題。3.4.1從傅里葉級數

14、到傅里葉變換從傅里葉級數到傅里葉變換 對于周期信號 可以表示成指數型傅里葉級數,即寫成 (3.4-2)和 (3.4-3)(tfTntjnnTeFtf0)(dtetfTFtnjTTTn022)(1由上節(jié)對周期矩形脈沖信號的討論已經知道，當T 變大時，基本角頻率 變小，相應的離散譜線變密，此時各頻率分量的幅度也變小，頻譜包絡線的形狀不變。當T趨于無限大時，盡管頻譜包絡線的形狀不變，但譜線都趨于無窮小。如果此時仍然討論展開為傅里葉級數問題已經沒有實際意義。為了描述非周期信號的頻譜特性，考慮到T非常大時， 就變得非常小，可用 來表示。式(3.4-3)可改寫成T200dtetfTFtnjTTTn022)

15、(3.4-4)當 時， ，用 來表示；用 來表示；離散變量變成連續(xù)變量；同時將求和改為積分；則非周期信號可表示為 T0dnftFjedjt( )()12這樣，可以把非周期信號表示為無窮期指數信號的積分，稱為傅里葉積分，簡稱為傅氏積分。同時根據式(3.4-4)、(3.4-5)有(3.4-7)FjTFft edtTnjt()lim( ) 今后為了書寫的簡便，常將 寫成 。式(3.4-7)和式(3.4-8)稱為傅里葉變換對，其中式(3.4-8)稱為傅里葉正變換，簡稱傅氏變換。而式(3.4-7)稱為傅里葉反變換，簡稱傅氏反變換。并采用下列記號： (3.4-9)與的對應關系還可簡化為 (3.4-10)(

16、3.4-8)dtetfjFtj)()()(jF)(F)()(Ftf)(F)(tfF)(F)(1Ftf 3.4.2頻譜函數的物理意義及其自身特性頻譜函數的物理意義及其自身特性周期信號的指數型傅里葉級數表明:周期信號可以分解為無限多個頻率為 、復振幅為 的指數分量 的離散和；而非周期信號 的傅里葉積分則表明非周期信號可以分解為無限多個頻率為 、振幅為的指數分量 的連續(xù)和（積分）。這樣，周期信號的分解就推廣到非周期信號。 ntjnnTeFtf0)(0nnFtjne0)(tf)(Fd2)(F從上式可以看出， 是單位頻帶的復振幅。具有密度的概念，因此稱為頻譜密度函數（Spectrum density f

17、unction ）,簡稱為頻譜函數或頻譜密度，在與周期信號頻譜不發(fā)生混淆的情況下也簡稱為頻譜。由3.3節(jié)可知，信號在時域中是連續(xù)、周期的，其頻譜在頻域中是離散、非周期的；從本節(jié)傅里葉變換定義可知，信號在時域中是連續(xù)、非周期的，其頻譜在頻域中也是連續(xù)、非周期的。以后我們將會知道，信號在時域中是離散、非周期的，其頻譜在頻域中是連續(xù)、周期的；信號在時域中是離散、周期的，其頻譜在頻域中也是離散、周期的。一般是的復函數，可以寫作 (3.4-13)(F)(je)()(FF式中 是 的模，它代表信號中各頻率分量幅度的相對大??； 是 的幅角，它表示信號中各頻率分量之間的相位關系。習慣上把 和 的曲線也分別稱為

18、幅度頻譜和相位頻譜。 非周期信號的頻譜密度與相對應的周期信號的傅里葉復系數之間的關系是)(F)(F)(F)()(F)(00)(lim)(nnnnTTFFTFF應用上述關系可以較方便地從周期信號的求取相應的非周期信號的，或者相反。在形狀上與相應的周期信號的頻譜包絡線相同。 3.4.3傅里葉變換的存在性傅里葉變換的存在性非周期信號 是否存在傅里葉變換 ，仍應滿足類似于傅里葉級數的狄里赫利條件，不同之處僅僅在于一個周期的范圍，即要求信號在無限區(qū)間內絕對可積。利用式(3.4-8)，有 (3.4-21)上式表明，若 滿足無限區(qū)間內絕對可積，則 必然有界。但這僅是充分條件而不是必要條件。這意味著滿足絕對可

