解析幾何中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題

1、解析幾何中的定點(diǎn)定值問(wèn)題考綱解讀：定點(diǎn)定值問(wèn)題是解析幾何解答題的考查重點(diǎn)。此類(lèi)問(wèn)題定中有動(dòng)，動(dòng)中有定，并且常與軌跡問(wèn)題，曲線系問(wèn)題等相結(jié)合，深入考查直線的圓，圓錐曲線，直線和圓錐曲線位置關(guān)系等相關(guān)知識(shí)?？疾閿?shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論，化歸與轉(zhuǎn)化，函數(shù)和方程等數(shù)學(xué)思想方法。一、 定點(diǎn)問(wèn)題解題的關(guān)健在于尋找題中用來(lái)聯(lián)系已知量，未知量的垂直關(guān)系、中點(diǎn)關(guān)系、方程、不等式，然后將已知量，未知量代入上述關(guān)系，通過(guò)整理，變形轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)的直線系、曲線系來(lái)解決。AByOx例1、已知A、B是拋物線y2=2px (p>0)上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為和，當(dāng)、變化且+=時(shí)，證明直線AB恒過(guò)定

2、點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。例2已知橢圓：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切求橢圓C的方程；設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；在的條件下，證明直線與軸相交于定點(diǎn)【針對(duì)性練習(xí)1】 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和是，點(diǎn)的軌跡是與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，不過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和求軌跡的方程；當(dāng)時(shí)，求與的關(guān)系，并證明直線過(guò)定點(diǎn)【針對(duì)性練習(xí)2】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過(guò)點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,。（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)

3、，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）。【針對(duì)性練習(xí)3】已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，短軸長(zhǎng)為（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（不是橢圓的左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)例3、已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點(diǎn)。（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）設(shè)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的取值范圍； （）設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

4、二、 定值問(wèn)題在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無(wú)關(guān)，這就構(gòu)成了定值問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在動(dòng)點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性，一種思路是進(jìn)行一般計(jì)算推理求出其結(jié)果，選定一個(gè)適合該題設(shè)的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義，方程，幾何性質(zhì)，再用韋達(dá)定理，點(diǎn)差法等導(dǎo)出所求定值關(guān)系所需要的表達(dá)式，并將其代入定值關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理求出結(jié)果，；另一種思路是通過(guò)考查極端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值，揭開(kāi)神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問(wèn)題的突破口，將該問(wèn)題涉及的幾

5、何形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式或三角形式，證明該式是恒定的。同時(shí)有許多定值問(wèn)題，通過(guò)特殊探索法不但能夠確定出定值，還可以為我們提供解題的線索。如果試題是客觀題形式出現(xiàn)，特珠化方法往往比較奏效。例4、已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，共線。（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值。例5、已知，橢圓C過(guò)點(diǎn)A，兩個(gè)焦點(diǎn)為（1，0），（1，0）。（1）求橢圓C的方程； （2）E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。將第二問(wèn)的結(jié)論進(jìn)行如下推廣：結(jié)論1.過(guò)橢圓上任一

6、點(diǎn)任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點(diǎn)，則直線EF的斜率為定值（常數(shù)）。結(jié)論2.過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點(diǎn)，則直線EF的斜率為定值（常數(shù)）。結(jié)論3.過(guò)拋物線上任一點(diǎn)任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點(diǎn)，則直線EF的斜率為定值（常數(shù)）。例6、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的非負(fù)半軸上，點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離是4，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值是6.()求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；()若為焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，問(wèn)是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使到點(diǎn)的距離為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例7、已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)

7、，焦點(diǎn)在x軸上，P(2，0)為定點(diǎn)()若點(diǎn)P為拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；()若動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)P，且圓心M在拋物線C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、B是圓M與軸的兩交點(diǎn)，試推斷是否存在一條拋物線C，使|AB|為定值？若存在，求這個(gè)定值；若不存在，說(shuō)明理由例8、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，離心率為（）求橢圓的方程；（）過(guò)點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，試問(wèn)：在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由三、 定直線問(wèn)題例9、設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)為（）求橢圓的方程；（）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上例10、

