初三+圓難題壓軸題答案解析+

1、.圓難題壓軸題答案解析1. 解：（1）如圖1，設(shè)O的半徑為r，當點A在C上時，點E和點A重合，過點A作AHBC于H，BH=ABcosB=4，AH=3，CH=4，AC=5，此時CP=r=5；（2）如圖2，若APCE，APCE為平行四邊形，CE=CP，四邊形APCE是菱形，連接AC、EP，則ACEP，AM=CM=，由（1）知，AB=AC，則ACB=B，CP=CE=，EF=2=；（3）如圖3：過點C作CNAD于點N，cosB=，B45°，BCG90°，BGC45°，AEG=BCGACB=B，當AEG=B時，A、E、G重合，只能AGE=AEG，ADBC，GAEGBC，=，

2、即=，解得：AE=3，EN=ANAE=1，CE=2.解：（1）若圓P與直線l和l2都相切，當點P在第四象限時，過點P作PHx軸，垂足為H，連接OP，如圖1所示設(shè)y=x的圖象與x軸的夾角為當x=1時，y=tan=60°由切線長定理得：POH=（180°60°）=60°PH=1，tanPOH=OH=點P的坐標為（，1）同理可得：當點P在第二象限時，點P的坐標為（，1）；當點P在第三象限時，點P的坐標為（，1）；若圓P與直線l和l1都相切，如圖2所示同理可得：當點P在第一象限時，點P的坐標為（，1）；當點P在第二象限時，點P的坐標為（，1）；當點P在第三象限時

3、，點P的坐標為（，1）；當點P在第四象限時，點P的坐標為（，1）若圓P與直線l1和l2都相切，如圖3所示同理可得：當點P在x軸的正半軸上時，點P的坐標為（，0）；當點P在x軸的負半軸上時，點P的坐標為（，0）；當點P在y軸的正半軸上時，點P的坐標為（0，2）；當點P在y軸的負半軸上時，點P的坐標為（0，2）綜上所述：其余滿足條件的圓P的圓心坐標有：（，1）、（，1）、（，1）、（，1）、（，1）、（，1）、（，1）、（，0）、（，0）、（0，2）、（0，2）（2）用線段依次連接各圓心，所得幾何圖形，如圖4所示由圖可知：該幾何圖形既軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，由對稱性可得：該幾何圖形的所有的邊

4、都相等該圖形的周長=12×（）=83.（1）解：連接OB，OD，DAB=120°，所對圓心角的度數(shù)為240°，BOD=120°，O的半徑為3，劣弧的長為：××3=2；（2）證明：連接AC，AB=BE，點B為AE的中點，F(xiàn)是EC的中點，BF為EAC的中位線，BF=AC，=，+=+，=，BD=AC，BF=BD；（3）解：過點B作AE的垂線，與O的交點即為所求的點P，BF為EAC的中位線，BFAC，F(xiàn)BE=CAE，=，CAB=DBA，由作法可知BPAE，GBP=FBP，G為BD的中點，BG=BD，BG=BF，在PBG和PBF中，PBGPBF

5、（SAS），PG=PF4.解：（1）l1l2，O與l1，l2都相切，OAD=45°，AB=4cm，AD=4cm，CD=4cm，AD=4cm，tanDAC=，DAC=60°，OAC的度數(shù)為：OAD+DAC=105°，故答案為：105；（2）如圖位置二，當O1，A1，C1恰好在同一直線上時，設(shè)O1與l1的切點為E，連接O1E，可得O1E=2，O1El1，在RtA1D1C1中，A1D1=4，C1D1=4，tanC1A1D1=，C1A1D1=60°，在RtA1O1E中，O1A1E=C1A1D1=60°，A1E=，A1E=AA1OO12=t2，t2=，t

6、=+2，OO1=3t=2+6；（3）當直線AC與O第一次相切時，設(shè)移動時間為t1，如圖，此時O移動到O2的位置，矩形ABCD移動到A2B2C2D2的位置，設(shè)O2與直線l1，A2C2分別相切于點F，G，連接O2F，O2G，O2A2，O2Fl1，O2GA2G2，由（2）得，C2A2D2=60°，GA2F=120°，O2A2F=60°，在RtA2O2F中，O2F=2，A2F=，OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，4t1+3t1=2，t1=2，當直線AC與O第二次相切時，設(shè)移動時間為t2，記第一次相切時為位置一，點O1，A1，C1共線時位置二，第二次相切時為位置