19、積條件的能量信號其 必然存在。但是，如果在頻域內引入廣義函數后，對于并不滿足絕對可積條件的功率信號，甚至某些非功率非能量信號，其 也存在，且有確定的表達式。這給信號的頻域分析與系統(tǒng)的頻域分析帶來很大的方便。 ftd t() )(tf)(F)(tf)(F)(F)(F 3.5一些常見信號的頻域分析一些常見信號的頻域分析常見信號是組成復雜信號的基礎，如果再與下一節(jié)討論的傅里葉變換性質結合起來，幾乎可以分析工程中遇到的所有信號的頻譜。本節(jié)討論的信號中，有的不滿足絕對可積的條件，引入廣義函數的概念以后，使許多不滿足絕對可積條件的功率信號和某些非功率、非能量信號也存在傅里葉變換，而且具有非常清楚的物理意義

20、，這樣就可以把周期信號和非周期信號的分析方法統(tǒng)一起來，使傅里葉變換應用更為廣泛。 1.矩形脈沖At22)(F22A)2()(SaAF 2. 三角形脈沖t0AA22)(F)2()(2SaAF 3.單邊實指數脈沖 4. 雙邊實指數脈沖 5.符號函數 符號函數(或稱正負號函數)如圖3.5-5(a)所示。顯然這種信號不滿足絕對可積的條件，直接用定義式也無法得到它的傅里葉變換。如果將看成是下列函數的極限0101)(tttSgnjj22lim220lim)(000dteedteetSgntjttjt11lim0tjj 6.單位沖激函數 單位沖激函數是實偶函數，其傅里葉變換也應是實偶函數,有 (3.5-14

21、)即單位沖激函數頻譜是常數1，其時域、頻域圖形如圖所示。也就是說，在時域中變化異常劇烈的沖激信號包含幅度相等的所有頻率分量，即其頻譜密度在整個頻率范圍內是均勻分布的。這樣的頻譜常稱為“均勻譜”或“白色頻譜”。1)()(0ttjtjedtett)(F01 7.直流信號 1根據傅里葉反變換定義，有 得直流信號 1的傅氏變換8.虛指數信號( ) tedjt12Fedtjt()() 2)(200tje考慮到沖激函數是偶函數，可得如下重要公式edxyjxy 2() 9.單位階躍信號nnnFFtf)(2)()(0兩邊取傅里葉變換，得周期信號的頻譜為jt1)()(由此，可以得到周期信號的傅里葉變換公式：周期

22、信號的傅里葉級數TeFtfntjnnT2)(00 3.6傅里葉變換的性質及其應用傅里葉變換的性質及其應用 傅里葉變換建立了信號時域和頻域的一一對應關系。也就是說任一信號可以有時域和頻域兩種描述方法。信號在一個域中所具有的特性，必然在另一個域中有其相對應的特性出現。為了進一步了解時域和頻域之間的內在聯系，當在某一個域中分析發(fā)生困難時，利用傅里葉變換的性質可以轉換到另一個域中進行分析計算；另外，根據定義來求取傅里葉正、反變換時，不可避免地會遇到繁雜的積分或不滿足絕對可積而可能出現廣義函數的麻煩。下面將系統(tǒng)地討論傅里葉變換的性質及其應用，從而用簡捷的方法求取傅里葉正、反變換。 1. 線性 2. 對稱

23、性： 3. 尺度變換 )(2)()()(ftFFtf則若為實常數則若aaFaatfFtf)(1)(),()(尺度變換特性也稱比例性。 4. 時移性 5. 頻移性0)()(),()(0tjeFttfFtf則若)()(),()(00FetfFtftj則若由頻移特性，12 ()cos ()() 0001200teejtjtsin ()() ()() 000001200tjeejjjtjt由公式可得6. 卷積定理 有兩個卷積定理，一個為時域卷積定理，另一個為頻域卷積定理。時域卷積定理 頻域卷積定理卷積定理在信號和系統(tǒng)分析中占有重要的地位，它說明了兩函數在時域（或頻域）中的卷積積分，對應于頻域（或時域）

