概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式整理(大學(xué)考試必備)

1、第1章隨機(jī)事件及其概率(1)排列組合公式P：=從m個人中挑出n個人進(jìn)行排列的可能數(shù)。(m-n)!Cm=m從m個人中挑出n個人進(jìn)行組合的可能數(shù)。n!(m-n)!(2)加法和乘法原理加法原理(兩種方法均能完成此事)：m+n某件事由兩種方法來完成，A種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理(兩個步驟分別不能完成這件事)：mxn某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n種方法來完成，則這件事可由mxn種方法來完成。(3)一些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列(有序)對立事件(至少有一個)順序問題(4)隨機(jī)試驗和隨機(jī)事件如果一個試

2、驗在相同條件卜XJ以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但在進(jìn)行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則稱這種試驗為隨機(jī)試驗。試驗的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。(5)基本事件、樣本空間和事件在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進(jìn)行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用切來表示?；臼录娜w，稱為試驗的樣本空間，用建表示。一個事件就是由G中的部分點(基本事件8)組成的集合。通常用大寫字母A,B,C,表示事件，它們是C的子集。為必然事件，？為/、可能事件。不可能

3、事件(？)的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(Q)的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的關(guān)系與運(yùn)算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，(A發(fā)生必有事件B發(fā)生)：AuB如果同時有A=B,BnA,則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：A=B,A、B中至少有一個發(fā)生的事件：AUB,或者A+Bo屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B,也可表小為A-AB或者AB,匕表小A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時發(fā)生：A1B,或者ABa"1B=?,則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互小相容或者互斥。基本事件是

4、互小相容的。C-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為Ao它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙α?。運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)00QO_AAi=UAi德摩根率：T也AdB=AnB,A-Tb=AUb(7)概率的公理化定義設(shè)Q為樣本空間，A為事件，對每一個事件A都有一個實數(shù)P(A),若滿足卜列三個條件：1°0WP(A)W1,2P(Q)=13°對于兩兩互不才目容的事件A1,A2,有/CO、oOPUAi=£P(Ai)；iizi常稱為可列(完全)可加性。則稱

5、P(A)為事件A的概率。(8)古典概型1夏=瓶2212P(01)=P(02)=P(6n)=一。n設(shè)任一事件A,它是由61,826m組成的，則有P(A)=©1)U(®2)U-Ugm)=P)+P版/+P(6m)_mA所包含的基本事件數(shù)n基本事件總數(shù)(9)幾何概型若隨機(jī)試驗的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱此隨機(jī)試驗為幾何概型。對任一事件A,P(A)L(A)。其中L為幾何度量(長度、面積、體積)。L(C)(10)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)=0時，P(A+B)=P(A)

6、+P(B)(11)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)B二A時，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)人=時，P(B)=1-P(B)(12)條件概率定義設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)>0,則稱P(AB)為事件A發(fā)生條件下，事P(A)件B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A)-F(AB)。P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(Q/B)=1=P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A)更一般地，對事件A,必A,若P(A1A2,An-1)>0,則有P(A1A2,An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

7、,P(An|A1A2,An-1)/o(14)獨立性兩個事件的獨立性設(shè)事件A、B滿足P(AB)=P(A)P(B),則稱事件a、B是相互獨立的。若事件A、B相互獨立，且P(A)>0,則有P(B|A)、二P(A)P(B);P(B)P(A)P(A)若事件A、B相互獨立，則可得到A與B、A與B、A與否也都相互獨立。必然事件C和不可能事件？與任何事件都相互獨立。?與任何事件都互斥。多個事件的獨立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么AB、C相互獨立。對

