概率論第七章2

1、1點估計的主要內容回顧 1.矩法估計：核心思想 2.最大似然估計：核心思想及求法 3.順序統(tǒng)計量估計：優(yōu)缺點2 容易明白容易明白,對同一個未知參數對同一個未知參數,采用不同的采用不同的方法找到的點估計可能不同方法找到的點估計可能不同,那么那么,自然要問自然要問:究究竟是用哪一個更竟是用哪一個更“好好”些呢些呢?這里介紹三個評這里介紹三個評價標準價標準.7.2 估計量的評價標準估計量的評價標準345又因為212)(11)(niiXXnESE21)()(11niiXXEn2112)()(2)(11niniiiXnXXXEn212)()(11niiXnXEnniiXnDXDn1)()(112211n

2、n1112nn2故2S也是2的無偏估計量。6對二階樣本中心矩的分析7標準一標準一:無偏性強調 設 為的一個點估計,若 則稱 為的一個無偏估計無偏估計.,)(E注意注意:無偏估計不是唯一存在.87.2.2 有效性有效性9標準二標準二:有效性(強調方差最小性) 設 和 是 的兩個無偏估計,若 則稱 比 更有效2)()(21DD1121011121314例例.設X1,X2,X3為來自總體X的簡單隨機樣 本,EX=,DX=2,驗證下列統(tǒng)計量哪個更有效.32133212211X31X32X21,X31X31X31,X21X21解解:X21X21EE21165EX65EX31EX32EX21E3213,E

3、XEX31EX31EX31E321221EX21EX21=EX=X21X21DD21121DX41DX41=DX/2=2/2同理, 3/DX91DX91DX91D23212且21,為無偏估計量,DD212更有效.15注意注意 例例4.3.3 設 是參數的兩個互相獨立的無偏估計量,且 ,找出常數 使 也是的無偏估計,并使它在所有這種形狀的估計量中的方差最小.21,)(2)(21DD21,kk2211kk 類似地,設 是參數的兩個無偏估計量, 的相關系數為,可找出正數 使 也是的無偏估計,并使它在所有這種形狀的估計量中方差最小21,21222211,)(,)(DD21,kk2211kk167.2.

4、3 一致性一致性1718獨立同分布, 和 分別為樣本均值和樣本方差,則( ), 1()(,)(2niXDXEiiX2SnXX,1例例4.3.44.3.4 設 n 個隨機變量 是 的無偏估計量 不是 的無偏估計量S2S2 與 相互獨立 是 的一致估計量SXX197.3 區(qū)間估計區(qū)間估計 點估計有使用方便、直觀等優(yōu)點點估計有使用方便、直觀等優(yōu)點,但他但他并沒有提供關于估計精度的任何信息并沒有提供關于估計精度的任何信息,為此為此提出了未知參數的區(qū)間估計法提出了未知參數的區(qū)間估計法.2021 如如:對明年小麥的畝產量作出估計為: 即即:若設X表示明年畝產量,則估計結果為P(800X1000)=80%明

5、年小麥畝產量八成為明年小麥畝產量八成為800-1000斤斤.區(qū)間估計區(qū)間估計222324解續(xù)把u的表示式（7.3.1）代入（7.3.2）式得1210unXP，即121021unXuP（7.3.3）可改寫為1021021nuXnuP2221u21uO)(xx137圖的1置信區(qū)間為),(021021nuXnuX2526對置信度的理解272829哪些因素影響置信區(qū)間長度30導出置信區(qū)間的方法及區(qū)間估計的概念3132 區(qū)間估計的實際是區(qū)間估計的實際是設總體分布中含有未知參數 ,根據來自該總體的s.r.s ,如果能夠找到兩個統(tǒng)計量 ,使得隨機區(qū)間 包含 達到一定的把握,那么,便稱該隨機區(qū)間為未知參數的區(qū)

6、間估計區(qū)間估計.即 當 成立時,所以概率 為置信度或置信水平置信度或置信水平; 區(qū)間 是 的置信度為 的置信區(qū)間置信區(qū)間; ; 分別為分別為置信下限置信下限和和置信上限置信上限. .21,),(21,121P) 10 (1)%1 (100),(21121,33注意注意:點估計給出的是未知參數的一個近似值;區(qū)間估計給出的是未知參數的一個近似范圍,并且知道這個范圍包含未知參數值的可靠程度. 例例 總體均值 的95%置信區(qū)間的意義是( )這個區(qū)間平均含總體的95%的值這個區(qū)間平均含樣本的95%的值這個區(qū)間有95%的機會含 的真值這個區(qū)間有95%的機會含樣本均值.347.4正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計

7、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計35363738 /2 /2X(x)1-P(|u|)=1- 置信區(qū)間不是唯一的.對于同一個置信度,可以有不同的置信區(qū)間.置信度相同時,當然置信區(qū)間越短越好.一般來說,置信區(qū)間取成對稱區(qū)間或概率對稱區(qū)間.注意注意:1-/221 u39例例 設總體XN( ,0.92),X1,X2,X 9為來自總體的簡單隨機樣本，樣本均值為5，求的置信度為95%的置信區(qū)間。解解:由題意得:, 5 . 0,9 . 0, 5X22這是方差已知的總體均值的區(qū)間估計，結果為),(2121nuXnuX其中n=9975. 0)(21uu0.975=1.96,代入得nuX214.412,nuX215.

8、588,所求置信區(qū)間為(4.412，5.588)40（2）總體方差未知，求均值的置信區(qū)間414243設總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，2未知未知,求求的置信度為的置信度為1-置信置信區(qū)間區(qū)間求法：求法： (1)選擇包含選擇包含的分布已知函數的分布已知函數:(2)構造構造T的的 一個一個1-區(qū)間區(qū)間: (3)變形得到變形得到的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間:n/SXT)1n( t) 1(2 /1ntXf(x)/2/21) 1(|(|2/1ntTP1) 1() 1(2/12/1nSntXnSntXP) 1(,) 1(2/12/1nSntXnSntX1-444546主要內容回顧 1.估計量的評價標準有三： 無偏性、有效性、一致性。 2.置信區(qū)間、置信上限、置信下限 3.總體方差 已知，單一正態(tài)總體均值 的 的置信區(qū)間為： 4.總體方差 未知，單一正態(tài)總體均值 的 的置信區(qū)間為：21nuXnuX2121,21nsntXnsnt