24、中兩者的傅里葉變換（或反變換）應具有的關系。)()()()()()()()(),()(GFYtgtftyGtgFtf則若)()(21)()(GFtgtf 7. 時域微分和積分則 8. 頻域微分和積分)()(Ftf若)()0()()(FjFdftdd tftjF( )()ddFtfjtFtf)()()()()(則若nnndFdtfjt)()()(推廣(1) 頻域微分 (2)頻域積分ftjfttFd( )( )( )()03.7相關函數與譜密度相關函數與譜密度 信號的頻譜是頻域中描述信號特征的方法之一，此外，還可以用能量譜密度或功率譜密度來描述信號。而相關是在時域中描述信號特征的重要方法。這一節(jié)中

25、，將通過相關函數的傅里葉變換，從而找到從頻域計算能量信號的能量譜密度和功率信號的功率譜密度的另一種方法。為了簡便起見，我們只討論實信號。 3.7.1能量譜密度（能量譜密度（Energyspectraldensity）第一章中已經定義了實能量信號的能量為dttfE)(2式(3.7-1)表示電壓或電流信號在1電阻上所消耗的能量。 （3.7-3）上式也稱為帕什瓦爾定理或非周期能量信號的能量等式。為了了解能量在頻域中的分布情況，定義能量譜密度為 (3.7-4) EFd122( )EFf( )( )2 3.7.2功率譜密度（功率譜密度（Powerspectraldensity）若是實功率信號，則其平均功

26、率定義為 (3.7-7)將式(3.7-8)和式(3.7-9)代入式(3.7-7),可得到功率信號的平均功率為 (3.7-10)式中 (3.7-11)稱為功率信號的功率譜密度。222)(1limTTTdttfTPdPdTFPfTTTT)(21)(lim21222TFPTTf2)(lim)( 3.7.3相關函數相關函數在很多情況下，需要比較兩個信號的相似程度。相關函數是研究隨機信號而引入的概念，但對確定信號同樣適用?；ハ嚓P函數定義：自相關函數定義：相關運算和卷積運算之間的關系。 3.7.4相關函數的譜密度相關函數的譜密度盡管相關函數的概念是建立在信號時域波形之間，但它卻與能量譜密度函數或功率譜密度

27、函數之間存在著確定的關系。dttftfR)()()(2112dttftfR)()()(根據時域卷積定理可以證明 (3.7-21)或 (3.7-22)可見，互相關函數與是一對傅里葉變換，具有能量譜的性質，通常稱為能量信號和的互能量譜密度，簡稱互能量譜。如)()()(2112FFR)()(1lim)(2112TTTFFTRF( )2A)(tft222222F( )2F( )同樣，可得能量信號：)()()()()(2fEFFFR)()(1lim)()(1lim)(2fTTTTTPFTFFTR功率信號： 3.8連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析方法連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析方法系統(tǒng)的頻域分析就是尋求不同信號激勵下其響應隨頻率

28、變化的規(guī)律。本節(jié)將以信號的頻譜分析為基礎，討論信號作用于線性系統(tǒng)時在頻域中求解零狀態(tài)響應的方法，這種系統(tǒng)的頻域分析法又稱為傅里葉變換分析法。 3.8.1傅里葉變換分析法傅里葉變換分析法線性時不變系統(tǒng)的數學模型可以用一個n階常系數線性微分方程來描述 ，即)()( )()()()( )()(01)1(1)(01)1(1)(txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn對上式兩邊取傅里葉變換，由時域微分性質，可得可見，通過傅里葉變換，可以把常系數線性微分方程變成關于激勵和響應的傅里葉變換的代數方程。從而使問題得以簡化。于是得輸出響應的傅里葉變換為)()()()()()()()(01

