概率ACH1-習(xí)題課

1、第一章第一章 概率論基礎(chǔ)概率論基礎(chǔ)一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)二、作業(yè)講解二、作業(yè)講解三、典例分析三、典例分析 1. 1. 基本概念基本概念 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn), ,樣本空間樣本空間, , 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn), ,隨機(jī)事件隨機(jī)事件, ,概率概率, ,條條件概率件概率; ;事件的互不相容事件的互不相容, ,事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性. .A A與與B B互不相容互不相容 A AB= B= A A與與B B相互獨(dú)立相互獨(dú)立 P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B) 2. 2. 事件間的基本運(yùn)算事件間的基本運(yùn)算)()()(),()()(CABACBAACABCBA BABABABA ABABAB

2、A 注注:當(dāng)當(dāng)P(A),P(B)0兩者不兩者不能同時成立能同時成立一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)3. 概率的計算方法概率的計算方法 直接計算直接計算中中樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)總總數(shù)數(shù)中中包包含含的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)個個數(shù)數(shù)SAP(A) 注注: :放回抽樣放回抽樣, ,不放回抽樣不放回抽樣, , 利用公式利用公式條件概率公式條件概率公式)()()|(APABPABP 乘法公式乘法公式)|()()(ABPAPABP )()()()(:,ABPBPAPBAPBA 事事件件)()(,111iniininAPAPAA 兩兩兩兩互互不不相相容容)(1)(APAP 加法公式加法公式)()( mGmp分子分母針對同一樣本空間分子

3、分母針對同一樣本空間. .重要技巧重要技巧)()()()(ABPAPABAPBAP 貝葉斯公式貝葉斯公式全概率公式全概率公式 niiiniiBPBAPABPAP11)()|()()(niBPBAPBPBAPAPABPABPnjjjiiii, 2 , 1)()|()()|()()()|(1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性)()(1)(1)(1)()()()(111111nnnnnnAPAPAAPAAPAAPAPAPAAP CBAABC 這是這是A,B,C全部發(fā)生的對立事件，它表示的是全部發(fā)生的對立事件，它表示的是A,B,C不都不都發(fā)生（至少有一個不發(fā)生）發(fā)生（至少有一個不發(fā)生） P24T2(5) 表示

4、表示A,B,C都不都不發(fā)生發(fā)生二、作業(yè)點(diǎn)評二、作業(yè)點(diǎn)評 2(6) 表示表示A,B,C不多于不多于一個一個發(fā)生發(fā)生CBACBACBACBA 等價說法：等價說法：A,B,C至少有兩個至少有兩個不不發(fā)生發(fā)生CACBBA 2(7) 表示表示A,B,C不多于不多于兩個兩個發(fā)生發(fā)生 等價說法：等價說法：A,B,C至少有一個至少有一個不不發(fā)生發(fā)生CBA 對立說法：對立說法：A,B,C三個都三個都發(fā)生的對立事件發(fā)生的對立事件ABC 2(8) 表示表示A,B,C至少有至少有兩個兩個發(fā)生發(fā)生ACBCAB31025CC121 31024CC201=6、在房間里有在房間里有1010個人，分別佩帶從個人，分別佩帶從1

5、1號到號到1010號的紀(jì)念章，號的紀(jì)念章， 任選任選3 3人記錄其紀(jì)念章的號碼。人記錄其紀(jì)念章的號碼。 (1)(1)求最小號碼為求最小號碼為5 5的概率。的概率。 (2)(2)求最大號碼為求最大號碼為5 5的概率。的概率。(2)(2)最大號碼為最大號碼為5 5，即從，即從1 1，2 2，3 3，4 4里選兩個，里選兩個，(1)(1)最小號碼為最小號碼為5,5,即從即從6 6、7 7、8 8、9 9、1010里選兩個里選兩個, ,分析：分析：所求概率為所求概率為:樣本空間：樣本空間：310C所求概率為：所求概率為：2001500110110090400)(CCCAP 則則200150019911

