等邊三角形(成都市東湖中學(xué)專用)

1、 等邊三角形等邊三角形名名稱稱圖圖 形形性性 質(zhì)質(zhì) 判判 定定等等 腰腰 三三 角角 形形A AB BC C等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角三線合一三線合一等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊兩邊相等兩邊相等兩腰相等兩腰相等軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形知識(shí)回顧知識(shí)回顧學(xué)習(xí)園地學(xué)習(xí)園地A AB BC C有兩邊相等的三角形是有兩邊相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形。2 2、等腰三角形的頂角平分線，底、等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線和底邊上的高互相重邊上的中線和底邊上的高互相重合合. . (三線合一三線合一)1 1、等腰三角形的兩個(gè)底角相、等腰三角形的兩個(gè)底角相等等. .( (簡(jiǎn)簡(jiǎn) 寫(xiě)成寫(xiě)成“等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角”) )等腰三

2、角形性質(zhì)：等腰三角形性質(zhì)：等腰三角形等腰三角形等邊三角形等邊三角形一般一般三角形三角形一般三角形一般三角形等腰等腰三角形三角形等邊三角形等邊三角形底底腰腰底腰底腰有兩條邊相等有兩條邊相等等腰三角形的定義：等腰三角形的定義： 三條邊都相等的三角形是等邊三角形。三條邊都相等的三角形是等邊三角形。 等邊三角形是軸對(duì)稱圖像，也稱為正三角形。等邊三角形是軸對(duì)稱圖像，也稱為正三角形。1、請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出一個(gè)等邊三角形，用量角器量出各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，并提出猜想。2、用已學(xué)的知識(shí)，通過(guò)推理得到你的猜想是否正確？A AB BC C證明：證明： ABAC A+B+C180 ABC BC同理同理 AB ABC1803 6

3、0.(等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角)(已知已知)(三角形內(nèi)角和為三角形內(nèi)角和為180)已知：已知：ABC中，中，ABAC=BC。 求證：求證：ABC 60等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的性質(zhì)： 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都都相等，并且每個(gè)角都等于等于60。 1、三個(gè)角都相等的三角形是一個(gè)怎么樣的三角形？2、有一個(gè)角是60的等腰三角形是一個(gè)怎么樣的三角形？底角是60頂角是60一般三角形等邊三角形 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形. 有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊 三角形.等邊三角形等腰三角形等邊三角形的判定：等邊三角形的判定：例例1：如圖，如圖，是等邊三角形，是等邊三角形

4、，交，于，交，于，求證：求證： 是等邊三角形是等邊三角形ECBDA證明證明： 是等邊三角形是等邊三角形ABC 60 AB， AC 是等邊三角形（）是等邊三角形（） A AA三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形圖形圖形 等腰三角形等腰三角形 （腰（腰底）底）定義定義兩邊相等的三角形兩邊相等的三角形性性 質(zhì)質(zhì)兩個(gè)底角相等兩個(gè)底角相等關(guān)系關(guān)系三線合三線合一一三個(gè)角都相等，各內(nèi)角都是三個(gè)角都相等，各內(nèi)角都是60 軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形（1條）條）三線合一三線合一等邊三角形等邊三角形一定一定是等腰三角形，等腰三角是等腰三角形，等腰三角形形不一定不一定是等邊三角形是等邊三角形.

5、.三邊都相等的三角形三邊都相等的三角形軸對(duì)稱圖形（軸對(duì)稱圖形（3 3條）條）等邊三角形等邊三角形類比：類比：1、已知ABC中，A=B=60，AB=3厘米，則ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)9cm2.若一等腰三角形的腰與底邊相等，給出以下結(jié)論： 該三角形的底角與頂角相等；該三角形的頂角為60；該三角形的底角為60；該三角形的三內(nèi)角均為60；一腰上的中線也是這條腰上的高。其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ） 5個(gè)A AB BC C等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)2.等邊三角形的內(nèi)角都相等等邊三角形的內(nèi)角都相等,且等于且等于60 3.等邊三角形各邊上中線等邊三角形各邊上中線,高和所對(duì)角的平高和所對(duì)角的平分線都三線合一分線都三

