第1章-數(shù)值計(jì)算中的誤差

1、數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法主講教師主講教師: 張曉穎張曉穎2教材教材 丁麗娟，程杞元，丁麗娟，程杞元， 數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法，高等教育出版社，高等教育出版社參考書參考書 各工科院校相應(yīng)教材各工科院校相應(yīng)教材 清華大學(xué)清華大學(xué), ,哈工大哈工大, ,西安交大等西安交大等 3最后成績最后成績= =平時(shí)出勤（平時(shí)出勤（10%10%）+ +作業(yè)成績作業(yè)成績(10%)+(10%)+期末考試成績期末考試成績(80%)(80%)答疑：課間答疑：課間 周一、三中午周一、三中午12:0013:0012:0013:00 第三教學(xué)樓第三教學(xué)樓406406建議或問題：建議或問題：4 問題：數(shù)值計(jì)算方法是做什么用的？

2、問題：數(shù)值計(jì)算方法是做什么用的？數(shù)值數(shù)值 計(jì)算計(jì)算 求各種數(shù)學(xué)問題求各種數(shù)學(xué)問題近似解近似解的方法和理論的方法和理論 計(jì)算計(jì)算 機(jī)機(jī)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型實(shí)際問題實(shí)際問題近似解近似解 5主要內(nèi)容主要內(nèi)容數(shù)值代數(shù)數(shù)值代數(shù) 線性方程組求解線性方程組求解( (第二章第二章, ,第三章第三章) ) 特征值計(jì)算特征值計(jì)算( (第四章第四章) )數(shù)值逼近數(shù)值逼近 插值法插值法( (第五章第五章) ) 函數(shù)逼近函數(shù)逼近( (第六章第六章) )數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分?jǐn)?shù)值微分?jǐn)?shù)值積分( (第七章第七章) )非線性方程求解非線性方程求解( (第八章第八章) )常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法( (第九章第九章) )6第一

3、章第一章 誤差誤差1 1 誤差的來源與分類誤差的來源與分類從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型 模型誤差模型誤差通過測(cè)量得到模型中參數(shù)的值通過測(cè)量得到模型中參數(shù)的值 觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差求近似解求近似解 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差機(jī)器字長有限機(jī)器字長有限 舍入誤差舍入誤差2462( 1)cos1.2!4!6!(2 )!nnxxxxxn 2cos1(|)2!xxx很很小小時(shí)時(shí) ，4|.24x 截截?cái)鄶嗾`誤差差72 2絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字2.12.1絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差的一個(gè)近似值的一個(gè)近似值為準(zhǔn)確值為準(zhǔn)確值設(shè)設(shè)xx*()e x*()e xxx

4、xx * 或或*():e x絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差:絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限:可以表示為可以表示為:注注 絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限不不唯唯一一 *xxx*xx8例：例： *765mm,xx 用用毫毫米米刻刻度度的的米米尺尺測(cè)測(cè)量量一一長長度度為為 ，如如讀讀出出的的長長度度是是其其絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限為為0.5mmx準(zhǔn)準(zhǔn)確確值值 ：7650.5( mm)x 764.5mm765.5mmx764.5mm,765.5mm.x 9例：測(cè)得會(huì)議室的長為例：測(cè)得會(huì)議室的長為30m寬為寬為10m，長的誤差不超過，長的誤差不超過 5cm, , 寬的誤差不超過寬的誤差不超過2cm, , 如何表示？如何表示？()30y 長長

5、哪一個(gè)精度高？哪一個(gè)精度高？()100.02()xm寬寬0.05()m 一一個(gè)個(gè)測(cè)測(cè)量量值值的的精精確確程程度度除除了了與與絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限有有關(guān)關(guān), ,還還和和該該量量的的大大小小有有關(guān)關(guān). .為為了了更更好好地地反反映映測(cè)測(cè)量量值值的的精精度度，引引入入10*()()e xxerx *|()|rrex 兩種誤差限的關(guān)系兩種誤差限的關(guān)系：*|x*|rx ( )rx *()e xx *():rex相相對(duì)對(duì)誤誤差差:r相相對(duì)對(duì)誤誤差差限限*( )0.05( )0.001630r yyyr *()()e xxerx 上上例例，*( ) xx 0.020.00210 0.002 11例例： .)

