第1章-數(shù)值計算中的誤差

1、數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法主講教師主講教師: 張曉穎張曉穎2教材教材 丁麗娟，程杞元，丁麗娟，程杞元， 數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法，高等教育出版社，高等教育出版社參考書參考書 各工科院校相應(yīng)教材各工科院校相應(yīng)教材 清華大學(xué)清華大學(xué), ,哈工大哈工大, ,西安交大等西安交大等 3最后成績最后成績= =平時出勤（平時出勤（10%10%）+ +作業(yè)成績作業(yè)成績(10%)+(10%)+期末考試成績期末考試成績(80%)(80%)答疑：課間答疑：課間 周一、三中午周一、三中午12:0013:0012:0013:00 第三教學(xué)樓第三教學(xué)樓406406建議或問題：建議或問題：4 問題：數(shù)值計算方法是做什么用的？

2、問題：數(shù)值計算方法是做什么用的？數(shù)值數(shù)值 計算計算 求各種數(shù)學(xué)問題求各種數(shù)學(xué)問題近似解近似解的方法和理論的方法和理論 計算計算 機機數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型實際問題實際問題近似解近似解 5主要內(nèi)容主要內(nèi)容數(shù)值代數(shù)數(shù)值代數(shù) 線性方程組求解線性方程組求解( (第二章第二章, ,第三章第三章) ) 特征值計算特征值計算( (第四章第四章) )數(shù)值逼近數(shù)值逼近 插值法插值法( (第五章第五章) ) 函數(shù)逼近函數(shù)逼近( (第六章第六章) )數(shù)值微分數(shù)值積分數(shù)值微分數(shù)值積分( (第七章第七章) )非線性方程求解非線性方程求解( (第八章第八章) )常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法( (第九章第九章) )6第一

3、章第一章 誤差誤差1 1 誤差的來源與分類誤差的來源與分類從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型 模型誤差模型誤差通過測量得到模型中參數(shù)的值通過測量得到模型中參數(shù)的值 觀測誤差觀測誤差求近似解求近似解 截斷誤差截斷誤差機器字長有限機器字長有限 舍入誤差舍入誤差2462( 1)cos1.2!4!6!(2 )!nnxxxxxn 2cos1(|)2!xxx很很小小時時 ，4|.24x 截截斷斷誤誤差差72 2絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)字絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)字2.12.1絕對誤差與相對誤差絕對誤差與相對誤差的一個近似值的一個近似值為準(zhǔn)確值為準(zhǔn)確值設(shè)設(shè)xx*()e x*()e xxx

4、xx * 或或*():e x絕絕對對誤誤差差:絕絕對對誤誤差差限限:可以表示為可以表示為:注注 絕絕對對誤誤差差限限不不唯唯一一 *xxx*xx8例：例： *765mm,xx 用用毫毫米米刻刻度度的的米米尺尺測測量量一一長長度度為為 ，如如讀讀出出的的長長度度是是其其絕絕對對誤誤差差限限為為0.5mmx準(zhǔn)準(zhǔn)確確值值 ：7650.5( mm)x 764.5mm765.5mmx764.5mm,765.5mm.x 9例：測得會議室的長為例：測得會議室的長為30m寬為寬為10m，長的誤差不超過，長的誤差不超過 5cm, , 寬的誤差不超過寬的誤差不超過2cm, , 如何表示？如何表示？()30y 長長

5、哪一個精度高？哪一個精度高？()100.02()xm寬寬0.05()m 一一個個測測量量值值的的精精確確程程度度除除了了與與絕絕對對誤誤差差限限有有關(guān)關(guān), ,還還和和該該量量的的大大小小有有關(guān)關(guān). .為為了了更更好好地地反反映映測測量量值值的的精精度度，引引入入10*()()e xxerx *|()|rrex 兩種誤差限的關(guān)系兩種誤差限的關(guān)系：*|x*|rx ( )rx *()e xx *():rex相相對對誤誤差差:r相相對對誤誤差差限限*( )0.05( )0.001630r yyyr *()()e xxerx 上上例例，*( ) xx 0.020.00210 0.002 11例例： .)

