幾何難題精選中考壓軸題帶答案和詳細解析

1、幾何難題精選解答題(共30小題)1 . (2015?河南)如圖 1,在 RtAABC 中，/B=90 ° , BC=2AB=8 ，點 D、E 分別是邊 BC、AC 的中點，連接DE,將4EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.(1)問題發(fā)現(xiàn)當“=0°時,隹=;當a =180 °時，絲=.BD BD (2)拓展探究試判斷：當0。w “360。時，錯的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明.BD(3)問題解決當4EDC旋轉(zhuǎn)至A, D, E三點共線時，直接寫出線段 BD的長.2. (2015?濟南)如圖 1,在4ABC 中，ZACB=90 ° ,AC=BC

2、 , ZEAC=90 °，點M 為射線 AE 上任意一點(不與 A重合)，連接CM ,將線段CM繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90°得到線段CN ,直線 NB分別交直線CM、射線AE于點F、D.(1)直接寫出/ NDE的度數(shù)；(2)如圖2、圖3,當/EAC為銳角或鈍角時，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？如果不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請說明理由；(3)如圖4,若/EAC=15 ° , ACM=60 ° ,直線CM 與AB交于G, BD=,其他條件不變，求線段AM的長.3. (2015?岳陽)已知直線 m /n,點C是直線m上一點，點 D

3、是直線n上一點，CD與直線m、 n不垂直，點P為線段CD的中點.(1)操作發(fā)現(xiàn)：直線l,m, ln,垂足分別為 A、B,當點A與點C重合時(如圖所示)，連接 PB，請直接寫出線段 PA與PB的數(shù)量關(guān)系： .(2)猜想證明：在圖的情況下，把直線 l向上平移到如圖的位置，試問(1)中的PA與PB的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.(3)延伸探究：在圖的情況下，把直線 l繞點A旋轉(zhuǎn)，使得/ APB=90 ° (如圖所示)，若兩平 行線m、n之間的距離為 2k.求證：PA?PB=k?AB .4. (2015?重慶)在 4ABC 中，AB=AC , /A=60 

4、6;，點D 是線段 BC 的中點，/ EDF=120 ° , DE 與 線段AB相交于點E. DF與線段AC (或AC的延長線)相交于點 F.(1)如圖1 ,若DFLAC,垂足為F, AB=4 ,求BE的長；(2)如圖2,將(1)中的/EDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F.求證：BE+CF= AB ;2(3)如圖3,將(2)中的/ EDF繼續(xù)繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使 DF與線段AC的延長線相 交于點 F,作 DN XAC 于點 N,若 DN XAC 于點 N,若 DN=FN ,求證：BE+CF=3 (BE- CF). 5. (2015?煙臺)【問題提出】

5、如圖，已知 ABC是等腰三角形，點 E在線段AB上，點D在直線BC上，且ED=EC ,將4BCE繞 點C順時針旋轉(zhuǎn) 60 °至ACF連接EF試證明：AB=DB+AF【類比探究】(1)如圖，如果點 E在線段AB的延長線上，其他條件不變，線段 AB, DB, AF之間又有怎樣的 數(shù)量關(guān)系？請說明理由(2)如果點E在線段BA的延長線上，其他條件不變，請在圖的基礎(chǔ)上將圖形補充完整，并寫出 AB, DB, AF之間的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由.6. (2015?莆田)在 RtMCB 和 RtAAEF 中，ZACB= "EF=90 ° ,若點P 是 BF 的中點，連接 PC,PE

6、.特殊發(fā)現(xiàn): 如圖1,若點E, F分別落在邊AB, AC上，則結(jié)論：PC=PE成立(不要求證明).問題探究：把圖1中的4AEF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn).(1)如圖2,若點E落在邊CA的延長線上，則上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；(2)如圖3,若點F落在邊AB上，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；(3)記坐=k ,當k為何值時，4CPE總是等邊三角形？(請直接寫出k的值，不必說明理由)BC7. (2015?襄城區(qū)模擬)如圖，正方形 ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，點 B坐標為(3,3).將 正方形ABCO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角度a (0

7、6; V a <90 ° ),得到正方形ADEF , ED交線段OC于點G, ED的延長線交線段 BC于點P,連AP、AG .(1 )求證：4AOG 0/ADG ;(2)求/PAG的度數(shù)；并判斷線段 OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；(3)當/1= /2時，求直線 PE的解析式；(4)在(3)的條件下，直線 PE上是否存在點 M,使以M、A、G為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出 M點坐標；若不存在，請說明理由.8. ( 2015?重慶校級一模)已知，四邊形 ABCD是正方形，點P在直線BC上，點G在直線AD上 (P、G不與正方形頂點重合， 且在CD的同側(cè))，