8、已知橢圓C的離心率，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為，。（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)S。試問(wèn)：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫(xiě)出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。四、 其它定值問(wèn)題例11、已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為（）求雙曲線的方程；（）設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.例12、己知橢圓 （a>b>0）,過(guò)其中心O的任意兩條互相垂直的直徑是P1P2、OxyP1Q1P2Q2A1A2B1B2Q1Q2，求證：以兩條直徑的四個(gè)端點(diǎn)所成的四邊形P1Q1P2Q2與一定圓相切。探索定圓：取橢圓長(zhǎng)軸

9、和短軸為兩直徑，則的方程為，原點(diǎn)O到直線的距離為，則與菱形內(nèi)切的圓方程為。例13、已知P是雙曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線分別交雙曲線于P1、P2兩點(diǎn)（異于P點(diǎn)），求證：直線P1P2的方向不變。探索定值：取P，過(guò)P點(diǎn)且互相垂直的直線中有一條過(guò)原點(diǎn)，則這一條直線xPP1P2yO與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)，其斜率 PP2的方程為把代入解得 （定值） 證明：設(shè)PP1的斜率為，則PP2的斜率為 ，PP1的方程為 PP2的方程為，與拋物 聯(lián)立解得、 ，從而（定值） EX：過(guò)拋物線y2=2px（P>0）上一定點(diǎn)（x0,y0）作兩條直線分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，滿足直線PA、PB斜率存在且傾斜角

10、互補(bǔ)，則AB的斜率為定值。推廣：拋物線推廣到橢圓或雙雙曲線均可。五、練習(xí)1、橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，三角形ABM的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，其中M點(diǎn)為（1，1），且直線MA、MB的斜率之和為0。（1）求橢圓的方程。（2）求證：直線AB的斜率是定值。分析：（1）x2+2y2=3 （2）2、已知定點(diǎn)及橢圓，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn).（）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；（）在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：M（，0） 3、已知不垂直于x軸的動(dòng)直線l交拋物線y2=2mx（m>0）于A、B兩點(diǎn)，若A、B兩點(diǎn)滿足AQP=BQP，若其中Q點(diǎn)

11、坐標(biāo)為（-4，0），原點(diǎn)O為PQ中點(diǎn)。（1）證明：A、P、B三點(diǎn)線；（2）當(dāng)m=2時(shí)，是否存在垂直于x軸的直線l，使得l被以PA為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)為定值？如果存在求出l的方程。分析：設(shè)點(diǎn)AB的坐標(biāo)（2）l：x=3.4、 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，且四邊形F1AF2B是邊長(zhǎng)為2的正方形。（1）求橢圓的方程。（2）若C、D分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MDCD,連結(jié)CM交橢圓于點(diǎn)P，證明：為值。（3）在（2）的條件下，試問(wèn)x軸上是否存在異于C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓過(guò)直線DP，MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)。分析：（1）（2）由O、M、P三

12、點(diǎn)共線，得，所以=4（3）設(shè)Q點(diǎn)（a，0），由，得a=0.5、設(shè)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若的最小值是-1，雙曲線的離心率是。（1）求雙曲線C的方程；（2）過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，過(guò)作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，求證：直線AC恒過(guò)定點(diǎn)。分析：（1） （2）先猜再證：（，0）換掉x1代入韋達(dá)定理得證。方法二：設(shè)AB：代入方程得：（）故AC：=又2my1y2=-（y1+y2）然后代入韋達(dá)定理得。6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,RtABC的斜邊BC恰在x軸上，點(diǎn)B(2,0)，C（2，0），且AD為BC邊上的高。(I)求AD中點(diǎn)G的軌跡方程； (II)若過(guò)

13、點(diǎn)(1,0)的直線l與(I)中G的軌跡交于兩不同點(diǎn)P、Q，試問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)E(m,0)，使·恒為定值？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：（1） （2）m= 定值為 不容易先猜出，只能是化簡(jiǎn)求出。7、已知直線l過(guò)橢圓E：的右焦點(diǎn)F,且與E相交于P，Q兩點(diǎn)。（1） 設(shè)，求點(diǎn)R的軌跡方程。（2） 若直線l的傾斜角為60，求的值。（當(dāng)l的傾斜角不定時(shí)，可證是定值。）分析： （2）可先猜再證:解析幾何中的定點(diǎn)定值問(wèn)題考綱解讀：定點(diǎn)定值問(wèn)題是解析幾何解答題的考查重點(diǎn)。此類(lèi)問(wèn)題定中有動(dòng)，動(dòng)中有定，并且常與軌跡問(wèn)題，曲線系問(wèn)題等相結(jié)合，深入考查直線的圓，圓錐曲線，

