積分變換 （課堂PPT）

1、.1積分變換積分變換第一章 付里葉變換第二章 拉普拉斯變換1.1 1.1 付氏積分付氏積分1.2 1.2 付氏變換付氏變換1.3 1.3 付氏付氏變換的公式和性質(zhì)1.4 1.4 卷積與相關(guān)函數(shù)卷積與相關(guān)函數(shù)2.1 2.1 拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的概念2.2 2.2 拉氏變換的基本公式和性質(zhì)拉氏變換的基本公式和性質(zhì)2.3 2.3 拉氏逆變換拉氏逆變換2.4 2.4 拉氏變換的應(yīng)用拉氏變換的應(yīng)用.2( (一一) )付氏級(jí)數(shù)付氏級(jí)數(shù) 稱實(shí)系數(shù)R上的實(shí)值函數(shù) f（t） 在閉區(qū)間a,b上滿足狄利克萊（DirichL et）條件，如果它滿足條件： 在a,b上或者連續(xù)，或者只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；

2、f（t）在a,b上只有有限個(gè)極值點(diǎn)。1.1 1.1 付氏積分付氏積分第一章 付里葉變換.3 從T為周期的周期函數(shù)fT(t)，如果在 上滿足狄利克雷條件，那么在 上fT(t)可以展成付氏級(jí)數(shù)，在fT(t)的連續(xù)點(diǎn)處，級(jí)數(shù)的三角形成為2,2TT2,2TT) 1 . 1 . 1 ( )sincos(2)(10nnnTtnbtnaatf 其中 稱為頻率，頻率對(duì)應(yīng)的周期T與fT(t)的周期相同，因而稱為基波頻率，n稱為fT(t)的n次諧波頻率。T2dtefTaTTT)(2220)321( )(222,ndtefTdTTTn)321( sin)(222,ntdtntfTbTTTn.4)0()0(2100t

3、ftf ( (二二) )付氏級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式付氏級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式ntjwTnCnetf)( 在fT(t)的間斷點(diǎn)t0處，式(1.1.1)的左端代之為 即 ( (三三) )付氏積分付氏積分 任何一個(gè)非周期函數(shù)f (t)都可以看成由某個(gè)周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T+時(shí)轉(zhuǎn)化而來(lái)的。)()(limtftfTTdwedtetftfjwtjwt)(21)( 這個(gè)公式稱為函數(shù)f (t)的付里葉積分公式.5 付氏積分定理付氏積分定理 若f (t)在(-，+)上滿足下列條件： 2則積發(fā) 存在,并且在f (t)的連續(xù)點(diǎn)處 1在任一有限區(qū)間滿足狄利克雷條件；dttf)(dtetfwFjwt)()( 而在f (t)的間斷點(diǎn)

4、t0處，應(yīng)以 代替該式左端的f (t)。dtewFtfjwt)(21)()0()0(2100tftf 注注 非周期函數(shù)滿足付氏積分定理的條件1，才能保證函數(shù)在任意有限區(qū)間上能展為付氏級(jí)數(shù)。滿足付氏積分定理的第2條,才能保證 存在。)(limtfTT.61.2 1.2 付氏變換付氏變換 ( (一一) )定義定義1.1.1 1.1.1 設(shè)f (t)和F()分別是定義在R上的實(shí)值和復(fù)值函數(shù)，稱它們是一組付里葉變換對(duì)，如果成立dtetfwFjwt)()(dwewFtfjwt)(21)(并稱F()為f (t)的象函數(shù)或付里葉變換，記為Ff(t)；稱f (t)為F()的象原函數(shù)或付里葉逆變換，記為F-1F

5、() .7例 1 求矩形脈沖函數(shù) 的付氏變換及其積分表達(dá)式。1,1( )0,1tf tt1111( )( )12sini ti ti tiieFf t edtedtieei 00011( )( )( )cos212sin2sincoscosi tf tFe dFtdttdd.824000| | 1sincosd| | 10| | 10,sindsinc( )d2tttttxxxxx因此可知當(dāng)時(shí) 有 Fsin另外，由=2可作出頻譜圖:2 F23sin0k.90,0( )e,0,0.ttf tt例2 求指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換及其積分表達(dá)式 其中tf (t)jj(j)2200( )( )ed1jee