8、于n個事件類似。(15)全概公式設(shè)事件B1,B2,，Bn滿足1。B1,B2,，Bn相容，P(Bi)>0(i=1,2,，n),nA匚UBi2日,則有P(A)=P(B1)P(A|B1)十P(B2)P(A|B2)+十P(Bn)P(A|Bn)。(16)貝葉斯公式設(shè)事件Bi,B2,Bn及A滿足1 。B1,B2,Bn兩兩互不相容,P(Bi)>0,i=1,2,n,nAuUBi2 i苴,P(A)0,則P(Bi/A).nP(Bi)P(A/Bi)，i=1,2，n。工P(Bj)P(A/Bj)j+此公式即為貝葉斯公式。P(Bi),(i=1,2,n),通常叫先驗概率。P(B"A),(1=1,2,n

9、),通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。(17)伯努禾概型我們作了n次試驗，且滿足每次試驗只用兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗是重復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗是獨立的，即每次試驗A發(fā)生與否與其他次試驗A發(fā)生與否是互/、影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗。用P表示每次試驗A發(fā)生的概率，則人發(fā)生的概率為1-P=q,用Pn(k)表示n重伯努利試驗中A出現(xiàn)k(°£kEn)次的概率，八、_kknJs一一Pn(k)=CnPq,k=0,1,2,，n。第二章隨機(jī)變量及其分布(1)離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)

10、離散型隨機(jī)變量X的可能取值為X(k=1,2,)且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=Xk)=pk,k=1,2,則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：X|X1,X2，Xk,P(X=xk)p1,p2,，pk,。顯然分布律應(yīng)滿足卜列條件：Zpk=1(1)pk-0,k=1,2，(2)km。(2)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x),對任意實數(shù)X,有XF(x)=1/f(X)dX則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f(x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有卜面4個性質(zhì)：1 f(x)之0。Of(x)dx=

11、12 -ro(3)離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系P(X=x)定P(x<XWx+dx)電f(x)dx積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與P(XXk)pk在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。(4)分布函數(shù)設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實數(shù)，則函數(shù)F(x)=P(X<x)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。P(a<XWb)=F(b)-F(a)可以彳#到X落入?yún)^(qū)間(a,b的概率。分布函數(shù)F(x)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(-8,x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1 °0<F(x)<1,_oo<x<+g;2 F(x)是單調(diào)/、減的函數(shù)，即

12、xi父x2時，有F(xi)<F(x2)；3 。F()=limF(x)=0,F()=limF(x)=1;x-bc4°F(x+0)=F(x),即F(x)是右連續(xù)的；5°P(X=x)=F(x)-F(x-0)。對于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)=£pk；xk<xx對于連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)=jf(x)dx。-nd八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二項分布在n重貝努里試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為p。事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X,則X可能取值為0,1,2，n。_kkn_kP(X=k)=Pn(k)=Cnpq,其中q=1-p,0<p<1

13、,k=0,1,2,，n,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布。記為XB(n,p)。當(dāng)n=1時，P(X=k)=pkqj,k=0.1,這就是(0-1)分布，所以(0-1)分布是二項分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為.kp(X=k)=&e-A>0,k=0,1,2，k!則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為九的泊松分布，記為Xn(九)或者P(八)。泊松分布為二項分布的極限分布(np=入，n8)。超幾何分布D/Y-C_CM*CnZ*Mku0,1,2。，1CN'l=min(M,n)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布P(X=k)=qk,p,k=1,

14、2,3,，其中P>0,q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X的值只洛在a,b內(nèi)，其醬度國數(shù)f(x)在a,b，一1上為常數(shù)，即b-a1a<x<bf(x)=ba廿加其他，P,則稱隨機(jī)變量X在a,b上服從均勻分布，記為XU(a,b)。分布函數(shù)為0,x<a,x-axbb-a"xwbF(x)=/f(x)dx=i1,x>b。當(dāng)aWx1<x2Wb時，X落在區(qū)間(x1，x2)內(nèi)的概率為.、x2-x1P(x1<X<x2)。b-a指數(shù)分布e八eT,x至0,f(x)=4。，x<。，其中九>0,則稱隨機(jī)變量

