線性代數(shù)考研輔導(dǎo)1ppt課件

1、線性代數(shù)東南大學(xué)數(shù)學(xué)系 周建華目目 錄錄第一部分第一部分 行列式行列式第二部分第二部分 矩陣矩陣第三部分第三部分 向量向量第四部分第四部分 線性方程組線性方程組第五部分第五部分 特征值、特征向量特征值、特征向量第六部分第六部分 實(shí)對(duì)稱矩陣和二次型實(shí)對(duì)稱矩陣和二次型第七部分第七部分 向量空間向量空間歷年試題歷年試題第一部分第一部分行行 列列 式式一 行列式的定義ijn nAa的行列式定義為矩陣121212( ,)12,( 1)nnni iiiinii iiAa aa二 行列式的性質(zhì)不用會(huì)證明，但要會(huì)熟練運(yùn)用 。2. 上述性質(zhì)的一些推論 (1). 假設(shè)行列式有一行的元素全為零，那么其值為零；(2)

2、.假設(shè)行列式有兩行的元素對(duì)應(yīng)相等，那么其值為零；(3).假設(shè)行列式有兩行的元素對(duì)應(yīng)成比例，那么其值為零.3.行列式按行、列展開： 4.行列式乘法定理： 5. 分塊矩陣的行列式：A CABO BA OABC B容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤 O AABB CA CAB C DD B已知 120200561 ,350350461AB 求31A B。 三 行列式的計(jì)算1. 分類：按階數(shù)大小分-低階、高階； 按元素分-數(shù)字、字母。 2. 典型方法： 化成低階行列式； 化成三角形行列式。 13 1415161113302112322314111+11111+11111111xxDxx123455123445123345

3、1223451nababDabba 12111111111naaa 其中，每個(gè) 均不為零。 ianabbcabDcca5235235235nD 第二部分矩 陣一 矩陣的代數(shù)運(yùn)算 1. 運(yùn)算規(guī)律 2. 該當(dāng)留意的問(wèn)題 01010N 問(wèn)題二項(xiàng)式定理。 問(wèn)題：什么時(shí)候成立？二. 可逆矩陣w矩陣A可逆的條件(1) A的行列式不為零非退化；(2) A秩等于其階數(shù)滿秩；(3) 存在矩陣B，使得AB=E可逆； (4) A的特征值均不為零非奇特。 2. 逆矩陣的計(jì)算 w利用伴隨矩陣。w利用初等變換。w 求矩陣的逆矩陣： 011230312A3. 重要性質(zhì)，如 4 伴隨矩陣(1). 伴隨矩陣的定義；假設(shè)2n ，

4、則1*nAA。 5 矩陣方程化成規(guī)范方式的矩陣方程。La premiere三 分塊矩陣1 塊矩陣的乘法規(guī)則：假設(shè),ijijs nn tAaBb， 111211112121222212221212qrqrpppqqqqrAAABBBAAABBBABAAABBB 111212122212rrppprCCCCCCCCC 其中，1122ijijijiqqjCA BA BA B 注：幾種常用的分塊法： 11112112111(,),tnnntnnniiiiitiiiibbABbbbbb 假設(shè), ,A B C D都是n階方陣， 且A是可逆的，ABMCD。證明：M可逆當(dāng)且僅當(dāng)1DCA B是可逆的。 四 矩陣

5、的秩2矩陣的等價(jià)規(guī)范形3. 矩陣的運(yùn)算與秩 （1）( )()Tr Ar A （2）()( )( )r ABr Ar B （3）()( ), ( )r ABr A r B （4）()( )( )s nn tr ABr Ar Bn (5) 若s nn tABO，則( )( )r Ar Bn. 假設(shè)n nA滿足2AA，證明： ( )()r Ar EAn。 假設(shè)A是n階方陣，2n 。證明： *( )()1( )10( )1nr Anr Ar Anr An若若若 4. 初等變換與初等矩陣 設(shè)A為(2)n n 階可逆矩陣交換A的.第一行與第二行得矩陣B，*,A B分別表示,A B的伴隨矩陣，則 （）交換*

