應(yīng)用回歸分析(第三版)何曉群 劉文卿 課后習(xí)題答案 完整版

1、第二章 一元線(xiàn)性回歸分析思考與練習(xí)參考答案 2.1 一元線(xiàn)性回歸有哪些基本假定?答： 假設(shè)1、解釋變量X是確定性變量，Y是隨機(jī)變量； 假設(shè)2、隨機(jī)誤差項(xiàng)具有零均值、同方差和不序列相關(guān)性： E(i)=0 i=1,2, ,n Var (i)=s2 i=1,2, ,n Cov(i, j)=0 ij i,j= 1,2, ,n 假設(shè)3、隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量X之間不相關(guān)： Cov(Xi, i)=0 i=1,2, ,n 假設(shè)4、服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布 iN(0, s2 ) i=1,2, ,n2.2 考慮過(guò)原點(diǎn)的線(xiàn)性回歸模型 Yi=1Xi+i i=1,2, ,n誤差i（i=1,2, ,n）仍滿(mǎn)

2、足基本假定。求1的最小二乘估計(jì)解：得：2.3 證明（2.27式），Sei =0 ，SeiXi=0 。證明：其中：即： Sei =0 ，SeiXi=02.4回歸方程E（Y）=0+1X的參數(shù)0，1的最小二乘估計(jì)與最大似然估計(jì)在什么條件下等價(jià)?給出證明。答：由于iN(0, s2 ) i=1,2, ,n所以Yi=0 + 1Xi + iN（0+1Xi , s2 )最大似然函數(shù)：使得Ln（L）最大的，就是0，1的最大似然估計(jì)值。同時(shí)發(fā)現(xiàn)使得Ln（L）最大就是使得下式最小，上式恰好就是最小二乘估計(jì)的目標(biāo)函數(shù)相同。值得注意的是：最大似然估計(jì)是在iN(0, s2 )的假設(shè)下求得，最小二乘估計(jì)則不要求分布假設(shè)。

3、所以在iN(0, s2 ) 的條件下， 參數(shù)0，1的最小二乘估計(jì)與最大似然估計(jì)等價(jià)。2.5 證明是0的無(wú)偏估計(jì)。證明：2.6 證明證明：2.7 證明平方和分解公式：SST=SSE+SSR證明：2.8 驗(yàn)證三種檢驗(yàn)的關(guān)系，即驗(yàn)證：（1）；（2）證明：（1）（2）2.9 驗(yàn)證（2.63）式：證明：其中：2.10 用第9題證明是s2的無(wú)偏估計(jì)量證明：2.11 驗(yàn)證決定系數(shù)與F值之間的關(guān)系式證明：2.14 為了調(diào)查某廣告對(duì)銷(xiāo)售收入的影響，某商店記錄了5個(gè)月的銷(xiāo)售收入y（萬(wàn)元）和廣告費(fèi)用x（萬(wàn)元），數(shù)據(jù)見(jiàn)表2.6，要求用手工計(jì)算：表2.6月份12345X12345Y1010202040（1） 畫(huà)散點(diǎn)圖（

4、略）（2） X與Y是否大致呈線(xiàn)性關(guān)系？答：從散點(diǎn)圖看，X與Y大致呈線(xiàn)性關(guān)系。（3） 用最小二乘法估計(jì)求出回歸方程。計(jì)算表XY1104100206（-14）2（-4）221011001013（-7）2（3）2320000200042010027727254044004034142（-6）2和15100和Lxx=10Lyy=600和Lxy=70和100SSR=490SSE=110均3均20均20回歸方程為：（4） 求回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差先求SSR（Qe）見(jiàn)計(jì)算表。所以（5） 給出 的置信度為95%的區(qū)間估計(jì)；由于(1-a)的置信度下， 的置信區(qū)間是 查表可得所以 的95%的區(qū)間估計(jì)為：（73.182*1.

5、915，7+3.182*1.915），即（0.906,13.094）。所以 的95%的區(qū)間估計(jì)為：（-1-3.182*6.351，-1+3.182*6.351），即（-21.211, 19.211）。的置信區(qū)間包含0，表示不顯著。（6） 計(jì)算x和y的決定系數(shù) 說(shuō)明回歸方程的擬合優(yōu)度高。（7） 對(duì)回歸方程作方差分析方差分析表方差來(lái)源平方和自由度均方F值SSR490149013.364SSE110336.667SST6004F值=13.364>F0.05(1,3)=10.13(當(dāng)n=1,n=8時(shí)，=0.05查表得對(duì)應(yīng)的值為10.13),所以拒絕原假設(shè)，說(shuō)明回歸方程顯著。（8）做回歸系數(shù)1的顯

6、著性檢驗(yàn)H0: 1=0t值=3.656>t0.05/2(3)=3.182,所以拒絕原假設(shè)，說(shuō)明x對(duì)Y有顯著的影響。（8） 做相關(guān)系數(shù)R的顯著性檢驗(yàn)R值=0.904>R0.05(3)=0.878,所以接受原假設(shè)，說(shuō)明x和Y有顯著的線(xiàn)性關(guān)系。（9） 對(duì)回歸方程作殘差圖并作相應(yīng)的分析殘差圖(略) .從殘差圖上看出，殘差是圍繞e=0在一個(gè)固定的帶子里隨機(jī)波動(dòng)，基本滿(mǎn)足模型的假設(shè)eiN(0, s2 ), 但由于樣本量太少, 所以誤差較大.（10） 求廣告費(fèi)用為4.2萬(wàn)元時(shí),銷(xiāo)售收入將達(dá)到多少?并給出置信度為95%的置信區(qū)間.解: 當(dāng)X0=4.2時(shí), 所以廣告費(fèi)用為4.2萬(wàn)元時(shí), 銷(xiāo)售收入將達(dá)