7、三，由題意知，從位置一到位置二所用時間與位置二到位置三所用時間相等，+2（2）=t2（+2），解得：t2=2+2，綜上所述，當d2時，t的取值范圍是：2t2+25.解：（1）證明：如圖1，CE為O的直徑，CFE=CGE=90EGEF，F(xiàn)EG=90°CFE=CGE=FEG=90°四邊形EFCG是矩形（2）存在連接OD，如圖2，四邊形ABCD是矩形，A=ADC=90°點O是CE的中點，OD=OC點D在O上FCE=FDE，A=CFE=90°，CFEDAB=（）2AD=4，AB=3，BD=5，SCFE=（）2SDAB=××3×4=S

8、矩形ABCD=2SCFE=四邊形EFCG是矩形，F(xiàn)CEGFCE=CEGGDC=CEG，F(xiàn)CE=FDE，GDC=FDEFDE+CDB=90°，GDC+CDB=90°GDB=90°當點E在點A（E）處時，點F在點B（F）處，點G在點D（G處，如圖2所示此時，CF=CB=4當點F在點D（F）處時，直徑FGBD，如圖2所示，此時O與射線BD相切，CF=CD=3當CFBD時，CF最小，此時點F到達F，如圖2所示SBCD=BCCD=BDCF4×3=5×CFCF=CF4S矩形ABCD=，×（）2S矩形ABCD×42S矩形ABCD12矩形E

9、FCG的面積最大值為12，最小值為GDC=FDE=定值，點G的起點為D，終點為G，點G的移動路線是線段DGGDC=FDE，DCG=A=90°，DCGDAB=DG=點G移動路線的長為來6.解：（1）以AB為邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC，以點C為圓心，AC為半徑作C，交y軸于點P1、P2在優(yōu)弧AP1B上任取一點P，如圖1，則APB=ACB=×60°=30°使APB=30°的點P有無數(shù)個故答案為：無數(shù)（2）當點P在y軸的正半軸上時，過點C作CGAB，垂足為G，如圖1點A（1，0），點B（5，0），OA=1，OB=5AB=4點C為圓心，CGAB，

10、AG=BG=AB=2OG=OA+AG=3ABC是等邊三角形，AC=BC=AB=4CG=2點C的坐標為（3，2）過點C作CDy軸，垂足為D，連接CP2，如圖1，點C的坐標為（3，2），CD=3，OD=2P1、P2是C與y軸的交點，AP1B=AP2B=30°CP2=CA=4，CD=3，DP2=點C為圓心，CDP1P2，P1D=P2D=P2（0，2）P1（0，2+）當點P在y軸的負半軸上時，同理可得：P3（0，2）P4（0，2+）綜上所述：滿足條件的點P的坐標有：（0，2）、（0，2+）、（0，2）、（0，2+）（3）當過點A、B的E與y軸相切于點P時，APB最大當點P在y軸的正半軸上時，

11、連接EA，作EHx軸，垂足為H，如圖2E與y軸相切于點P，PEOPEHAB，OPOH，EPO=POH=EHO=90°四邊形OPEH是矩形OP=EH，PE=OH=3EA=3EHA=90°，AH=2，EA=3，EH=OP=P（0，）當點P在y軸的負半軸上時，同理可得：P（0，）理由：若點P在y軸的正半軸上，在y軸的正半軸上任取一點M（不與點P重合），連接MA，MB，交E于點N，連接NA，如圖2所示ANB是AMN的外角，ANBAMBAPB=ANB，APBAMB若點P在y軸的負半軸上，同理可證得：APBAMB綜上所述：當點P在y軸上移動時，APB有最大值，此時點P的坐標為（0，）和

12、（0，）7解答：證明：（1）如圖，連接PM，PN，P與x軸，y軸分別相切于點M和點N，PMMF，PNON且PM=PN，PMF=PNE=90°且NPM=90°，PEPF，NPE=MPF=90°MPE，在PMF和PNE中，PMFPNE（ASA），PE=PF，（2）解：當t1時，點E在y軸的負半軸上，如圖，由（1）得PMFPNE，NE=MF=t，PM=PN=1，b=OF=OM+MF=1+t，a=NEON=t1，ba=1+t（t1）=2，b=2+a，0t1時，如圖2，點E在y軸的正半軸或原點上，同理可證PMFPNE，b=OF=OM+MF=1+t，a=ONNE=1t，b+a