14、直線和圓錐曲線位置關(guān)系等相關(guān)知識(shí)?？疾閿?shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論，化歸與轉(zhuǎn)化，函數(shù)和方程等數(shù)學(xué)思想方法。四、 定點(diǎn)問(wèn)題解題的關(guān)健在于尋找題中用來(lái)聯(lián)系已知量，未知量的垂直關(guān)系、中點(diǎn)關(guān)系、方程、不等式，然后將已知量，未知量代入上述關(guān)系，通過(guò)整理，變形轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)的直線系、曲線系來(lái)解決。AByOx例1、已知A、B是拋物線y2=2px (p>0)上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為和，當(dāng)、變化且+=時(shí)，證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解析： 設(shè)A（），B（），則，代入得 （1）又設(shè)直線AB的方程為，則，代入（1）式得直線AB的方程為直線AB過(guò)定點(diǎn)（-說(shuō)明：本題在特殊條件下很難

15、探索出定點(diǎn)，因此要從已知出發(fā)，把所求的定點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線AB，再?gòu)腁B直線系中看出定點(diǎn)。例2【2010·東城一?！恳阎獧E圓：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切求橢圓C的方程；設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；在的條件下，證明直線與軸相交于定點(diǎn)解析：由題意知，所以，即，又因?yàn)?，所以，故橢圓的方程為：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為 聯(lián)立消去得：，由得，又不合題意，所以直線的斜率的取值范圍是或設(shè)點(diǎn)，則，直線的方程為，令，得，將代入整理，得 由得代入整理，得，所以直線與軸相交于定點(diǎn)【針對(duì)性練習(xí)1】 在直

16、角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和是，點(diǎn)的軌跡是與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，不過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和求軌跡的方程；當(dāng)時(shí)，求與的關(guān)系，并證明直線過(guò)定點(diǎn)解：點(diǎn)到，的距離之和是，的軌跡是長(zhǎng)軸為，焦點(diǎn)在軸上焦中為的橢圓，其方程為 將，代入曲線的方程，整理得 ，因?yàn)橹本€與曲線交于不同的兩點(diǎn)和，所以 設(shè)，則， 且，顯然，曲線與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，所以，由，得將、代入上式，整理得所以，即或經(jīng)檢驗(yàn)，都符合條件，當(dāng)時(shí)，直線的方程為顯然，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)即直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與題意不符當(dāng)時(shí)，直線的方程為顯然，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)，且不過(guò)點(diǎn)綜上，與的關(guān)系是：，且直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)【針對(duì)性練習(xí)2】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的

17、左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過(guò)點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,。（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）。【解析】 本小題主要考查求簡(jiǎn)單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)?？疾檫\(yùn)算求解能力和探究問(wèn)題的能力。解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化簡(jiǎn)得。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。（3）點(diǎn)T

18、的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：、。（方法一）當(dāng)時(shí)，直線MN方程為： 令，解得：。此時(shí)必過(guò)點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。所以直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時(shí)直線MN的方程為，過(guò)點(diǎn)D（1，0）。若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過(guò)D點(diǎn)。因此，直線MN必過(guò)軸上的點(diǎn)（1，0）?！踞槍?duì)性練習(xí)3】（2011年石景山期末理18）已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，短軸長(zhǎng)為（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（不是橢圓的左

19、、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)解: （）設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，短半軸長(zhǎng)為，半焦距為，則 解得 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4分（）由方程組 消去，得 6分由題意， 整理得： 7分設(shè)，則， 8分由已知， 且橢圓的右頂點(diǎn)為， 10分即 ，也即 ，整理得解得 或 ，均滿足 11分當(dāng)時(shí)，直線的方程為 ，過(guò)定點(diǎn)，不符合題意舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程為 ，過(guò)定點(diǎn)， 故直線過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為 13分例3、已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點(diǎn)。 （I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）設(shè)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