6、00140020011001)(:CCCCBP 則則8、從一批由從一批由11001100件正品，件正品，400400件次品組成的產(chǎn)品中件次品組成的產(chǎn)品中 任取任取200200件件. .求：求：(1)(1)恰有恰有9090件次品的概率件次品的概率;(2);(2)至少有至少有2 2件次品的概率。件次品的概率。（2）解解:（1）樣本空間：）樣本空間：記記A:“恰有恰有90件次品件次品”記記B:“至少有兩件次品至少有兩件次品”2001500C9、從從5 5雙不同的鞋子中任取雙不同的鞋子中任取4 4只，這只，這4 4只鞋子中只鞋子中“至少有兩只至少有兩只 配成一雙配成一雙”（事件（事件A）的概率是多少？

7、）的概率是多少？ 9 97 73 32 21 14 45 56 68 81010樣本空間總數(shù)樣本空間總數(shù): :210410 C 解解：事件事件A:4:4只恰成只恰成1 1雙或恰成雙或恰成2 2雙雙. .4 4只恰成只恰成1 1雙的取法雙的取法: :12012122415 CCCC4 4只恰成只恰成2 2雙的取法雙的取法: :1025 C2113)(4102512122415 CCCCCCAP只只全全不不成成雙雙的的取取法法：4:A801212121245 CCCCC120-142815）（或CCC130=252815CCC-1664334 A16943131423 CCC161431433 C

8、C11、將將3 3只球隨機(jī)的放入只球隨機(jī)的放入4 4個杯子中，求杯子中球的最大個數(shù)個杯子中，求杯子中球的最大個數(shù)分別為分別為1 1，2 2，3 3的概率。的概率。杯中最多有兩個球時，概率為：杯中最多有兩個球時，概率為：杯中最多有三個球時，概率為：杯中最多有三個球時，概率為：解解：杯中最多有一個球時，概率為：杯中最多有一個球時，概率為：)()()(BAPAPABP )()()()()()()(BAPBPAPABPBAPABPBABP .25. 05 . 06 . 07 . 02 . 0 解：解：=0.7-0.5=0.2=0.7-0.5=0.2 , 4 . 0, 3 . 0 BPAP , 5 .

9、0 BAP .BABP 求求 (1) (1)已知已知14、16、解解: 設(shè)設(shè)A=“孩子得病孩子得病”, B=“母親得病母親得病”， C=“父親得病父親得病”. 則：則： . 4 . 0)(, 5 . 0)(, 6 . 0 ABCPABPAP所求為：所求為： CABP)|()|()(=ABCPABPAP.-180=)4 . 01(5 . 06 . 0=18、某人忘記了電話號碼的最后一位數(shù)字，因而他隨意地某人忘記了電話號碼的最后一位數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?。求他撥號不超過三次而接通所需電話的概率。若已撥號。求他撥號不超過三次而接通所需電話的概率。若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，概率為多少？知最后一個數(shù)字是

10、奇數(shù)，概率為多少？設(shè)設(shè)Ai=“某人第某人第i 次接通電話次接通電話” (i =1,2,3)， A=“某人撥號不超過三次而接通電話某人撥號不超過三次而接通電話”，則，則注：注：根據(jù)實(shí)際情況，根據(jù)實(shí)際情況， “隨意撥號隨意撥號”暗含著暗含著“不重復(fù)撥號不重復(fù)撥號”；)(321211AAAAAAP819810991109101 )()()()()(213211211AAAPAAPAAPAPAP )(AP3 . 0 解：解：B=“最后一個數(shù)字是奇數(shù)最后一個數(shù)字是奇數(shù)”，P(B)53=314354+4154+51=另解：另解：)AAA(P)A(P3211= -103=87981091=-)()(BAPA

11、BPBP ）)()()()(ABPAPABPAP 111111MNNmnnCCCC11111 MNNmnmCCCC)1)()1( MNnmmNNn19(1)、設(shè)有甲、乙兩袋設(shè)有甲、乙兩袋, ,甲袋中裝有甲袋中裝有M乙袋中裝有乙袋中裝有N只白球、只白球、只白球、只白球、nm 只紅球；只紅球；只紅球。只紅球。 今從甲袋中任意取一只今從甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再從乙袋中任取一只球球放入乙袋中，再從乙袋中任取一只球.求取到白球的概率。求取到白球的概率。用全概率公式用全概率公式:解：解：設(shè)設(shè)A=“從甲袋中取出白球一只從甲袋中取出白球一只”， B=“從乙袋中取到白球從乙袋中取到白球”.解解: 設(shè)設(shè)A