15、X服從參數(shù)為九的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為1-尹，x>0F(x)i0,L,x<0。記住積分公式：-boxnedx=n!0正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為1一.2f(x)=-e202,_g<x<+°%J2n。其中N、仃>0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N、仃2、的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為XN(N,仃)of(x)具有如下性質(zhì)：1 。f(x)的圖形是關(guān)于x=N對稱的；2 當(dāng)x=R時，f(R)=為最大值；242g若XN(1產(chǎn)他篁的分布函數(shù)為F(x)=-=Je202dt42gi,00參數(shù)N0、仃-1時的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)止態(tài)分布，記為XN(0,1)啡其

16、密度函數(shù)記為中(x)=小2,2五,一8<x<,分布函數(shù)為dxt2H1.二(x)-iJe2dt。J2兀_co(x)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。1(-x)=1-(x)且(0)=°X女如果XN(N,。2),則N(0,1)。D/_v<"、，'dS21/IS.11P(x1<X三x2)一中|一中I0(6)分位數(shù)下分位表：P(XWNq)=o(;上分位表：P(XaNu)=o(。(7)函數(shù)分布離散型已知X的分X布列為x1,x2,，xn,P(X=xi)Y=g(X)白Yp1,p2,，pn,勺分布列(yi=g(xi)互/、相等)如下：g(x1),g

17、(x2),，g(xn),P(Y=yi)若用某些g(一?xi)時等，黨應(yīng)將對應(yīng)白儼pi相加作為g(xi)的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)=P(g(X)<y),再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。(1)聯(lián)合離散型分布第三章二維隨機(jī)變量及其分布如果二維隨機(jī)向量之(X,Y)的所有可能取值為至多可列個有序?qū)?x,y),則稱之為離散型隨機(jī)量。設(shè)巴=(X,Y的所有可能取值為(x*)0,j=1,2，),且事件-=(xi,yj)的概率為pj，,稱P(X,Y)=(x,yj)=Pj(i,j=1,2,)為'=(X,Y)的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布

18、有時也用下面的概率分布表來表示：Xy1y2,yj,Xipiip12,p1j,x2p21p22,p2j,aammXip1,pij,aa.a.這里pij具有下面兩個性質(zhì):(1)pij>0(i,j=1,2,);(21二pj=1.連續(xù)型對于二維隨機(jī)向量t=(X,Y),如果存在非負(fù)函數(shù)f(x,y)(-°o<x<+=c,-°o<y<收),使對任fb-個其鄰邊分別平行丁坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D,即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有P(X,Y)wD=f(x,y)dxdy,D則稱之為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f(x,y)為之二(X,Y)的分布密

19、度或稱為X和丫的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有卜面兩個性質(zhì)：(1) f(x,y)>0;(2) Jf(x,y)dxdy=1.(2)二維隨機(jī)變量的本質(zhì)qX=x,Y=y)=4X=xCY=y)(3)聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)F(x,y)=PX<x,Y<y稱為二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件(01,o2)|-«<X(01)Mx,，<Y(02)My的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：(1) 0<F(x

20、,y)<1;(2) F(x,y)分別對x和y是非減的，即當(dāng)x2>x1時,有F(x2,y)>F(x1,y);當(dāng)y2>y1時,有F(x,y2)>F(x,y1);(3) F(x,y)分別對x和y是右連續(xù)的，即F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0);(4) FT)=F(-y)=F(xT)=0,F(f")=1.(5)對于x1<x2,y1<y2,F(x2,Y2)-F(x2,y1)-F(xny2)十F(x1，火)之0.(4)離散型與連續(xù)型的關(guān)系P(X=x,Y=y)SfcP(x<XEx+dx,yYEy+dy)化f(x,y)dxd

21、y(5)邊緣分布離散型X的邊緣分布為Pq=P(X=k)=£pj(i,j=1,2,)；Y的邊緣分布為Pd=P(Y=yj)=£Pij(i,j=1,2,)。連續(xù)型X的邊緣分布密度為-bofx(x)=ff(x,y)dy;Y的邊緣分布密度為*bofY(y)=f(x,y)dx(6)條件分布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為PijP(Y=yj|X=為)=；Pi.在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為PijP(X=x|Y=yj)=，P連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為f(x,y)f(x|y)="fY(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為f(y|x