8、PD=PG , DFXPG于點H , DF交直線AB于點F,將線段PG繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PE,連結(jié)EF.(1)如圖1 ,當點P與點G分別在線段BC與線段AD上時，若PC=1，計算出DG的長；(2)如圖1 ,當點P與點G分別在線段BC與線段AD上時，證明：四邊形 DFEP為菱形;(3)如圖2,當點P與點G分別在線段BC與線段AD的延長線上時，(2)的結(jié)論：四邊形 DFEP 為菱形是否依然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.9. (2015?房山區(qū)二模)在 ABC中，AB=BC=2 , /ABC=90 ° ,BD為斜邊 AC上的中線，將 ABD 繞點D順時針旋轉(zhuǎn)a

9、 (0° < a 480 °潟到EFD,其中點A的對應(yīng)點為點 E,點B的對應(yīng)點為點 F. BE 與FC相交于點H .(1)如圖1 ,直接寫出BE與FC的數(shù)量關(guān)系： ;(2)如圖2, M、N分別為EF、BC的中點.求證：MN= 苧FC；(3)連接BF, CE,如圖3,直接寫出在此旋轉(zhuǎn)過程中， 線段BF、CE與AC之間的數(shù)量關(guān)系： . 10 . (2015?衢州校級模擬)圖1是邊長分別為4、門和2的兩個等邊三角形紙片 ABC和ODE疊放 在一起(C與O重合).(1)操作：固定 ABC,將ODE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°后得到RDE,連結(jié)AD、BE, CE的延長線 交

10、AB于F (圖2);探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論.(2)在(1)的條件下將的 ODE,在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位的速度平移，平移后的4CDE設(shè)為PaR,當點P與點F重合時停止運動(圖 3)探究：設(shè)4PQR移動的時間為x秒，4PQR與"BC重疊部分的面積為 y,求y與x之間的函數(shù)解析 式，并寫出函數(shù)自變量 x的取值范圍.(3)將圖1中MDE固定，把"BC沿著OE方向平移，使頂點C落在OE的中點G處，設(shè)為4ABG , 然后WAABG繞點G順時針旋轉(zhuǎn)，邊BG交邊DE于點M ,邊AG交邊DO于點N ,設(shè)/BGE= a (30

11、76; V a <90 ° );(圖4)探究：在圖4中，線段ON?EM的值是否隨a的變化而變化？如果沒有變化，請你求出ON?EM的值， 如果有變化，請你說明理由.11 . (2015?武義縣模擬)(1)將矩形OABC放在平面直角坐標系中，頂點 O為原點，頂點C、A分別在x軸和y軸上，OA=8 , OC=10，點E為OA邊上一點，連結(jié) CE,將4EOC沿CE折疊.如圖1 ,當點O落在AB邊上的點D處時，求點E的坐標；如圖2,當點O落在矩形OABC內(nèi)部的點D處時，過點E作EG/x軸交CD于點H,交BC于點G,設(shè)H (m, n),求m與n之間的關(guān)系式；(2)如圖3,將矩形OABC變?yōu)?/p>

12、邊長為10的正方形，點E為y軸上一動點，將AEOC沿CE折疊.點O落在點D處，延長CD交直線AB于點T, 若-=-) 求AT的A0 212 . (2015?石家莊校級模擬)如圖 1,在菱形ABCD中，AC=6 , BD=63 , AC, BD相交于點O.(1 )求邊AB的長；(2)如圖2,將一個足夠大的直角三角板60 °角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板 60°角的兩邊分別于邊BC, CD相交于E, F,連接EF與AC相交于點G.判斷4AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由；旋轉(zhuǎn)過程中是否存在線段 EF最短，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由

13、.13 . (2015春？泰安校級期中)如圖，正方形 OEFG繞著邊長為30的正方形ABCD的對角線的交點O旋轉(zhuǎn)，邊 OE、OG分別交邊 AD、AB于點M、N .(1)求證：OM=ON ;(2)設(shè)正方形 OEFG的對角線 OF與邊AB相交于點P,連結(jié)PM .若PM=13，試求AM的長；(3)連接MN ,求4AMN周長的最小值，并指出此時線段 MN與線段BD的關(guān)系.14. (2014?天津)在平面直角坐標系中，O為原點，點 A (-2, 0),點B (0, 2),點E,點F分別為OA , OB的中點.若正方形 OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形 OE'D F ',記旋轉(zhuǎn)角為a .

