課本例題的衍變論文如何抓住教材例習(xí)題之間的聯(lián)系論文一道課本例題的演變 拓展及應(yīng)用

1、一道課本例題的演變拓展及應(yīng)用課本例題和習(xí)題具有不容置疑的示范性和權(quán)威性，而其極強(qiáng)的衍變能力成為高考試題推陳出新的源泉，因而，深受高考命題專家的青睞.在它們身上做文章不僅能使學(xué)生鞏固所學(xué)的新知識(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用新知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，而且還有助于學(xué)生掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，最終達(dá)到提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力的目的。那么，作為教師該如何抓住教材例、習(xí)題之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些例、習(xí)題進(jìn)行演變、拓展和應(yīng)用呢？ 問(wèn)題提出：普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（人教版）A版選修2-1P41例題3 設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0）、（5，0），直線AM、BM交于點(diǎn)M，且它們的斜率之

2、積是-，求點(diǎn)M的軌跡方程。 分析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），那么直線AM、BM的斜率就可以用含x，y的式子來(lái)表示，再由kAMkBM=-得出點(diǎn)M的軌跡方程. 解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（-5，0）， 所以，直線AM斜率為kAM=-（x-5） 同理，直線BM斜率為kBM=（x5） 由已知得=-（x±5） 化簡(jiǎn)，得點(diǎn)M的軌跡方程為+=1（x±5）.（橢圓） 類似地，出現(xiàn)在教材及高考題中的有： 1.普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（人教版）A版選修2-1P55探究。 設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0）、（5，0），直線AM、BM交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，試求點(diǎn)M

3、的軌跡方程。 仿照例3的思路，有=（x±5） 化簡(jiǎn)，得點(diǎn)M的軌跡方程為-=1（x±5）.（雙曲線） 2.普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（人教版）A版選修2-1P80復(fù)習(xí)參考題10： 已知VABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0）、（5，0），且AC、BC所在直線的斜率之積等于m（m0）試探求頂點(diǎn)C的軌跡. 仿照例3的思路，有=m（x±5） 化簡(jiǎn)，得點(diǎn)C的軌跡方程為-=1（x±5） 當(dāng)-1m0時(shí)為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓， 當(dāng)m=-1時(shí)是圓心在原點(diǎn)，半徑為5的圓， 當(dāng)m-1時(shí)為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓， 當(dāng)m0時(shí)為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線. 3.（2010北京理19）

4、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于-，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。 解：因?yàn)辄c(diǎn)B與A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以B點(diǎn)得坐標(biāo)為（1，-1）。 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y） 由題意得=- 化簡(jiǎn)得x2+3y2=4（x±1）. 故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為x2+3y2=4（x±1）. 為了充分挖掘例題的教育功能，我們誘導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題提出的條件與結(jié)論互換后繼續(xù)探討。 演變1：設(shè)點(diǎn)A、B是曲線-（x±5）在軸上兩端點(diǎn)，P是曲線上異于A、B的任意一點(diǎn)，求kPAkPB的值。 解：由題意知，A（-5，0）、B（5，0），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)

5、為（x，y），（x±5） 則kAM=，kPM=所以，kAMkBM= 又P是曲線上的點(diǎn)，所以y2=mx2-25m，代入上式得：kAMkBM=m. 說(shuō)明：此時(shí)的曲線包含焦點(diǎn)在x、y軸上的橢圓（m0）及焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（m>0）及圓（m=-1）. 更一般地，可將A、B視為過(guò)橢圓中心的直線與橢圓的交點(diǎn)，P為橢圓上異于A、B任意一點(diǎn)，此時(shí)，kAMkBM的值是否變化呢？ 演變2：設(shè)橢圓+=1（m>0，n>0）（不論焦點(diǎn)是在x軸上，還是焦點(diǎn)在y軸上）上任意一點(diǎn)P，與過(guò)中心的弦AB的兩端點(diǎn)A、B連線PA、PB與對(duì)稱軸不平行，求kAMkBM的值。 解：設(shè)P（x，y），A（x1，y

6、1）則B（-x1，-y1）+=1，+=1兩式相減得： =，=- kAMkBM=-為定值。 說(shuō)明：此性質(zhì)是圓的性質(zhì)“圓上一點(diǎn)對(duì)直徑所張成的角為直角，即kAMkBM=-1”在橢圓中的推廣，它充分揭示了橢圓的本質(zhì)屬性。 進(jìn)一步思考：若將橢圓改為雙曲線，命題是否成立？ 演變3：設(shè)雙曲線+=1（m>0，n<0）上任意一點(diǎn)P與過(guò)中心的弦AB的兩端點(diǎn)A、B連線PA、PB與對(duì)稱軸不平行，求的kPAkPB的值。 解：設(shè)則P（x，y），A（x1，y1），則B（-x1，-y1）， +=1，+=1兩式相減得： +，=- kAMkBM為定值。 歸納：對(duì)于方程+=1（m>0，n<0或mn<0