6、6237310.(1.4142135 414. 12 是經(jīng)過四舍五入得到的近似值，則是經(jīng)過四舍五入得到的近似值，則 絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限31102 r 相相對(duì)對(duì)誤誤差差限限30.5 101.414 0.035% 12四舍五入的原則：四舍五入的原則：1.舍入后絕對(duì)誤差限不超過末位數(shù)的半個(gè)單位舍入后絕對(duì)誤差限不超過末位數(shù)的半個(gè)單位2.舍入部分剛好是末位數(shù)的半個(gè)單位，使末位湊成偶舍入部分剛好是末位數(shù)的半個(gè)單位，使末位湊成偶數(shù)數(shù)例：例：0.7135, 0.7765, 0.73251分別取三位小數(shù)分別取三位小數(shù)0.714, 0.776, 0.733一般地一般地, , 凡是由準(zhǔn)確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值

7、凡是由準(zhǔn)確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值, , 其絕對(duì)誤差限等于該近似值末位的半個(gè)單位其絕對(duì)誤差限等于該近似值末位的半個(gè)單位. .上上述述各各近近似似值值的的絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限：31102 132.2 2.2 有效數(shù)字有效數(shù)字 xxx作作為為 的的近近似似值值，其其絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限為為某某一一位位*1|102nxx xn 即即準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到小小數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)后后第第 位位, ,x 從從左左邊邊第第一一個(gè)個(gè)非非上上數(shù)數(shù)字字的的半半個(gè)個(gè)單單位位零零數(shù)數(shù)字字到到該該位位的的所所有有數(shù)數(shù)字字均均稱稱為為有有效效數(shù)數(shù)字字. .14例如例如005800. 0 1021005800. 0 . 1*6 xx表示近似

8、值表示近似值準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第 位，位，*2 1452 0467.x. 若若具具有有 位位有有效效數(shù)數(shù)字字，則其準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第則其準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第 位，位，31102 3絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限：6* x 有有位位有有效效數(shù)數(shù)字字4有效數(shù)字有效數(shù)字絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限 準(zhǔn)確到哪一位準(zhǔn)確到哪一位152=1.41421356237310.例例：*=1.4142132x做做為為的的近近似似值值，有有幾幾位位有有效效數(shù)數(shù)字字？解解：*| ()|e x 有有 位位有有效效數(shù)數(shù)字字51102 準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到小小數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)后后第第位位，*4*12376490,=102xx例例：若若且且，有有幾幾位位

9、有有效效數(shù)數(shù)字字？* x 準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到位位，* x 有有位位有有效效數(shù)數(shù)字字, ,解解：564103它它們們分分別別是是2,3,7*| 0.0000005623xx16有效數(shù)字另一等價(jià)定義有效數(shù)字另一等價(jià)定義 x 將將表表示示成成規(guī)規(guī)范范形形式式：1102m nxx120.10mnxa aa m其其中中為為整整數(shù)數(shù)，xxn 則則做做為為 的的近近似似值值有有 位位有有效效數(shù)數(shù)字字當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)n 09,ia為為10,a 1710n 準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到位位1102m n = =絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限有有效效數(shù)數(shù)字字問題：有效數(shù)字的位數(shù)和精確度的關(guān)系？問題：有效數(shù)字的位數(shù)和精確度的關(guān)系？1102n =