20、且，求的取值范圍； （）設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解法一： （I）設(shè)橢圓方程為，由題意知故橢圓方程為 （）由（I）得，所以，設(shè)的方程為（）代入，得 設(shè)則,由，當(dāng)時(shí)，有成立。（）在軸上存在定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線。依題意知，直線BC的方程為， 令，則的方程為、在直線上，在軸上存在定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線。解法二：（）由（I）得，所以。設(shè)的方程為 代入，得設(shè)則 當(dāng)時(shí)，有成立。 （）在軸上存在定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線。 設(shè)存在使得、三點(diǎn)共線，則， ， 即 ，存在，使得三點(diǎn)共線。五、 定值問(wèn)題在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無(wú)關(guān)，這就

21、構(gòu)成了定值問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在動(dòng)點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性，一種思路是進(jìn)行一般計(jì)算推理求出其結(jié)果，選定一個(gè)適合該題設(shè)的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義，方程，幾何性質(zhì)，再用韋達(dá)定理，點(diǎn)差法等導(dǎo)出所求定值關(guān)系所需要的表達(dá)式，并將其代入定值關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理求出結(jié)果，；另一種思路是通過(guò)考查極端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值，揭開(kāi)神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問(wèn)題的突破口，將該問(wèn)題涉及的幾何形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式或三角形式，證明該式是恒定的。同時(shí)

22、有許多定值問(wèn)題，通過(guò)特殊探索法不但能夠確定出定值，還可以為我們提供解題的線索。如果試題是客觀題形式出現(xiàn)，特珠化方法往往比較奏效。例4、已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，共線。（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值。解析：（1）設(shè)橢圓方程為 （a>b>0），A(x1,y1)，B(x2,y2) ，AB的中點(diǎn)為N(x0,y0)，兩式相減及得到，所以直線ON的方向向量為， ，即，從而得 （2）探索定值 因?yàn)镸是橢圓上任意一點(diǎn)，若M與A重合，則，此時(shí)，證明 ，橢圓方程為，又直線方程為又設(shè)M（x，y），則由得，代

23、入橢圓方程整理得又 ，例5、已知，橢圓C過(guò)點(diǎn)A，兩個(gè)焦點(diǎn)為（1，0），（1，0）。（1） 求橢圓C的方程； （2） E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。解析：（1）由題意，c=1,可設(shè)橢圓方程為，解得，（舍去）所以橢圓方程為。 （2）設(shè)直線AE方程為：，代入得 設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以 ， 又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以K代K，可得， 所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為。 將第二問(wèn)的結(jié)論進(jìn)行如下推廣：結(jié)論1.過(guò)橢圓上任一點(diǎn)任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點(diǎn)，則直線EF的斜

24、率為定值（常數(shù)）。證明：直線AE的方程為，則直線AF的方程為， 聯(lián)立和，消去y可得 結(jié)論2.過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點(diǎn)，則直線EF的斜率為定值（常數(shù)）。結(jié)論3.過(guò)拋物線上任一點(diǎn)任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點(diǎn)，則直線EF的斜率為定值（常數(shù)）。例6、【2010·巢湖市第一學(xué)期期末質(zhì)檢】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的非負(fù)半軸上，點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離是4，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值是6.()求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；()若為焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，問(wèn)是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使到點(diǎn)的距離為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，

25、請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：()設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為，由已知得. 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 離心率 (),設(shè)由得化簡(jiǎn)得，即故存在一個(gè)定點(diǎn)，使到點(diǎn)的距離為定值，其定值為 例7、【2010·湖南師大附中第二次月考】已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，P(2，0)為定點(diǎn)()若點(diǎn)P為拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；()若動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)P，且圓心M在拋物線C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、B是圓M與軸的兩交點(diǎn)，試推斷是否存在一條拋物線C，使|AB|為定值？若存在，求這個(gè)定值；若不存在，說(shuō)明理由解析：() 設(shè)拋物線方程為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.由已知，即，故拋物線C的方程是 ()設(shè)圓心()，點(diǎn)A，B. 因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)