29、110111XbjbjbjbYajajajammmmnnnn)()()()()()()()(01110111XajajajabjbjbjbYnnnnmmmm)()(XH 是兩個關于 的多項式之比，其中分母與分子多項式的系數分別是微分方程左邊與右邊相應項的系數。 定義為系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下響應與激勵的頻譜之比，稱為系統(tǒng)的（頻域形式的）系統(tǒng)函數( System function )，也稱為頻率響應特性（簡稱頻率響應）。顯然 是 的復函數，它表征了系統(tǒng)的頻率特性，是系統(tǒng)特性的頻域描述。對于一個系統(tǒng)來說，如果已知 、 和 中的兩個，便可方便地確定第三個。)(H)(Hj)(H)(H)(X)(Y 1求取激勵

30、的傅里葉變換，即 2. 確定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數 ； 3求取響應的傅里葉變換 ； 4再將從頻域反變換到時域，從而求得零狀態(tài)響應的時間函數 。 由于傅里葉變換的積分區(qū)間為 ，因此，頻域分析法求取的響應是零狀態(tài)響應?；蛘哒f，由于無法表示系統(tǒng)的初始儲能，頻域分析法無法求得其零輸入響應。在傅里葉變換分析法中，系統(tǒng)函數起著重要的作用，有必要進行進一步地討論，以便更好地理解傅里葉變換分析法的實質。3.8.2系統(tǒng)特性的頻域表征系統(tǒng)特性的頻域表征)()(Xtx)(H)()()(XHY)(ty),(系統(tǒng)函數 描述了系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下響應的傅里葉變換與激勵的傅里葉變換之間的關系，可以按照式(3.8-3)由系統(tǒng)的微分方程

31、求得?？梢?，系統(tǒng)函數只與系統(tǒng)本身的特性有關，而與激勵無關。系統(tǒng)函數是系統(tǒng)的沖激響應的傅里葉變換，這是一個十分重要的變換對。系統(tǒng)的沖激響應和系統(tǒng)函數這一變換對分別從時域和頻域兩個方面表征了同一系統(tǒng)的特性。)(H)()(Hth當系統(tǒng)的激勵為無時限虛指數信號 時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應由時域卷積積分可求得，為 (3.8-5)上式表明，當一個無時限虛指數信號作用于線性系統(tǒng)時，其輸出的零狀態(tài)響應仍為同頻率的虛指數信號，不同的是響應比激勵多乘一個與時間t無關的系統(tǒng)函數 。x tetjt( )() y tx th thedehedeHjtjtjjt( )( )( )( )( )()() )(H根據式(3.8-5)

32、，可以更深刻地理解傅里葉變換分析法的物理意義。它實質上就是把信號分解為無窮多個虛指數分量之和，即 其中在 范圍內的分量為 ，由式(3.8-5),對應于這個分量的響應為，當把無窮多個響應分量疊加起來，便得到了總響應，即 tjtjedXdeXtx2)()(21)(dXdejt( )2XdHejt( )( )2y tYedjt( )()12(3.8-6) 這里可以看出，系統(tǒng)的頻域分析法與時域分析法存在相似之處。在時域分析法中是把信號分解為無窮多個沖激信號之和，即把沖激信號作為單元信號，然后求取各單元信號作用于系統(tǒng)的響應，再進行疊加；而在頻域分析法中則是把信號分解為無窮多個無時限虛指數信號之和。 即把

33、虛指數信號作為單元信號，然后求取各個單元信號作用于系統(tǒng)的響應，再進行疊加。因此，這兩種分析法只不過是采用單元信號不同。另外，卷積分析法是直接在時域中求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應,而傅里葉變換分析法則是在頻域中求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應的傅里葉變換后，再反變換到時域中去。這兩種分析方法可以通過傅里葉變換的時域卷積定理聯系起來。系統(tǒng)函數表征了系統(tǒng)的頻域特性，是頻域分析的關鍵，如上所述，系統(tǒng)函數有下列幾種求解的方法： 1當已知系統(tǒng)微分方程時，可以對微分方程兩邊取其傅里葉變換，按照式(3.8-3)直接求??； 2當已知系統(tǒng)的沖激響應時，可以對其求傅里葉變換來求??； 3可假設 時的零狀態(tài)響應與的比來求??； 4當已知具體

