第十三章13.3等腰三角形

1、12.3.1 等腰三角形ACB腰腰底邊底邊頂角頂角底角底角底角底角一、等腰三角形的一、等腰三角形的定義定義：有有兩邊相等兩邊相等的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形A AB BC C二、等腰三角形的二、等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1、等腰三角形的、等腰三角形的 相等，簡寫為相等，簡寫為2、等腰三角形的等腰三角形的 互相重合，簡寫互相重合，簡寫 成成兩個底角兩個底角等邊對等角等邊對等角頂角平分線頂角平分線底邊上的中線底邊上的中線 底邊上的高底邊上的高等腰三角形三線合一等腰三角形三線合一3、等腰三角形是、等腰三角形是 圖形，對稱軸是圖形，對稱軸是 所在的直線。所在的直線。軸對稱軸對稱三、等腰三角形的三

2、、等腰三角形的判定判定1、有、有兩邊相等兩邊相等的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形 2、有、有兩角相等兩角相等的三角形是等腰三角形，簡寫成的三角形是等腰三角形，簡寫成等角對等邊等角對等邊頂角平分線頂角平分線底邊上的高底邊上的高D底邊上的中線底邊上的中線頂角平分線頂角平分線證明證明 一：一： 作底邊中線作底邊中線AD. 在在BAD和和CAD中，中，AB=AC ( 已知已知 ),BD=CD ( 輔助線作法輔助線作法 )，AD=AD (公共邊公共邊) , BAD CAD (SSS). B= C (全等三角形的對應(yīng)角相等全等三角形的對應(yīng)角相等).已知：已知： ABC中，中，AB=AC.求證：求證

3、： B= C.ABCD證明：等腰三角形的兩個底角相等證明：等腰三角形的兩個底角相等證明二證明二:作頂角的平分線作頂角的平分線A D.證明三證明三:作底邊的高作底邊的高AD等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)： 等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等 （簡寫成（簡寫成“等邊對等角等邊對等角”）注意：注意： 在在 等腰三角形中等腰三角形中,等邊對等角。等邊對等角。一個一個 一個一個 用符號語言表示為：用符號語言表示為：在在ABC中，中， AC=AB（ ） B=C ( ）已知已知等邊對等角等邊對等角CAB AB=AC, AD BCAD BC AB=AC , “三線合一三線合一”的數(shù)學(xué)語言的數(shù)學(xué)

4、語言(3)若若ADAD是高，則是高，則ADAD是角平分線，是中線是角平分線，是中線A AB BC CD D12 ， . .BDCDADBC , .12ADBCBDCD , .12(1)(1)若若ADAD是角平分線，則是角平分線，則ADAD是高，是中線是高，是中線(2) 若若ADAD是中線，則是中線，則ADAD是角平分線，是高是角平分線，是高 AB=AC, BDBDCDCDAB=ACAB=AC數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，最主要的就是思維方法的培養(yǎng)，只埋頭做題，不注意總結(jié)反思，成績是不會有很大提高的，做題不是莽撞的思考，而是有一定規(guī)律的。希望每一個同學(xué)都做一個學(xué)習(xí)上的有心人。等腰三角形部分用了哪些數(shù)學(xué)思想呢？基礎(chǔ)

5、知識點(diǎn)的理解與熟記+大量的做題+不斷的總結(jié) = =數(shù)學(xué)高手?jǐn)?shù)學(xué)高手?jǐn)?shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想5、等腰三角形有等腰三角形有 條對稱軸。條對稱軸。1、等腰三角形有兩邊長分別為、等腰三角形有兩邊長分別為3cm、4cm，則周長，則周長為為 cm。2、等腰三角形有兩邊長分別為、等腰三角形有兩邊長分別為2cm、4cm，則周長，則周長為為 cm。3、等腰三角形有一個內(nèi)角為、等腰三角形有一個內(nèi)角為70，則一個底角為，則一個底角為 度。度。4、等腰三角形有一個、等腰三角形有一個 內(nèi)角為內(nèi)角為100，則一個底角為，則一個底角為 度。度。110或111070或5540（1）如圖，）如圖，A=B,CEDA,CE交交AB于于E，

6、 求證：求證：CEB是等腰三角形是等腰三角形與與平行線平行線相結(jié)合轉(zhuǎn)化出相結(jié)合轉(zhuǎn)化出等腰三角形等腰三角形DAEBC（2 2）如圖，已知）如圖，已知CE、CF分別平分分別平分ACB和和它的外角，它的外角，EFBC，EF交交AC于于D，你能說，你能說明明DEDF的理由嗎？的理由嗎？FDEABCG與平行線、角平分線相結(jié)合轉(zhuǎn)化出等腰三角形（3）如圖）如圖AB=AC, A=40,AB的垂的垂直平分線交直平分線交AC于點(diǎn)于點(diǎn)D,求求DBC 的度數(shù)。的度數(shù)。與線段垂直平分線的性質(zhì)相結(jié)合轉(zhuǎn)化出等腰三角形ABCD（4）如圖，點(diǎn)）如圖，點(diǎn)E是是AOB的角平分線上的一點(diǎn)，的角平分線上的一點(diǎn)， ECOA,ED OB,