7、到28.4萬(wàn)元.由于置信度為1-時(shí)，Y0估計(jì)值的置信區(qū)間為:所以求得Y0的95%的置信區(qū)間為: 6.05932 ,50.74068預(yù)測(cè)誤差較大.2.15 一家保險(xiǎn)公司十分關(guān)心其總公司營(yíng)業(yè)部加班的制度，決定認(rèn)真調(diào)查一下現(xiàn)狀。經(jīng)過(guò)十周時(shí)間，收集了每周加班工作時(shí)間的數(shù)據(jù)和簽發(fā)的新保單數(shù)目，x為每周新簽發(fā)的保單數(shù)目，y為每周加班工作時(shí)間（小時(shí)）。見(jiàn)表2.7。表2.7周序號(hào)12345678910X825215107055048092013503256701215Y3.51.04.02.01.03.04.51.53.05.01、畫(huà)散點(diǎn)圖2、由散點(diǎn)圖可以看出， x與y之間大致呈線(xiàn)性關(guān)系。3、用最小二乘法求出

8、回歸系數(shù)由表可知： 回歸方程為： 4、求回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差由方差分析表可以得到:SSE=1.843 故回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差，=0.48。5、給出回歸系數(shù)的置信度為95%的區(qū)間估計(jì)由回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)表可以看出，當(dāng)置信度為95%時(shí)：的預(yù)測(cè)區(qū)間為-0.701,0.937, 的預(yù)測(cè)區(qū)間為0.003,0.005.的置信區(qū)間包含0，表示不拒絕為零的假設(shè)。6、決定系數(shù) 由模型概要表得到?jīng)Q定系數(shù)為0.9接近于1，說(shuō)明模型的擬合優(yōu)度高。 7. 對(duì)回歸方程作方差分析由方差分析表可知：F值=72.396>5.32(當(dāng)n=1,n=8時(shí)，查表得對(duì)應(yīng)的值為5.32)P值0，所以拒絕原假設(shè)，說(shuō)明回歸方程顯著。8、對(duì)的顯著性檢驗(yàn)從

9、上面回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)表可以得到的t統(tǒng)計(jì)量為t=8.509，所對(duì)應(yīng)的p值近似為0，通過(guò)t檢驗(yàn)。說(shuō)明每周簽發(fā)的新保單數(shù)目x對(duì)每周加班工作時(shí)間y有顯著的影響。9.做相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.949，說(shuō)明x與y顯著線(xiàn)性相關(guān)。10、對(duì)回歸方程作殘差圖并作相應(yīng)分析從殘差圖上看出，殘差是圍繞e=0隨即波動(dòng)，滿(mǎn)足模型的基本假設(shè)。11、該公司預(yù)計(jì)下一周簽發(fā)新保單X0=1000張,需要的加班時(shí)間是多少?當(dāng)x=1000張時(shí)，小時(shí)12、給出Y0的置信水平為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間 通過(guò)SPSS運(yùn)算得到Y(jié)0的置信水平為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間為：（2.5195，4.8870）。13 給出E（Y0）的置信水平為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間

10、通過(guò)SPSS運(yùn)算得到Y(jié)0的置信水平為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間為：（3.284，4.123）。2.16 表是1985年美國(guó)50個(gè)州和哥倫比亞特區(qū)公立學(xué)校中教師的人均年工資y(美元)和學(xué)生的人均經(jīng)費(fèi)投入x(美元).序號(hào)yx序號(hào)yx序號(hào)yx1195833346182081630593519538264222026331141918095296736204603124320325355420209393285372141927524268004542212264439143825160342952947046692224624451739224823947626610488823271864349402096

11、925097306785710243399050204127224544082717055362523382359442258924042925853416826206272821432264434021024500354727227953366442464028291124274315928215702920452234122971227170362129220802980462561029321330168378230222503731472601537051426525424731209402853482578841231527360398232218002533492913236081

12、62169035683322934272950414808349172197431553418443230551258453766解答：（1）繪制y對(duì)x的散點(diǎn)圖，可以用直線(xiàn)回歸描述兩者之間的關(guān)系嗎？由上圖可以看出y與x的散點(diǎn)分布大致呈直線(xiàn)趨勢(shì)。（2）建立y對(duì)x的線(xiàn)性回歸。利用SPSS進(jìn)行y和x的線(xiàn)性回歸，輸出結(jié)果如下：表1 模型概要RR2調(diào)整后的R2隨機(jī)誤差項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值0.8350.6970.6912323.25589表2 方差分析表模型平方和自由度和平均F值P值1回歸平方和6.089E816.089E8112.811.000a殘差平方和2.645E8495397517.938總平方和8.

13、734E850表3 系數(shù)表模型非標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)t值P值B標(biāo)準(zhǔn)差回歸系數(shù)1常數(shù)12112.6291197.76810.113.000對(duì)學(xué)生的人均經(jīng)費(fèi)投入3.314.312.83510.621.0001) 由表1可知，x與y決定系數(shù)為，說(shuō)明模型的擬合效果一般。x與y線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)R=0.835，說(shuō)明x與y有較顯著的線(xiàn)性關(guān)系。2) 由表2（方差分析表中）看到，F(xiàn)=112.811，顯著性Sig.p,說(shuō)明回歸方程顯著。3) 由表3 可見(jiàn)對(duì)的顯著性t檢驗(yàn)P值近似為零，故顯著不為0，說(shuō)明x對(duì)y有顯著的線(xiàn)性影響。4) 綜上，模型通過(guò)檢驗(yàn)，可以用于預(yù)測(cè)和控制。x與y的線(xiàn)性回歸方程為：（3）繪制標(biāo)準(zhǔn)殘差的直方