26、P(2，0)，則可設(shè)圓M的方程為. 令，得.則，. 所以. ，設(shè)拋物線C的方程為，因?yàn)閳A心M在拋物線C上，則. 所以. 由此可得，當(dāng)時(shí)，為定值故存在一條拋物線，使|AB|為定值4. 例8、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，離心率為 （）求橢圓的方程； （）過(guò)點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，試問(wèn)：在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：（I）設(shè)橢圓E的方程為,由已知得：。2分橢圓E的方程為。3分（）法一：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，又設(shè)，則：。5分當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，則由得7分所以9分對(duì)于任意的值，為定值，所以，得，

27、所以；11分當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線由得綜上述知，符合條件的點(diǎn)存在，起坐標(biāo)為13分法二：假設(shè)存在點(diǎn)，又設(shè)則：=.5分當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得7分9分設(shè)則11分當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線，由得：綜上述知，符合條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為。13分六、 定直線問(wèn)題例9、設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)為（）求橢圓的方程；（）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上解析： (1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)，均不為零。且 又 四點(diǎn)共線，可設(shè),于是 （1） （2）由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得 （3） (4)(4)(3

28、) 得 ，即點(diǎn)總在定直線上例10、已知橢圓C的離心率，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為，。（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)S。試問(wèn)：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫(xiě)出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。解法一：（）設(shè)橢圓的方程為。1分，。4分橢圓的方程為。5分（）取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為7分,若，由對(duì)稱(chēng)性可知交點(diǎn)為若點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為。8分以下證明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。事實(shí)上，由得即，記，則。9分設(shè)與交于點(diǎn)由得設(shè)與交于點(diǎn)由得10，12分，即與重合，這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。13分解法二：（）取得

29、，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為7分取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為若交點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為。8分以下證明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。事實(shí)上，由得即，記，則。9分的方程是的方程是消去得以下用分析法證明時(shí)，式恒成立。要證明式恒成立，只需證明即證即證式恒成立。這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。解法三：（）由得即。記，則。6分的方程是的方程是7分由得9分即12分這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。13分五、 其它定值問(wèn)題例11、已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為（）求雙曲線的方程；（）設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.解析：本題主要考查雙曲線的

30、標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力（）由題意，得，解得， ，所求雙曲線的方程為.（）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得.由及得 切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則， 的大小為.例12、己知橢圓 （a>b>0）,過(guò)其中心O的任意兩條互相垂直的直徑是P1P2、OxyP1Q1P2Q2A1A2B1B2Q1Q2，求證：以兩條直徑的四個(gè)端點(diǎn)所成的四邊形P1Q1P2Q2與一定圓相切。探索定圓：取橢圓長(zhǎng)軸和短軸為兩直徑，則的方程為，原點(diǎn)O到直線的距離為，則與菱形內(nèi)切的圓方程為。證明：設(shè)直徑P1P2

31、的方程為 則Q1Q2的方程為 解得 同理OQ22=，作OHP2Q2 則 又四邊形P1Q1P2Q2是菱形，菱形P1Q1P2Q2必外切于圓.例13、已知P是雙曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線分別交雙曲線于P1、P2兩點(diǎn)（異于P點(diǎn)），求證：直線P1P2的方向不變。探索定值：取P，過(guò)P點(diǎn)且互相垂直的直線中有一條過(guò)原點(diǎn)，則這一條直線xPP1P2yO與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)，其斜率 PP2的方程為把代入解得 （定值） 證明：設(shè)PP1的斜率為，則PP2的斜率為 ，PP1的方程為 PP2的方程為，與拋物 聯(lián)立解得、 ，從而（定值） EX：過(guò)拋物線y2=2px（P>0）上一定點(diǎn)（x0,y0）作兩條直線分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，滿足直線PA、PB斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，則AB的斜率為定值。推廣：拋物線推廣到橢圓或雙雙曲線均可。五、練習(xí)1、（2008唐山三模）橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，三角形ABM的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，其中M點(diǎn)為（1，1），且直線MA、MB的斜率之和為0。（1）求橢圓的方程。（2）求證：