7、垂足分別為垂足分別為C,D.求證：求證： OC=OD; ECD=EDC; OE是線段是線段CD的垂直平分線。的垂直平分線。與角平分線的性質(zhì)相結(jié)合轉(zhuǎn)化出等腰三角形CDOABE（5）O是是ABC中中ABC和和ACB的平分線的交的平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)，ODAB交交BC于于D，OEAC交交BC于于E點(diǎn)，若點(diǎn)，若BC1010cm，那么，那么ODE的周長為的周長為 。EDOABC10 cm1 1、與、與平行線、角平分線平行線、角平分線相結(jié)合轉(zhuǎn)化出相結(jié)合轉(zhuǎn)化出等腰三角形等腰三角形2 2、將要求的、將要求的三角形的周長或者邊與邊之間的數(shù)量關(guān)三角形的周長或者邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系系利用利用等腰三角形等腰三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化

8、進(jìn)行轉(zhuǎn)化（6 6）如圖所示，）如圖所示，ABCABC中，中，AB=AC, AB=AC, A=50A=50, ,點(diǎn)點(diǎn)D D在在ABCABC內(nèi)部，且內(nèi)部，且DBC=DCA,DBC=DCA,則則BDC=BDC= 115利用等量代換思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化CABED（1）如圖，在）如圖，在ABC中，中，AB=AC，AD=BD=BC，則，則A= 度。度。 36xxx2x2xDCBA（1 1）已知：如圖）已知：如圖, AB=AC, AB=AC，DB=DC DB=DC 證明證明: : C=BABCDC=BBD=CD克服思維定勢，巧妙構(gòu)造輔助線1 1、等腰三角形腰上的高與底邊的夾角為、等腰三角形腰上的高與底邊的夾角為，則

9、頂角，則頂角與與之間的關(guān)系是之間的關(guān)系是2 2、一個等腰三角形頂角為鈍角，則它、一個等腰三角形頂角為鈍角，則它的底角的底角的取值范圍是的取值范圍是3 3、等腰三角形兩底角平分線相等嗎？、等腰三角形兩底角平分線相等嗎？兩腰上的中線呢？兩腰上的高呢？兩腰上的中線呢？兩腰上的高呢？=2 0 45判斷下列語句是否正確。判斷下列語句是否正確。（1）等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合。（）等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合。（ ）（2）有一個角是）有一個角是60的等腰三角形，其它兩個的等腰三角形，其它兩個 內(nèi)角也為內(nèi)角也為60. （ ）（3）等腰三角形的底角都是銳角）等腰三角形的底角都是銳角. （

10、 ）（4）鈍角三角形不可能是等腰三角形）鈍角三角形不可能是等腰三角形 . （ ）作業(yè)（5 5）如圖，在等腰直角三角形）如圖，在等腰直角三角形ABCABC中，中，C=90C=90，AC=BCAC=BC，AEAE平分平分BACBAC，EDABEDAB于點(diǎn)于點(diǎn)E E。1 1、若、若CE=2CE=2，則，則DE=_,DB=_DE=_,DB=_2 2、你還能找出圖中哪些相等的線段？、你還能找出圖中哪些相等的線段？3 3、若、若AB=8AB=8，則，則DEBDEB的周長為多少？的周長為多少？22(AD=AC=BC)DEBDEB的周長的周長=DE+BE+BD=DE+BE+BD=CE+BE+BD=CE+BE+

11、BD=BC+BD=BC+BD=AD+BD=8=AD+BD=8(CE=DE=BD)ABCDEF（6） 如圖，如圖，AB=AC，D為為AB上一上一點(diǎn)，點(diǎn)，E為為AC延長線上一點(diǎn)，且延長線上一點(diǎn)，且BD=CE，DE交交BC于于G求證：求證：DG=EGGCABED （7）在）在ABC中，中，BAC=120,ADBC于于D,且且AB+BD=DC, 則則C的大小是的大小是ABCD8、已知：在、已知：在ABC中，中，E是是CA延長延長上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且AB = AC ，AE = AD。請說明：。請說明：1）BAC=2 E。 2）EDBCABCDE圖形及名稱圖形及名稱概概 念念性性 質(zhì)質(zhì) 判判 定定A AB