10、=120.10mnxa aa 確確定定幾幾位位有有效效數(shù)數(shù)字字n 有有 位位有有效效數(shù)數(shù)字字考慮相對(duì)誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系考慮相對(duì)誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系有效數(shù)字和絕對(duì)誤差限的關(guān)系（準(zhǔn)確到哪一位）有效數(shù)字和絕對(duì)誤差限的關(guān)系（準(zhǔn)確到哪一位）位有效數(shù)字位有效數(shù)字有有則則如果如果為為為整數(shù)，為整數(shù)，其中其中表示成規(guī)范形式：表示成規(guī)范形式：nxxxaamaaaxxnmimn ,10210, 9010. 0121;, 0;, 0;, 0,1021位位準(zhǔn)確到個(gè)位前的第準(zhǔn)確到個(gè)位前的第準(zhǔn)確到個(gè)位準(zhǔn)確到個(gè)位位位準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第若若nxnxnnxnxxn 4*1021)(,2376490 xx 且

11、且例：例：.3*位有效數(shù)字位有效數(shù)字有有則則x. 229. 0231. 0*位有效數(shù)字位有效數(shù)字有有關(guān)于真值關(guān)于真值例：近似數(shù)例：近似數(shù) xx2樣有什么區(qū)別？樣有什么區(qū)別？它們是否一樣，若不一它們是否一樣，若不一均為有效數(shù)，均為有效數(shù)，例：若下列各對(duì)近似值例：若下列各對(duì)近似值21045845800)1( 和和11004380. 000438. 0)2( 和和321004015. 0104015. 0)3( 和和位有效數(shù)字位有效數(shù)字和和分別有分別有35位有效數(shù)字位有效數(shù)字和和分別有分別有43相同相同20)0(10.0:1.1121* aaaaxmn定理定理*rx 1102n m 11*1021)

12、( nraxnx 位有效數(shù)字位有效數(shù)字有有位有效數(shù)字位有效數(shù)字至少有至少有nxaxnr*11*10)1(21)( 反之反之1102m n 111102na |rx 111102(1)na 110.10mnaa 10.(1) 10ma說說明明：有有效效數(shù)數(shù)字字位位數(shù)數(shù)越越多多 相相對(duì)對(duì)誤誤差差限限越越小小21解解: : （用絕對(duì)誤差限和有效數(shù)字的關(guān)系）（用絕對(duì)誤差限和有效數(shù)字的關(guān)系）|rx20.410 需需要要準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到小小數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)后后第第位位，取三位有效數(shù)字取三位有效數(shù)字. .32010 要使絕對(duì)誤差限滿足要使絕對(duì)誤差限滿足注注：也也可可以以用用相相對(duì)對(duì)誤誤差差限限和和有有效效數(shù)數(shù)字字的的關(guān)

13、關(guān)系系200.1%例例： 為為使使的的近近似似值值的的相相對(duì)對(duì)誤誤差差限限小小于于要要取取幾幾位位有有效效數(shù)數(shù)字字？二二22至少有幾位有效數(shù)字？至少有幾位有效數(shù)字？問問，的相對(duì)誤差限是的相對(duì)誤差限是例：已知例：已知* %0.3xx19a *10.10mnxaa設(shè)設(shè)位有效數(shù)字位有效數(shù)字至少有至少有nxaxnr*11*10)1(21)( 1110)1(21%3.0 na為使為使2n 得得，有有兩兩位位有有效效數(shù)數(shù)字字解解1 1：相對(duì)誤差限和有效數(shù)字的關(guān)系：相對(duì)誤差限和有效數(shù)字的關(guān)系 取取最最小小值值23|*xr *=0.3% |x 0.3% 1 10m 20.5 10m 解解2: :（用絕對(duì)誤差限

