第五講多元函數(shù)微分法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1第五講多元函數(shù)微分法第五講多元函數(shù)微分法 )(0oPPU00 PP1. 鄰域鄰域平面點(diǎn)集, ) ,(0PPU稱為點(diǎn) P0 的 鄰域鄰域. ),(),(0yxPU說明：說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 ,也可寫成點(diǎn) P0 的去心鄰域去心鄰域記為0PP)()(2020yyxx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0000(,),PP xy設(shè) 點(diǎn)為則. )(0PU)(0PU0P第1頁/共39頁2. 區(qū)域區(qū)域區(qū)域的邊界，區(qū)域的邊界，開區(qū)域與閉區(qū)域，開區(qū)域與閉區(qū)域，有界區(qū)域、無界區(qū)域有界區(qū)域、無界區(qū)域區(qū)域的直徑區(qū)域的直徑第2頁/共39頁0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(

2、22yxyx開區(qū)域閉區(qū)域機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyo21xyoxyoxyo21第3頁/共39頁, ,x y z點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域定義域 ; 時(shí)，對應(yīng)的z值稱為函數(shù)值函數(shù)值 .記為 ： 同理可定義三元函數(shù)( , , ),( , , )uf x y zx y zD當(dāng), x y取定一對值時(shí)，按照一定的規(guī)律 總有惟一確定的z值與之對應(yīng)，則稱z為x,y的二二元函數(shù)元函數(shù) ,記為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , ),( , )zf x yx yD00,xxyy00(,)f xy3.多元函數(shù)的定義：多元函數(shù)的定義：第4頁/共39頁aXY.)ln(.的定義域求函數(shù)例2221yx

3、az,.0222yxa解.的定義域?yàn)楹瘮?shù) zayx222222ayxyxD| ),(第5頁/共39頁.)arcsin(),(.的定義域求例22232yxyxyxf013222yxyx.解22242yxyx.,),(22242yxyxyxD所求定義域?yàn)榈?頁/共39頁. ),(,.yxfyxxyyxf求設(shè)例223xyvyxu設(shè)解 .vuvyvux11則2211vuvvuvuf),(.)(vvu112.)(),(yyxyxf112第7頁/共39頁定義定義2. 設(shè)設(shè) 二元函數(shù)二元函數(shù)( , ),zf x y以任何方式趨近點(diǎn)以任何方式趨近點(diǎn) 00(,)xy( ,)f x y則稱則稱 A 為函為函數(shù)數(shù)(

4、也稱為也稱為 二二 重極限重極限)二元函數(shù)的極限可記為：二元函數(shù)的極限可記為：00( , )(,)lim( , )x yxyf x yA 如果當(dāng)點(diǎn)如果當(dāng)點(diǎn)時(shí)，時(shí)，記作00( , )( , )(,)f x yx yxy當(dāng)時(shí)的極限00lim( , )xxyyf x yA確定的常數(shù)確定的常數(shù)A,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( ,)x y無限趨近一個(gè)無限趨近一個(gè)第8頁/共39頁 若當(dāng)點(diǎn)),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，解解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點(diǎn) (0,

5、0) 的極限.),(yxf故則可以斷定函數(shù)極限則有21kkk 值不同極限不同值不同極限不同 !在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在 .以不同方式趨于,),(000時(shí)yxP不存在 .函數(shù)第9頁/共39頁定義定義3 . 設(shè) 二二元函數(shù)( ,)fx y定義在 D 上,0000( , )(,)lim( , )(,)x yxyf x yf xy00( , )(,)f x yxy在點(diǎn)如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上00(,),xyD點(diǎn)如果否則稱為不連續(xù),00(,)xy此時(shí)稱為間斷點(diǎn) .則稱 二二 元函數(shù)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 連續(xù).連續(xù), 第10頁/共39頁22220111 0

6、15. lim1.01xyxyxy 例006. lim1 1xyxyxy 例111100)()(limyxyxyxyx1100yxyxlim.2第11頁/共39頁xyxfyxxfzyxfyxfxxzyxfzxxx ),(),(lim),(),(:, ),(0偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義定義設(shè)設(shè)yyxfyyxfzyxfyxfyyzyyy ),(),(lim),(),(0偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù). ),(),(),(zyxfzyxfzyxfzyx類似地可定義類似地可定義第12頁/共39頁;32.yxxz 解解.23yxyz ,8231221 yxxz.7221321 yxyz對對某某個(gè)個(gè)自自變變量量求求導(dǎo)導(dǎo)公公式式求求偏

7、偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)使使用用一一元元函函數(shù)數(shù),.,其余自變量視為常量其余自變量視為常量只有這一個(gè)自變量在變只有這一個(gè)自變量在變求導(dǎo)時(shí)求導(dǎo)時(shí).)2,1(3.122處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)求求例例yxyxz 第13頁/共39頁證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立, )1,0(.2 xxxzy設(shè)設(shè)例例.2ln1zyzxxzyx 求證求證第14頁/共39頁有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：、求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義來求定義來求 ；、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系、偏

8、導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)一元函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)連續(xù) ，多元函數(shù)在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù) . ;,不能拆分不能拆分是一個(gè)整體記號是一個(gè)整體記號偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)xu 第15頁/共39頁, ),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy , ),(2yxfyxzxzyyx ),(2yxfxyzyzxxy 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為 混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù) .第16頁/共39頁解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62x