12、 BC C有兩邊有兩邊相等的相等的三角形三角形是是等腰等腰三角形三角形。性質(zhì)定理性質(zhì)定理1 1 ： 等邊對等角等邊對等角AB = ACAB = ACB=CB=C性質(zhì)定理性質(zhì)定理2 2： 三線合一三線合一。若若ADAD是底邊的高，則是底邊的高，則ADAD是頂角平分線，是底邊中線是頂角平分線，是底邊中線若若ADAD是頂角平分線，則是頂角平分線，則ADAD是底邊的高與中線是底邊的高與中線若若ADAD是底邊中線，則是底邊中線，則ADAD是頂角平分線，是底邊的高是頂角平分線，是底邊的高定理定理：等角對等邊：等角對等邊 B=C B=C AB = AC AB = AC等腰三角形相關(guān)知識等腰三角形相關(guān)知識D1

13、2.3.2 等邊三角形1 1、定義：、定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；有兩邊相等的三角形是等腰三角形；有三邊相等的三角形是有三邊相等的三角形是等邊三角形等邊三角形（也稱正三角（也稱正三角形）。形）。(如圖如圖)想想看，等邊三角形是等腰三角形嗎?它都有哪些性質(zhì)？ABC三邊之間 ABACBC；三角之間 ABC；是軸對稱圖形，有三條對稱軸；三線合一你能證明這個結(jié)論嗎?A AB BC C證明：證明： ABAC A+B+C180 ABC BC同理同理 AB ABC1803 60.(等邊對等角等邊對等角)(已知已知)(三角形內(nèi)角和為三角形內(nèi)角和為180)已知：已知：ABC中，中，ABAC=BC。 求

14、證：求證：ABC 60圖形圖形 等腰三角形等腰三角形 （腰（腰底）底）定義定義性性 質(zhì)質(zhì)關(guān)系關(guān)系三線合三線合一一三個角都相等，各內(nèi)角都是三個角都相等，各內(nèi)角都是60 軸對稱圖形軸對稱圖形（1條）條）三線合一三線合一等邊三角形等邊三角形一定一定是等腰三角形，等腰三角是等腰三角形，等腰三角形形不一定不一定是等邊三角形是等邊三角形. .三邊都相等的三角形三邊都相等的三角形軸對稱圖形（軸對稱圖形（3 3條）條）等邊三角形等邊三角形類比：類比：兩邊相等的三角形兩邊相等的三角形兩個底角相等兩個底角相等一般三角形等邊三角形2、 三個角都相等的三角形是等邊三角形三個角都相等的三角形是等邊三角形.3、 有一個角

15、是有一個角是60的等腰三角形是等邊的等腰三角形是等邊 三角形三角形.等邊三角形等腰三角形1、 三條邊都相等的三角形是等邊三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形.已知：已知： ABC中，中，AB=AC， A=600。求證：求證：AB=AC=BCABC證明證明： ABC中中AB=AC， B=C （等邊對等角等邊對等角） A=600 B=C = 600AB=AC=BC（等角對等邊等角對等邊）名名稱稱圖圖 形形定義定義性質(zhì)性質(zhì) 判判 定定 等等 邊邊 三三 角角 形形A AB BC C&回顧小結(jié)，整體感知回顧小結(jié)，整體感知三邊三邊都相都相等的等的三角三角形形三個三個內(nèi)角內(nèi)角都相都相等，等，且均且均為為

16、6060 1、已知、已知ABC中，中，A=B=60A=B=60，AB=3cm AB=3cm 則則ABC的周長的周長_2、 ABC是等腰三角形，周長為是等腰三角形，周長為15cm且且A=60，則，則BC=_9cm5cm3、如圖，、如圖， ABC中，中，D、E是是BC邊上的三邊上的三等分點(diǎn)，等分點(diǎn)， AED是等邊三角形，則是等邊三角形，則BAC為（為（ ）度？）度？CBADE1204、等邊三角形三邊 ,三個角都等于 度.5、等邊三角形是軸對稱圖形,有 條對稱軸. 6、如圖,已知ABC和BDE都是等邊三角形,求證:AE=CDABCDE證明: ABC和BDE都是等邊三角形 AB=AC,BE=BD,AB

17、C=DBE=60 在ABE和CBD中, AB=BC ABC=DBE,BE=BD ABECBD AE=CD相等60三 12.2.3定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半已知：在已知：在ABC中，中，ABAC2a，ABCACB15，CD是腰是腰AB上的高求：上的高求：CD的長的長 ABCD DACABCACB 1515= 30 CD2121AC2aa(在直角三角形中，如果一個在直角三角形中，如果一個銳角等于銳角等于30，那么它所對的直角邊，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半等于斜邊的一半) BDC=90ABCDABCDE 在 ABC中A=60 AB=AC，點(diǎn)，點(diǎn)D是是AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)CE=CD求證：求證：（1）BD=DE.（2）若）若DF BC于點(diǎn)于點(diǎn)F，則，則BF與與EF有何關(guān)系？有何關(guān)系？F證明：證明：（1 1