6、dedjttttFf ttttjj2222011j( )( )eded221cossindttf tFtt.1022000cossind/20e0tttttt因此 .11( (二二) )尤拉公式及尤拉公式推出的幾個(gè)公式尤拉公式及尤拉公式推出的幾個(gè)公式 (1.3.8) sincostnjtnetjn)9 .3 .1 (sincostnjtnetjn)10.3 .1 ()(21costjntjneetn)11.3 .1 ()(21sintjntjneejtn.122.2 單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換 在物理和工程技術(shù)中, 常常會(huì)碰到單位脈沖函數(shù). 因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì), 如在電學(xué)中, 要研究

7、線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢(shì)作用后產(chǎn)生的電流; 在力學(xué)中, 要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等. 研究此類問(wèn)題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).13 在原來(lái)電流為零的電路中, 某一瞬時(shí)(設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖, 現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t). 以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù), 則. 0, 1; 0, 0)(tttqttqttqttqtit)()(limd)(d)(0 當(dāng)t0時(shí), i(t)=0, 由于q(t)是不連續(xù)的, 從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下, q(t)在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的.14如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù), 則得ttqtqitt1lim)0()0(lim)0(00 這表明

8、在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度. 為了確定這樣的電流強(qiáng)度, 引進(jìn)一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù), 簡(jiǎn)單記成d-函數(shù): 000tttd有了這種函數(shù), 對(duì)于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量, 例如點(diǎn)電荷, 點(diǎn)熱源, 集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等, 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣, 以統(tǒng)一的方式加以解決.150001( )0000( )lim( )0ttttttttddd 給函數(shù)序列，定義。d(t)1/O0001( )dlim( )dlim1ttttdtdd（在極限與積分可交換意義下）工程上將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。.16 可將d-函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等于1的有向線

9、段表示, 這個(gè)線段的長(zhǎng)度表示d-函數(shù)的積分值, 稱為d-函數(shù)的強(qiáng)度.tOd (t)1d-函數(shù)有性質(zhì)： 00( ) ( )d(0)() ( )d( ).t f ttfttf ttf tf tdd及（為連續(xù)函數(shù)）可見d-函數(shù)和任何連續(xù)函數(shù)的乘積在實(shí)軸上的積分都有明確意義。.17 ( (三三)函數(shù)及其付氏變換函數(shù)及其付氏變換 1.函數(shù)的定義 (1)(狄拉克)滿足一列兩個(gè)條件的函數(shù)稱為函數(shù)。)3 . 2 . 1 ( 1)( 20, 0)( 1dttttdd (2)普通函數(shù)序列極限形式的定義)(lim)(0ttdd其中dtttt, 00 ,; 0, 0)(1 (3)廣義函數(shù)形式的定義 若f (t)為無(wú)窮

10、次可積函數(shù)，則)()()(00tfdttttfd.18d-函數(shù)的傅氏變換為:0 ( )()( )ede1j tj tttFttddF于是d (t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對(duì).11( )12i tteddF2( )i te dtd證法2：若F()=2d (), 由傅氏逆變換可得j01( )2( )ed12tj tf ted 例1 證明：1和2d ()構(gòu)成傅氏變換對(duì).證法1： 12.j tj sedtstedsd F 1.19 3. 3.函數(shù)在積分變換中的作用函數(shù)在積分變換中的作用 (1)有了函數(shù)，對(duì)于點(diǎn)源和脈沖量的研究就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣，以統(tǒng)一的方式來(lái)對(duì)待。 (2)盡管函數(shù)本身沒(méi)有普通

11、意義下的函數(shù)值，但它與任何一個(gè)無(wú)窮次可做的函數(shù)的乘積在(-,+)上的積分都有確定的值。 (3)函數(shù)的付氏變換是廣義付氏變換，許多重要的函數(shù)，如常函數(shù)、符號(hào)函數(shù)、單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等是不滿足付氏積分定理中的絕對(duì)可積條件的(即 不存在)，這些函數(shù)的廣義付氏變換都可以利用函數(shù)而得到。dttf)(.20000jjjj0j01( )( )ed212()edee.2e2()tttttf tF d d 證：即和構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì)。0j0e2()td 例2證明和構(gòu)成一個(gè)傅氏變換對(duì)。由上面兩個(gè)函數(shù)的變換可得0jj()0ed2( )ed2()tttt d d .21 這種頻譜圖稱為離散頻譜離散頻譜