9、y 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2.19622 yyxyxz 2,19622 yyxxyzyxz 22,13.5323 xyxyyxz設(shè)設(shè)例例.,33222222xzyzyxzxyzxz 求求第17頁/共39頁解解,cosbyeaxuxa ;sinbybeyuxa ,cos222byeaxuxa ,cos222byebyuxa ,sin2byabeyxuxa .sin2byabexyuxa xyuyxu 22.,cos.6的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)求求設(shè)設(shè)例例ubyeuax 第18頁/共39頁的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)如果函數(shù)定理),(yxfz 那么在那么在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在區(qū)域

10、在區(qū)域及及數(shù)數(shù),22Dyxzxyz .合偏導(dǎo)數(shù)必相等合偏導(dǎo)數(shù)必相等該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混227.( , )lnu x yxy例驗(yàn)證函數(shù)滿足拉普拉斯.0)Laplace(2222 yuxu方程方程?:都相等嗎都相等嗎與與混合偏導(dǎo)數(shù)混合偏導(dǎo)數(shù)問題問題xyyxff?具備怎樣的條件才相等具備怎樣的條件才相等第19頁/共39頁, )ln(21ln2222yxyx 解解,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyy

11、uxu .0 第20頁/共39頁),(yxfu 二元函數(shù)),(),(yxfyxxf ),(),(yxfyyxf )(),(),(1yxfyyxxfu :的偏增量函數(shù)對 x:的偏增量函數(shù)對 y:),(的全增量函數(shù)yxfu )(, )(.2 oyBxAu 如果定義.,22yxyxBA 無關(guān)和與,),(),(可微分在點(diǎn)則稱yxyxfu ,),(點(diǎn)的全微分在為函數(shù)稱yxuyBxA .yBxAud 記為第21頁/共39頁.),(),(.連續(xù)可微定理yxfyxfu1,內(nèi)各點(diǎn)都可微分在區(qū)域如果函數(shù)Du.內(nèi)可微在則稱Du),(,),(),(.yxyxyxfu則在可微分在點(diǎn)如果定理2.,且存在點(diǎn)yxffyfxf

12、udyx ydfxdfudyxyfxfyx ),(),(,zyxzyxfu在點(diǎn)若三元函數(shù)類似地.,且存在則可微zyxfffdzfdyfdxfudzyx第22頁/共39頁,.xyyexz解,xyexyz,),(212exz,),(2122eyz.ydexdezd222所求全微分.),(.處的全微分在點(diǎn)計(jì)算函數(shù)例121xyez 第23頁/共39頁, )sin(.yxyxz2解, )sin()cos(yxyyxyz222ydyzxdxzzd ,444. )( 7482, )cos(. yxyxyz422當(dāng)求函數(shù)例.,時(shí)的全微分 ydxd4第24頁/共39頁,.1xu解,cosyzezyyu221,y

13、zeyzu.coszdeyydezyxdudyzyz221.sin.的全微分計(jì)算函數(shù)例yzeyxu23所求全微分第25頁/共39頁多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函函數(shù)數(shù)可可偏偏導(dǎo)導(dǎo)第26頁/共39頁:一元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t, )(, )(xguufy設(shè)xdxgufudufyd)()()(則.)()(xgufxdyd或:多元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t,可微uf,)()(, ),(.tyytxxyxfu設(shè)定理1.)(, )(,可導(dǎo)可微tytxf則)()(tyutxutdudyxtuxy第27頁/共39頁,)()()(, ),(.tz

14、ztyytxxzyxfu對于推廣.有xyztu.)(, )(, )(,可導(dǎo)可微tztytxf)()()(tzutyutxutdudzyx以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為tdud第28頁/共39頁xvvzxuuzxz.解1 veyveuucossin,)cossin(vvyeu1 vexveuucossin.)cossin(vvxeuzuvxy,sin.yxvyxuvezu而設(shè)例1.yzxz和求yvvzyuuzyz第29頁/共39頁1 tztdvdvztduduztdzd.解#cossinttuvetttetettcossincos.cos)sin(costttetzuvtt,cos,

15、sin.tveutuvzt而設(shè)例2.tdzd求全導(dǎo)數(shù)第30頁/共39頁為簡便起見 , 引入記號,2121vuffuff ),(1zyxzyxff 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zyxzyxfw求,.wwxz解解: 令,zyxvzyxuxw),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy則wz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1f 2fxy第31頁/共39頁例例4xuy11f 11fyyu1f )(2yx2f z1zu2f )(2zy2121fzfyx22fzy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyyxfu,uuuxyz求解：第32頁/共39頁定理定理1. 設(shè)函數(shù)),(00yxP)

16、,(yxF;0),(00yxF則方程00),(xyxF在點(diǎn)單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)yxFFxydd(隱函數(shù)求導(dǎo)公式) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足0),(00yxFy滿足條件機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 導(dǎo)數(shù)第33頁/共39頁01sinyxeyx在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù), )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1sin),(yxeyyxFx,0)0 , 0(F, yeFxx連續(xù) ,由 定理1 可知,1)0 , 0(yF0, )(xfy 導(dǎo)的隱函數(shù) 則xyFy cos在

17、x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 并求第34頁/共39頁0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22ddyx)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy22ddyx第35頁/共39頁則則,arctanln),(xyyxyxF22令令解解,),(22yxyxyxFx,),(22yxxyyxFyyxFFxdyd.xyyx.,arctanlnxdydxyyx求求已知已知例例222第36頁/共39頁若函數(shù) ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某