6、線合一.1 .三條邊相等三條邊相等A AB BC CA AB BC C等邊三角形的判定方法等邊三角形的判定方法: 1.三邊相等的三角形是等邊三角形三邊相等的三角形是等邊三角形.2.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.3.有一個(gè)內(nèi)角等于有一個(gè)內(nèi)角等于60 的等腰三角形是的等腰三角形是等邊三角形等邊三角形.例例1 等邊三角形等邊三角形ABC的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)等于21， 求：（求：（1）各邊的長(zhǎng)；）各邊的長(zhǎng)； （2）各角的度數(shù)。）各角的度數(shù)。解：解：（1）ABBCCA， 又又 ABBCCA21（已知已知）ABBCCA21/37（）（）（2）ABBCCA，（，（已知已知）

7、A BC60（等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于60） ABC（1 1）在邊）在邊ABAB，ACAC，分別截取，分別截取AD=AEAD=AEABCDE(1) 解：解：ADE是等邊三角形，是等邊三角形， AD=AE， ADE是等腰三角形是等腰三角形 又又ABC是等邊三角形，是等邊三角形， A=60 ADE是等邊三角形是等邊三角形（有一個(gè)角是（有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形）的等腰三角形是等邊三角形）（1 1）在邊）在邊ABAB，ACAC，分別截取，分別截取AD=AEAD=AE（2 2）ADE=60ADE=60，D D，E E分別在邊分別在邊ABAB，ACAC上上ABCD

8、E(2) 解：解：ADE是等邊三角形，是等邊三角形， ABC是等邊三角形，是等邊三角形， A=60 又又 ADE=60ADE=60， AED= 180-A-ADEADE= 60 AED=A=ADEADE = 60 ADE是等邊三角形是等邊三角形（三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形）（三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形）（1 1）在邊）在邊ABAB，ACAC，分別截取，分別截取AD=AEAD=AE（2 2）ADE=60ADE=60，D D，E E分別在邊分別在邊ABAB，ACAC上上（3 3）過(guò)邊）過(guò)邊ABAB上上D D點(diǎn)，作點(diǎn)，作DEBCDEBC，交，交ACAC于于E E點(diǎn)點(diǎn)ABCDE(3) 解：

9、解： ADE是等邊三角形，是等邊三角形， ABC是等邊三角形（已知），是等邊三角形（已知）， A=B=C（等邊三角形各角相等）（等邊三角形各角相等） DEBC， ADE=B，AED=C （兩直線平行，同位角相等）（兩直線平行，同位角相等） A=ADE=AED ADE是等邊三角形是等邊三角形 （三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形）（三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形）、下列四個(gè)說(shuō)法中，不正確的有（、下列四個(gè)說(shuō)法中，不正確的有（ ）（A）0個(gè)（個(gè)（B）1個(gè)（個(gè)（C）2個(gè)（個(gè)（D）3個(gè)個(gè)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。有兩個(gè)角等于有兩個(gè)角等于60的三角形是等邊三角形。

10、的三角形是等邊三角形。有一個(gè)是有一個(gè)是60的等腰三角形是等邊三角形。的等腰三角形是等邊三角形。有兩個(gè)角相等的等腰三角形是等邊三角形。有兩個(gè)角相等的等腰三角形是等邊三角形。 、等邊三角形的對(duì)稱軸有（、等邊三角形的對(duì)稱軸有（ ）（A）1條（條（B）2條（條（C）3條（條（D）4條條、等邊三角形中，高、中線、角平分線共有（、等邊三角形中，高、中線、角平分線共有（ ）（A）3條（條（B）6條（條（C）9條（條（D）7條條（選擇）（選擇）如圖，等邊三角形如圖，等邊三角形ABC中，中，AD是是BC上的高，上的高，BDE=CDF=60， 圖中有哪些與圖中有哪些與BD相等的線段？相等的線段？ 答案：答案：BD

11、=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF E D C A B F反饋練習(xí)：反饋練習(xí)：如圖，如圖，ABC是等邊三角形，是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)是中線，延長(zhǎng)BC到到E，使，使CE=CD求證：求證：DB=DE證明：證明： ABC是等邊三角形，是等邊三角形， 且且BD是中線，是中線， BDAC， ACB=60，DBC=30 又又CD=CE， CDE=E=ACB=30 DBC=E DB=DE E D C A B反饋練習(xí)：反饋練習(xí)：等邊三角形等邊三角形ABC的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)等于12，求：（求：（1）各邊的長(zhǎng)；）各邊的長(zhǎng)； （2）各角的度數(shù)。）各角的度數(shù)。名名稱稱圖圖 形形性性 質(zhì)質(zhì) 等等 邊邊 三