6、A的第一列與第二列得矩陣*B； （）交換*A的第一行與第二行得矩陣*B； （）交換*A的第一列與第二列得矩陣*B； （）交換*A的第一行與第二行得矩陣*B。 向 量第三部分 一. 概念 w線性組合和線性表示；w線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)；w極大無(wú)關(guān)組和秩1.線性組合和線性表示2.線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)3.極大無(wú)關(guān)組和秩重要結(jié)論:La deusieme二. 常用命題留意命題的不同表達(dá)方式。2重要命題 1. 2s 時(shí)，12,s 線性相關(guān)存在某個(gè) j使得j可以由其余1s個(gè)向量線性表示。 2. 若12,s 線性無(wú)關(guān)，12,s 線性相關(guān)，則 可以由12,s 線性表示。 4. 12,s 線性無(wú)關(guān)12(,)srs 。

7、03年考研題數(shù)學(xué)一年考研題數(shù)學(xué)一, 選擇題選擇題1, 4分分此題得分率：61.9% 。已知向量組321,線性無(wú)關(guān)，判斷下列向量組的線性相關(guān)性 （1） ,211322, 133 （2） 112, 223，331 已知向量組1234, 線性無(wú)關(guān)，則向量組 （1）12233441, 線性無(wú)關(guān)； （2）12233441, 線性無(wú)關(guān)； （3）12233441, 線性無(wú)關(guān)； （4）12233441, 線性無(wú)關(guān)。 3更多命題：更多命題：已知12,t 可以由12,s 線性表示，且它們有相同的秩。 證明：這兩個(gè)向量組等價(jià)。 簡(jiǎn)化階梯形矩陣以給定向量組為列向量作一矩陣A用初等行變換將A化成階梯形矩陣B找出B中的非

8、零首元A中與這些非零首元相對(duì)應(yīng)的列就是所求向量組的極大無(wú)關(guān)組向量組極大無(wú)關(guān)組的求法:第四部分線性方程組 一. 解的存在性、獨(dú)一性 （1）s nAxb有解( )()r Ar Ab； （2）若( )()r Ar Abr，則 s nAxb有唯一解rn； （3）若( )()r Ar Abrn，則 s nAxb的通解中含有nr個(gè)自由未知量。 二. 解的構(gòu)造 w齊次線性方程組 s nAx有非零解的充分必要條件是 ( )r Arn。 齊次線性方程組的解的構(gòu)造齊次線性方程組的根底解系重要結(jié)論已 知12,s 是 齊 次 線 性 方 程 組Ax的基礎(chǔ)解系， 1112221223121sstttttt 問(wèn)：當(dāng)12,

9、t t取何值時(shí)，12,s 也是Ax的基礎(chǔ)解系。 2. 非齊次線性方程解的構(gòu)造 1212s ns nAxbAx(1). 若 ，都是線性方程組的解， 則是的解。s ns ns nAxbAxAxb(2). 若 是線性方程組的解， 是齊次線性 方程組的解,則是的解。12,s ns ns nn rn rAxAxbAxbkkk 12n-r12若是的基礎(chǔ)解系, 是線性方程組的一特解, 則有通解: 設(shè)12, 是齊次線性方程組Ax的基礎(chǔ)解系，12, 線性方程組Axb的特解。12,k k表示任意常數(shù)。 則Axb的通解是： （1） 11212121()()2kk （2） 11212121()()2kk （3） 11

10、212121()()2kk （4） 11212121()()2kk 三. 求解五 平面、直線的相對(duì)位置 解：兩直線不平行：121212232323333aabbccAaabbccBabc 行變換B的秩為3，故前兩行不成比例。其次，兩直線在同一平面內(nèi)：1L2L1n2n 1P2P只要證明矢量12,n n 及12PP 共面即可： 1212122323233131310aabbccaabbccaabbcc已知平面上三條不同的直線方程分別為 1:230laxbyc 2:230lbxcya 3:230lcxayb 試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件是0abc。 La troisieme第五部分 特征值