12、，也稱為線狀頻譜線狀頻譜 ( (四四) )付氏變換的物理意義付氏變換的物理意義頻譜頻譜 1.非正弦的周期函數(shù)的頻譜10)sincos(2)(nnnnwtbnwtaatf)sin(sincos22nnnnnnwtbanwtbnwta;, 2 , 1 22nbaAnnnntjwnneCtf)(2 ,2nnnnnnjbaCjbaC222nnnnbaCCnnCA2.22例4 求正弦函數(shù)f (t)=sin0t的傅氏變換。0000j0jjj()j(j0000( ) ( )esindee1ed(ee)d2j2j12()2()j()() .2jttttttFf tt ttt d d d d Ft00O|F()

13、|0sint.23( (一一) )常用函數(shù)付里葉變換公式常用函數(shù)付里葉變換公式 ) 1 . 3 . 1 (1)( F 1)(jtuet(1.3.2) 1=)( F (2)td(1.3.3) )()( =cos F (3)aaatdd(1.3.4) )()( = sin F (4)aajatdd(1.3.5) )(1 =)( F (5)djtH (1.3.6) )(2 =1 F (6)d(1.3.7) )(2= F (7) 00dtje1.3 1.3 付氏變換的付氏變換的公式和性質(zhì).24例 5 證明：0,0( ),1,0tH tt1( )( ).H tjd F證：10111( )( )2111(

14、 )2211cossin2211sin11sin222j tj tj tedjjededjtjtdjttddd d d F.250,20,2sin0ttdt1110,02211( ),0( )2111,022ttH tjtd F.26( (三三) )付氏變換的性質(zhì)付氏變換的性質(zhì) 1線性性質(zhì)。 設(shè)F = ，F(xiàn) = ，和 為常數(shù)，則)(1tf)(1F)(2tf)(2F(1.3.12) )()( = )()(F2121FFtftf(1.3.13) )()(= )()(F2121-1tftfFF2位移性質(zhì) )13. 3 . 1 ()( F)(F00tfettftj)14. 3 . 1 ()()(F01

15、0ttfFetj該性質(zhì)在無(wú)線電技術(shù)中也稱為時(shí)移性質(zhì)。 .273對(duì)稱性質(zhì) 若 ，則 )()(FtfF)14.3 .1 ()(2)(ftFF4相似性質(zhì) 0),()(aFtfF若，則)15. 3 . 1 ()(1)(aFaatfF.285象函數(shù)的位移性質(zhì) 若 ，則 )()(FtfF)16. 3 . 1 ()()(00FtfeFtj)17. 3 . 1 ()()(00tjetfFF象函數(shù)的位移性質(zhì)在無(wú)線電技術(shù)中也稱為頻移性質(zhì)。 6.翻轉(zhuǎn)性質(zhì) 若 ，則 )()(FtfF)18. 3 . 1 ()()(tfFF.29 7.微分性質(zhì) 若f 在 上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn),且當(dāng) 時(shí)， ，則 t,t0)(tf

16、)19. 3 . 1 ()()(tfjtfFF推論 若 （k=1,2,n）在 上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)，且 =0，k=0,1,2,(n-1), 則有 )()(tfk),()(lim)(| |tfkt)20. 3 . 1 ()()()()(tfFjtfFnn.308.象函數(shù)的微分性質(zhì)若 ，則dttfttfF)(,F()(）)21. 3 . 1 ()(F)(tjtfFdd一般地，有)22. 3 . 1 ()()()(tftjFddnnnnF若當(dāng) 時(shí)， = ,則)(tgt0)(dttft)23. 3 . 1 ()(1)(FjdttfFt如果 ，則 0)(limttdttf)24. 3 . 1 (