12、=“抽出的是男性抽出的是男性”, B=“抽出的是色盲抽出的是色盲”. 所求為所求為:)(BAP)()()()()()(BAABPABPAPBPABPBAP )()(100521BAPABP 950=2120=10025021+100521100521=. 已知男人中有已知男人中有5%5%是色盲患者是色盲患者, ,女人中有女人中有0.25%0.25%是色盲患者是色盲患者. .今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人, ,恰好是色盲患者恰好是色盲患者, ,求此人是男性的概率求此人是男性的概率. . 利用貝葉斯公式利用貝葉斯公式: :21、22、解解: 設(shè)設(shè)A=“

13、第一次及格第一次及格”, B=“第二次及格第二次及格”. 則：則：( ). 2/=)(,=)(,=pABPpABPpAP（1）所求為：）所求為：()BAPBSAABABA=)(+)(=)(=ABPAPABAP)1(2=)(,2=)(1)(=)(ppABPpAPABPABP-().23=)1(2+=2pppppBAP-)()(+)(=ABPBPAP-（略）（略）()BAP（2）所求為）所求為:()BAP/另解另解1:另解另解2:所求為所求為:()/()(+)(=ABPAPAPBAAP.23=)1(2+=2ppppp-)|()(+)|()()|()(=)()(=ABPAPABPAPABPAPBPA

14、BP.1+2=)1 (+=2pppppppp-25、解解: 設(shè)設(shè)A=“乘地鐵回家乘地鐵回家”, B=“乘汽車回家乘汽車回家”, C=“在在5:45-5:49回家回家” . 由于是拋硬幣決定，由于是拋硬幣決定，所以所以:()CAP/)|()(+)|()()|()(=)()(=BCPBPACPAPACPAPCPACP.139=20. 0+45. 045. 0=212121()CAP/則所求為：則所求為：( ).21=)(=BPAP解解: 設(shè)設(shè)A=“樹活著樹活著”, B=“澆水澆水”. 則：則： 26、()().15. 0=/, 8 . 0=/, 9 . 0=)(BAPBAPBP(1)所求為：所求為

15、：( )AP)(+)(=ABPBAP)()(+)()(=BAPBPBAPBP.785. 0=2 . 01 . 0+85. 09 . 0=(2)所求為：所求為：()ABP/)()(=APBAP785. 01)/()(=-BAPBP.372. 0=21508010=.解解: 設(shè)設(shè)A=“第一顆花籽發(fā)芽第一顆花籽發(fā)芽”, B=“第一顆花籽發(fā)第一顆花籽發(fā)芽芽”. 且且A,B相互獨(dú)立，則：相互獨(dú)立，則： 28、( ). 9 . 0=, 8 . 0=)(BPAP(1)().72. 0=9 . 08 . 0=)()(=BPAPABP(2)()(1=BAPBAP-.0.2-98. 0=1 . 01=)()(1=

16、BPAP-(3)()(+)(=BAPBAPBABAP)()(+)()(=BPAPBPAP.26. 0=9 . 02 . 0+1 . 08 . 0=35、(1)所求為：所求為：()()(+)(=212121AAPAPAPAAP-.9984. 0=96. 096. 096. 0+96. 0=-(2)設(shè)需要設(shè)需要n 只這樣的開關(guān)并聯(lián)，則：只這樣的開關(guān)并聯(lián)，則：解解: 設(shè)設(shè)Ai=“第第i只開關(guān)閉合只開關(guān)閉合”, 則則 并且相互獨(dú)立并且相互獨(dú)立.( ),96. 0=iAP()(1=2121nnAAAPAAAP-)()()(+)(=2121APAPAPAP-)()()(1=21nAPAPAP-n)-04.