14、圖和正態(tài)概率圖圖1 標(biāo)準(zhǔn)殘差的直方圖理論正態(tài)概率觀(guān)測(cè)值概率 圖2 標(biāo)準(zhǔn)殘差的正態(tài)概率P-P圖由圖1可見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)化后殘差近似服從正態(tài)分布，由圖2可見(jiàn)正態(tài)概率圖中的各個(gè)散點(diǎn)都分布在45°線(xiàn)附近，所以沒(méi)有證據(jù)證明誤差項(xiàng)服從同方差的正態(tài)分布的假定是不真實(shí)的，即殘差通過(guò)正態(tài)性檢驗(yàn)，滿(mǎn)足模型基本假設(shè)。第3章 多元線(xiàn)性回歸思考與練習(xí)參考答案3.2 討論樣本容量n與自變量個(gè)數(shù)p的關(guān)系，它們對(duì)模型的參數(shù)估計(jì)有何影響？答：在多元線(xiàn)性回歸模型中，樣本容量n與自變量個(gè)數(shù)p的關(guān)系是：n>>p。如果n<=p對(duì)模型的參數(shù)估計(jì)會(huì)帶來(lái)很?chē)?yán)重的影響。因?yàn)椋?. 在多元線(xiàn)性回歸模型中，有p+1個(gè)待估參數(shù)，所

15、以樣本容量的個(gè)數(shù)應(yīng)該大于解釋變量的個(gè)數(shù)，否則參數(shù)無(wú)法估計(jì)。2. 解釋變量X是確定性變量，要求，表明設(shè)計(jì)矩陣X中的自變量列之間不相關(guān)，即矩陣X是一個(gè)滿(mǎn)秩矩陣。若，則解釋變量之間線(xiàn)性相關(guān)，是奇異陣，則的估計(jì)不穩(wěn)定。3.3證明 隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差s2的無(wú)偏估計(jì)。證明:3.4 一個(gè)回歸方程的復(fù)相關(guān)系數(shù)R=0.99，樣本決定系數(shù)R2=0.9801，我們能判斷這個(gè)回歸方程就很理想嗎？答：不能斷定這個(gè)回歸方程理想。因?yàn)椋?. 在樣本容量較少，變量個(gè)數(shù)較大時(shí)，決定系數(shù)的值容易接近1，而此時(shí)可能F檢驗(yàn)或者關(guān)于回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)，所建立的回歸方程都沒(méi)能通過(guò)。2. 樣本決定系數(shù)和復(fù)相關(guān)系數(shù)接近于1只能說(shuō)明Y與自變量X1

16、,X2,Xp整體上的線(xiàn)性關(guān)系成立，而不能判斷回歸方程和每個(gè)自變量是顯著的，還需進(jìn)行F檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)。3. 在應(yīng)用過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，在樣本容量一定的情況下，如果在模型中增加解釋變量必定使得自由度減少，使得 R2往往增大，因此增加解釋變量（尤其是不顯著的解釋變量）個(gè)數(shù)引起的R2的增大與擬合好壞無(wú)關(guān)。3.7 驗(yàn)證證明：多元線(xiàn)性回歸方程模型的一般形式為：其經(jīng)驗(yàn)回歸方程式為，又，故，中心化后，則有，左右同時(shí)除以，令，樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的公式為，則上式可以記為則有3.10 驗(yàn)證決定系數(shù)R2與F值之間的關(guān)系式：證明：3.11 研究貨運(yùn)總量y（萬(wàn)噸）與工業(yè)總產(chǎn)值x1（億元）、農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值x2（億元）、居民非商品支出x3（億

17、元）的關(guān)系。數(shù)據(jù)見(jiàn)表3.9（略）。（1）計(jì)算出y，x1，x2，x3的相關(guān)系數(shù)矩陣。SPSS輸出如下：則相關(guān)系數(shù)矩陣為：（2）求出y與x1，x2，x3的三元回歸方程。對(duì)數(shù)據(jù)利用SPSS做線(xiàn)性回歸，得到回歸方程為（3）對(duì)所求的方程作擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。由上表可知，調(diào)整后的決定系數(shù)為0.708，說(shuō)明回歸方程對(duì)樣本觀(guān)測(cè)值的擬合程度較好。（4）對(duì)回歸方程作顯著性檢驗(yàn)；原假設(shè)：F統(tǒng)計(jì)量服從自由度為（3，6）的F分布，給定顯著性水平=0.05，查表得,由方查分析表得，F(xiàn)值=8.283>4.76，p值=0.015，拒絕原假設(shè)，由方差分析表可以得到，說(shuō)明在置信水平為95%下，回歸方程顯著。（5）對(duì)每一個(gè)回歸系數(shù)

18、作顯著性檢驗(yàn)；做t檢驗(yàn)：設(shè)原假設(shè)為，統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n-p-1的t分布，給定顯著性水平0.05，查得單側(cè)檢驗(yàn)臨界值為1.943，X1的t值=1.942<1.943，處在否定域邊緣。X2的t值2.465>1.943。拒絕原假設(shè)。由上表可得，在顯著性水平時(shí)，只有的P值<0.05,通過(guò)檢驗(yàn)，即只有的回歸系數(shù)較為顯著 ；其余自變量的P值均大于0.05，即x1，x2的系數(shù)均不顯著。（6）如果有的回歸系數(shù)沒(méi)有通過(guò)顯著性檢驗(yàn)，將其剔除，重新建立回歸方程，并作回歸方程的顯著性檢驗(yàn)和回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。解：用后退法對(duì)數(shù)據(jù)重新做回歸分析，結(jié)果如下：選擇模型二，重新建立的回歸方程為：對(duì)新的回歸