6、6237310.(1.4142135 414. 12 是經(jīng)過四舍五入得到的近似值，則是經(jīng)過四舍五入得到的近似值，則 絕絕對對誤誤差差限限31102 r 相相對對誤誤差差限限30.5 101.414 0.035% 12四舍五入的原則：四舍五入的原則：1.舍入后絕對誤差限不超過末位數(shù)的半個單位舍入后絕對誤差限不超過末位數(shù)的半個單位2.舍入部分剛好是末位數(shù)的半個單位，使末位湊成偶舍入部分剛好是末位數(shù)的半個單位，使末位湊成偶數(shù)數(shù)例：例：0.7135, 0.7765, 0.73251分別取三位小數(shù)分別取三位小數(shù)0.714, 0.776, 0.733一般地一般地, , 凡是由準(zhǔn)確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值

7、凡是由準(zhǔn)確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值, , 其絕對誤差限等于該近似值末位的半個單位其絕對誤差限等于該近似值末位的半個單位. .上上述述各各近近似似值值的的絕絕對對誤誤差差限限：31102 132.2 2.2 有效數(shù)字有效數(shù)字 xxx作作為為 的的近近似似值值，其其絕絕對對誤誤差差限限為為某某一一位位*1|102nxx xn 即即準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到小小數(shù)數(shù)點點后后第第 位位, ,x 從從左左邊邊第第一一個個非非上上數(shù)數(shù)字字的的半半個個單單位位零零數(shù)數(shù)字字到到該該位位的的所所有有數(shù)數(shù)字字均均稱稱為為有有效效數(shù)數(shù)字字. .14例如例如005800. 0 1021005800. 0 . 1*6 xx表示近似

8、值表示近似值準(zhǔn)確到小數(shù)點后第準(zhǔn)確到小數(shù)點后第 位，位，*2 1452 0467.x. 若若具具有有 位位有有效效數(shù)數(shù)字字，則其準(zhǔn)確到小數(shù)點后第則其準(zhǔn)確到小數(shù)點后第 位，位，31102 3絕絕對對誤誤差差限限：6* x 有有位位有有效效數(shù)數(shù)字字4有效數(shù)字有效數(shù)字絕對誤差限絕對誤差限 準(zhǔn)確到哪一位準(zhǔn)確到哪一位152=1.41421356237310.例例：*=1.4142132x做做為為的的近近似似值值，有有幾幾位位有有效效數(shù)數(shù)字字？解解：*| ()|e x 有有 位位有有效效數(shù)數(shù)字字51102 準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到小小數(shù)數(shù)點點后后第第位位，*4*12376490,=102xx例例：若若且且，有有幾幾位位

9、有有效效數(shù)數(shù)字字？* x 準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到位位，* x 有有位位有有效效數(shù)數(shù)字字, ,解解：564103它它們們分分別別是是2,3,7*| 0.0000005623xx16有效數(shù)字另一等價定義有效數(shù)字另一等價定義 x 將將表表示示成成規(guī)規(guī)范范形形式式：1102m nxx120.10mnxa aa m其其中中為為整整數(shù)數(shù)，xxn 則則做做為為 的的近近似似值值有有 位位有有效效數(shù)數(shù)字字當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)n 09,ia為為10,a 1710n 準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到位位1102m n = =絕絕對對誤誤差差限限有有效效數(shù)數(shù)字字問題：有效數(shù)字的位數(shù)和精確度的關(guān)系？問題：有效數(shù)字的位數(shù)和精確度的關(guān)系？1102n =

10、=120.10mnxa aa 確確定定幾幾位位有有效效數(shù)數(shù)字字n 有有 位位有有效效數(shù)數(shù)字字考慮相對誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系考慮相對誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系有效數(shù)字和絕對誤差限的關(guān)系（準(zhǔn)確到哪一位）有效數(shù)字和絕對誤差限的關(guān)系（準(zhǔn)確到哪一位）位有效數(shù)字位有效數(shù)字有有則則如果如果為為為整數(shù)，為整數(shù)，其中其中表示成規(guī)范形式：表示成規(guī)范形式：nxxxaamaaaxxnmimn ,10210, 9010. 0121;, 0;, 0;, 0,1021位位準(zhǔn)確到個位前的第準(zhǔn)確到個位前的第準(zhǔn)確到個位準(zhǔn)確到個位位位準(zhǔn)確到小數(shù)點后第準(zhǔn)確到小數(shù)點后第若若nxnxnnxnxxn 4*1021)(,2376490 xx 且