14、(I)如圖，當a =90 °時，求AE' ,BF'的長；(II)如圖，當 a =135 ° 時，求證 AE'=BF' , 1AE ' _BF'(m)若直線 AE'與直線BF'相交于點P,求點P的縱坐標的最大值(直接寫出結(jié)果即可).15. (2014春?W山區(qū)期末)已知正方形 ABCD和正方形EBGF共頂點B,連AF, H為AF的中點，連EH,正方形EBGF繞點B旋轉(zhuǎn).(1)如圖1 ,當F點落在 BC上時，求證：EH=FC；(2)如圖2,當點E落在BC上時，連 BH,若AB=5 , BG=2 ,求BH的長;(3)

15、當正方形EBGF繞點B旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，求 理的值.CF16. . (2013?鹽城)閱讀材料如圖， ABC與4DEF都是等腰直角三角形，/ ACB= ZEDF=90 ° ,且點D在AB邊上，AB、EF的中點均為 O,連結(jié)BF、CD、CO,顯然點C、F、O在同一條直線上，可以證明 BOF/COD ,則BF=CD .解決問題(1)將圖中的 Rt至EF繞點O旋轉(zhuǎn)得到圖，彳#想此時線段BF與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;(2)如圖，若 ABC與4DEF都是等邊三角形,AB、EF的中點均為O,上述(1)中的結(jié)論仍然成立嗎？如果成立，請說明理由；如不成立，請求出BF與CD之間的數(shù)量關(guān)系;

16、(3)如圖，若4 ABC與4DEF都是等腰三角形,AB、EF的中點均為 0,且頂角/ ACB= ZEDF= a,B用， E 人 ,_ _請直接寫出-一的值(用含a的式子表示出來)17 . (2013?梅州)用如圖，所示的兩個直角三角形(部分邊長及角的度數(shù)在圖中已標出)，完成以下兩個探究問題:探究一：將以上兩個三角形如圖拼接（BC和ED重合），在BC邊上有一動點P.（1）當點P運動到/CFB的角平分線上時，連接 AP,求線段AP的長；（2）當點P在運動的過程中出現(xiàn) PA=FC時，求/PAB的度數(shù).探究二：如圖，將GEF的頂點D放在4ABC的BC邊上的中點處，并以點D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn) DEF , 使

17、4DEF的兩直角邊與 ABC的兩直角邊分別交于 M、N兩點，連接MN .在旋轉(zhuǎn)4DEF的過程中， AMN的周長是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，請說明理由.18. （2015?營口）如圖，點 P是。外一點，PA切。于點A, AB是。的直徑，連接 OP ,過 點B作BC /OP交。于點C,連接AC交OP于點D .（1）求證：PC是。的切線；（2）若PD=¥，AC=8 ,求圖中陰影部分的面積；（3）在（2）的條件下，若點 E是菽的中點，連接 CE,求CE的長.19 . （2015?永州）問題探究：（一）新知學習：圓內(nèi)接四邊形的判斷定理：如果四邊形對角互補，那么這個四邊形

18、內(nèi)接于圓（即如果四邊形 EFGH的 對角互補，那么四邊形 EFGH的四個頂點E、F、G、H都在同個圓上）.（二）問題解決：已知。O的半徑為2, AB, CD是OO的直徑.P是BC上任意一點，過點 P分別作AB, CD的垂線， 垂足分別為N , M .（1）若直徑ABXCD,對于BC上任意一點P （不與B、C重合）（如圖一），證明四邊形 PMON內(nèi) 接于圓，并求此圓直徑的長；（2）若直徑ABXCD,在點P （不與B、C重合）從B運動到C的過程中，證明 MN的長為定值， 并求其定值；（3）若直徑AB與CD相交成120 °角.當點P運動到BC的中點Pi時（如圖二），求 MN的長；當點P （

19、不與B、C重合）從B運動到C的過程中（如圖三），證明 MN的長為定值.（4）試問當直徑 AB與CD相交成多少度角時，MN的長取最大值，并寫出其最大值.20 . （2015?盤錦）如圖1,9BC和GAED都是等腰直角三角形，/ BAC= /EAD=90。，點B在線段 AE上，點C在線段AD上.（1）請直接寫出線段 BE與線段CD的關(guān)系： ;（2）如圖2,將圖1中的4ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角a （ 0Va<360 ° ）,（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；當AC=1ED時，探究在 ABC旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在這樣的角a,使以 A、B、C、D四點為

20、頂 點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出角a的度數(shù)；若不存在，請說明理由.21 . （2015?朝陽）問題：如圖（1）,在 RtMCB 中，ZACB=90 ° ,AC=CB , ZDCE=45 ° ,試探究 AD、DE、EB滿足的等量關(guān)系.探究發(fā)現(xiàn)小聰同學利用圖形變換，將 CAD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到zCBH,連接EH ,由已知條件易得/ EBH=90 ° , £CH= ZECB+ ZBCH= ZECB+ ZACD=45 ° .根據(jù)“邊角邊:可證 CEHW,得EH=ED .在RtHBE中，由 定理，可得 BH2+EB2=EH

21、2,由BH=AD ,可得 AD、DE、EB之間的等量關(guān)實踐運用（1）如圖（2）,在正方形 ABCD中，4AEF的頂點E、F分別在BC、CD邊上，高 AG與正方形的邊長相等，求/ EAF的度數(shù);(2)在(1)條件下，連接 BD,分別交 AE、AF于點M、N,若BE=2 , DF=3 , BM=2血，運用小聰同學探究的結(jié)論，求正方形的邊長及MN的長.一 ，一，. . 一，22 . (2015?自貢)在那BC中，AB=AC=5 , cos ZABC=-,將那BC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到AiBiC. (1)如圖，當點 Bi在線段BA延長線上時.求證：BB1/CA1；求ABiC的面積；(2)如圖，點E是B