13、=1+t+1t=2，b=2a，（3）如圖3，（）當1t2時，F(xiàn)（1+t，0），F(xiàn)和F關(guān)于點M對稱，F(xiàn)（1t，0）經(jīng)過M、E和F三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，Q（1t，0）OQ=1t，由（1）得PMFPNE NE=MF=t，OE=t1當OEQMPF=，解得，t=，當OEQMFP時，=，=，解得，t=，（）如圖4，當t2時，F(xiàn)（1+t，0），F(xiàn)和F關(guān)于點M對稱，F(xiàn)（1t，0）經(jīng)過M、E和F三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，Q（1t，0）OQ=t1，由（1）得PMFPNE NE=MF=t，OE=t1當OEQMPF=，無解，當OEQMFP時，=，=，解得，t=2±，所以當t=，t=，t=

14、2±時，使得以點Q、O、E為頂點的三角形與以點P、M、F為頂點的三角形相似8.答：（1）DFAB，EFAC，BDF=CEF=90°ABC為等邊三角形，B=C=60°BDF=CEF，B=C，BDFCEF（2）BDF=90°，B=60°，sin60°=，cos60°=BF=m，DF=m，BD=AB=4，AD=4SADF=ADDF=×（4）×m=m2+m同理：SAEF=AEEF=×（4）×（4m）=m2+2S=SADF+SAEF=m2+m+2=（m24m8）=（m2）2+3其中0m40，02

15、4，當m=2時，S取最大值，最大值為3S與m之間的函數(shù)關(guān)系為：S（m2）2+3（其中0m4）當m=2時，S取到最大值，最大值為3（3）如圖2，A、D、F、E四點共圓，EDF=EAFADF=AEF=90°，AF是此圓的直徑tanEDF=，tanEAF=C=60°，=tan60°=設(shè)EC=x，則EF=x，EA=2xAC=a，2x+x=Ax=EF=，AE=AEF=90°，AF=此圓直徑長為9.解答：解：（1）連接OA，過點B作BHAC，垂足為H，如圖1所示AB與O相切于點A，OAABOAB=90°OQ=QB=1，OA=1AB=ABC是等邊三角形，AC

16、=AB=，CAB=60°sinHAB=，HB=ABsinHAB=×=SABC=ACBH=××=ABC的面積為（2）當點A與點Q重合時，線段AB與圓O只有一個公共點，此時=0°；當線段A1B所在的直線與圓O相切時，如圖2所示，線段A1B與圓O只有一個公共點，此時OA1BA1，OA1=1，OB=2，cosA1OB=A1OB=60°當線段AB與圓O只有一個公共點（即A點）時，的范圍為：0°60°（3）連接MQ，如圖3所示PQ是O的直徑，PMQ=90°OAPM，PDO=90°PDO=PMQPDOPMQ=

17、PO=OQ=PQPD=PM，OD=MQ同理：MQ=AO，BM=ABAO=1，MQ=OD=PDO=90°，PO=1，OD=，PD=PM=DM=ADM=90°，AD=A0OD=，AM=ABC是等邊三角形，AC=AB=BC，CAB=60°BM=AB，AM=BMCMABAM=，BM=，AB=AC=CM=CM的長度為10. 解答：（1）證明：CD是O的直徑，DFC=90°，四邊形ABCD是平行四邊形，A=C，ADBC，ADF=DFC=90°，DE為O的切線，DEDC，EDC=90°，ADF=EDC=90°，ADE=CDF，A=C，AD

18、ECDE；（2）解：CF：FB=1：2，設(shè)CF=x，F(xiàn)B=2x，則BC=3x，AE=3EB，設(shè)EB=y，則AE=3y，AB=4y，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=BC=3x，AB=DC=4y，ADECDF，=，=，x、y均為正數(shù)，x=2y，BC=6y，CF=2y，在RtDFC中，DFC=90°，由勾股定理得：DF=2y，O的面積為（DC）2=DC2=（4y）2=4y2，四邊形ABCD的面積為BCDF=6y2y=12y2，O與四邊形ABCD的面積之比為4y2：12y2=：311.（1）證明：，DPF=180°APD=180°所對的圓周角=180°所對的圓

19、周角=所對的圓周角=APC在PAC和PDF中，PACPDF（2）解：如圖1，連接PO，則由，有POAB，且PAB=45°，APO、AEF都為等腰直角三角形在RtABC中，AC=2BC，AB2=BC2+AC2=5BC2，AB=5，BC=，AC=2，CE=ACsinBAC=AC=2=2， AE=ACcosBAC=AC=2=4，AEF為等腰直角三角形，EF=AE=4，F(xiàn)D=FC+CD=（EFCE）+2CE=EF+CE=4+2=6APO為等腰直角三角形，AO=AB=，AP=PDFPAC，PD=（3）解：如圖2，過點G作GHAB，交AC于H，連接HB，以HB為直徑作圓，連接CG并延長交O于Q，