11、特征向量 已知向量111 是矩陣11201122aA的特征向量，求參數(shù)a的值及相應(yīng)的特征值。 假設(shè)ijn nAa。則特征多項(xiàng)式EA是 n次多項(xiàng)式，首一的，且 EA 11122()( 1)nnnnnaaaA 稱1122nnaaa為A的跡，記為( )tr A。 注：有的書上A的特征多項(xiàng)式定義為AE。 求矩陣 001010100A 的特征值和特征向量。 假設(shè)2AA，證明：A的特征值只能是 0 和 1。 錯(cuò)： 因?yàn)?A EA， 則0A 或0EA。若0A ， 則0 是A的 特 征 值 ， 若0EA，則 1 是A的特征值。 二. 矩陣類似的必要條件 已知矩陣11111aAabb與012B相似。求, a b

12、。 三. 可類似對(duì)角化問(wèn)題 注2：定理：矩陣的屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。 推論：沒(méi)有重特征值的矩陣一定相 似于對(duì)角陣。如：123045006肯定相似與對(duì)角陣。 定理：如果12,s 是矩陣A的互不相同的特征值， 12,iiiik 是A的屬于i的線性無(wú)關(guān)的特征向量，則 11112112,sksssk 線性無(wú)關(guān)。 假設(shè)1114335Axy相似于對(duì)角陣， 2是一個(gè)二重特征值。求, x y及可逆矩陣 P，使得1P AP是對(duì)角陣。 已知矩陣12314315Aa 的特征方程有一個(gè)二重根。求參數(shù)a的值，并討論A是否可相似對(duì)角化。 注：2(2)(8183 )EAa。因此，若 2 是兩重根，則2a ，此時(shí)

13、，特征值為 2，2，6。可以證明，這時(shí)，可以相似對(duì)角化。 若 2 不是兩重根，則28183a為完全平方，從而可以解得23a 。 可以證明， 這時(shí)不可以相似對(duì)角化。 n n矩陣A滿足2AA。證明： （1）A相似于rEooo ； （2）( )( )tr Ar A。 錯(cuò)：因?yàn)樘卣髦禐?0 或 1，所以 A相似于rEooo 。 第六部分 實(shí)對(duì)稱矩陣和二次型 一 內(nèi)積、Schmidt 正交化方法和正交矩陣 1 內(nèi)積和正交性 正交 長(zhǎng)度，單位向量，單位化 正交向量組 標(biāo)準(zhǔn)正交向量組 定理：正交向量組是線性無(wú)關(guān)的。 2 Schmidt 正交化方法 設(shè)12,s 線性無(wú)關(guān) 正交化： 11212211132313

14、321221111111111;,;,;,ssssssss 單位化： 令11,2,jjjjs 3 正交矩陣 定義： 若實(shí)矩陣A滿足TA AE， 則稱 A是正交矩陣。 二 實(shí)對(duì)稱矩陣 2 正交矩陣Q及對(duì)角陣TQ AQ的計(jì)算。 要注意與相似對(duì)角化的區(qū)別。 假設(shè)A是n n實(shí)對(duì)稱矩陣。證明：存在實(shí)對(duì)稱矩陣 B，使得3AB。 三. 二次型的矩陣四 標(biāo)準(zhǔn)形、慣性定理與規(guī)范形（二二次次型型或或矩矩陣陣形形式式） 1標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算 配方法： 正交變換的辦法：化成矩陣問(wèn)題 2 慣性定理，正、負(fù)慣性指數(shù) 定理：慣性定理 命題： 二次型的秩等于其矩陣的非零特征值的個(gè)數(shù)； 正慣性指數(shù)等于其正特征值的個(gè)數(shù)； 負(fù)慣性指數(shù)等

15、于其負(fù)特征值的個(gè)數(shù)。 3規(guī)范形與分類 用規(guī)范形可證： 兩個(gè)n n實(shí)對(duì)稱矩陣合同 它們有相同的秩和正慣性指數(shù)。 下列矩陣是否合同: 1 111111111 11 ,112 ,1221 12122122ABC 知實(shí)矩陣123,231bABa若將n n實(shí)對(duì)稱矩陣按合同關(guān)系分類，共可分成多少合同類？ 對(duì)于實(shí)稱矩陣而言, 類似的矩陣能否合同? 合同的矩陣能否類似?La quatieme五. 正定性 定義：實(shí)對(duì)稱矩陣、二次型的正定性（負(fù)定性）性。 定理：假設(shè)A是n n實(shí)對(duì)稱矩陣，則下述命題是等價(jià)的： 1A是正定的 2A的各個(gè)順序主子式大于零 3A的所有特征值均大于零 4存在實(shí)可逆矩陣 P，使得TAP P