22、C邊的中點，點F為線段AB上的動點，在 ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)過程中，點F的對應(yīng)點是F1,求線段EF1長度的最大值與最小值的差.23 . (2015?吉林)兩個三角板 ABC, DEF,按如圖所示的位置擺放，點 B與點D重合，邊AB與 邊DE在同一條直線上(假設(shè)圖形中所有的點， 線都在同一平面內(nèi)).其中，ZC= ZDEF=90 ° ,ZABC= ZF=30 ° ,AC=DE=6cm .現(xiàn)固定三角板 DEF,將三角板 ABC沿射線DE方向平移，當點 C落在邊 EF上時停止運動.設(shè)三角板平移的距離為 x (cm),兩個三角板重疊部分的面積為 y (cm2).(1)當點C落在邊E

23、F上時，x=cm ;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量 x的取值范圍；(3)設(shè)邊BC的中點為點M ,邊DF的中點為點N .直接寫出在三角板平移過程中，點M與點N之間距離的最小值.24 . (2015?汕尾)在 RtMBC 中，/A=90 ° ,AC=AB=4 , D, E 分別是邊 AB, AC 的中點，若等 腰RtMDE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰 RtMD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a ( 0V a W80 ° ),記直線BD1 與CE1的交點為P.(1)如圖1 ,當a=90。時，線段BD1的長等于,線段CE1的長等于;(直接填寫結(jié)果)(2)如圖 2,當 “=135

24、76; 時，求證：BD1=CE1,且 BD11CE1；(3)求點P到AB所在直線的距離的最大值.(直接寫出結(jié)果)25 . (2015?赤峰)如圖，四邊形 ABCD是邊長為2, 一個銳角等于60 °的菱形紙片，小芳同學將一 個三角形紙片的一個頂點與該菱形頂點D重合，按順時針方向旋轉(zhuǎn)三角形紙片，使它的兩邊分別交CB、BA (或它們的延長線)于點 E、F, /EDF=60 ° ,當CE=AF時，如圖1小芳同學得出的結(jié)論是DE=DF (1)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當CEWAF時，如圖2小芳的結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由；( 2 )再次旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當點E、 F

25、 分別在CB、 BA 的延長線上時，如圖3 請直接寫出DE 與 DF的數(shù)量關(guān)系；(3)連EF,若4DEF的面積為y, CE=x，求y與x的關(guān)系式，并指出當 x為何值時，y有最小值，最小值是多少？26 . (2015?海南)如圖，菱形 ABCD中，點P是CD的中點，/ BCD=60 ° ,射線AP交BC的延長 線于點E,射線BP交DE于點K,點O是線段BK的中點.(1)求證：ADPzECP;( 2 )若BP=n?PK ，試求出n 的值；(3)作BM ± AE于點M ,作KN，AE于點N ,連結(jié)MO、NO ,如圖2所示，請證明 MON是等腰三角形，并直接寫出/ MON的度數(shù).2

26、7 . (2015?丹東)在正方形 ABCD中，對角線 AC與BD交于點 O;在RtPMN 中，/MPN=90 '(1)如圖1,若點P與點O重合且PMAD、PNXAB ,分別交AD、AB于點E、F,請直接寫出PE 與 PF 的數(shù)量關(guān)系；(2)將圖1中的RtPMN繞點。順時針旋轉(zhuǎn)角度a ( 0° Va45° ).如圖 2 ，在旋轉(zhuǎn)過程中(1 )中的結(jié)論依然成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，當/ DOM=15 。時，連接EF,若正方形的邊長為 2,請直接寫出線段 EF的長；如圖3,旋轉(zhuǎn)后，若RtAPMN的頂點P在線段OB上移動(不與點

27、O、B重合)，當BD=3BP時， 猜想此時PE與PF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當 BD=m?BP時，請直接寫出 PE與PF的數(shù)量關(guān)系.28 . (2015?成都)已知AC, EC分別是四邊形 ABCD和EFDC的對角線，點E在AABC內(nèi)，ZCAE+ /CBE=90 ° .(1)如圖，當四邊形 ABCD和EFCG均為正方形時，連接 BF.(i)求證：CAEs/cbf；(ii)若 BE=1 , AE=2 ,求 CE 的長；(2)如圖，當四邊形 ABCD和EFCG均為矩形，且 善=瞿=卜時，若BE=1 , AE=2 , CE=3 ,求BC FCk的值；(3)如圖，當四邊形 ABCD和EFCG