11、且例：例：.3*位有效數(shù)字位有效數(shù)字有有則則x. 229. 0231. 0*位有效數(shù)字位有效數(shù)字有有關(guān)于真值關(guān)于真值例：近似數(shù)例：近似數(shù) xx2樣有什么區(qū)別？樣有什么區(qū)別？它們是否一樣，若不一它們是否一樣，若不一均為有效數(shù)，均為有效數(shù)，例：若下列各對近似值例：若下列各對近似值21045845800)1( 和和11004380. 000438. 0)2( 和和321004015. 0104015. 0)3( 和和位有效數(shù)字位有效數(shù)字和和分別有分別有35位有效數(shù)字位有效數(shù)字和和分別有分別有43相同相同20)0(10.0:1.1121* aaaaxmn定理定理*rx 1102n m 11*1021)

12、( nraxnx 位有效數(shù)字位有效數(shù)字有有位有效數(shù)字位有效數(shù)字至少有至少有nxaxnr*11*10)1(21)( 反之反之1102m n 111102na |rx 111102(1)na 110.10mnaa 10.(1) 10ma說說明明：有有效效數(shù)數(shù)字字位位數(shù)數(shù)越越多多 相相對對誤誤差差限限越越小小21解解: : （用絕對誤差限和有效數(shù)字的關(guān)系）（用絕對誤差限和有效數(shù)字的關(guān)系）|rx20.410 需需要要準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到小小數(shù)數(shù)點點后后第第位位，取三位有效數(shù)字取三位有效數(shù)字. .32010 要使絕對誤差限滿足要使絕對誤差限滿足注注：也也可可以以用用相相對對誤誤差差限限和和有有效效數(shù)數(shù)字字的的關(guān)

13、關(guān)系系200.1%例例： 為為使使的的近近似似值值的的相相對對誤誤差差限限小小于于要要取取幾幾位位有有效效數(shù)數(shù)字字？二二22至少有幾位有效數(shù)字？至少有幾位有效數(shù)字？問問，的相對誤差限是的相對誤差限是例：已知例：已知* %0.3xx19a *10.10mnxaa設(shè)設(shè)位有效數(shù)字位有效數(shù)字至少有至少有nxaxnr*11*10)1(21)( 1110)1(21%3.0 na為使為使2n 得得，有有兩兩位位有有效效數(shù)數(shù)字字解解1 1：相對誤差限和有效數(shù)字的關(guān)系：相對誤差限和有效數(shù)字的關(guān)系 取取最最小小值值23|*xr *=0.3% |x 0.3% 1 10m 20.5 10m 解解2: :（用絕對誤差限

14、和有效數(shù)字的關(guān)系）（用絕對誤差限和有效數(shù)字的關(guān)系）至少有幾位有效數(shù)字？至少有幾位有效數(shù)字？問問，的相對誤差限是的相對誤差限是例：已知例：已知* %0.3xx*10.10mnxaa設(shè)設(shè)取取最最大大值值有有兩兩位位有有效效數(shù)數(shù)字字問題：問題：假定假定1.21及運算過程及運算過程精確到兩位小數(shù)，精確到兩位小數(shù)， *1.21ln1.21,yy或或*y 精精確確到到哪哪一一位位？( )yf x 若若，*()( )()e yf xf x則則*()|()| () yfx x *() ()fxe x 誤差的傳播誤差的傳播*d()f x 253 3數(shù)值計算中誤差的傳播數(shù)值計算中誤差的傳播3.13.1基本運算中的

15、誤差傳播基本運算中的誤差傳播的近似值，則的近似值，則為為處可微，處可微，在點在點設(shè)設(shè)iinnxxxxxfxxxfy*2121),.,(),.,( *1212()(,.,)(,.,)nne yf xxxf xxx*n*12i 1(,.,)()niiif xxxxxx *1d(,.,)nf xx *n*12i 1(,.,)()niif xxxe xx *()()re ye yy *n*12i 1(,.,)()()niif xxxe ye xx *n12*i 11(,.,)() (,.,)niinf xxxe xxf xx *n*12*i 11(,.,) ()(,.,)niriinf xxxxexx

16、f xx 271122 ()()()rrrxeexexx 1212 ()()()rrrex xexex 12()xex12()e x x特別地，和、差、積、商的誤差公式為：特別地，和、差、積、商的誤差公式為：1212121212()()()rrrxxexxexexxxxx 12()()e xe x12()e xx 2112()()x e xx e x1122221()()xe xe xxx28 121212121122()()()()()()()()()rrrrrr xx x xx xxxxxxx 即即和、差的絕對誤差限和、差的絕對誤差限不超過各數(shù)的絕對誤不超過各數(shù)的絕對誤差限之和，差限之和，