20、HCCB，GHGB，C、G都在以HB為直徑的圓上，HBG=ACQ，C、D關(guān)于AB對稱，G在AB上，Q、P關(guān)于AB對稱，PCA=ACQ，HBG=PCAPACPDF，PCA=PFD=AFD，y=tanAFD=tanPCA=tanHBG=HG=tanHAGAG=tanBACAG=，y=x12. 解答：解：（1）證明：連接OH，如圖所示四邊形ABCD是矩形，ADC=BAD=90°，BC=AD，AB=CDHPAB，ANH+BAD=180°ANH=90°HN=PN=HP=OH=OA=，sinHON=HON=60°BD與O相切于點H，OHBDHDO=30°O

21、D=2AD=3BC=3BAD=90°，BDA=30°tanBDA=AB=3HP=3，AB=HPABHP，四邊形ABHP是平行四邊形BAD=90°，AM是O的直徑，BA與O相切于點ABD與O相切于點H，BA=BH平行四邊形ABHP是菱形（2）EFG的直角頂點G能落在O上如圖所示，點G落到AD上EFBD，F(xiàn)EC=CDBCDB=90°30°=60°，CEF=60°由折疊可得：GEF=CEF=60°GED=60°CE=x，GE=CE=xED=DCCE=3xcosGED=x=2GE=2，ED=1GD=OG=ADAO

22、GD=3=OG=OM點G與點M重合此時EFG的直角頂點G落在O上，對應(yīng)的x的值為2當EFG的直角頂點G落在O上時，對應(yīng)的x的值為2（3）如圖，在RtEGF中，tanFEG=FG=xS=GEFG=xx=x2如圖，ED=3x，RE=2ED=62x，GR=GEER=x（62x）=3x6tanSRG=，SG=（x2）SSGR=SGRG=（x2）（3x6）=（x2）2SGEF=x2，S=SGEFSSGR=x2（x2）2=x2+6x6綜上所述：當0x2時，S=x2；當2x3時，S=x2+6x6當FG與O相切于點T時，延長FG交AD于點Q，過點F作FKAD，垂足為K，如圖所示四邊形ABCD是矩形，BCAD，

23、ABC=BAD=90°AQF=CFG=60°OT=，OQ=2AQ=+2FKA=ABC=BAD=90°，四邊形ABFK是矩形FK=AB=3，AK=BF=3xKQ=AQAK=（+2）（3x）=22+x在RtFKQ中，tanFQK=FK=QK3=（22+x）解得：x=3032，S=x2=×（3）2=6FG與O相切時，S的值為613解答：（1）證明：連結(jié)OC、OE，OE交AB于H，如圖1，E是弧AB的中點，OEAB，EHF=90°，HEF+HFE=90°，而HFE=CFD，HEF+CFD=90°，DC=DF，CFD=DCF，而OC=

24、OE，OCE=OEC，OCE+DCE=HEF+CFD=90°，OCCD，直線DC與O相切；（2）解：連結(jié)BC，E是弧AB的中點，弧AE=弧BE，ABE=BCE，而FEB=BEC，EBFECB，EF：BE=BE：EC，EFEC=BE2=（r）2=r2；（3）解：如圖2，連結(jié)OA，弧AE=弧BE，AE=BE=r，設(shè)OH=x，則HE=rx，在RtOAH中，AH2+OH2=OA2，即AH2+x2=r2，在RtEAH中，AH2+EH2=EA2，即AH2+（rx）2=（r）2，x2（rx）2=r2（r）2，即得x=r，HE=rr=r，在RtOAH中，AH=，OEAB，AH=BH，而F是AB的四等

25、分點，HF=AH=，在RtEFH中，EF=r，EFEC=r2，rEC=r2，EC=r14. 解：（1）連結(jié)O1A、O2B，如圖，設(shè)O1的半徑為r，O2的半徑為R，O1與O2外切與點D，直線O1O2過點D，MO2=MD+O2D=4+R，直線l與兩圓分別相切于點A、B，O1AAB，O2BAB，tanAM01=，AM01=30°，在RtMBO2中，MO2=O2B=2R，4+R=2R，解得R=4，即O2的半徑為4；（2）AM02=30°，MO2B=60°，而O2B=O2D，O2BD為等邊三角形，BD=O2B=4，DBO2=60°，ABD=30°，AM0