28、均為菱形，且/DAB= /GEF=45 °時，設(shè)BE=m , AE=n , CE=p , 試探究m, n, p三者之間滿足的等量關(guān)系.(直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程)29 . (2015?錦州)如圖，/ QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線的交點處，/ QPN= "，將 /QPN繞點P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中/ QPN的兩邊分別與正方形 ABCD的邊AD和CD交于點E和點F卡犬 3R/ 卜j 口(點F與點C, D不重合).Q圓圖(1)如圖，當a =90 °時，DE, DF, AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是(2)如圖，將圖中的正方形 ABCD改為/ADC=120 °

29、;的菱J 中的結(jié)論變?yōu)?DE+DF= -1aD ,請給出證明；(3)在(2)的條件下，若旋轉(zhuǎn)過程中/ QPN的邊PQ與射線A圖;員其他條件不變，當a=60。時，(1)D交于點巳具他條件不變，探究在整個運動變化過程中，DE, DF, AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不用加以證明.30 (2014? 綿陽)如圖1 ，矩形 ABCD 中， AB=4 ， AD=3 ，把矩形沿直線AC 折疊，使點B 落在點E處，AE交CD于點F,連接DE.(1)求證：DEC/EDA;( 2 )求DF 的值；(3)如圖2,若P為線段EC上一動點，過點 P作那EC的內(nèi)接矩形，使其頂點 Q落在線段AE上, 定點 M 、

30、 N 落在線段AC 上，當線段PE 的長為何值時，矩形PQMN 的面積最大？并求出其最大值幾何難題精選(1)旋轉(zhuǎn)圓四邊形參考答案與試題解析.解答題(共30小題)1 . （2015?河南）如圖 1,在 Rt9BC中，/B=90,BC=2AB=8，點D、E分別是邊 BC、AC的中點，連接DE,將4EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.(1)問題發(fā)現(xiàn)當"=0 °時,靠岑當=180時,AE= Vt bd-T-(2)拓展探究360。時，典的大小有無變化？請僅就圖BD2的情形給出證明.(3)問題解決當4EDC旋轉(zhuǎn)至A, D, E三點共線時，直接寫出線段BD的長.幾何變換綜合題.壓

31、軸題.(1)當a =0 °時，在RtMBC中，由勾股定理,求出 AC的值是多少；然后根據(jù)點D、E分別是邊BC、AC的中點，分別求出 AE、BD的大小，即可求出 黑的值是多少.a =180。時，可得AB /DE,然后根據(jù)零嗡'求出器的值是多少即可(2)首先判斷出/ ECA=/DCB,再根據(jù)也要二判斷出ECAs/dcb,即可求出坐的值是多DC BC 2BD少，進而判斷出 黑的大小沒有變化即可.(3)根據(jù)題意，分兩種情況：點A, D, E所在的直線和BC平行時；點A, D, E所在的直線和BC相交時；然后分類討論，求出線段BD的長各是多少即可.【解答】解：(1 )當a=0 0時,

32、. RtAABC 中，ZB=90- AC=點由+時建與二 點D、E分別是邊BC、AC的中點,.AE=4/_5_=_ 2=2/i BD=8 2=4 ,.AE 25 V5-二-.BD 4 一 2當0° w “360。時,普的大小沒有變化, ED ZECD= ZACB ,ZECA= ZDCB ,又.里-螞標DC BC 2'ZECAs/DCB,二BD DC 2(3)如圖3,-.AC=4 CD=4 , CD ±AD ,-AD= Vac2-CD2= 7(/5)2-42=VsO-16 = 8-.AD=BC , AB=DC , ZB=90二四邊形ABCD是矩形,-BD=AC=4V5

33、.P,如圖4,連接BD ,過點D作AC的垂線交AC于點Q ,過點B作AC的垂線交AC于點. AC=4 V5, CD=4 , CD ±AD ,AD=痛2一切2T （力），伽一16=8點D、E分別是邊BC、AC的中點，.-.de=|abx232）=弓、4=2,.AE=AD - DE=8 2=6 ,由（2）,可得2綜上所述，BD的長為 4 V后或三”.【點評】(1)此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握.(2)此題還考查了相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握.(3)此題還考查了線段長度的求法，以及矩形

34、的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握.2. (2015?濟南)如圖 1,在4ABC 中，/ACB=90 ° ,AC=BC , /EAC=90 °，點M 為射線 AE 上任意一點(不與 A重合)，連接CM ,將線段CM繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90°得到線段CN ,直線 NB分別交直線CM、射線AE于點F、D .(1)直接寫出/ NDE的度數(shù)；(2)如圖2、圖3,當/EAC為銳角或鈍角時，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？如果不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請說明理由；(3)如圖4,若/EAC=15 ° , ACM=60 ° ,直線CM