16、5. A與正定陣合同。 設(shè),A B都是正定矩陣。證明：1*,mAAAAB 都是正定的。 問(wèn)：AB是不是正定的？ 假設(shè)n n實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定的，B是n s實(shí)矩陣。證明： TB AB正定( )r Bs。 六. 二次型與二次曲面已知 22222224xayzbxyxzyz 可以經(jīng)正交變換xyPz 化成橢圓柱面方程2244。求, a b的值，并求一適合條件的正交矩陣P。 假設(shè) 222( , , )2226f x y zxtyzxyxzyz 求t使得( , , )1f x y z 表示一柱面。 第七部分 向量空間 記號(hào)： 記R是實(shí)數(shù)全體，nR是 n維實(shí)向量全體之集。 一 向量空間（子空間） 定義：如果

17、nR的子集W關(guān)于向量的數(shù)乘、加法均是封閉的，則稱W是nR的子空間，或是一向量空間。 12()|21()|20WxyzxyzWxyzxyz 假設(shè)A是s n矩陣， |0nWxRAx 稱之為齊次線性方程組0Ax 的解空間。 兩個(gè)平凡子空間： nR及 命題： 1212(,)(,)stLL 12,s 與12,t 等價(jià)。 二 子空間的基和維數(shù)，向量的坐標(biāo) 定義：假設(shè)W是nR的子空間，如果 12,sW 滿足條件 （1）12,s 線性無(wú)關(guān)； （2）W 都可以由12,s 線性表示 則稱12,s 是 W 的一組基。 1.注基就如向量組的極大無(wú)關(guān)組； 2.注沒(méi)有基；3.注向量空間的基不是唯一的，但任意 兩組基中向量

18、個(gè)數(shù)相同。WW定義：向量空間的基中向量的個(gè)數(shù)稱為 的維數(shù)， 記為 維(W)或dim(W).dim( )0dim();nRn(),- .s ns nr ArAxn r若則線性方程組的解空間的基就是方程組的基礎(chǔ)解系,解空間的維數(shù)為121212(,),;dim()(,).sssWLWWr 若則的極大無(wú)關(guān)組是的基 dim(), WrWrW定理： 若則中任意 個(gè)線性無(wú)關(guān) 的向量都是的基。1212112212 ,sssssWkkkkkxk 定義： 假設(shè)是向量空間的基，W, 若 則稱是 在基下的坐標(biāo)。 注：坐標(biāo)與基的選取有關(guān)。12121212,ninnnnneRe eeRxxxe eexxx設(shè) 是中的基本單

19、位向量,則 是的基; 在下的坐標(biāo)是證明：向量組1230111 ,0 ,1110 是3R的一組基，并求向量345 在這組基下的坐標(biāo)。 三. 基變換和坐標(biāo)變換定義：假設(shè)12,s 與12,s 都是向量空間W的基，并且， 11112121212122221122sssssssssskkkkkkkkk 用形式記號(hào)表示： 1112121222121212(,)(,)sssssssskkkkkkkkk 則稱矩陣ijs sKk為從基12,s 到12,s 的過(guò)渡矩陣。 求nR的從基123,e e e到基 1230241 ,0 ,5130 的過(guò)渡矩陣。 求2R的基1211,10 到基1212,23的過(guò)渡矩陣。 一

20、般地，若從基12,s 到12,s 的過(guò)渡矩陣為K，在12,s 下的坐標(biāo)是1sxxx，在12,s 下的坐標(biāo)是1syyy，則xKy，即1yKx。 -坐標(biāo)變換公式 假設(shè)12, 及12, 都是向量空間W的基，且 112212232 求向量1242在基12, 下的坐標(biāo)。 四. 向量空間的規(guī)范正交基定義： 如果子空間W的基是一標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，則稱此基為W的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 標(biāo)準(zhǔn)正交基的計(jì)算： 先求W的基， 然后用 Schmidt 正交化方法將之正交化、單位化即可。 La cinqieme歷 年 考 題03年考研題數(shù)學(xué)一年考研題數(shù)學(xué)一, 填空題填空題, 4分分從2R的基1211,01 到基1211,12 的過(guò)渡