14、和有效數(shù)字的關(guān)系）（用絕對(duì)誤差限和有效數(shù)字的關(guān)系）至少有幾位有效數(shù)字？至少有幾位有效數(shù)字？問問，的相對(duì)誤差限是的相對(duì)誤差限是例：已知例：已知* %0.3xx*10.10mnxaa設(shè)設(shè)取取最最大大值值有有兩兩位位有有效效數(shù)數(shù)字字問題：?jiǎn)栴}：假定假定1.21及運(yùn)算過程及運(yùn)算過程精確到兩位小數(shù)，精確到兩位小數(shù)， *1.21ln1.21,yy或或*y 精精確確到到哪哪一一位位？( )yf x 若若，*()( )()e yf xf x則則*()|()| () yfx x *() ()fxe x 誤差的傳播誤差的傳播*d()f x 253 3數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播3.13.1基本運(yùn)算中的

15、誤差傳播基本運(yùn)算中的誤差傳播的近似值，則的近似值，則為為處可微，處可微，在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)設(shè)iinnxxxxxfxxxfy*2121),.,(),.,( *1212()(,.,)(,.,)nne yf xxxf xxx*n*12i 1(,.,)()niiif xxxxxx *1d(,.,)nf xx *n*12i 1(,.,)()niif xxxe xx *()()re ye yy *n*12i 1(,.,)()()niif xxxe ye xx *n12*i 11(,.,)() (,.,)niinf xxxe xxf xx *n*12*i 11(,.,) ()(,.,)niriinf xxxxexx

16、f xx 271122 ()()()rrrxeexexx 1212 ()()()rrrex xexex 12()xex12()e x x特別地，和、差、積、商的誤差公式為：特別地，和、差、積、商的誤差公式為：1212121212()()()rrrxxexxexexxxxx 12()()e xe x12()e xx 2112()()x e xx e x1122221()()xe xe xxx28 121212121122()()()()()()()()()rrrrrr xx x xx xxxxxxx 即即和、差的絕對(duì)誤差限和、差的絕對(duì)誤差限不超過各數(shù)的絕對(duì)誤不超過各數(shù)的絕對(duì)誤差限之和，差限之和，

17、積、商的相對(duì)誤差限積、商的相對(duì)誤差限不超過各不超過各數(shù)的相對(duì)誤差限之和數(shù)的相對(duì)誤差限之和. .例例 假定運(yùn)算中數(shù)據(jù)都精確到兩位小數(shù)，試求假定運(yùn)算中數(shù)據(jù)都精確到兩位小數(shù)，試求81. 965. 321. 1* x的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限，計(jì)算結(jié)果有幾位有效的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限，計(jì)算結(jié)果有幾位有效數(shù)字?jǐn)?shù)字? ?解：解：*5.3935x )81. 9()65. 3(21. 1)21. 1(65. 3)(*eeexe 0293. 01021)121. 165. 3()81. 9()65. 3(21. 1)21. 1(65. 3)(2* x11102 準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到小小數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)后后第第一一位位, , 計(jì)

18、算結(jié)果有計(jì)算結(jié)果有2 2位有效數(shù)字位有效數(shù)字. .300054. 03935. 50293. 0)()(* xxxr 故計(jì)算結(jié)果有故計(jì)算結(jié)果有2 2位有效數(shù)字位有效數(shù)字. .2 110.0083102(51) *5.3935x 31?, ,1001,:相對(duì)誤差最大為多少相對(duì)誤差最大為多少時(shí)時(shí)問測(cè)量半徑問測(cè)量半徑為使其相對(duì)誤差限為為使其相對(duì)誤差限為計(jì)算球的體積計(jì)算球的體積例例R34 :3RV 由由解解)(4)(2ReRVe )(3)(3)()(ReRReVVeVerr .3001)(1001)(最大為最大為得得由由RVrr ,( )nryxey注注：一一般般的的，若若則則1( )()( )nne