35、 與AB交于G, BD=,其他條件不變，2求線段AM的長.【考點】幾何變換綜合題.【專題】壓軸題.【分析】(1)根據(jù)題意證明 MAC0的BC即可；(2)與(1)的證明方法相似，證明 MAC0的BC即可；(3)作GKLBC于K,證明AM=AG ,根據(jù)AMAC AIBC ,得至Ij/BDA=90 ° ,根據(jù)直角三角形的性 質(zhì)和已知條件求出 AG的長，得到答案.【解答】 解：(1) ZACB=90 ° ,血CN=90 ° ,"CM= ZBCN ,在4MAC和ANBC中，fAC=BC/ACM =/BCN,fflC=NC .ZMAC 0小BC ,ZNBC= ZMA

36、C=90 ° ,又,. ZACB=90 ° , zEAC=90 ° ,ZNDE=90 ° ;(2)不變，在AMAC AIBC 中，AC=BC, /匐h/BCN, IfflONC .ZMAC zNBC ,.ZN= ZAMC ,又./MFD= /NFC,ZMDF= ZFCN=90 ° ,即 zNDE=90(3)作 GKXBC 于 K, . ZEAC=15 ° ,ZBAD=30 ° ,. ,"CM=60 ° ,J3CB=30 ° ,，"GC= ZABC+ /GCB=75 ° ,/A

37、MG=75 ° ,.AM=AG ,ZMAC zNBC , JVIAC= /NBC ,ZBDA= ZBCA=90. BD=2. AB=偈叵,AC=BC= V3+1 ,設(shè) BK=a ,貝U GK=a , CK=芯a,. .a+ G=J5+1 ，. .a=1 ,. KB=KG=1 , BG=&,AG= 1.,. AM= V6.【點評】本題考查的是矩形的判定和性質(zhì)以及三角形全等的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線、利用方程的思想是解題的關(guān)鍵，注意旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的靈活運用.3. （2015?岳陽）已知直線 m /n,點C是直線m上一點，點 D是直線n上一點，CD與直線m、 n不垂直，點P為線段CD

38、的中點.（1）操作發(fā)現(xiàn)：直線l,m, ln,垂足分別為 A、B,當點A與點C重合時（如圖所示），連接PB，請直接寫出線段 PA與PB的數(shù)量關(guān)系： PA=PB .（2）猜想證明：在圖的情況下，把直線 l向上平移到如圖的位置，試問（1）中的PA與PB的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.（3）延伸探究：在圖的情況下，把直線 l繞點A旋轉(zhuǎn)，使得/ APB=90 ° （如圖所示），若兩平行線m、n之間的距離為 2k.求證：PA?PB=k?AB .【考點】幾何變換綜合題.【專題】壓軸題.【分析】(1)根據(jù)三角形CBD是直角三角形，而且點P為線段CD的中點，應(yīng)用直角三角形的

39、性質(zhì)，可彳導PA=PB ,據(jù)此解答即可.(2)首先過 C作CE，n于點E,連接PE,然后分別判斷出 PC=PE、/PCA= /PEB、AC=BE ;然后 根據(jù)全等三角形判定白方法，判斷出PACs/PBE,即可判斷出PA=PB仍然成立.(3)首先延長AP交直線n于點F,作AEXBD于點E,然后根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出AEFs/bpf,即可判斷出 AF?BP=AE?BF ,再個 AF=2PA , AE=2k , BF=AB ,可得 2PA?PB=2k . AB, 所以PA?PB=k?AB ,據(jù)此解答即可.【解答】解：(1 ) .IXn,BCXBD,三角形CBD是直角三角形，又.點P為線段C

40、D的中點，.PA=PB .(2)把直線l向上平移到如圖的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如圖，過 C作CE±n于點E,連接PE,三角形CED是直角三角形，點 P為線段CD的中點,.PD=PE ,又.點P為線段CD的中點，. PC=PD ,.PC=PE ;. PD=PE ,XDE= ZPEB,;直線m /n,XDE= ZPCA ,ZPCA= ZPEB,又.直線 l,m, l±n , CE±m , CE±n ,.l /CE,.AC=BE ,在APAC和APBE中，.ZPACzPBE,.PA=PB .(3)如圖，延長 AP交直線n于點F,作AEXBD于點E

41、,;直線m /n,延&pf-pd-l.AP=PF ,. ,"PB=90 ° ,BPXAF,又APuPF ,.BF=AB ;在AAEF和ABPF中，ZAEFs/bpf,.空要，BF BP. AF?BP=AE?BF ,.AF=2PA , AE=2k , BF=AB , .2PA?PB=2k . AB, . PA?PB=k?AB .【點評】(1)此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從圖象中獲取信息， 并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力.(2)此題還考查了直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握.(3)此

42、題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練 掌握.4. (2015?重慶)在 4ABC 中，AB=AC , /A=60 °，點D 是線段 BC 的中點，/ EDF=120 ° , DE 與 線段AB相交于點E. DF與線段AC (或AC的延長線)相交于點 F.(1)如圖1 ,若DFLAC,垂足為F, AB=4 ,求BE的長；(2)如圖2,將(1)中的/EDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F.求證：BE+CF= 夫；(3)如圖3,將(2)中的/ EDF繼續(xù)繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使 DF與線段AC的延長線相 交于