34、電路的情況下，系統(tǒng)函數可以由電路的零狀態(tài)響應頻域等效電路模型來求取。而無需列寫電路的微分方程。x tetjt( )() 3.8.3傅里葉變換分析法舉例傅里葉變換分析法舉例 這里我們先討論系統(tǒng)的非周期信號的響應，然后討論系統(tǒng)的正弦信號穩(wěn)態(tài)響應，最后討論系統(tǒng)的一般周期信號的響應。系統(tǒng)的正弦信號穩(wěn)態(tài)響應：激勵下的穩(wěn)態(tài)響應例：求系統(tǒng)在周期信號ttx0cos)()(cos)()(000tHty為 3.9信號的無失真?zhèn)鬏敽屠硐霝V波器信號的無失真?zhèn)鬏敽屠硐霝V波器由于表示信號的時間函數與其在頻域中頻域函數相互存在著一一對應關系。系統(tǒng)對于給定激勵的響應問題，從信號分析的角度來看，就是對激勵信號的頻譜進行加工和改

35、造，結果使響應信號的波形有別于激勵信號。3.9.1無失真?zhèn)鬏敆l件無失真?zhèn)鬏敆l件信號通過系統(tǒng)后，有時不希望產生失真，例如通信系統(tǒng)中對信號的放大或衰減；有時希望產生預定的失真，例如脈沖技術中的整形電路。下面討論系統(tǒng)對信號無失真?zhèn)鬏敃r，應該具有怎樣的時域和頻域特性。從時域來看，無失真?zhèn)鬏數臈l件是指響應與激勵的相比只有幅度大小和出現時間先后的不同，而波形沒有變化。如果激勵信號為 x(t) ，無失真?zhèn)鬏數捻憫獮?y(t) ，應滿足 (3.9-1)式中，k 是一個與時間 t 無關的常數，是信號通過系統(tǒng)后的延遲時間。如果不滿足式(3.9-1)就稱為有失真?zhèn)鬏敗?()(dttkxtydtjekXY)()(下面

36、從頻域來看，若對式(3.9-1)兩邊取傅里葉變換，根據時移性質，可得 (3.9-2)由上式可知，信號傳輸無失真，系統(tǒng)的頻率響應函數應為 (3.9-3a)系統(tǒng)幅度頻譜和相位頻譜分別為 (3.9-3b)()()(jtjeHkeHd通頻帶為無窮大,)() 1 (kH成正比相頻特性與,)()2(dt式(3.9-3)就是為使信號無失真?zhèn)鬏攲ο到y(tǒng)頻率響應函數提出的要求：（1）在全部頻率范圍內，系統(tǒng)的幅頻特性應為一常數，即系統(tǒng)的通頻帶應為無窮大；（2）系統(tǒng)相頻特性應為通過原點的直線，即應與成正比。系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數念l域特性如圖3.9-2所示。k)(H)(H信號的無失真?zhèn)鬏敆l件 式(3.9-3)是系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏?/p>

37、的條件，根據信號與傳輸系統(tǒng)的具體情況或要求，以上條件可以適當放寬，如在傳輸有限帶寬信號時，只要在信號所占有的頻帶范圍內，系統(tǒng)的幅度、相位特性滿足式(3.9-3b)條件就可以了。對于線性系統(tǒng)來說，工程上其幅頻特性和相位特性都可能不滿足式(3.9-3)的條件，或者說，幅度和相位都可能產生失真或崎變。而且幅度失真和相位失真起著相互不可替代的作用。在不同的應用場合，對幅度失真和相位失真的要求不盡相同。由于人耳對相位失真敏感度較差，因而在語言傳輸的場合，人們主要關注的是幅度失真。它會明顯影響語音傳輸的音質、音調和保真度，而相位失真在很大程度上不會影響語音的可懂性。當然，如果相位失真過大也是不允許的。例如