19、 ye xnxe x ，( )( )( )rre yeynexy( )rnex323.2 3.2 算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法算法：設(shè)計(jì)由已知數(shù)據(jù)計(jì)算問題結(jié)果的運(yùn)算順序：設(shè)計(jì)由已知數(shù)據(jù)計(jì)算問題結(jié)果的運(yùn)算順序10:(0,1,2,.)5nnxIdx nx 例例 計(jì)計(jì)算算下下列列積積分分的的近近似似值值 15nnII 11055nnxxdxx 1101nxdxn 穩(wěn)定性穩(wěn)定性：在算法的計(jì)算過程中，數(shù)據(jù)誤差和舍入誤差：在算法的計(jì)算過程中，數(shù)據(jù)誤差和舍入誤差 在計(jì)算過程中不增長，則稱算法是數(shù)值穩(wěn)定在計(jì)算過程中不增長，則稱算法是數(shù)值穩(wěn)定 的；否則稱算法是數(shù)值不穩(wěn)定的的；否則稱算法是數(shù)值不穩(wěn)定的.

20、.33算法算法*010018232155. 02 . 1ln51 IdxxI 取取)., 2 , 1( 51 1 nInInn按公式按公式12,.I I 依依次次計(jì)計(jì)算算的的近近似似值值nIInn151 34n(算法算法)00.1823215510.0883922520.0580387530.0431395840.0343020850.0284895860.0242187570.0217633980.0161830590.0301958810-0.05097941110.3458061212-0.64569726138.3054093814-41.45561831*nI35nI估估計(jì)計(jì)0122

21、222. 0)751901(21*14 I116(1)5(1)nInn10d5nnxIxx 105nnxIx 110011dd65nnxxxx *14-41.45561831I 36算法算法 由于由于取取 ) 1( 51) 1( 6121*nnIn按公式按公式)1(511kkIkI )1 ,., 1,( nnk)., 2 , 1( 151 nnIInn計(jì)算計(jì)算0122222. 0)751901(21*14 I例如例如37n(算法算法)(算法算法)00.182321550.1823215510.088392250.0883922220.058038750.0580389230.043139580

22、.0431387340.034302080.0343063350.028489580.0254683560.024218750.0243249170.021763390.0212326080.016183050.0188369990.030195880.0169261710-0.050979410.01536914110.345806120.0140633912-0.645697260.01301636138.305409380.0118412714-41.455618310.01222222*nI*nI0011. 0)901751(2114 116(1)5(1)nInn*14I準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到小

23、小數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)后后第第二二位位380*00 eII 設(shè)設(shè)ne 1ke 分析原因：分析原因：由算法由算法)., 2 , 1( 511 nInInn對(duì)算法對(duì)算法) 1, 1,( )1(511 nnkIkIkk*nnII*1155nnII15ne 0( 5)ne 0e *11kkII1,5ke 1( )5nne 115e149805| 6.1036 100.5 1030.5176e 0|e 14|e 1410213145| 1.64 100.5 108.2 10e結(jié)論：算法結(jié)論：算法數(shù)值不穩(wěn)定，算法數(shù)值不穩(wěn)定，算法數(shù)值穩(wěn)定。數(shù)值穩(wěn)定。394 4數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問題數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問題1. 1. 避免

24、兩個(gè)相近的數(shù)相減避免兩個(gè)相近的數(shù)相減| ( )( )| ()|re xe ye xyxy xy當(dāng)當(dāng) 與與 很很接接近近時(shí)時(shí)，差差的的相相對(duì)對(duì)誤誤差差很很大大, ,有有效效數(shù)數(shù)字字嚴(yán)嚴(yán)重重丟丟失失。40216812.96152610(4)xx 例例：已已知知具具有有 位位有有效效數(shù)數(shù)字字，試試求求方方程程的的兩兩個(gè)個(gè)根根 至至少少 位位有有效效數(shù)數(shù)字字 解解. . 2667213168,2x 125.961,x 20.039,x 若取若取2x 則則523*21021)961.1213(1021)( xe*2()e x xx 13121(), x 2x 這這時(shí)時(shí)只只有有兩兩位位有有效效數(shù)數(shù)字字20