17、)()0()(1)(dFFjdttfFt9.積分性質(zhì))()(tfFF其中 .3110.象函數(shù)的積分性質(zhì))25. 3 . 1 ()()(1dFtfjtF若 ，則dttftfF)(,F()(）11.乘積定理 若 ， ，則 )()(11FtfF)()(22FtfFdFFdttftf)()(21)()(2121)26. 3 . 1 ()()(2121dFF其中 ， 均為t的實(shí)函數(shù)， 、 分別為 、 的共軛函數(shù)。 )(1tf)(2tf)(1F)(2F)(1F)(2F.3212.能量積分 若 ，則 ）F()(tfF)27. 3 . 1 ()(21)(22dFdttf該等式又稱為巴塞瓦等式。 13.卷積定理

18、 設(shè) ， 滿足付氏積分定理中的條件， 且 ， ，則 )(1tf)(2tf)()(11FtfF)()(22FtfF )28. 3 . 1 ()()()(*)(2121FFtftfF)29. 3 . 1 ()(*)(21)()(2121FFtftfF.331.4 1.4 卷積與相關(guān)函數(shù)卷積與相關(guān)函數(shù) 一、卷積的意義一、卷積的意義 若已知函數(shù)f1(t)，f2(t)，則積分稱為函數(shù)f1(t)與f2(t)的卷積，記為f1(t) * f2(t)，即dtftf)()(21dtftftftf)()()()(2121 二、卷積的性質(zhì)二、卷積的性質(zhì))()()()( . 11221tftftftf)()()()()

19、()(t) . 23121321tftftftftf(tff )()()()()()( . 3321321tftftftftftf.34,22200| | |ccdteedteedteeeFtjcttjcttjtctc.35( (二二) )積分變換的運(yùn)用積分變換的運(yùn)用例 求微分積分方程0d)()0()0( ,d)()(| |2ttxxaettxctxtat.36運(yùn)用微分性質(zhì)及積分性質(zhì)| | |2222222221)(2)(22)(2)(,2)()(tctctetXjteFjccddjccjXccXjcXj.37求解方程0)()( ttxtx.38由微分性質(zhì)，有0)()(0)()()()()()

20、(222 XjddXddXjtXddXjttxFXtxF.39dectXcetXtjjj33132)()(31作傅里葉逆變換.40求下面方程的解, 其中t+, a,b,c均為常數(shù).)(d)()()(thttxctbxtxat.41根據(jù)傅氏變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì), 且記F x(t)=X(), F h(t)=H().在方程兩邊取傅氏變換, 可得 .42cabHXHXcbXXajj)()()()(j)()(.43第二章 拉普拉斯變換2.1 2.1 拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的概念一、拉氏變換和拉氏逆變換的定義一、拉氏變換和拉氏逆變換的定義 設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng) 0時(shí)有定義，而且積分 0)(dtet

21、fst （s是一個(gè)復(fù)參量），在s的某一域內(nèi)收斂，則由此積分決定的函數(shù)可寫為 ) 1 . 2(,)()(0dtetfsFst稱 為 的拉普拉斯變換（簡(jiǎn)稱拉氏變換）或象函數(shù)，記為 ，即)(sF)(tf)(tfL)(tfLF(s)又稱 為 的拉普拉斯逆變換（簡(jiǎn)稱為拉氏逆變換）或象原函數(shù)，記 即)(tf)(sF)(1sF-L)()(1sFtf-L.44 二、拉氏變換的存在定理二、拉氏變換的存在定理 拉氏變換存在定理拉氏變換存在定理 設(shè)函數(shù)f (t)滿足下列條件： 1當(dāng)t0時(shí)，f (t)=0； 2f (t)在t0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限個(gè)，且都是第一類間斷點(diǎn)； 3f (t)是指數(shù)級(jí)函

