解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)2 第四節(jié)第四節(jié) 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)第1頁(yè)/共23頁(yè)3 ( ), wf zuivD設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析. , xvyuyvxu 那末那末. , 222222yxvyuxyvxu 從而從而根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理, , uv與具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 從而, 22yxvxyv 2222 0,uuxy故, 0 2222 yvxv同理同理第2頁(yè)/共23頁(yè)41.Laplace算子算子 偏微分方程偏微分方程 22220HHHxy稱(chēng)為稱(chēng)為L(zhǎng)aplace方方程程其中其中2222xy 稱(chēng)為稱(chēng)為L(zhǎng)aplace算算子子從以上分析知從以上

2、分析知:( ), f zuivD若在區(qū)域內(nèi)解析. uvDLaplace則 與 在 內(nèi)滿(mǎn)足方程第3頁(yè)/共23頁(yè)52 調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)定義定義3.5( , ) , 0,( , ).H x yDHH x yD如果二元實(shí)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 且滿(mǎn)足拉普拉斯方程則稱(chēng)為區(qū)域 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)( ),f zuivDuvD若在區(qū)域內(nèi)解析 則 與 為內(nèi)的調(diào)和函數(shù)注注第4頁(yè)/共23頁(yè)6- DC R在區(qū)域 內(nèi)滿(mǎn)足方程3. 共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù)注注(1)定義定義3.6 , uvuvxyyx ,.u vvuD的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)中 稱(chēng)為 在區(qū)域 內(nèi)的共軛調(diào)和函數(shù),.vuu v稱(chēng)為 的共軛調(diào)和函數(shù)中的不能交換(2)

3、定理定理3.18( )( , )( , ),( , )( , ).f zu x yiv x yDDv x yu x y若在區(qū)域內(nèi)解析 則在 內(nèi)必為的共軛調(diào)和函數(shù)注注, u vDuivD雖然為 內(nèi)的調(diào)和函數(shù),但在區(qū)域內(nèi)不一定解析第5頁(yè)/共23頁(yè)74. 解析函數(shù)的構(gòu)造解析函數(shù)的構(gòu)造D假設(shè) 是單連通區(qū)域(1)( , ),( , ),.u x yDv x yuivD已知是 內(nèi)的調(diào)和函數(shù) 找使在 內(nèi)解析2222 0,uuxy由于,uuDyx即-與在 內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)()uuxyyx 且由數(shù)學(xué)分析的定理知由數(shù)學(xué)分析的定理知,方法一方法一:應(yīng)用曲線(xiàn)積分應(yīng)用曲線(xiàn)積分第6頁(yè)/共23頁(yè)8uudxdyyx是全

4、微分,令令( , ),(3.21)uudxdydv x yyx則則00( , )(,)( , ),(3.22)x yxyuuv x ydxdycyx注注:(3.22),x y對(duì)分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù) 得 , uvuvxyyx 3.15,.uivD由定理知在 內(nèi)解析第7頁(yè)/共23頁(yè)9注注1: (3.21)可由可由( , )vvdv x ydxdyxyC R方程uudxdyyx去記.方法二方法二:應(yīng)用不定積分應(yīng)用不定積分-,vuCRyx由方程有( , )( ),uv x ydyxx-vuCRxy再由方程另一條件有( , )( )xv x yudyxxx,uy ( ).x找第8頁(yè)/共23頁(yè)10(2)( ,

5、),( , ),.v x yDu x yuivD已知是 內(nèi)的調(diào)和函數(shù) 找使在 內(nèi)解析( , )uudu x ydxdyxy類(lèi)似有類(lèi)似有C R方程vvdxdyyx故故00( , )(,)( , )x yxyvvu x ydxdycyx注注:00(0,0),(,)(0,0),Dxy若則定點(diǎn)可取,(3.22).D若 非單連通 則積分可能為多值函數(shù)第9頁(yè)/共23頁(yè)115. 解析函數(shù)的等價(jià)刻劃解析函數(shù)的等價(jià)刻劃(1)定理定理3.19( , ),(3.22)u x yD設(shè)是在單連通區(qū)域 內(nèi)的調(diào)和函數(shù) 則存在由式( , ),( ).v x yf zuivD所確定的函數(shù)使是 內(nèi)的解析函數(shù)00( , )(,)(