19、方程做顯著性檢驗(yàn)：原假設(shè)：F服從自由度為（2，7）的F分布，給定顯著性水平=0.05，查表得,由方差分析表得，F(xiàn)值=11.117>4.74，p值=0.007，拒絕原假設(shè).認(rèn)為在顯著性水平=0.05下，x1，x2整體上對(duì)y有顯著的線(xiàn)性影響，即回歸方程是顯著的。對(duì)每一個(gè)回歸系數(shù)做顯著性檢驗(yàn)：做t檢驗(yàn)：設(shè)原假設(shè)為，統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n-p-1的t分布，給定顯著性水平0.05，查得單側(cè)檢驗(yàn)臨界值為1.895，X1的t值=2.575>1.895，拒絕原假設(shè)。故顯著不為零，自變量X1對(duì)因變量y的線(xiàn)性效果顯著；同理2也通過(guò)檢驗(yàn)。同時(shí)從回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)表可知：X1,X2的p值 都小于0.05，可

20、認(rèn)為對(duì)x1，x2分別對(duì)y都有顯著的影響。（7）求出每一個(gè)回歸系數(shù)的置信水平為955D 置信區(qū)間由回歸系數(shù)表可以看到，1置信水平為95%的置信區(qū)間0.381,8.970，2置信水平為95%的置信區(qū)間3.134,14.808（8）求標(biāo)準(zhǔn)化回歸方程由回歸系數(shù)表（上表）可得，標(biāo)準(zhǔn)化后的回歸方程為：（9）求當(dāng)x01=75，x02=42，x03=3.1時(shí)的y的預(yù)測(cè)值，給定置信水平95%，用SPSS軟件計(jì)算精確置信區(qū)間，用手工計(jì)算近似預(yù)測(cè)區(qū)間；由SPSS輸出結(jié)果可知，當(dāng)時(shí)，（見(jiàn)上表），的置信度為95%的精確預(yù)測(cè)區(qū)間為（204.4,331.2）（見(jiàn)下表），的置信度為95%的近似預(yù)測(cè)區(qū)間為，手工計(jì)算得：（219

21、.6,316.0）。（10）結(jié)合回歸方程對(duì)問(wèn)題做一些簡(jiǎn)單分析。答：由回歸方程可知農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值固定的時(shí)候，工業(yè)總產(chǎn)值每增加1億元，貨運(yùn)總量增加4.676萬(wàn)噸；工業(yè)總產(chǎn)值固定的時(shí)候，農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值每增加1億元，貨運(yùn)總量增加8.971萬(wàn)噸。而居民非商品支出對(duì)貨運(yùn)總量沒(méi)有顯著的線(xiàn)性影響。由標(biāo)準(zhǔn)化回歸方程可知:工業(yè)總產(chǎn)值、農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值與Y都是正相關(guān)關(guān)系，比較回歸系數(shù)的大小可知農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值X2對(duì)貨運(yùn)總量Y的影響程度大一些。第4章 違背基本假設(shè)的情況思考與練習(xí)參考答案4.1 試舉例說(shuō)明產(chǎn)生異方差的原因。答：例4.1：截面資料下研究居民家庭的儲(chǔ)蓄行為 Yi=b0+b1Xi+i其中：Yi表示第i個(gè)家庭的儲(chǔ)蓄額，Xi表示第

22、i個(gè)家庭的可支配收入。由于高收入家庭儲(chǔ)蓄額的差異較大，低收入家庭的儲(chǔ)蓄額則更有規(guī)律性，差異較小，所以i的方差呈現(xiàn)單調(diào)遞增型變化。 例4.2：以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型 Yi=Aib1 Kib2 Lib3ei被解釋變量：產(chǎn)出量Y，解釋變量：資本K、勞動(dòng)L、技術(shù)A，那么每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對(duì)產(chǎn)出量的影響被包含在隨機(jī)誤差項(xiàng)中。由于每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對(duì)產(chǎn)出量的影響程度不同，造成了隨機(jī)誤差項(xiàng)的異方差性。這時(shí)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差并不隨某一個(gè)解釋變量觀(guān)測(cè)值的變化而呈規(guī)律性變化，呈現(xiàn)復(fù)雜型。4.2 異方差帶來(lái)的后果有哪些？答：回歸模型一旦出現(xiàn)異方差性，如果仍采用OLS估計(jì)模型參數(shù)，會(huì)產(chǎn)生下

23、列不良后果：1、參數(shù)估計(jì)量非有效2、變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義3、回歸方程的應(yīng)用效果極不理想總的來(lái)說(shuō)，當(dāng)模型出現(xiàn)異方差性時(shí)，參數(shù)OLS估計(jì)值的變異程度增大，從而造成對(duì)Y的預(yù)測(cè)誤差變大，降低預(yù)測(cè)精度，預(yù)測(cè)功能失效。4.3 簡(jiǎn)述用加權(quán)最小二乘法消除一元線(xiàn)性回歸中異方差性的思想與方法。答：普通最小二乘估計(jì)就是尋找參數(shù)的估計(jì)值使離差平方和達(dá)極小。其中每個(gè)平方項(xiàng)的權(quán)數(shù)相同，是普通最小二乘回歸參數(shù)估計(jì)方法。在誤差項(xiàng)等方差不相關(guān)的條件下，普通最小二乘估計(jì)是回歸參數(shù)的最小方差線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)。然而在異方差的條件下，平方和中的每一項(xiàng)的地位是不相同的，誤差項(xiàng)的方差大的項(xiàng)，在殘差平方和中的取值就偏大，作用就大，因而普通最