38、將一句話表示為 x(t)，則 x(-t) 為一句話倒過來講，兩者的差別僅在于相位相差，但此時人們無法聽懂這句話了。而對于圖象傳輸的情況，由于人眼的視覺特性對相位失真十分敏感，它會嚴重影響圖象的輪廓和對比度，因此人們主要關注的是相位失真。最后指出，對于一個系統(tǒng)，如果輸出信號中出現了輸入信號所沒有的新的頻率分量，通常將系統(tǒng)這樣的失真稱為非線性失真。當然，在線性系統(tǒng)中不會出現非線性失真，上述幅度失真和相位失真統(tǒng)稱為線性失真。3.9.2理想濾波器理想濾波器前面已經指出，為使信號在傳輸過程中盡量不產生失真，要求系統(tǒng)的頻率特性在信號的帶寬范圍內滿足不失真?zhèn)鬏數臈l件，而理想濾波器是能滿足這種要求的系統(tǒng)，因此

39、它在系統(tǒng)分析中得到廣泛應用。理想低通濾波器1)(H)(H 理想低通濾波器的頻率特性 由于理想低通濾波器的通頻帶不為無窮大，而是有限值，故這一系統(tǒng)又稱為帶限系統(tǒng)，顯然信號通過這種帶限系統(tǒng)時，還會產生失真，失真的大小一方面取決于帶限系統(tǒng)的頻帶寬度，另一方面取決于信號的頻帶寬度。下面以理想低通濾波器為例，討論該系統(tǒng)的單位沖激響應。設，則其頻譜,理想低通濾波器的響應的頻譜，得單位沖激響應為 h tkSattCCd( )()(thtdts tht( )( )()1ts t ( )CC定義：上升時間，為trC2可見，系統(tǒng)失真了。再討論其階躍響應： 3.9.3物理可實現系統(tǒng)對系統(tǒng)函數的要求物理可實現系統(tǒng)對系

40、統(tǒng)函數的要求從時域來討論：00)(00)(ttstth從頻域來討論：必須滿足佩利維納準則：21)(lnH3.10希爾伯特變換希爾伯特變換希爾伯特（Hilbert）變換揭示了由傅里葉變換聯系的時域和頻域之間的一種等價互換關系，它與傅里葉變換的對稱性有緊密的聯系。希爾伯特變換所得到的概念和方法在信號與系統(tǒng)以及信號處理的理論和實踐中有著重要的意義和實用價值。3.10.1希爾伯特變換的定義希爾伯特變換的定義為了引出希爾伯特變換，首先考察因果系統(tǒng)的特性。由3.9節(jié)討論可知，佩利維納準則只對系統(tǒng)的幅度頻譜提出了約束條件，它只是系統(tǒng)物理可實現的必要條件，為此，還必須尋求對系統(tǒng)相位特性的約束條件。系統(tǒng)可實現性

41、的實質是系統(tǒng)必須具有因果性。由于因果性的制約，系統(tǒng)函數的實部與虛部或模與相位之間會有某種相互制約的特性，這種特性以希爾伯特變換的形式表現出來。式(3.10-3a)和(3.10-3b)稱為希爾伯特變換對。由于這一對變換都是頻率的函數 ，所以又稱為頻域希爾伯特變換。它表明一個具有因果性的系統(tǒng)函數 所具有的特性。換言之，因果系統(tǒng) 的實部和虛部相互是不獨立的，即實部可以由虛部唯一地確定，反之亦然。因此，因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數可以僅由其實部或虛部唯一地表示，即H( )H( )d)(1j)()(-RRH)(jd)(1)(-IIH或3.10.2解析信號的希爾伯特變換表示法解析信號的希爾伯特變換表示法 由傅里葉變

42、換可知，實時間信號可以分解為偶分量和奇分量，其傅里葉變換在頻域中表現為復值函數，但其實部和虛部， 或者模和相位分別是頻域的實偶函數和實奇函數，這種特性稱之為實信號在時域中表現為奇偶對稱性，對應地其頻譜在頻域中表現為（復）共軛對稱性。 由上一小節(jié)的討論，當實時間信號是因果函數時，不僅滿足上述時域奇偶對稱性及其頻域共軛對稱性，而且其頻譜的實部和虛部，還可以用希爾伯特變換來聯系，或者說，頻譜的實部和虛部只有一個是獨立的。根據傅里葉變換時域和頻域之間的對稱特性可以想象，上述時域和頻域的這些特性可以有對等互換的關系，即若頻譜是實因果函數，那么，其時域表達一定是復值函數，其時域復值函數的實部和虛部必然是共