6、 , ),(3.22)x yxyuuv x ydxdycyx(2)刻劃解析函數(shù)又一等價(jià)條件刻劃解析函數(shù)又一等價(jià)條件( )f zuivD在區(qū)域 內(nèi)解析3.18 定理.Dvu在區(qū)域 內(nèi), 是 的共軛調(diào)和函數(shù)3.19 定理第10頁(yè)/共23頁(yè)12注注: 由于任一二元調(diào)和函數(shù)都可作解析函數(shù)的實(shí)部(或虛部),由解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)仍解析知,任一二元調(diào)和函數(shù)的任意階偏導(dǎo)數(shù)也是調(diào)和函數(shù).例例1 2 .xy證明不能作為解析函數(shù)的實(shí)部證明證明2( , ),u x yxy設(shè)由于由于2,uyx220,ux2,uxyy222 ,uxy0,x 故當(dāng)( , )u x y 不是調(diào)和函數(shù),0,xLaplace雖然在直線(xiàn)上滿(mǎn)足方

7、程但直線(xiàn)不是區(qū)域,2,.zxy即在 平面的任一區(qū)域不能作為解析函數(shù)的實(shí)部第11頁(yè)/共23頁(yè)13例例2 2222 : ( , ), ( , ),( )( , )( , ).yu x yxyv x yxyf zu x yiv x y證明都是調(diào)和函數(shù) 但不是解析函數(shù)證證明明2 ,uxx222,ux2 ,uyy 222,uy 2222,()vxyxxy22222,()vxyyxy223222 362,()vx yyxxy223222 362,()vx yyyxy22220,uuxy22220;vvxy第12頁(yè)/共23頁(yè)14( , ),u x yz即是 平面上的調(diào)和函數(shù)( , )0,v x yC 是上的

8、調(diào)和函數(shù) , uvxy但0-,CuvCR從而在上 與 不滿(mǎn)足方程.vu故 不是 的共軛調(diào)和函數(shù)( )( , )( , ).f zu x yv x y即不是解析函數(shù)第13頁(yè)/共23頁(yè)15例例3 32( , )3, ( , )( ),(0).u x yxxyzu x yf zfi驗(yàn)證是 平面上的調(diào)和函數(shù)并求以為實(shí)部的解析函數(shù)使2233,uxyx22 6 ,uxx 6,uxyy 22 6 ,uxy 解解,z因?yàn)樵?平面上, 0 2222 yuxu于是于是( , ).u x y故為z平面上的調(diào)和函數(shù)( , )vvdv x ydxdyxy由有有( , )(0,0)x y,uudxdyyx 6xydx,

9、c22(33)xydy( , )v x y第14頁(yè)/共23頁(yè)16( ,0)22(0,0)6(33)xxydxxydy( , )22( ,0)6(33)x yxxydxxydyc220(33)yxydyc233x yyc( )wf zuiv故32(3)xxy3,zic23(3)ix yyc (0),fi由 1,c 得3( ).f zzi故第15頁(yè)/共23頁(yè)172233,uxyx22 6 ,uxx 6,uxyy 22 6 ,uxy 解解(法二法二),z因?yàn)樵?平面上, 0 2222 yuxu于是于是( , ).u x y故為z平面上的調(diào)和函數(shù)yxCRvu由方程中一個(gè)得( , )v x y( )xu

10、 dyx22(33)( )xydyx233( )x yyx第16頁(yè)/共23頁(yè)18xyCRvu 再由方程中另一個(gè)得23( , )3( )v x yx yyx6( )xyx6,xy( )0,x故( ),xc即23( , )3,v x yx yyc因此( )wf zuiv故32(3)xxy23(3)ix yy3,zic (0),fi由 1,c 得3( ).f zzi故第17頁(yè)/共23頁(yè)19例例4 ( , )arctan(0),( ).yv x yxxf zuiv已知求右半平面的解析函數(shù)解解22,yxy 2211vxyyx2221yvxyxx22,xxy222222 ,()vxyxxy222222 ,()vxyyxy2222 0,vvxy于是( , ) v x y 為調(diào)和函數(shù).第18頁(yè)/共23頁(yè)20-CR由方程中的一個(gè)uvxy得22,uvxxyxy( , )( )uu x ydxyx( )vdxyy22( )xdxyxy221ln()( )2xyy-CR再由方程中的另一個(gè)uvyx 得第19頁(yè)/共23頁(yè)212212( )2yyxy( )0,y從而 ( ),yc故221 ln(),2uxyc于是22yxyuvyx 故