24、小二乘估計(jì)的回歸線(xiàn)就被拉向方差大的項(xiàng)，方差大的項(xiàng)的擬合程度就好，而方差小的項(xiàng)的擬合程度就差。由OLS求出的仍然是的無(wú)偏估計(jì)，但不再是最小方差線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)。所以就是：對(duì)較大的殘差平方賦予較小的權(quán)數(shù)，對(duì)較小的殘差平方賦予較大的權(quán)數(shù)。這樣對(duì)殘差所提供信息的重要程度作一番校正，以提高參數(shù)估計(jì)的精度。加權(quán)最小二乘法的方法：4.4簡(jiǎn)述用加權(quán)最小二乘法消除多元線(xiàn)性回歸中異方差性的思想與方法。答：運(yùn)用加權(quán)最小二乘法消除多元線(xiàn)性回歸中異方差性的思想與一元線(xiàn)性回歸的類(lèi)似。多元線(xiàn)性回歸加權(quán)最小二乘法是在平方和中加入一個(gè)適當(dāng)?shù)臋?quán)數(shù) ，以調(diào)整各項(xiàng)在平方和中的作用，加權(quán)最小二乘的離差平方和為： （2）加權(quán)最小二乘估計(jì)就是

25、尋找參數(shù)的估計(jì)值使式（2）的離差平方和達(dá)極小。所得加權(quán)最小二乘經(jīng)驗(yàn)回歸方程記做 （3） 多元回歸模型加權(quán)最小二乘法的方法:首先找到權(quán)數(shù)，理論上最優(yōu)的權(quán)數(shù)為誤差項(xiàng)方差的倒數(shù),即 （4）誤差項(xiàng)方差大的項(xiàng)接受小的權(quán)數(shù)，以降低其在式（2）平方和中的作用; 誤差項(xiàng)方差小的項(xiàng)接受大的權(quán)數(shù)，以提高其在平方和中的作用。由（2）式求出的加權(quán)最小二乘估計(jì)就是參數(shù)的最小方差線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)。一個(gè)需要解決的問(wèn)題是誤差項(xiàng)的方差是未知的,因此無(wú)法真正按照式（4）選取權(quán)數(shù)。在實(shí)際問(wèn)題中誤差項(xiàng)方差通常與自變量的水平有關(guān)(如誤差項(xiàng)方差隨著自變量的增大而增大),可以利用這種關(guān)系確定權(quán)數(shù)。例如與第j個(gè)自變量取值的平方成比例時(shí), 即=k

26、時(shí),這時(shí)取權(quán)數(shù)為 （5）更一般的情況是誤差項(xiàng)方差與某個(gè)自變量(與|ei|的等級(jí)相關(guān)系數(shù)最大的自變量)取值的冪函數(shù)成比例，即=k,其中m是待定的未知參數(shù)。此時(shí)權(quán)數(shù)為 （6）這時(shí)確定權(quán)數(shù) 的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定冪參數(shù)m的問(wèn)題，可以借助SPSS軟件解決。4.5（4.5）式一元加權(quán)最小二乘回歸系數(shù)估計(jì)公式。證明：由得：4.6驗(yàn)證（4.8）式多元加權(quán)最小二乘回歸系數(shù)估計(jì)公式。證明：對(duì)于多元線(xiàn)性回歸模型 （1） ，即存在異方差。設(shè)，用左乘（1）式兩邊，得到一個(gè)新的的模型：，即。因?yàn)?，故新的模型具有同方差性，故可以用廣義最小二乘法估計(jì)該模型，得原式得證。4.7 有同學(xué)認(rèn)為當(dāng)數(shù)據(jù)存在異方差時(shí)，加權(quán)最小二乘回歸方程與

27、普通最小二乘回歸方程之間必然有很大的差異，異方差越嚴(yán)重，兩者之間的差異就越大。你是否同意這位同學(xué)的觀(guān)點(diǎn)？說(shuō)明原因。答：不同意。當(dāng)回歸模型存在異方差時(shí)，加權(quán)最小二乘估計(jì)（WLS）只是普通最小二乘估計(jì)（OLS）的改進(jìn)，這種改進(jìn)可能是細(xì)微的，不能理解為WLS一定會(huì)得到與OLS截然不同的方程來(lái)，或者大幅度的改進(jìn)。實(shí)際上可以構(gòu)造這樣的數(shù)據(jù)，回歸模型存在很強(qiáng)的異方差，但WLS 與OLS的結(jié)果一樣。加權(quán)最小二乘法不會(huì)消除異方差，只是消除異方差的不良影響，從而對(duì)模型進(jìn)行一點(diǎn)改進(jìn)。4.8 對(duì)例4.3的數(shù)據(jù)，用公式計(jì)算出加權(quán)變換殘差，繪制加權(quán)變換殘差圖，根據(jù)繪制出的圖形說(shuō)明加權(quán)最小二乘估計(jì)的效果。解：用公式計(jì)算出

28、加權(quán)變換殘差，分別繪制加權(quán)最小二乘估計(jì)后的殘差圖和加權(quán)變換殘差圖（見(jiàn)下圖）。根據(jù)繪制出的兩個(gè)圖形可以發(fā)現(xiàn)加權(quán)最小二乘估計(jì)沒(méi)有消除異方差，只是對(duì)原OLS的殘差有所改善，而經(jīng)過(guò)加權(quán)變換后的殘差不存在異方差。4.9 參見(jiàn)參考文獻(xiàn)2，表4.12（P138）是用電高峰每小時(shí)用電量y與每月總用電量x的數(shù)據(jù)。（1）用普通最小二乘法建立y與x的回歸方程，并畫(huà)出殘差散點(diǎn)圖。解：SPSS輸出結(jié)果如下：由上表可得回歸方程為：殘差圖為：（2）診斷該問(wèn)題是否存在異方差；解：a由殘差散點(diǎn)圖可以明顯看出存在異方差，誤差的方差隨著的增加而增大。b用SPSS做等級(jí)相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)，結(jié)果如下表所示：得到等級(jí)相關(guān)系數(shù)，P值=0.02