22、)=3fX(x)(7)獨立性一般型F(X,Y)=FX(x)F丫(y)離散型Pij=P4后零不獨立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)f丫(y)直接判斷，充要條件：可分離交量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布1432px_)(y_)3f(x,y)=1=J"一四西廠82兀。1G«P2P=0隨機(jī)變量的函數(shù)若X1,X2,X,Xm+1,X相互獨立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h(X1,X2,X)和g(Xm+1,Xn)相互獨立。特例：若X與丫獨立，則：h(X)和g(Y)獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。(9)二維正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的分布密度函數(shù)為_1ll-h12Rx*)

23、(y44)/*1112(1-P)(仃JgI*J|f(x,y)=,2eJ/-2兀仃1。211P其中出，x2。1>0，仃2A0,|P|<1是5個參數(shù)，則稱(X,口服從二維正態(tài)分布，記為(X,Y)N(七，人尸；，仃2,P).由邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，即XNI(均，仃；)，丫N(22。；).但是若XN(匕，仃；),丫N(N2。；)，(X,Y)未必是二維正態(tài)分布。(10)函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計算：FZ(z)=P(Z<z)=P(X+Y<z)-bo對于連續(xù)型，fZ(z)=Jf(x,z-x)dx皿兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布(N1

24、+N2，仃；+仃；)。n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。工CE,。2=£Ci2。：Z=max,min(X1,X2,Xn)若X1,X2Xn相互獨立，其分布函數(shù)分別為Fx1(x),Fx2(x)Fx(x),則Z=max,min(X3X2,Xn)的分布函數(shù)為：Fmax(x)=Fx(x)Fx2(x)Fx(x)Fmin(x)=1-1-FX1(x)*1-FX2(x)-1-Fxn(x)72分布設(shè)n個隨機(jī)變量Xi,X2，Xn相互獨立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和n2W=Xii4的分布密度為/nu1Qf-u2u>0,f(u)=221n20,u:二0.我們稱隨機(jī)變量W艮從

25、自由度為n的X2分布，記為此72(n),其中所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機(jī)變量的個數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個重要參數(shù)。厘2分布滿足可加性：設(shè)Yi-2(ni),kZ-'Yi2(nin2-nk).i1t分布設(shè)X,Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，且XN(0,1),Y2(n),可以證明函數(shù)XTY/n的概率密度為r'n-1、f(t)='2J；1+-而言嚇n>我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)t1-.(n)-t-.(n)F分布設(shè)X72(n)Y72(皿)，且X與丫獨立，可以證明X/n1_F的概率密度函數(shù)為Y/n2ifmnl4+±yf(y)4但但1n2Jy

26、in2j12；12J0,y<0,y-0我們稱隨機(jī)變量F服從第一個自由度為rn,第二個自由度為n2的F分布，記為Ff(n1,n2).Fi-Mm)1F：(n2,ni)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(1)一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P(X=xk)=pk,k=1,2,n,nE(X)=£XkPky(要求絕對收斂)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),-boE(X)=fxf(x)dx皿(要求絕對收斂)函數(shù)的期望Y=g(X)nE(Y)=£g(Xk)Pkk=1Y=g(X)-boE(Y)=Jg(x)f(x)dx力差一一一2D(X)

27、=EX-E(X),標(biāo)準(zhǔn)差O(X)=vD(X),D(X)=£Xk-E(X)2pkk-boD(X)=Jx-E(X)2f(x)dx矩對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的k次哥的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點矩，記為Vk,即Vk=E(Xk)=£XikPi,k=1,2,.對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與E(X)差的k次哥的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為Nk,即%=E(X-E(X)k.=Z(Xi-E(X)kPi,k=1,2,.對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的k次哥的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點矩，記為Vk,即k、.&k.,、.Yk=E(X)=xf(x)dx,-COk=1,2,.對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與E