12、三 角角 形形A AB BC C三個(gè)角都相等，且都為三個(gè)角都相等，且都為6060三線合一三線合一三條邊都相等三條邊都相等軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸名名稱稱圖圖 形形 判判 定定 等等 邊邊 三三 角角 形形A AB BC C一、回顧與反思一、回顧與反思 1 1、等邊三角形三邊、等邊三角形三邊 , ,三個(gè)角都等三個(gè)角都等于于 度度. .2 2、如圖、如圖, ,已知已知ABCABC和和BDEBDE都是等邊三角形都是等邊三角形, ,求證求證:AE=CD:AE=CDA AB BC CD DE E證明證明: : ABCABC和和BDEBDE都是等邊三角形都是等邊三角形 AB=AC,

13、BE=BD,ABC=DBE=60AB=AC,BE=BD,ABC=DBE=60 在在ABEABE和和CBDCBD中中, , AB=AC ABC=DBE,BE=BD AB=AC ABC=DBE,BE=BD ABEABECBDCBD AE=CD AE=CD相等相等6060三三一般三角形等邊三角形 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形. 有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊 三角形.等邊三角形等腰三角形問(wèn)題問(wèn)題P57:10:P57:10:如圖所示，上午如圖所示，上午8 8時(shí)時(shí), ,一條船一條船從從A A處出發(fā)以處出發(fā)以1515海里海里/ /小時(shí)的速度向正北航小時(shí)的速度向正北航行行,10,10時(shí)到達(dá)時(shí)到達(dá)B B

14、處處, ,從從A A、B B望燈塔望燈塔C C，測(cè)得，測(cè)得NAC=42NAC=42， NBC=84NBC=84，求從，求從B B處到燈處到燈塔塔C C的距離。的距離。CABN北分析：利用三角形的一個(gè)外分析：利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得出角的和可得出C=42C=42，從而得出，再由從而得出，再由（海里），得（海里），得到到 （海里）（海里）活動(dòng)用兩個(gè)全等的含活動(dòng)用兩個(gè)全等的含30角的直角三角尺，你能角的直角三角尺，你能拼出怎樣的三角形？能拼出等邊三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的拼出怎樣的三角形？能拼出等邊三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由理由 活動(dòng)操作，探索性質(zhì)活動(dòng)操作

15、，探索性質(zhì)A B D C A B C D BC = = AB 12活動(dòng)操作，探索性質(zhì)活動(dòng)操作，探索性質(zhì)問(wèn)題你能借助這個(gè)圖形，找到含問(wèn)題你能借助這個(gè)圖形，找到含30角的直角角的直角 ABC 的直角邊的直角邊BC 與斜邊與斜邊AB 之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎？之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎？ A B D C BACD將兩個(gè)含有板有將兩個(gè)含有板有30的三角尺如圖擺放在的三角尺如圖擺放在一起你能借助這個(gè)圖形一起你能借助這個(gè)圖形,找到找到RtABC的直的直角邊角邊BC與斜邊與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎之間的數(shù)量關(guān)系嗎?ABC與與ADC關(guān)于關(guān)于AC軸對(duì)稱軸對(duì)稱ABADABD是等邊三角形是等邊三角形又又ACBDBCDC1/2

16、AB你還能用其他你還能用其他方法證明嗎方法證明嗎?思考這個(gè)命題是真命題嗎？請(qǐng)進(jìn)行證明思考這個(gè)命題是真命題嗎？請(qǐng)進(jìn)行證明 問(wèn)題請(qǐng)說(shuō)一說(shuō)你猜想的命題中，條件和結(jié)論分別問(wèn)題請(qǐng)說(shuō)一說(shuō)你猜想的命題中，條件和結(jié)論分別是什么？并結(jié)合圖形，用符號(hào)語(yǔ)言表述出來(lái)是什么？并結(jié)合圖形，用符號(hào)語(yǔ)言表述出來(lái). .活動(dòng)操作，探索性質(zhì)活動(dòng)操作，探索性質(zhì)猜想在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于猜想在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半. .證明：證明：延長(zhǎng)延長(zhǎng)BC 到到D，使，使BD = =AB，連接連接AD，則，則ABD 是等邊三角形是等邊三角形在在ABC 中，中，