29、1，認(rèn)為殘差絕對(duì)值與自變量顯著相關(guān)，存在異方差。（3）如果存在異方差，用冪指數(shù)型的權(quán)函數(shù)建立加權(quán)最小二乘回歸方程；解：SPSS輸出結(jié)果如圖：Coefficientsa,b-.683.298-2.296.026.004.000.8129.930.000(Constant)xModel1BStd. ErrorUnstandardizedCoefficientsBetaStandardizedCoefficientstSig.Dependent Variable: ya. Weighted Least Squares Regression - Weighted by Weight for y fro

30、m WLS, MOD_2x* -1.500b. 由上述表可得，在時(shí)對(duì)數(shù)似然函數(shù)達(dá)到最大，則冪指數(shù)的最優(yōu)取值為。加權(quán)后的回歸方程為：。計(jì)算加權(quán)后的殘差，并對(duì)殘差絕對(duì)值和自變量做等級(jí)相關(guān)系數(shù)分析，結(jié)果如下表所示：，P值為0.019<0.05，即加權(quán)最小二乘法沒(méi)有消除異方差，只是消除異方差的不良影響，從而對(duì)模型進(jìn)行一點(diǎn)改進(jìn)。Correlations1.000.321*.0195353.321*1.000.019.5353Correlation CoefficientSig. (2-tailed)NCorrelation CoefficientSig. (2-tailed)NxabseiwSpe

31、arman's rhoxabseiwCorrelation is significant at the 0.05 level (2-tailed).*. （4）用方差穩(wěn)定變換消除異方差。解：對(duì)應(yīng)變量做方差穩(wěn)定變換（）后，用最小二乘法做回歸，SPSS結(jié)果如下表：Coefficientsa.582.1304.481.000.001.000.8059.699.000(Constant)xModel1BStd. ErrorUnstandardizedCoefficientsBetaStandardizedCoefficientstSig.Dependent Variable: sqrtya.

32、則回歸方程為：。保存預(yù)測(cè)值，計(jì)算出殘差的絕對(duì)值后，計(jì)算等級(jí)相關(guān)系數(shù)，見(jiàn)下表：其中，P值=0.254>0.05，說(shuō)明異方差已經(jīng)消除。4.10 試舉一可能產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)序列相關(guān)的經(jīng)濟(jì)例子。答：例如，居民總消費(fèi)函數(shù)模型： Ct=b0+b1Yt+ t t=1,2,n由于居民收入對(duì)消費(fèi)影響有滯后性，而且今年消費(fèi)水平受上年消費(fèi)水平影響，則可能出現(xiàn)序列相關(guān)性。另外由于消費(fèi)習(xí)慣的影響被包含在隨機(jī)誤差項(xiàng)中，則可能出現(xiàn)序列相關(guān)性（往往是正相關(guān) ）。4.11 序列相關(guān)性帶來(lái)的嚴(yán)重后果是什么？答：直接用普通最小二乘法估計(jì)隨機(jī)誤差項(xiàng)存在序列相關(guān)性的線(xiàn)性回歸模型未知參數(shù)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生下列一些問(wèn)題：1. 參數(shù)估計(jì)量仍然是

33、無(wú)偏的，但不具有有效性，因?yàn)橛凶韵嚓P(guān)性時(shí)參數(shù)估計(jì)值的方差大于無(wú)自相關(guān)性時(shí)的方差。2. 均方誤差MSE可能?chē)?yán)重低估誤差項(xiàng)的方差3. 變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義：在變量的顯著性檢驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)量是建立在參數(shù)方差正確估計(jì)基礎(chǔ)之上的，當(dāng)參數(shù)方差嚴(yán)重低估時(shí)，容易導(dǎo)致t值和F值偏大，即可能導(dǎo)致得出回歸參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和回歸方程檢驗(yàn)顯著，但實(shí)際并不顯著的嚴(yán)重錯(cuò)誤結(jié)論。4. 當(dāng)存在序列相關(guān)時(shí)， 仍然是的無(wú)偏估計(jì)，但在任一特定的樣本中， 可能?chē)?yán)重歪曲b的真實(shí)情況，即最小二乘法對(duì)抽樣波動(dòng)變得非常敏感5. 模型的預(yù)測(cè)和結(jié)構(gòu)分析失效。4.12 總結(jié)DW檢驗(yàn)的優(yōu)缺點(diǎn)。答：優(yōu)點(diǎn)：1.應(yīng)用廣泛，一般的計(jì)算機(jī)軟件都可以計(jì)算出DW值；

34、2.適用于小樣本； 3.可用于檢驗(yàn)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)具有一階自回歸形式的序列相關(guān)問(wèn)題。缺點(diǎn)：1. DW檢驗(yàn)有兩個(gè)不能確定的區(qū)域，一旦DW值落入該區(qū)域，就無(wú)法判斷。此時(shí)，只有增大樣本容量或選取其他方法； 2.DW統(tǒng)計(jì)量的上、下界表要求n>15，這是由于樣本如果再小，利用殘差就很難對(duì)自相關(guān)性的存在做出比較正確的診斷； 3.DW檢驗(yàn)不適應(yīng)隨機(jī)項(xiàng)具有高階序列相關(guān)性的檢驗(yàn)。4.13 表4.13中是某軟件公司月銷(xiāo)售額數(shù)據(jù)，其中，x為總公司的月銷(xiāo)售額（萬(wàn)元）;y為某分公司的月銷(xiāo)售額（萬(wàn)元）。（1）用普通最小二乘法建立y與x的回歸方程；由上表可知：用普通二乘法建立的回歸方程為（2）用殘差圖及DW檢驗(yàn)診斷序列的相