28、(X)差的k次哥的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為Nk,即.k匕=E(X-E(X)k=Q(x-E(X)kf(x)dx,k=1,2,.切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=N,方差D(X)=b2,則對于任意正數(shù)£,后卜列切比雪夫不等式2P(|X-|>s)<2切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率P(X之B)的一種估計，它在理論上啟重要忌義。期望的性質(zhì)(1) E(C)=C(2) E(CX)=CE(X)nn(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y),ECjXjEGE(Xj)iViM(4) E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和丫不相關(guān)

29、。(3)方差的性質(zhì)(1) D(C)=0;E(C)=C(2) D(aX)=a2D(X);E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)=a2D(X);E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E2(X)(5) D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E(X-E(X)(Y-E(Y),無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),無條件成立。(4)常見分布期望力差0-1分布B(1,p)PP(1-P)的期望和力差二項分布B(n,p)npnp(1-p)泊松分布P(Z)九九幾何分布G

30、(p)1P1-p2p超幾何分布H(n,M,N)nMNnM1M；Nn'；N<N人N-3均勻分布U(a,b)a+b2(b-a)212指數(shù)分布e(九)1九1TT九正態(tài)分布N(巴仃2)N2CT72分布n2nt分布0n/c、(n>2)n-2二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望nE(X)=£xpi.i=1nE(Y)=£yjp.j凸-boE(X)=xfX(x)dx皿-boE(Y)=yfY(y)dy函數(shù)的期望EG(X,Y)=G工G(Xi,yj)pjEG(X,Y)=-be-beIG(x,y)f(x,y)dxdy-00-00力差D(X)=ZXi-E(X)2p“D(Y)=£X

31、j-E(Y)2p.j-boD(X)=fx-E(X)2fX(x)dx*boD(Y)=y-E(Y)2fY(y)dy6協(xié)力差對于隨機(jī)變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩41為X與丫的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為Dxy或cov(X,Y),即Oxy=上1=E(XE(X)(YE(Y).與記號CTXY相對應(yīng)，X與Y的方差D(X)與D(Y)也可分別記為XXxx與仃丫丫。相關(guān)系數(shù)對于隨機(jī)變量X與Y,如果D(X)>0,D(Y)>0,則稱仃XY(X)/D(Y)為X與丫的相關(guān)系數(shù)，記作PXY(有時可簡記為P)。|1,當(dāng)|P|=1時，稱X與丫完全相關(guān)：P(X=aY+b)=1“柏羊；正相關(guān)，當(dāng)=1時但>0),兀全

32、相關(guān)、負(fù)相關(guān)，當(dāng)P=-1時(ac0),而當(dāng)P=0時，稱X與Y不相關(guān)。以卜五個命題是等價的： pXY=0； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣°XXQXYYX°YYJ混合矩對于隨機(jī)變量X與Y,如果有E(XkYl)存在，則稱之為X與丫的k+l階混合原點矩，記為vkl；k+l階混合中心矩記為：klUki=E(X-E(X)(Y-E(Y).(6)協(xié)方差的性質(zhì)(i) cov(X,Y)=cov(Y,X);(ii) cov(aX,bY)=abcov(X,Y);(iii) cov(X1+X2

33、,Y)=cov(Xi,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).獨立(i)若隨機(jī)變量X與Y相互獨立，則Pxy=。；反之不'直。和不相關(guān)(ii)若(X,Y)-N(),口仃；，。2,P),則X與丫相互獨立的充要條件是X和Y不相關(guān)。第五章大數(shù)定律和中心極限定理(1)大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量Xi,X2,常數(shù)C所界：D(X)dilimPn-l|n特殊情形：若X，相互獨立，均具有有限方差，且被同一<C(i=1,2,),則對于任意的正數(shù)£,有n1n、XXiZE(Xi)<s=1.vnaj,X2,具有相同的數(shù)學(xué)期望E(X)=科，則上