43、點 F,作 DN XAC 于點 N,若 DN XAC 于點 N,若 DN=FN ,求證：BE+CF=>/3 (BE- CF).【考點】幾何變換綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定 義.【專題】壓軸題.【分析】（1）如圖1,易求得/ B=60。，BED=90 ° ,BD=2 ,然后運用三角函數(shù)的定義就可求出BE的值；（2）過點 D作DM ± AB于M ,作 DN XAC于N ,如圖2,易證4MBD且的CD ,則有 BM=CN ,DM=DN ,進而可證到 EMD/END ,則有EM=FN ,就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+F

44、N+CF=BM+CN=2BM=2BDXcos60 =BD= -BC=AB ;22（3）過點 D 作 DM ±AB 于 M ,如圖 3.同（1）可得：/ B= ZACD=60。，同 2）可得：BM=CN ,DM=DN , EM=FN ,由 DN=FN 可得 DM=DN=FN=EM ,從而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM, BE- CF=BM+EM - CF=BM+NF -CF=BM+NC=2BM .然后在RtBMD中，運用三角函數(shù)就可得到 DM= JBM ,即BE+CF=1 （BE -CF）.【解答】解：（1 ）如圖1,.AB=AC , ZA=60

45、 ° ,丁./ABC是等邊三角形，ZB= ZC=60 ° , BC=AC=AB=4點D是線段BC的中點， .BD=DC= BC=2 .2-. DF ±AC,即/AFD=90 ° ,，"ED=360 ° -60° -90 ° -120 =90 ° ,ZBED=90 ° , .BE=BD Xcos /B=2 Xcos60 =2 旺=1 ;2(2)過點 D作DM，AB于M ,作 DN LAC于N ,如圖2,貝U有/AMD= ZBMD= ZAND= ZCND=90."=60 ° ,M

46、DN=360 ° -60° -90 ° -90 =1201 . ZEDF=120 ° , .-.MDE= ZNDF .在AMBD和ANCD中，NEMD 二 NCNDNb 二/c,bd=cd2 .ZMBD zNCD ,.BM=CN , DM=DN .在EMD和4FND中，czemd=zI DM=DU , nmde :/NDF3 .ZEMD zFND ,.EM=FN ,4 .BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD Xcos60 =BD= BC= AB;22(3)過點D作DM，AB于M ,如圖3.同(1)可得：/ B= ZA

47、CD=60 ° .同(2)可得：BM=CN , DM=DN , EM=FN .5 .DN=FN , .1.DM=DN=FN=EM ,6 .BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DMBE - CF=BM+EM - CF=BM+NF - CF=BM+NC=2BM在 RtABMD 中，DM=BM?tanB= V3BM ,.BE+CF= h/3 (BE - OF).本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值等知識，通過證明三角形全等得到BM=CN ， DM=DN ， EM=FN是解決本題的關(guān)鍵5(2015? 煙臺)

48、【問題提出】如圖，已知 ABC是等腰三角形，點 E在線段AB上，點D在直線BC上，且ED=EC ,將4BCE繞 點C順時針旋轉(zhuǎn) 60 °至ACF連接EF試證明：AB=DB+AF【類比探究】(1)如圖，如果點 E在線段AB的延長線上，其他條件不變，線段 AB, DB, AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由(2)如果點E在線段BA的延長線上，其他條件不變，請在圖的基礎(chǔ)上將圖形補充完整，并寫出AB ， DB ， AF 之間的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由【考點】幾何變換綜合題【專題】壓軸題【分析】首先判斷出 CEF是等邊三角形，即可判斷出EF=EC,再根據(jù)ED=EC ,可得ED=EF , ZCA

49、F= /BAC=60 ° ,所以zEAF= /BAC+ ZCAF=120 ° , zDBE=120 ° , zEAF= /DBE;然后根據(jù)全等三角形 判定的方法，判斷出 EDBAEA,即可判斷出 BD=AE , AB=AE+BF ,所以 AB=DB+AF .(1)首先判斷出 CEF是等邊三角形，即可判斷出EF=EC,再根據(jù)ED=EC ,可得ED=EF , ZCAF=ZBAC=60 ° 所以ZEFC= ZFGC+ /FCG , ZBAC= ZFGC+ /FEA, /FCG= /FEA,再根據(jù)/ FCG= ZEAD, ZD= ZEAD ,可得/D= /FEA

50、;然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出EDBZFEA,即可判斷出BD=AE , EB=AF ,進而判斷出 AB=BD AF即可.(2)首先根據(jù)點E在線段BA的延長線上，在圖的基礎(chǔ)上將圖形補充完整，然后判斷出CEF是等邊三角形，即可判斷出 EF=EC ,再根據(jù)ED=EC ,可得ED=EF , ZCAF= ZBAC=60 °，再判斷出/ DBE=ZEAF, ZBDE= /AEF;最后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出EDBAEA,即可判斷出BD=AE ,EB=AF ,進而判斷出 AF=AB+BD 即可.【解答】證明：ED=EC=CF ,ZBCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn) 60 °至公CF,