17、積、商的相對誤差限積、商的相對誤差限不超過各不超過各數(shù)的相對誤差限之和數(shù)的相對誤差限之和. .例例 假定運算中數(shù)據(jù)都精確到兩位小數(shù)，試求假定運算中數(shù)據(jù)都精確到兩位小數(shù)，試求81. 965. 321. 1* x的絕對誤差限和相對誤差限，計算結(jié)果有幾位有效的絕對誤差限和相對誤差限，計算結(jié)果有幾位有效數(shù)字數(shù)字? ?解：解：*5.3935x )81. 9()65. 3(21. 1)21. 1(65. 3)(*eeexe 0293. 01021)121. 165. 3()81. 9()65. 3(21. 1)21. 1(65. 3)(2* x11102 準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到小小數(shù)數(shù)點點后后第第一一位位, , 計

18、算結(jié)果有計算結(jié)果有2 2位有效數(shù)字位有效數(shù)字. .300054. 03935. 50293. 0)()(* xxxr 故計算結(jié)果有故計算結(jié)果有2 2位有效數(shù)字位有效數(shù)字. .2 110.0083102(51) *5.3935x 31?, ,1001,:相對誤差最大為多少相對誤差最大為多少時時問測量半徑問測量半徑為使其相對誤差限為為使其相對誤差限為計算球的體積計算球的體積例例R34 :3RV 由由解解)(4)(2ReRVe )(3)(3)()(ReRReVVeVerr .3001)(1001)(最大為最大為得得由由RVrr ,( )nryxey注注：一一般般的的，若若則則1( )()( )nne

19、 ye xnxe x ，( )( )( )rre yeynexy( )rnex323.2 3.2 算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法算法：設(shè)計由已知數(shù)據(jù)計算問題結(jié)果的運算順序：設(shè)計由已知數(shù)據(jù)計算問題結(jié)果的運算順序10:(0,1,2,.)5nnxIdx nx 例例 計計算算下下列列積積分分的的近近似似值值 15nnII 11055nnxxdxx 1101nxdxn 穩(wěn)定性穩(wěn)定性：在算法的計算過程中，數(shù)據(jù)誤差和舍入誤差：在算法的計算過程中，數(shù)據(jù)誤差和舍入誤差 在計算過程中不增長，則稱算法是數(shù)值穩(wěn)定在計算過程中不增長，則稱算法是數(shù)值穩(wěn)定 的；否則稱算法是數(shù)值不穩(wěn)定的的；否則稱算法是數(shù)值不穩(wěn)定的.

20、.33算法算法*010018232155. 02 . 1ln51 IdxxI 取取)., 2 , 1( 51 1 nInInn按公式按公式12,.I I 依依次次計計算算的的近近似似值值nIInn151 34n(算法算法)00.1823215510.0883922520.0580387530.0431395840.0343020850.0284895860.0242187570.0217633980.0161830590.0301958810-0.05097941110.3458061212-0.64569726138.3054093814-41.45561831*nI35nI估估計計0122

21、222. 0)751901(21*14 I116(1)5(1)nInn10d5nnxIxx 105nnxIx 110011dd65nnxxxx *14-41.45561831I 36算法算法 由于由于取取 ) 1( 51) 1( 6121*nnIn按公式按公式)1(511kkIkI )1 ,., 1,( nnk)., 2 , 1( 151 nnIInn計算計算0122222. 0)751901(21*14 I例如例如37n(算法算法)(算法算法)00.182321550.1823215510.088392250.0883922220.058038750.0580389230.043139580

22、.0431387340.034302080.0343063350.028489580.0254683560.024218750.0243249170.021763390.0212326080.016183050.0188369990.030195880.0169261710-0.050979410.01536914110.345806120.0140633912-0.645697260.01301636138.305409380.0118412714-41.455618310.01222222*nI*nI0011. 0)901751(2114 116(1)5(1)nInn*14I準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到小

23、小數(shù)數(shù)點點后后第第二二位位380*00 eII 設(shè)設(shè)ne 1ke 分析原因：分析原因：由算法由算法)., 2 , 1( 511 nInInn對算法對算法) 1, 1,( )1(511 nnkIkIkk*nnII*1155nnII15ne 0( 5)ne 0e *11kkII1,5ke 1( )5nne 115e149805| 6.1036 100.5 1030.5176e 0|e 14|e 1410213145| 1.64 100.5 108.2 10e結(jié)論：算法結(jié)論：算法數(shù)值不穩(wěn)定，算法數(shù)值不穩(wěn)定，算法數(shù)值穩(wěn)定。數(shù)值穩(wěn)定。394 4數(shù)值計算中應(yīng)注意的問題數(shù)值計算中應(yīng)注意的問題1. 1. 避免