17、 0(1=9999. 0.)n0001004. 0(即即2.86.=04. 0lg0001. 0lgn. 3= n三人三人獨(dú)立獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為別為1/51/5，1/31/3，1/41/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？的概率是多少？ 將三人編號為將三人編號為1,2,31,2,3，所求為所求為P(A1A2A3)記記Ai=第第i個人破譯出密碼個人破譯出密碼 i=1,2,3=1,2,3解：解：已知已知( (A1)=1/5,)=1/5,P( (A2 2)=1/3,)=1/3,P( (A

18、3 3)=1/4.)=1/4.)(121nAAAP )(1321AAAP )()()(1321APAPAP =1-1-=1-1-P( (A1 1)1-)1-P( (A2 2)1-)1-P( (A3 3) ) 6 . 0534332541 36、37、(1)所求為：所求為：()(1=2121AAPAAP-解解: 設(shè)設(shè)Ai=“從第從第i只盒子里取一只藍(lán)球只盒子里取一只藍(lán)球”,i=1,2, Bi=“從第從第i只盒子里取一只白球只盒子里取一只白球”, 且兩盒取球獨(dú)立且兩盒取球獨(dú)立.74-95=971=)()(1=21APAP-(2)所求為：所求為：()1221BABAP()1221(+)=BAPBAP

19、)()(+)()(=1221BPAPBPAP.72736316=92+94=(3)所求為：所求為：)/()(211221AABABAP)()()(=21211221AAPAABABAP)()(=211221AAPBABAP.3516=9/563/16=例例1 1 設(shè)設(shè)A, B為二相互獨(dú)立的事件，為二相互獨(dú)立的事件，P(A B)=0.6, P(A)=0.4, 求求P(B)。)()()()()()()()(BPAPBPAPABPBPAPBAP 解法一：解法一：31404060 P(B)P(B).P(B).)()(1)(1)(BPAPBAPBAP 解法二解法二：)(60160BP. 解法三：由已知，

20、解法三：由已知，P(AB)=P(A)P(B), P(AB)=0.4P(B), 如圖如圖B-A=(A B)-A,P(B-A)=0.6-0.4=0.2 P(B)=P(AB)+P(B-A)=0.2+0.4P(B) 所以所以 P(B)=1/3 三、典例分析三、典例分析例例2 2 為了防止意外，在礦內(nèi)同時裝有兩種報警系統(tǒng)為了防止意外，在礦內(nèi)同時裝有兩種報警系統(tǒng)()和和()，每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時，系統(tǒng)，每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時，系統(tǒng)()和系統(tǒng)和系統(tǒng)()的有效概率的有效概率分別為分別為0.92和和0.93，在系統(tǒng)，在系統(tǒng)()失靈的情況下，系統(tǒng)失靈的情況下，系統(tǒng)()仍有仍有效的概率為效的概率為0.85，求兩個報警系統(tǒng)

21、至少有一個有效的概率。，求兩個報警系統(tǒng)至少有一個有效的概率。記記A=“系統(tǒng)系統(tǒng)() 有效有效”,B=“系統(tǒng)系統(tǒng)()有效有效”,由已由已知知,85. 0)/(,93. 0)(,92. 0)( ABPBPAP)()()()(ABPBPAPBAP 所所求求概概率率為為：)()()(BAPBPABP 而而)/()()(ABPAPBP .988. 085. 008. 092. 0)/()()()( ABPAPAPBAP解解: :例例3 3 某地區(qū)一工商銀行的貸款范圍內(nèi)某地區(qū)一工商銀行的貸款范圍內(nèi), ,有甲、乙兩家同類有甲、乙兩家同類企業(yè)。設(shè)一年內(nèi)甲申請貸款的概率為企業(yè)。設(shè)一年內(nèi)甲申請貸款的概率為0.25

22、，乙申請貸款的概，乙申請貸款的概率為率為0.2，當(dāng)甲未申請貸款時，乙向銀行申請貸款的概率為，當(dāng)甲未申請貸款時，乙向銀行申請貸款的概率為0.1，求在乙未申請貸款時，甲向銀行申請貸款的概率。求在乙未申請貸款時，甲向銀行申請貸款的概率。解解: : 設(shè)事件設(shè)事件A=“甲申請貸款甲申請貸款”,事件事件B=“乙申請貸款乙申請貸款”, 1 . 0)/(, 2 . 0)(,25. 0)( ABPBPAP則則)()()/(BPBAPBAP 所求概率為所求概率為)()()(ABPAPBAP )()()(BAPBPAP 125. 01 . 075. 02 . 025. 0)/()()()( ABPAPBPAP16.