51、ZECF=60 ° , zBCA=60 ° , BE=AF , EC=CF ,，/CEF是等邊三角形，.EF=EC , ZCEF=60 ° ,X -. ED=EC ,.ED=EF ,./ABC是等腰三角形，/ BCA=60 ° ,./ABC是等邊三角形，JCAF= ZCBA=60 ° ,ZEAF= ZBAC+ ZCAF=120 ° , zDBE=120 ° , zEAF= ZDBE, XAF= ZCEF=60 ° ,A、E、C、F四點共圓，"EF= ZACF ,X1. ED=EC ,ZD= /BCE, Z

52、BCE= ZACF ,.ZD= ZAEF,ZDBE=ZEAFND =/AEF(AAS)ED=EF .ZEDBzEEA, .DB=AE , BE=AF , .AB=AE+BE , .AB=DB+AF .(1) AB=BD+AF ;延長EF、CA交于點G,/BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn) 60 °至公CF,zECF=60 ° , BE=AF , EC=CF ,，/CEF是等邊三角形，. EF=EC ,X1. ED=EC ,.ED=EF , /EFC=/BAC=60 ° , ZEFC= ZFGC+ ZFCG, ZBAC= ZFGC+ /FEA,ZFCG= /FEA,X- . Z

53、FCG= ZECD, ZD= ZECD,.ZD= /FEA,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得ZCBE= ZCAF=120 ° ,ZDBE= ZFAE=60 ° ,在EDB和AFEA中，(AAS )(ZDBE=ZEAF Nd =/AEF ED=EF.ZEDBzEEA, .BD=AE , EB=AF , .BD=FA+AB即 AB=BD AF.(2)如圖,ED=EC=CF , /BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn) 60 °至zACF,zECF=60 ° , BE=AF , EC=CF , BC=AC ,，/CEF是等邊三角形，. EF=EC ,XI- ED=EC , . ED=EF

54、,1 .AB=AC , BC=AC ,丁./ABC是等邊三角形,，"BC=60 ° , y .ZCBE= ZCAF,JCAF=602 .ZEAF=180 ° £AF /BAC=180-60 -60=603 .ZDBE= /EAF;,. ED=EC ,ZECD= /EDC,ZBDE= ZECD+ ZDEC= ZEDC+ /DEC ,y .ZEDC= ZEBC+ /BED,4 .ZBDE= /EBC+/BED+ ZDEC=60 +/BEC,. "EF= /CEF+/BEC=60 + /BEC,5 .ZBDE= ZAEF,在EDB和AFEA中，ZDB

55、E=ZEAFZbDE=Zaef (aas)ED=EF6 .ZEDBzEEA,.BD=AE , EB=AF ,.BE=AB+AE ,.AF=AB+BD ,即AB , DB, AF之間的數(shù)量關(guān)系是：AF=AB+BD .【點評】(1)此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查 了數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，要熟練掌握.(2)此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握.6. (2015?莆田)在 RtMCB 和 RtAAEF 中，/ACB= "EF=90 ° ,若點P 是 BF 的中點，連接 PC, PE.特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1,若點E, F分別落在邊A

56、B, AC上，則結(jié)論：PC=PE成立(不要求證明). 問題探究：把圖1中的4AEF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn).(1)如圖2,若點E落在邊CA的延長線上，則上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；(2)如圖3,若點F落在邊AB上，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立， 請說明理由；(3)記吃=k,當k為何值時，4CPE總是等邊三角形？(請直接寫出 k的值，不必說明理由) Di-【考點】幾何變換綜合題.【專題】壓軸題.【分析】(1)首先過點P作PMLCE于點M,然后根據(jù)EFXAE, BCXAC,可得EF/MP /CB,推 r RM FP 一，- 一 ，一， r，rr得瞿

57、春，再根據(jù)點P是BF的中點，可得EM=MC，據(jù)此推得PC=PE即可.NIC PB(2)首先過點F作FD XAC于點D ,過點P作PM XAC于點M ,連接PD ,然后根據(jù)全等三角形判 定的方法，判斷出 DAFzEAF,即可判斷出 AD=AE ;再判斷出 DAP 且/EAP,即可判斷出 PD=PE ; 最后卞據(jù)FD LAC, BCAC, PM LAC,可得FD /BC/PM ,再根據(jù)點P是BF的中點，推得PC=PD ,再根據(jù)PD=PE ,即可推得PC=PE .形；然后根據(jù)/ BCF= /BEF=90上；最后根據(jù)圓周角定理，求出/【解答】解：(1 )如圖2,過點PC=PE成立，理由如下：(3)首先根