17、C = =90，A = =30, , B = =60已知：如圖，在已知：如圖，在RtABC 中，中，C = =90，A = =30. . 求證：求證：BC = = AB21活動(dòng)操作，探索性質(zhì)活動(dòng)操作，探索性質(zhì)ABCD AC 也是也是BD 邊上的中線，邊上的中線，2121BC = = BD = = AB 由等邊三角形的性質(zhì)可知，由等邊三角形的性質(zhì)可知，動(dòng)手操作，探索性質(zhì)動(dòng)手操作，探索性質(zhì)另證：另證：作作BCE = =60，交，交AB于于E，連接，連接CE，則則ACE = =90- -60= =30在在ABC 中，中，ACB= =90，A = =30，B = =60在在BCE 中，中，BCE= =

18、60，B = =60，BCE 是等邊三角形是等邊三角形BC = =BE = =CEEABC動(dòng)手操作，探索性質(zhì)動(dòng)手操作，探索性質(zhì)21BC = =BE = =AE = = AB 另證：另證：在在ACE 中，中，A= =30，ACE = =30，AEC是等腰三角形是等腰三角形CE = =AEBC = =BE = =CE = =AEEABC符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：在在RtABC 中，中，C = =90，A = =30，動(dòng)手操作，探索性質(zhì)動(dòng)手操作，探索性質(zhì)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么，那么 它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半. .ABCBC

19、 = = AB215課堂練習(xí)課堂練習(xí)練習(xí)練習(xí)1如圖，在如圖，在ABC 中，中，C = =90，A = = 30，AB = =10，則，則BC 的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 A B C 1課堂練習(xí)課堂練習(xí)練習(xí)練習(xí)2如圖，在如圖，在ABC 中，中，ACB = =90，CD 是是 高，高，A = =30，AB = =4則則BD = = . . A B C D 思考思考圖中圖中BC、DE 分分別是哪個(gè)直角三角形的直角別是哪個(gè)直角三角形的直角邊？它們所對(duì)的銳角分別是邊？它們所對(duì)的銳角分別是多少度？多少度？ 性質(zhì)運(yùn)用性質(zhì)運(yùn)用例如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)例如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D 是斜梁是斜梁AB 的中點(diǎn)，立柱的中

20、點(diǎn)，立柱BC、DE 垂直于橫梁垂直于橫梁AC，AB = =7. .4 cm，A = =30，立柱，立柱BC、DE 要多長(zhǎng)？要多長(zhǎng)？ABCDE解：解：DEAC，BCAC，A = =30，2121BC = = AB，DE = = AD21又又AD = = AB，21DE = = AD = =1. .85（m） BC = =3. .7（m）答：答：立柱立柱BC 的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是3. .7 m，DE 的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是1. .85 m性質(zhì)運(yùn)用性質(zhì)運(yùn)用例如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)例如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D 是斜梁是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱的中點(diǎn)，立柱BC、DE 垂直于橫梁垂直于橫梁AC，AB = =7. .4

21、 cm，A = =30，立柱，立柱BC、DE 要多長(zhǎng)？要多長(zhǎng)？ABCDE性質(zhì)運(yùn)用性質(zhì)運(yùn)用練習(xí)練習(xí)3RtABC 中，中，C = =90，B = =2A，B 和和A 各是多少度？邊各是多少度？邊AB 與與BC 之間有什么關(guān)系？之間有什么關(guān)系？在直角三角形中在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于如果一個(gè)銳角等于30,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.A）30BC在直角在直角ABC中中A30AC2BC在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30 例例5. 下圖是屋架設(shè)計(jì)

22、圖的一部分下圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分,點(diǎn)點(diǎn)D是斜梁是斜梁AB的中點(diǎn)的中點(diǎn),立柱立柱BC、 DE垂直于橫梁垂直于橫梁AC, AB7.4m, A30, 立柱立柱BC 、 DE要多長(zhǎng)要多長(zhǎng)?ABDEC解解:DEAC, BCAC, A30可得可得 2BCAB, 2DEAD BC1/2 7.43.7m又又 AD1/2 ABDE1/2 AD1/2 3.71.85m答答:立柱立柱BC的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是3.7m,DE的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是1.85m.例例等腰三角形的底角為等腰三角形的底角為15,腰長(zhǎng)為腰長(zhǎng)為2a,求腰上的高求腰上的高 已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC=2a，ABC=ACB=15，CD是腰是腰AB上的高上的高 求：求：CD的長(zhǎng)的