21、矩陣為 。 此題得分率：45.4%。03年考研題數(shù)學(xué)一年考研題數(shù)學(xué)一, 選擇題選擇題1, 4分分此題得分率：61.9% 。03年考研題數(shù)學(xué)一，選擇題，分年考研題數(shù)學(xué)一，選擇題，分此題得分率：80.2%。03年考研題數(shù)學(xué)一，分年考研題數(shù)學(xué)一，分設(shè) 矩 陣322232223A，010101001P，1*BP A P，求2BE的特征值和特征向量。 此題得分率：36.7%。03年考研題數(shù)學(xué)一，分年考研題數(shù)學(xué)一，分此題得分率：25.8%。04年考研題數(shù)學(xué)一，填空題，分年考研題數(shù)學(xué)一，填空題，分04年考研題數(shù)學(xué)一，選擇題，分年考研題數(shù)學(xué)一，選擇題，分假設(shè)A是 3 階方陣，將A的第一列與第二列交換得 B，再

22、把B的第二列加到第三列得 C，則滿足AQC的可逆矩陣Q為 （A） 010100101， （B） 010101001 （C） 010100011， （D） 011100001 04年考研題數(shù)學(xué)一，選擇題，分年考研題數(shù)學(xué)一，選擇題，分設(shè) A，B 為滿足 AB=O 的任意兩個(gè)非零矩陣， 則必有： （A） A 的列向量線性相關(guān)，B 的行向量線性相關(guān)； （B） A 的列向量線性相關(guān)，B 的列向量線性相關(guān)； （C） A 的行向量線性相關(guān)，B 的行向量線性相關(guān)； （D） A 的行向量線性相關(guān)，B 的列向量線性相關(guān). 04年考研題數(shù)學(xué)一，分年考研題數(shù)學(xué)一，分設(shè)有線性方程組 121212(1)02(2)20()

23、0nnna xxxxa xxnxnxna x 2n 試問(wèn)a取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解。 此題得分率：36%。04年考研題數(shù)學(xué)一，分年考研題數(shù)學(xué)一，分設(shè)矩陣12314315Aa 的特征方程有一個(gè)二重根，求a的值。并討論A是否可相似對(duì)角化。 此題得分率：29%。05年考研題數(shù)學(xué)一、二，填空題，分年考研題數(shù)學(xué)一、二，填空題，分設(shè)123, 是 3 維列向量,記矩陣 123,A , 123123123,24,39B 如果1A ,那么B . 05年考研題數(shù)學(xué)一、二，選擇題，分年考研題數(shù)學(xué)一、二，選擇題，分設(shè)12, 是A的兩個(gè)不同的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量分別是12, ,則 112, ()A線性

24、無(wú)關(guān)的充分必要條件是 (A) 10; (B) 20; (C) 10; (D) 20. 05年考研題數(shù)學(xué)一、二，選擇題，分年考研題數(shù)學(xué)一、二，選擇題，分設(shè)A為(2)n n 階可逆矩陣交換A的.第一行與第二行得矩陣B，*,A B分別表示,A B的伴隨矩陣，則 （）交換*A的第一列與第二列得矩陣*B； （）交換*A的第一行與第二行得矩陣*B； （）交換*A的第一列與第二列得矩陣*B； （）交換*A的第一行與第二行得矩陣*B。 05年考研題數(shù)學(xué)一、二，分年考研題數(shù)學(xué)一、二，分已知三階矩陣A的第一行是( , , )a b c，, ,a b c不全為零，矩陣12324636Bk（k為常數(shù)） ，且ABO，求