7、）上任意一點(diǎn)P與過(guò)中心的弦AB的兩端點(diǎn)A，B連線PA、PB與坐標(biāo)軸不平行，則kAMkBM=-（定值） 當(dāng)m=n>0時(shí)，方程為圓，此時(shí)kAMkBM=-1； 當(dāng)m>0，n>0且mn時(shí)，方程為橢圓，此時(shí)kAMkBM=-； 當(dāng)mn<0時(shí)，方程為雙曲線，此時(shí)kAMkBM=-. 說(shuō)明：仍可進(jìn)一步思考，當(dāng)曲線的中心不在原點(diǎn)時(shí)，結(jié)論是否發(fā)生變化？ 演變的應(yīng)用1：（09福建文22）已知直線x-2y+2=0經(jīng)過(guò)橢圓C：+=1（a>b>0）的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線l：x=與直線分別交于M、N兩點(diǎn)。 （I）求橢圓C的方程； （

8、）求線段MN的長(zhǎng)度的最小值； 解：（I）由已知得，橢圓C的左頂點(diǎn)為A（-2，0），上頂點(diǎn)為D（0，1），a=2，b=1 故橢圓的方程為+y2=1 （）設(shè)M（，y1），N（，y2） 則由演變2知：kAMkBM=- 即=- y1y2=- |MN|=|y1-y2|=y1+（-y2）2 當(dāng)且僅當(dāng)y1-y2-時(shí)取等號(hào) 故線段MN的長(zhǎng)度的最小值為。 （此解法比標(biāo)準(zhǔn)解答簡(jiǎn)捷得多） 演變的應(yīng)用2：（06東北模擬）B1，B2是橢圓+=1（a>b>0）的短軸的兩端點(diǎn)，P是橢圓上與B1，B2不重合的點(diǎn)，B1P，B2P分別交x軸于M，N兩點(diǎn)， 求證：|OM|ON|為定值。 證明：（如圖）B1（0，b）B2

9、（0，-b） 設(shè)M（xM，0），M（xN，0） 則由演變2知：即 kPB1kPB2=-，即kMB1kNB2=- =- xMxN=a2 |OM|ON|=a2 將演變中的條件kPAkPB=-進(jìn)一步延伸，可得： 拓展1：若M是橢圓+=1（m>0，n>0）（不論焦點(diǎn)是在x軸上，還是焦點(diǎn)在y軸上）的弦AB之中點(diǎn)，則直線OM與直線AB的斜率之積為定值。 證明：（如圖）連接AO并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)P，連結(jié)OM，BP，則OMBP kOM=kBP 由性質(zhì)知kABkPB=- kOMkAB=-為定值 說(shuō)明：此性質(zhì)是圓中的垂徑定理“圓心與弦中點(diǎn)連線垂直于弦”在橢圓中的推廣。 若將橢圓改為雙曲線，命題是否成立？

10、 拓展2：若M是雙曲線+=1（mn<0）的弦AB之中點(diǎn)， 則kOMkAB=kPBkAB=- 若將橢圓改為拋物線，命題會(huì)發(fā)生什么變化？（學(xué)生思考、解釋） 拓展3：若M是拋物線y2=2px（p>0）的弦AB之中點(diǎn)，求直線OM與直線AB的斜率之積。 解：設(shè)M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）則y12=2px1，y22=2px2，兩式相減得： y12-y22=2p（x1-x2），=2p kOMkAB= 拓展應(yīng)用1：（2010全國(guó)卷2理21）己知斜率為1的直線l與雙曲線C：+=1（a>0，b>0）相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為M（1，3）求C的離心率。 解：由拓

11、展2知 k1kOM=即1= e=2 拓展應(yīng)用2：（06上海文21）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F（-，0），右頂點(diǎn)為D（2，0），設(shè)點(diǎn)A（1，）. （1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程； 解：（1）（解法略）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1 （2）設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x0，y0）， 由x=y= 得x0=2x-1y0=2y- 由，點(diǎn)P在橢圓上，得+（2y-）2=1， 線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是 （x-）2+4（y-）2=1. 若用拓展1，本題（2）可這樣解： 設(shè)線段AB，CD的中點(diǎn)分別為M，M， 由拓展1知k1kOM=-k1kOM=- kOM=kOM故M與M重合 又|AM|=|BM|及|CM|=|DM|AC|=|BD| 由此可見(jiàn)，一般方法雖然具有一定的代表性，但運(yùn)算比較復(fù)雜，稍不小心，便前功盡棄。而運(yùn)用拓展的知識(shí)，運(yùn)算簡(jiǎn)捷明了，一步到位。 總之，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，例題教學(xué)占有相當(dāng)重要的地位，研究