34、式成為limP1n干、1n-ZXTny<z=1.J伯努利大數(shù)定律設(shè)每次試供伯芻的頻率上這就以嚴(yán)e是n次獨立試驗中亍中發(fā)生的概率，則齊limPn_pc(與利大數(shù)定律說明，1事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在力于任意的正數(shù)£,有p=1.n1J芻試驗次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生J概舉七較大判別的可能性很小，即limp'-p|之J=0.5Unq)1格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律設(shè)Xi,X(Xn)=limP1n廿d,Xn,;1,則對于任1n與Xi3ny是相互意的一<君):獨立同分布的隨機(jī)變量序列，且E:數(shù)s有=1.(2)中心極限定理2XtN(匕上)n列維林德伯格定理設(shè)

35、隨機(jī)變量X1,X2,相互獨立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk)=N,D(Xk)=。2#0(k=1,2，)，則隨機(jī)變量n£Xk-nNkYn一廠<n。的分布函數(shù)Fn(x)對任意白實數(shù)X,有n工Xk-nNt2._,、._:k_1:1.X弓lim匚limPJ-My«a2Htliimfn(x)liimps二xfiedt.-5j赤。|<2i5'IJ此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。棣莫弗-拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量Xn為具有參數(shù)n,p(0<p<1)的二項分布，則對于任意實數(shù)X,有-1t2Xn-np1,x2-limP一,Wx>_.

36、fe2dt.、Jnp(1-p)JJ2nq(3)二項定理若當(dāng)Ntg時,ap(n,k/、父)，則Nkn-kCMC：,tC：pk(1-p)n"(Nt叼.Cn超幾何分布的極限分布為二項分布。(4)泊松定理石當(dāng)nT比時，npT九>0,則-kkko、n-k九ACnp(1-p)Te(nT笛).k!其中k=0,1,2,n,。二項分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布總體在數(shù)理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個(或多個)指標(biāo)的全體稱為總體(或母體)。我們總是把總體看成一個具有分布的隨機(jī)變量(或隨機(jī)向量)。個體總體中的每一個單元稱為樣品(或個體)。(1)數(shù)理統(tǒng)計的基本概念樣本我們把從總體中抽取

37、的部分樣品X1,x2，xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個相互獨立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時，Xi,X2，Xn表示n個隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，X1,x2，xn表示n個具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和統(tǒng)計量設(shè)Xi,X2，Xn為總體的一個樣本，稱華=中（Xi,X2，Xn）為樣本函數(shù)，其中邛/L個連續(xù)函數(shù)。如果邛中不包含任何未知參數(shù)，則稱中（x1，x2，Xn）為一個統(tǒng)計量。常見統(tǒng)計量及其性質(zhì)-1n樣本均值x=£Xj.ni二樣本力差1nS

38、=，(Xix).n-1y樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=JZ(xi-x)2.n-1y樣本k階原點矩1kMk=£Xi,k=1,2,.nim樣本k階中心矩，1/-kMk=一£(Xi-x),k=2,3，.niCT2E(X)=D(X)=一,nE(S2)-仃2,E(S*2)-n12,ncnnc11其中S*=X(Xi-X),為二階中心矩。ny(2)正態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布設(shè)Xi,X2，Xn為來自止態(tài)總體N(N,。)的一個樣本，則樣本函數(shù)defx.1u-N(0,1).仃/Nnt分布設(shè)Xi,X2，Xn為來自止態(tài)總體N(N,。2)的一個樣本，則樣本函數(shù)defX_Rtt(n-1),s/vn其中t(n-1)表