35、關(guān)性； 1.以自變量x為橫軸，普通殘差為縱軸畫(huà)殘差圖如下：從圖中可以看到，殘差有規(guī)律的變化，呈現(xiàn)大致反W形狀，說(shuō)明隨機(jī)誤差項(xiàng)存在自相關(guān)性。2.以（殘差1）為橫坐標(biāo)，（殘差）為縱坐標(biāo)，繪制散點(diǎn)圖如下：由殘差圖可見(jiàn)大部分的點(diǎn)落在第一、三象限內(nèi)，表明隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)存在著正的序列相關(guān)；3.從下表可知DW值為0.663，查DW表，n=20,k=2,顯著性水平=0.05，得=1.20,=1.41,由于0.663<1.20,知DW值落入正相關(guān)區(qū)域，即殘差序列存在正的自相關(guān)。（3）用迭代法處理序列相關(guān)，并建立回歸方程。自相關(guān)系數(shù)令，然后用對(duì)作普通最小二乘回歸可得輸出結(jié)果如下：可看到新的回歸方程的DW=1.3

36、60.且1.18<1.360<1.40,因而DW檢驗(yàn)落入不確定區(qū)域此時(shí)，一步迭代誤差項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.07296，小于的標(biāo)準(zhǔn)差0.097對(duì)的回歸方程為=-0.3+0.173，將=-0.6685，=-0.6685代人，還原為原始變量的方程=-0.3+0.6685+0.173-0.1157由于一步迭代的DW檢驗(yàn)落入不確定區(qū)域，因而可以考慮對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行二步迭代，也就是對(duì)和重復(fù)以上迭代過(guò)程。進(jìn)行回歸結(jié)果如下：此時(shí)DW的值為1.696，查DW表，n=18，k=2，顯著性水平=0.05，得=1.16,=1.39, DW值大于，小于2，落入無(wú)自相關(guān)區(qū)域。誤差標(biāo)準(zhǔn)項(xiàng)0.0849，略小于一步迭代的標(biāo)準(zhǔn)差

37、0.7296。但是在檢驗(yàn)都通過(guò)的情況下，由于一步迭代的值和F值均大于兩步迭代后的值，且根據(jù)取模型簡(jiǎn)約的原則，最終選擇一步迭代的結(jié)果，即：=-0.3+0.6685+0.173-0.1157（4）用一階差分的方法處理數(shù)據(jù)，建立回歸方程；先計(jì)算差分=-，=-，然后用對(duì)做過(guò)原點(diǎn)的最小二乘回歸，結(jié)果如下：由上面表，可知DW值為1.462>1.40=，即DW落入不相關(guān)區(qū)域，可知?dú)埐钚蛄胁淮嬖谧韵嚓P(guān)，一階差分法成功地消除了序列自相關(guān)。同時(shí)得到回歸方程為=0.169，將=-，=-，代人，還原原始變量的方程=+0.169（-）（5）比較普通最小二乘法所得的回歸方程和迭代法、一階差分法所建立回歸方程的優(yōu)良性

38、。答：本題中自相關(guān)系數(shù)0.6685，不接近于1，不適宜用差分法，另外由迭代法的F值及都大于差分法的值，故差分法的效果低于迭代法的效果；而普通最小二乘法的隨機(jī)誤差項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差為0.09744，大于迭代的隨機(jī)誤差項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差0.07296，所以迭代的效果要優(yōu)于普通最小二乘法，所以本題中一次迭代法最好。4.14 某樂(lè)隊(duì)經(jīng)理研究其樂(lè)隊(duì)CD盤(pán)的銷(xiāo)售額（y），兩個(gè)有關(guān)的影響變量是每周出場(chǎng)次x1和樂(lè)隊(duì)網(wǎng)站的周點(diǎn)擊率x2，數(shù)據(jù)見(jiàn)表4.14。（1）用普通最小二乘法建立y與x1、x2的回歸方程，用殘差圖及DW檢驗(yàn)診斷序列的自相關(guān)性；解：將數(shù)據(jù)輸入SPSS，經(jīng)過(guò)線(xiàn)性回歸得到結(jié)果如下：Model Summary(b)Mode

39、lRR SquareAdjusted R SquareStd. Error of the EstimateDurbin-Watson1.541(a).293.264329.69302.745a Predictors: (Constant), x2, x1b Dependent Variable: yANOVA(b)Model Sum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regression2205551.67821102775.83910.145.000(a) Residual5326177.03649108697.491 Total7531728.71451 a Pre

40、dictors: (Constant), x2, x1b Dependent Variable: y由以上3個(gè)表可知普通最小二乘法建立y與x1、x2的回歸方程，通過(guò)了r、F、t檢驗(yàn)，說(shuō)明回歸方程顯著。y與x1、x2的回歸方程為：y=-574.062+191.098x1+2.045x2殘差圖ei(et)ei1(et-1)為：從殘差圖可以看出殘差集中在1、3象限，說(shuō)明隨機(jī)誤差項(xiàng)存在一階正自相關(guān)。DW=0.745查表得dl=1.46 du=1.63, 0<DW<dl, 所以隨機(jī)誤差項(xiàng)存在一階正自相關(guān)。（2）用迭代法處理序列相關(guān)，并建立回歸方程。=1-0.5DW=0.6275做變換:x1t