43、軛對稱的，而且還必然滿足希爾伯特變換。 3.10.3 希爾伯特變換的基本性質希爾伯特變換的基本性質 常見性質都可以用希爾伯特變換的定義和變量代換的方法加以證明。 3.11取樣定理取樣定理 前面主要討論的是連續(xù)時間信號，除此之外，還有離散時間信號，離散時間信號可以從每隔一定時間對連續(xù)時間信號進行取樣（也稱抽樣）來獲得。 取樣定理（也稱抽樣定理）論述在一定條件下連續(xù)時間信號完全可以用該信號在等時間間隔上的瞬時值（樣本值）來表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號的全部信息，利用這些樣本值可以沒有失真地恢復原信號。取樣定理為連續(xù)時間信號與離散時間信號相互轉換提供了理論依據。 3.11.1時域取樣時域取樣 所

44、謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列 s(t) , 從連續(xù)信號 f(t) 中“抽取”一系列離散樣本值的過程，這時所得到的離散信號稱為取樣信號。 不難看出，在數學上斬波實質上是連續(xù)信號 f(t) 與取樣脈沖序列 s(t) 作相乘運算。取樣信號 fS(t) 可寫成ftf ts tS( )( )( )其頻譜分別為nsnnFS)(2)(nsnsnFFSFF)()()(21)(和3.11.2自然取樣自然取樣ntjnnseFts)()2(ssnnSaTF 取樣脈沖序列 s(t)的頻譜取樣信號 fS(t)的頻譜)()2()()()(21)(snssnsnsnFnSaTnFFSFF 3.11.3理想取樣理想取樣取樣

45、信號 fS(t)的頻譜)()(21)(nsssnFF)(1)()(1nssnssnFTnFT 3.11.4時域取樣定理時域取樣定理時域抽樣定理時域抽樣定理可見，抽樣定理必須滿足兩個條件：一個在 頻譜區(qū)間( )以外為零的頻帶有限信號(帶限信號) ，可以唯一地由其均勻時間間隔 上的抽樣值 確定。f t ( )mm,f nTS()TTfSSm121. 必須為帶限信號，即在f t ( )m時，其頻譜 ；F( ) 02. 抽樣頻率不能過低，必須滿足 。ffSm 2 3.11.5信號的恢復信號的恢復前面的討論已經看到一個帶限信號在滿足取樣定理的情況下，可以通過理想低通濾波器從取樣信號fS(t) 中恢復原來

46、的連續(xù)信號f (t) 。這一結論是從頻域中考察取樣信號的頻譜直觀的得到的，為了對從樣本重建信號的過程有更深入的了解，這里再從時域的角度研究這一過程。f tf nT Satnf nT SaftnTSnmSnSS( )()()()結果為最后指出，上述用理想取樣得到的結論，對于自然取樣，或其它實際脈沖序列所進行的取樣，最后所得到的結論沒有本質的差別。 3.11.6頻域取樣頻域取樣通過前面的討論可以看出，取樣的本質是將一個連續(xù)變量的函數離散化的過程。因此不僅可以對時域的連續(xù)信號進行取樣，也可以在頻域對一個連續(xù)的頻譜進行取樣。通過取樣將信號在時域或頻域離散化，這對于應用數字技術分析和處理信號具有重要的意

47、義。本小節(jié)將采取與上一小節(jié)對偶的方法來分析頻域取樣的情況。將會看到，頻域取樣所得到的所有結論與時域取樣的結論是對偶的。這正是連續(xù)時間信號時域與頻域存在對稱性的體現。)(1)(nssSnTtftf對偶地頻域抽樣定理頻域抽樣定理一個在 時域區(qū)間( )以外為零的有限時間信號(時限信號) 的頻譜函數 ，可以唯一地由其均勻頻率間隔 f t ( )mmtt ,)(SnFmSStff21)(F上的抽樣值 確定。在討論時域取樣時，要求信號必須是帶限的；在討論頻域取樣時，要求信號必須是時限的。一切帶限信號都可以看成是任意信號經過理想低通濾波器后所產生的；一切時限信號都可以看成是任意信號與矩形窗相乘而產生的。因此