25、.0385194x 有有 位位有有效效數(shù)數(shù)字字32()0.5 10 , x113168 *210.0385191312.961x 2(12.961)(1312.961)e 41sin1 cosxx 22sin, 2x 11xx 1(1)xx 一般地，一般地，當(dāng)當(dāng)x充充分大時(shí)，應(yīng)作變換：分大時(shí)，應(yīng)作變換：1xx 111xx 當(dāng)當(dāng)x 接近零時(shí)，應(yīng)作變換接近零時(shí)，應(yīng)作變換1 cos sinxx 1 cosx 422.2.避免大數(shù)避免大數(shù)“吃吃”小數(shù)小數(shù). .計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算導(dǎo)致計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算導(dǎo)致絕對(duì)值差異很大的數(shù)做加減運(yùn)算時(shí)，絕對(duì)值小的數(shù)被絕對(duì)值差異很大的數(shù)做加減運(yùn)算時(shí)，絕對(duì)值小的數(shù)被吃掉吃掉.

26、.10910 +1例例：在在 位位十十進(jìn)進(jìn)制制有有效效數(shù)數(shù)字字的的計(jì)計(jì)算算機(jī)機(jī)上上求求首首先先對(duì)對(duì)階階, ,表表示示成成最最高高階階101010 =1 10 101=0.000 000 000 1 10 9計(jì)計(jì)算算機(jī)機(jī)只只能能記記錄錄到到小小數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)后后第第 位位，+101010 +1=1 10 101010 +1+2+3+4在在位位十十進(jìn)進(jìn)制制有有效效數(shù)數(shù)字字的的計(jì)計(jì)算算機(jī)機(jī)上上求求1010 +(1+2+3+4)改改變變順順序序求求和和差差運(yùn)運(yùn)算算時(shí)時(shí)采采用用由由小小到到大大的的順順序序433.3.避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值2( )( )()xye

27、xxe yyy 4.4.簡(jiǎn)化計(jì)算，減少運(yùn)算次數(shù)，提高效率簡(jiǎn)化計(jì)算，減少運(yùn)算次數(shù)，提高效率如計(jì)算如計(jì)算n次多項(xiàng)式的值次多項(xiàng)式的值1110( ).nnnnnp xa xaxa xa再作線性組合再作線性組合先計(jì)算先計(jì)算,.,.32nxxxa需需 次乘法運(yùn)算，次乘法運(yùn)算，1210( )(.().)nnnnpxa xaxaxa xa次加法運(yùn)算次加法運(yùn)算. .需需 次乘法運(yùn)算，次乘法運(yùn)算， 次加法運(yùn)算次加法運(yùn)算. .按秦九韶算法按秦九韶算法. b21n nnn455.5.選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法. . Ex. P13. 9, 10, 11, 1246*1.0.2310.229 .xx

28、填填空空近近似似數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于真真值值有有位位 有有效效數(shù)數(shù)字字25432422.,16171814131 ;1681,20011999 .xxxxxxxx 為為了了減減少少運(yùn)運(yùn)算算次次數(shù)數(shù) 應(yīng)應(yīng)將將表表達(dá)達(dá)式式 改改寫寫為為 為為了了減減少少舍舍入入誤誤差差的的影影響響 應(yīng)應(yīng)將將表表達(dá)達(dá)式式 改改寫寫為為1)8)16(1)13)14)18)1716(2 xxxxxxxx199920012 47127124. yxyx如如何何計(jì)計(jì)算算，使使計(jì)計(jì)算算量量最最小小？1,1tx 233463.101(1)(1), .yxxx為為使使計(jì)計(jì)算算的的乘乘除除法法運(yùn)運(yùn)算算次次數(shù)數(shù)盡盡量量少少 應(yīng)應(yīng)將將該該表表達(dá)達(dá)式式改改寫寫為為1272222222() ) ) ) ) )xx x12222() )xx x122436316?yxxx思思考考：71次次乘乘 次次除除( (64)3)10yt tt48個(gè)最好？個(gè)最好？計(jì)算，得到