26、1=30°，MO1A=60°，而O1A=O1D，O1AD=O1DA，O1AD=MO1A=30°，DAB=60°，ADB=180°30°60°=90°，在RtABD中，AD=BD=4，AB=2AD=8，ADB內(nèi)切圓的半徑=22，ADB內(nèi)切圓的面積=（22）2=（168）；（3）存在在RtMBO2中，MB=O2B=×4=12，當MO2PMDB時，=，即=，解得O2P=8；當MO2PMBD時，=，即=，解得O2P=8，綜上所述，滿足條件的O2P的長為8或815.解：（1）連接PA，如圖1所示POAD，AO=DO

27、AD=2，OA=點P坐標為（1，0），OP=1PA=2BP=CP=2B（3，0），C（1，0）（2）連接AP，延長AP交P于點M，連接MB、MC如圖2所示，線段MB、MC即為所求作四邊形ACMB是矩形理由如下：MCB由ABC繞點P旋轉(zhuǎn)180°所得，四邊形ACMB是平行四邊形BC是P的直徑，CAB=90°平行四邊形ACMB是矩形過點M作MHBC，垂足為H，如圖2所示在MHP和AOP中，MHP=AOP，HPM=OPA，MP=AP，MHPAOPMH=OA=，PH=PO=1OH=2點M的坐標為（2，）（3）在旋轉(zhuǎn)過程中MQG的大小不變四邊形ACMB是矩形，BMC=90°E

28、GBO，BGE=90°BMC=BGE=90°點Q是BE的中點，QM=QE=QB=QG點E、M、B、G在以點Q為圓心，QB為半徑的圓上，如圖3所示MQG=2MBGCOA=90°，OC=1，OA=，tanOCA=OCA=60°MBC=BCA=60°MQG=120°在旋轉(zhuǎn)過程中MQG的大小不變，始終等于120°16解：（1）如圖1，AB是O的直徑，AEB=90°AEBC（2）如圖1，BF與O相切，ABF=90°CBF=90°ABE=BAEBAF=2CBFBAF=2BAEBAE=CAECBF=CAECG

29、BF，AEBC，CGB=AEC=90°CBF=CAE，CGB=AEC，BCGACE（3）連接BD，如圖2所示DAE=DBE，DAE=CBF，DBE=CBFAB是O的直徑，ADB=90°BDAFDBC=CBF，BDAF，CGBF，CD=CGF=60°，GF=1，CGF=90°，tanF=CG=tan60°=CG=，CD=AFB=60°，ABF=90°，BAF=30°ADB=90°，BAF=30°，AB=2BDBAE=CAE，AEB=AEC，ABE=ACEAB=AC設(shè)O的半徑為r，則AC=AB=2r

30、，BD=rADB=90°，AD=rDC=ACAD=2rr=（2）r=r=2+3O的半徑長為2+317解答：解：（1）當k=1時，拋物線解析式為y=x21，直線解析式為y=x+1聯(lián)立兩個解析式，得：x21=x+1，解得：x=1或x=2，當x=1時，y=x+1=0；當x=2時，y=x+1=3，A（1，0），B（2，3）（2）設(shè)P（x，x21）如答圖2所示，過點P作PFy軸，交直線AB于點F，則F（x，x+1）PF=yFyP=（x+1）（x21）=x2+x+2SABP=SPFA+SPFB=PF（xFxA）+PF（xBxF）=PF（xBxA）=PFSABP=（x2+x+2）=（x）2+當x=

31、時，yP=x21=ABP面積最大值為，此時點P坐標為（，）（3）設(shè)直線AB：y=kx+1與x軸、y軸分別交于點E、F，則E（，0），F(xiàn)（0，1），OE=，OF=1在RtEOF中，由勾股定理得：EF=令y=x2+（k1）xk=0，即（x+k）（x1）=0，解得：x=k或x=1C（k，0），OC=k假設(shè)存在唯一一點Q，使得OQC=90°，如答圖3所示，則以O(shè)C為直徑的圓與直線AB相切于點Q，根據(jù)圓周角定理，此時OQC=90°設(shè)點N為OC中點，連接NQ，則NQEF，NQ=CN=ON=EN=OEON=NEQ=FEO，EQN=EOF=90°，EQNEOF，即：，解得：k=±，k0，k=存在唯一一點Q，使得OQC=90°，此時k=18解：（1）設(shè)拋物線為y=a（x4）21，拋物線經(jīng)過點A（0，3），3=a（04）21，；拋物線為；（3分）（2）相交證明：連接CE，則CEBD，當時，x1=2，x2=