48、，帶限信號在時域中可以表示為任意信號與理想低通濾波器單位沖激響應的卷積積分；時限信號在頻域中可以表示為任意信號的頻譜與矩形窗頻譜的卷積積分。由于理想低通濾波器的單位沖激響應和矩形窗的頻譜都具有取樣函數的形狀，該函數非零區(qū)間都是無限的，因此可以得出以下重要的結論：一切帶限信號在時域中都是非時限的；一切時限信號在頻域中都是非帶限的。這一結論對于今后利用數字信號處理技術處理連續(xù)時間信號具有重要的意義。有關頻域取樣的進一步研究，有興趣的讀者可參閱有關文獻。 312多路復用多路復用 在同一個傳輸頻道內同時傳送多路不同信號的概念和方法，稱為多路復用。多路復用是提高通信設備有效率和傳輸信道利用率的主要手段之

49、一。目前，已被廣泛采用的多路復用方法有頻分復用（FDM）、時分復用（TDM）、正交復用（QDM）和碼分復用（CDM）等。本節(jié)僅對頻分復用和時分復用作簡單的原理性介紹。盡管多路復用的原理和方法有所不同，但都與調制與解調有直接的聯系。 3.12.1調制與解調調制與解調 在許多通信系統(tǒng)中，調制與解調是實現信號傳遞必不可少的重要手段。所謂調制就是用一個信號去控制另一個信號的某個參量，產生已調制信號；解調則是相反的過程，即從已調制信號中恢復出原信號。信號從發(fā)送端到接收端，為實現有效、可靠和遠距離的信號傳輸，都需要調制與解調。 幾乎所有要傳送的信號都只占據有限的頻帶，且都位于低頻或較低的頻帶上。同樣地，許

50、多用作傳輸的信道（例如架空明線、電纜、光纜和自由空間等），也都有其最合適于傳輸信號的頻率范圍，與信號的頻帶相比，一般都位于高頻或很高的頻率范圍上，且實際信道有用的頻帶范圍通常遠寬于信號的帶寬。要克服這兩方面的不匹配，利用調制能很好地解決這兩個問題。傅里葉變換中的調制定理是實現頻譜搬移的理論基礎，形成了所謂的正弦幅度調制，即一個信號的幅度參量受信號控制的一種調制方式。只要正弦信號（稱為載波）的頻率落在適合信道傳輸的頻率范圍內就可以在信道中很好地傳輸。將頻譜相同或不同的多個信號調制在不同頻率的載波上，只要適當地安排各個載波頻率，就可以使各個調制信號的頻譜互不重疊，在接收端就可以用不同的濾波器把它們

51、區(qū)分開來。在一個信道上互不干擾地傳送多個信號，這就是多路復用的概念和方法。由此產生了多路通信復用技術，無論是在無線通信還是在有線通信中都被廣泛地應用。 用正弦信號作為載波的一類調制稱為正弦載波調制，除了正弦幅度調制和調幅（AM）外，還有正弦頻率調制（FM)，和正弦相位調制（PM）。它們是用信號分別去控制正弦載波的另外兩個參量（瞬時頻率和瞬時相位）的調制方式。上述調制中的正弦載波信號僅作為信息的載體，其本身并不包含任何需要傳送的信息。 用非正弦周期信號作為載波的另一類調制稱為脈沖調制，用信號去控制周期脈沖序列的幅度稱為稱為脈沖幅度調制（PAM），此外，還有脈沖寬度調制（PWM）和脈沖位置調制（PPM）等等。它們是用信號分別去控制周期脈沖序列中脈沖的寬度和脈沖的位置的調制方式。顯然，這里的周期脈沖序列相當于上述正弦載波，脈沖幅度、脈沖寬度和脈沖位置相當于正弦載波的振幅、頻率和相位