22、數(shù)。 則f (t)的拉氏變換0)()(dtetfsFst在半平面Re(s)=c上一定存在，此時(shí)上式右端的積分絕對(duì)收斂而且一致收斂，同時(shí)在此半平面內(nèi)，F(xiàn)(s)是解析函數(shù)。.45 關(guān)于拉氏變換存在定理，做如下的幾點(diǎn)說(shuō)明： (1)從物理應(yīng)用觀點(diǎn)來(lái)看，條件2、3都是容易滿足的。實(shí)用上所考察的物理過(guò)程，往往是用時(shí)間函數(shù)來(lái)描述的，并且是從某一時(shí)刻開始，因此可以選這時(shí)刻為t=0，在此以前情況則不加考慮。例如sint，若要對(duì)它進(jìn)行拉氏變換則應(yīng)把它理解為sintu(t)。 (2)工程技術(shù)中所遇到的函數(shù)大部分是存在拉氏變換的。 (3)如果f (t)為指數(shù)級(jí)函數(shù)，則其增長(zhǎng)指數(shù)不唯一。.46 三、關(guān)于拉氏變換的積分下

23、限問(wèn)題三、關(guān)于拉氏變換的積分下限問(wèn)題0)()(dtetftfLst f (t)在t=0包含了脈沖函數(shù)，我們就必須區(qū)分這個(gè)積分區(qū)間包括t=0這一點(diǎn)，還是不包括t=0這一點(diǎn)。 假如包括，我們把積分下限記為0-； 假如不包括，我們把積分下限記為0+，于是得出了不同的拉氏變換。記,)()(0dtetftfLst000)()()()(tfRdtetfdtetftfLstst.472.2 2.2 拉氏變換的基本公式和性質(zhì)拉氏變換的基本公式和性質(zhì)一、常用函數(shù)的拉氏變換公式一、常用函數(shù)的拉氏變換公式 )5 . 2 . 2(0Re,1,1)5()4 . 2 . 2(0Re,cos)3 . 2 . 2(0Re,s

24、in)2 . 2 . 2(Re,1) 1 . 2 . 2(0Re,112222smsmtskssktskskktksksesstummktLL (4)L (3)L (2)L (1)當(dāng)m為正整數(shù)時(shí)，有 )6 . 2 . 2(.0Re,!1ssmtmmL )7 . 2 . 2(1mmm注函數(shù)具有如下的遞推公式 .48當(dāng)m是正整數(shù)時(shí)， )8 . 2 . 2(.1！mm )9 . 2 . 2(.21 )12. 2 . 2(Re)8()11. 2 . 2(Re)7()10. 2 . 2(Re12222ksksschktkskskshktstLLL(6)(9)設(shè) 是0，+)上的周期為T的函數(shù)，即 tf 1

25、,0,nTttfnTtf則 的拉氏變換為 tf )13. 2 . 2(0Re,110TstsTsdtetfetfL.49二、拉氏變換的性質(zhì)二、拉氏變換的性質(zhì) 設(shè) 則有 cssFtfReL sFtf11L tf2L sF2(1) 線性性質(zhì)（設(shè)、為常數(shù)） )14. 2 . 2(.2121sFsFtftfL（2）位移性質(zhì)（設(shè)a為常數(shù)） )15. 2 . 2(.Re,casasFtfeat L（3）延遲性質(zhì) 若t0時(shí) ，則對(duì)任一非負(fù)實(shí)數(shù) 有 0tf0t ,00sFettfstL亦可寫為 )16. 2 . 2(.000sFettuttfstL.50注注 中的 意味著（當(dāng) 時(shí)） 0ttfL0ttf, 00

26、ttf0tt 只有此式成立時(shí)才能使用延遲性質(zhì)，這一點(diǎn)容易被忽略，因而造成錯(cuò)誤，為了避免出現(xiàn)這種錯(cuò)誤。故將延遲性質(zhì)寫為(2.2.16)式的形式。 (4)微分性質(zhì) )17. 2 . 2(0fssFtfL推論推論 = tfnL 0021fsfssFsnnn )18. 2 . 2(Re,01csfn特別地，當(dāng)初值 時(shí)，有 00001nfff )18. 2 . 2(sFstfnnL.51(5)積分性質(zhì) )19. 2 . 2(10sFsdttftL推論推論 )20. 2 . 2(.1000sFsdttfdtdtnnttt次L(6)象函數(shù)微分性質(zhì) )21. 2 . 2(RecssFdsdttfL一般地，有 )22. 2 . 2(.Re,cssFdsdtftnnnL(7)象函數(shù)積分性質(zhì) 若積分 收斂，則 sdssF )23. 2 . 2(1sdssFtftL