41、=x1t-x1(t-1), x2t=x2t-x2(t-1)yt=yt-yt-1建立yt與x1t, x2t的回歸方程,SPSS輸出為:DW=1.716>du 所以誤差項(xiàng)間無(wú)自相關(guān)性。=257.86回歸方程為:yt=-178.775+211.11x1t+1.436x2t還原為:yt-0.627y(t-1)= -178.775+211.11*(x1t-0.627x1(t-1) +1.436*( x2t-0.627x2(t-1)(3)用一階差分法處理序列相關(guān)，建立回歸方程。Model Summary(c,d)ModelRR Square(a)Adjusted R SquareStd. Error

42、 of the EstimateDurbin-Watson1.715(b).511.491280.989952.040a For regression through the origin (the no-intercept model), R Square measures the proportion of the variability in the dependent variable about the origin explained by regression. This CANNOT be compared to R Square for models which includ

43、e an intercept.b Predictors: DIFF(x2,1), DIFF(x1,1)c Dependent Variable: DIFF(y,1)d Linear Regression through the OriginDW=2.040>du，所以消除了自相關(guān)性，=280.99差分法回歸方程為: ytyt-1=210.117(x1t-x1(t-1)1.397(x2t-x2(t-1).(4)用最大似然法處理序列相關(guān)，建立回歸方程。用SPSS軟件的自回歸功能，analyze>time series>autoregression: =0.631, =258.06

44、8, (5)用科克倫-奧克特迭代法處理序列相關(guān)，建立回歸方程 =0.632, =260.560 , DW1.748。（6）用普萊斯-溫斯登迭代法處理序列相關(guān)，建立回歸方程。 =0.632, =258.066 , DW1.746。（7）比較以上各方法所建回歸方程的優(yōu)良性。綜合以上各方法的模型擬合結(jié)果如下表所示：自回歸方法DW迭代法0.6275-179.0211.11.4371.716257.86差分法0210.11.3972.040280.99精確最大似然0.631-481.7211.01.436258.07科克倫-奧克特0.632-479.3211.11.4351.748260.560普萊斯-

45、溫斯登0.631-487.1211.01.4351.746258.066由上表可看出：DW值都落在了隨機(jī)誤差項(xiàng)無(wú)自相關(guān)性的區(qū)間上，一階差分法消除自相關(guān)最徹底，但因?yàn)?0.627,并不接近于1,故得到的方差較大,擬合效果不理想。將幾種方法所得到的值進(jìn)行比較，就可知迭代法的擬合效果最好，以普萊斯-溫斯登法次之，差分法最差。4.15 說(shuō)明引起異常值的原因和消除異常值的方法。答：通常引起異常值的原因和消除異常值的方法有以下幾條，見(jiàn)表4.10：4.16 對(duì)第3章習(xí)題11做異常值檢驗(yàn)。研究貨運(yùn)總量y（萬(wàn)噸）與工業(yè)總產(chǎn)值x1（億元）、農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值x2（億元）、居民非商品支出x3（億元）的關(guān)系。（1）利用SPS

46、S建立y與x1，x2，x3的三元回歸方程，分別計(jì)算普通殘差，學(xué)生化殘差，刪除殘差，刪除學(xué)生化殘差，中心化杠桿值，庫(kù)克距離，見(jiàn)下表：從表中看到絕對(duì)值最大的學(xué)生化殘差為SRE=2.11556，小于3，但有超過(guò)3的個(gè)別值，因而根據(jù)學(xué)生化殘差診斷認(rèn)為存在異常值。絕對(duì)值最大的刪除學(xué)生化殘差為3.832，對(duì)應(yīng)為第6個(gè)數(shù)據(jù)，因此判斷它為為異常值。第6個(gè)數(shù)據(jù)的中心化杠桿值為0.64，位于第一大，大于2=2=0.6，且?guī)炜司嚯x為3.21位于第一大，因而從杠桿值看是第6個(gè)數(shù)據(jù)是自變量的異常值，同時(shí)庫(kù)克距離大于1，故第6個(gè)數(shù)據(jù)為異常值的原因是由自變量異常與因變量異常兩個(gè)共同原因引起的。編號(hào)yX1X2X3殘差學(xué)生化殘

47、差刪除殘差刪除學(xué)生化殘差12345678910 160 260 210 265 240 220 275 160 275 250 70 75 65 74 72 68 78 66 70 65 35 40 40 42 38 45 42 36 44 42 1.0 2.4 2.0 3.0 1.2 1.5 4.0 2.0 3.2 3.0 -15.47481 12.82499 5.34434 -0.09088 33.22549 -25.19759 -17.55450 -20.00684 8.23435 18.69545-.893530.627670.26517-.004331.75400-2.11566-1

48、.17348-1.162810.409351.06462 -28.35150 16.880527.22979-0.1135150.88273-97.61523-43.10665-37.1386811.1828733.31486-0.876040.59277 0.24349-0.003962.29383 -3.83214 -1.22039-1.20606 0.379021.07911 0.166090.031150.006200.000000.408743.216010.501100.289460.015000.221580.354180.140250.160790.099350.24 0.64

49、1870.492770.361290.163660.33883 (2) 刪除第6組數(shù)據(jù)，然后做回歸分析，編號(hào)yX1X2X3殘差刪除學(xué)生化殘差學(xué)生化殘差刪除學(xué)生化殘差12345789101602602102652402751602752507075657472786670653540404238.423644421.02.42.03.01.24.02.03.23.0-12.507827.03274-8.01315-7.3673614.09650.0.712582.08767-10.3017614.26060-23.066919.42586-12.01962-9.4559227.957362.623936.13591-17.2660725.77938-1.312470.62911-0.75831-.644931.533930.105660.27655-1.030521.48152-1.449940.58638-0.72098-0.602441.885620.094610.24927-1.038591.769150.363550