24、兩個相近的數(shù)相減避免兩個相近的數(shù)相減| ( )( )| ()|re xe ye xyxy xy當(dāng)當(dāng) 與與 很很接接近近時時，差差的的相相對對誤誤差差很很大大, ,有有效效數(shù)數(shù)字字嚴(yán)嚴(yán)重重丟丟失失。40216812.96152610(4)xx 例例：已已知知具具有有 位位有有效效數(shù)數(shù)字字，試試求求方方程程的的兩兩個個根根 至至少少 位位有有效效數(shù)數(shù)字字 解解. . 2667213168,2x 125.961,x 20.039,x 若取若取2x 則則523*21021)961.1213(1021)( xe*2()e x xx 13121(), x 2x 這這時時只只有有兩兩位位有有效效數(shù)數(shù)字字20

25、.0385194x 有有 位位有有效效數(shù)數(shù)字字32()0.5 10 , x113168 *210.0385191312.961x 2(12.961)(1312.961)e 41sin1 cosxx 22sin, 2x 11xx 1(1)xx 一般地，一般地，當(dāng)當(dāng)x充充分大時，應(yīng)作變換：分大時，應(yīng)作變換：1xx 111xx 當(dāng)當(dāng)x 接近零時，應(yīng)作變換接近零時，應(yīng)作變換1 cos sinxx 1 cosx 422.2.避免大數(shù)避免大數(shù)“吃吃”小數(shù)小數(shù). .計算機浮點數(shù)運算導(dǎo)致計算機浮點數(shù)運算導(dǎo)致絕對值差異很大的數(shù)做加減運算時，絕對值小的數(shù)被絕對值差異很大的數(shù)做加減運算時，絕對值小的數(shù)被吃掉吃掉.

26、.10910 +1例例：在在 位位十十進進制制有有效效數(shù)數(shù)字字的的計計算算機機上上求求首首先先對對階階, ,表表示示成成最最高高階階101010 =1 10 101=0.000 000 000 1 10 9計計算算機機只只能能記記錄錄到到小小數(shù)數(shù)點點后后第第 位位，+101010 +1=1 10 101010 +1+2+3+4在在位位十十進進制制有有效效數(shù)數(shù)字字的的計計算算機機上上求求1010 +(1+2+3+4)改改變變順順序序求求和和差差運運算算時時采采用用由由小小到到大大的的順順序序433.3.避免除數(shù)絕對值遠小于被除數(shù)的絕對值避免除數(shù)絕對值遠小于被除數(shù)的絕對值2( )( )()xye

27、xxe yyy 4.4.簡化計算，減少運算次數(shù)，提高效率簡化計算，減少運算次數(shù)，提高效率如計算如計算n次多項式的值次多項式的值1110( ).nnnnnp xa xaxa xa再作線性組合再作線性組合先計算先計算,.,.32nxxxa需需 次乘法運算，次乘法運算，1210( )(.().)nnnnpxa xaxaxa xa次加法運算次加法運算. .需需 次乘法運算，次乘法運算， 次加法運算次加法運算. .按秦九韶算法按秦九韶算法. b21n nnn455.5.選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法. . Ex. P13. 9, 10, 11, 1246*1.0.2310.229 .xx

28、填填空空近近似似數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于真真值值有有位位 有有效效數(shù)數(shù)字字25432422.,16171814131 ;1681,20011999 .xxxxxxxx 為為了了減減少少運運算算次次數(shù)數(shù) 應(yīng)應(yīng)將將表表達達式式 改改寫寫為為 為為了了減減少少舍舍入入誤誤差差的的影影響響 應(yīng)應(yīng)將將表表達達式式 改改寫寫為為1)8)16(1)13)14)18)1716(2 xxxxxxxx199920012 47127124. yxyx如如何何計計算算，使使計計算算量量最最小小？1,1tx 233463.101(1)(1), .yxxx為為使使計計算算的的乘乘除除法法運運算算次次數(shù)數(shù)盡盡量量少少 應(yīng)應(yīng)將將該該表表達達式式改改寫寫為為1272222222() ) ) ) ) )xx x12222() )xx x122436316?yxxx思思考考：71次次乘乘 次次除除( (64)3)10yt tt48個最好？個最好？計算，得到