25、線性方程組0Ax 的通解。 05年考研題數(shù)學(xué)一，分年考研題數(shù)學(xué)一，分05年考研題數(shù)學(xué)二，分年考研題數(shù)學(xué)二，分已知矩陣123,211yABx。問(wèn)：當(dāng), x y滿足什么條件時(shí)，矩陣方程AXB有解，而BYA無(wú)解？ 已知 3 維列向量12100 ,1ab ,1231112 ,1,112c . 且123, 與12, 等價(jià). 1. 求123, 的秩,并求其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組; 2. 求參數(shù), ,a b c的值; 3. 記12123,AB .求一矩陣得 X,使得AXB. 06年考研題數(shù)學(xué)一、二，填空題，分年考研題數(shù)學(xué)一、二，填空題，分06年考研題數(shù)學(xué)一、二，選擇題，分年考研題數(shù)學(xué)一、二，選擇題，分06年考研題數(shù)

26、學(xué)一、二，選擇題，分年考研題數(shù)學(xué)一、二，選擇題，分06年考研題數(shù)學(xué)一、二，分年考研題數(shù)學(xué)一、二，分06年考研題數(shù)學(xué)一、二，分年考研題數(shù)學(xué)一、二，分07年考研題選擇題年考研題選擇題1，4分分07年考研題選擇題年考研題選擇題2，4分分07年考研題填空題，年考研題填空題，4分分07年考研題計(jì)算題年考研題計(jì)算題1，11分分07年考研題計(jì)算題年考研題計(jì)算題2，11分分08年數(shù)學(xué)一試題第20題10%08年數(shù)學(xué)一、二、三、四代數(shù)題12%08年數(shù)學(xué)二、三、四第二道代數(shù)題10%08年選擇題一 數(shù)學(xué)一、二、三、四 08年選擇題二數(shù)學(xué)一 08年選擇題三數(shù)學(xué)二、三、四 08年填空題數(shù)學(xué)一 08年填空題數(shù)學(xué)二 08年填

27、空題數(shù)學(xué)三 08年填空題數(shù)學(xué)四 09年第一道大題11%09年第二道大題11%09年數(shù)學(xué)一、二、三選擇題24%09年數(shù)學(xué)一選擇題14%09年數(shù)學(xué)二、三選擇題14%09年數(shù)學(xué)一填空題4%209年數(shù)學(xué)二填空題4%209年數(shù)學(xué)三填空題4%2假設(shè)A是 4 階方陣，已知 30,0,2TEAAA AE， 求*,A A的個(gè)一個(gè)特征值。 10年數(shù)學(xué)一填空題4%10年數(shù)學(xué)二、三填空題4%10年數(shù)學(xué)一選擇題14%10年數(shù)學(xué)二、三選擇題14%10年數(shù)學(xué)一、二、三選擇題24%條件多余10年數(shù)學(xué)一、二、三大題111%10年數(shù)學(xué)一大題211%此題超綱10年數(shù)學(xué)二、三大題211% 10年抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)一考場(chǎng)一23人考場(chǎng)二24人

28、考場(chǎng)三28人題一題一題二題二題一題一題二題二題一題一題二題二0分分7127130411分分3070202均分均分5.04426.582.333 10.066得分率得分率 45.85 18.18 59.85 21.21 91.23 54.5510年抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)二、三-第1大題考場(chǎng)一二三四五人數(shù)24人25人24人26250分5594711分74793均分6.546.85.726.5774.96得分率59.4661.8252.6559.7945.0910年抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)二、三-第2大題考場(chǎng)一二三四五人數(shù)24人25人24人26250分161917182111分23322均分2.291.762.1252.1541.16得分率20.831619.3219.5810.5511年數(shù)學(xué)一、二、三選擇題4%11年數(shù)學(xué)一、二選擇題4%11年數(shù)學(xué)三選擇題4%11年數(shù)學(xué)一填空題4%11年數(shù)學(xué)二填空題4%11年數(shù)學(xué)三填空題4%11年數(shù)學(xué)一、二、三大題11%07-08-3期末考試考題11年數(shù)學(xué)一、二、三大題11%03-04-2期末考試試題12年數(shù)學(xué)一、二、三選擇題(1)4%12年數(shù)學(xué)一、二、三選擇題(2)4% 設(shè)A為3