39、示自由度為n-1的t分布。72分布設(shè)Xi,X2，Xn為來自止態(tài)總體N(N,o)的一個樣本，則樣本函數(shù)%(n1)S2V2w-2(n-1),a其中？2(n1)表示自由度為n-1的，2分布。F分布設(shè)X1,X2，Xn為來自止態(tài)總體*也。1)的一個樣本，而2y1，y2,，yn為來自止態(tài)總體N/,%)的一個樣本，則樣本函數(shù)的S2/%2F-，,2-F(n1-1,n2-1),S2/。2其中_nn1_nn2_s£(XiX),S2£(yi-y);R-1iTn2-1iTF(n1-1,n2-1)表示第一自由度為R-1,第一自由度為n21的F分布。(3)正態(tài)總體下分布的性質(zhì)X與S2獨立。第七章參數(shù)估

40、計(1)點矩倩計設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)日1,62，6m,則其分布函數(shù)可以表成FXd。,&).它的k階原點矩Vk=£小，*=1,2廠巾）中也包含了未知參數(shù)仇，仇，6m,即Vk=丫3,日2，2m）。又設(shè)X1,X2，Xn為總體X的n個樣本值，其樣本的k階原點矩為1nXik（k=1,2,m）.nij這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有,441.1V1（e1也，8m）=乙Xi,ny.八一八一八1,2v2（日1,日2,6m）=一工Xi,ni.AA八1nm。也，6m）=一£Xi.ny由上面的m個方程中，解出的m個未知參數(shù)（e；,

41、e2,，e：）即為參數(shù)（4,日2，m）的矩估計量。若$為日的矩估計，g（x）為連續(xù)函數(shù)，則g（理為g（B）的矩估計。極大似然倩計當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布密度為f(x；6i,02，8m),其中仇，日2，田m為未知參數(shù)。又設(shè)Xi,X2，Xn為總體的一個樣本，稱L(8i，氏n，日m)=nf(xi；ei4i，日2,，em)為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln.當(dāng)總體X為薦號型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布律為PX=X=p(x;if2,6m),則稱L(xi,x2,xn；e1n02,0m)=niP(xi出i&2，出m)為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)L(xi，x2'xn；%",，*AAAn

42、)在ei,e2,，em處取到最大值，則稱Hi,92,，8m分別為3,62，9,m的最大似然估計值，相應(yīng)的統(tǒng)計量稱為最大似然估計量。61nLn=0,i=i,2,m網(wǎng)右日為e的極大似然估計，g(x)為單調(diào)函數(shù)，則g(g為g(g)的極大似然情計。估計量的無偏性設(shè)e=e(xi,x2,xn)為未知參數(shù)h的估計量。若A.E(H=H,則稱評選標(biāo)準(zhǔn)金為8的無偏估計量。E(X)=E(X),E(S2)=D(X)后效性A.A.AA設(shè)6i=6i(xi,x,2，xn)和82=62(xi,x,2,xn)是未知參數(shù)9的兩個無偏估計量。若d(6i)<D(02),則稱A31A;匕。2功效。一<性A設(shè)8n是e的一串估

43、計量，如果對于任意的正數(shù)S,者B有l(wèi)imP(|0n-e|a&)=0,n)PC則稱en為e的一致估計量(或相合估計量)。若日為日的無偏估計，且D(gT0(nT叼,則日為日的一致估計。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計量。(3)區(qū)間情計置信區(qū)間和置信度設(shè)總體X含有一個待估的未知參數(shù)0。如果我們從樣本X1,x,2，xn出發(fā)，找出兩個統(tǒng)計量91=3(Xi,X,2，Xn)與%=%(Xi,X,2，Xn)(g<%)，使得區(qū)間仇包以1-«(03<1)的概率包含這個待估參數(shù)日，即Pg，%=1-：,那么稱區(qū)間91,62為a的置信區(qū)間，1a為該區(qū)間的置信度(或置信水平)。單正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間估計設(shè)X，X，2，Xn為總體XNIN,。2)的一個樣本，在置信度為1口下，我們來確定N和仃2的置信區(qū)間81,3。具體步驟如下：(i)選擇樣本函數(shù)；(ii)由置/度1,查表找分位數(shù)；(iii)導(dǎo)出置信區(qū)間日