23、 08 . 0125. 0)/( BAP例例4 4 任意將任意將10本書放在書架上本書放在書架上.其中有兩套書其中有兩套書,一套一套3卷卷, 另一另一 套套4卷卷.求下列事件的概率求下列事件的概率:3卷一套的放在一起卷一套的放在一起;(3) 兩套各自放在一起兩套各自放在一起;(4) 兩套中至少有一套放在一起兩套中至少有一套放在一起;(5) 兩套各自放在一起兩套各自放在一起,還按卷次順序排好還按卷次順序排好.設(shè)事件設(shè)事件A=“3卷一套的放在一起卷一套的放在一起”，B=“4卷一套的放在一卷一套的放在一起起”，C=“兩套各自放在一起兩套各自放在一起”，D=“兩套按卷次順序排兩套按卷次順序排好好” (

24、1) 3卷一套的放在一起卷一套的放在一起,可把可把3卷看作一個整體卷看作一個整體,共有共有8個個位置位置,不同的放法共有不同的放法共有8!種種,3卷之間可以任意排列卷之間可以任意排列,共有共有3!種種放法放法,所以所以151!10! 3! 8)( AP(2) 4卷一套的放在一起卷一套的放在一起;(2) 同理同理;301!10! 4!7)( BP解解: :(3) 兩套各自放在一起兩套各自放在一起,可把兩套分別看成兩個整體可把兩套分別看成兩個整體,則則;2101!10! 3! 4! 5)()( ABPCP)()4(BAP;2122101301151)()()( ABPBPAP.75601!1022

25、! 5)()5( ABDP例例4 4 任意將任意將10本書放在書架上本書放在書架上.其中有兩套書其中有兩套書,一套一套3卷卷, 另一另一 套套4卷卷.求下列事件的概率求下列事件的概率:3卷一套的放在一起卷一套的放在一起;(3) 兩套各自放在一起兩套各自放在一起;(4) 兩套中至少有一套放在一起兩套中至少有一套放在一起;(5) 兩套各自放在一起兩套各自放在一起,還按卷次順序排好還按卷次順序排好.設(shè)事件設(shè)事件A=“3卷一套的放在一起卷一套的放在一起”，B=“4卷一套的放在一卷一套的放在一起起”，C=“兩套各自放在一起兩套各自放在一起”，D=“兩套按卷次順序排兩套按卷次順序排好好”(2) 4卷一套的

26、放在一起卷一套的放在一起;解解: :例例5 5 設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析,某船只運(yùn)輸某種物品損壞某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%,10%,90% 的概率分別為的概率分別為0.8,0.15,0.05. 隨機(jī)獨(dú)立地取三隨機(jī)獨(dú)立地取三件件,發(fā)現(xiàn)均為好的發(fā)現(xiàn)均為好的,求此時損壞為求此時損壞為2%的的概率概率( (設(shè)物品數(shù)量很設(shè)物品數(shù)量很多多, ,取出一件不影響再次抽取的概率取出一件不影響再次抽取的概率) )P(AP(B|A)P(AP(B|A)P(AP(B|A)P(AP(B|A|B)P(A332211111 ,)901()()101()()21()(333231%B|AP,%B|AP,%B

27、|AP 設(shè)設(shè)“取三件均為好的取三件均為好的”記為事件記為事件B，則則321,AAA解解: : 設(shè)設(shè)“損壞損壞2%,10%,90%”的事件分別為的事件分別為 87314. 005. 01 . 015. 09 . 08 . 098. 08 . 098. 03333 易知易知A1，A2，A3是樣本空間是樣本空間S的一個劃分，的一個劃分，由貝葉斯公式，有由貝葉斯公式，有例例6 6 要驗(yàn)收一批樂器共要驗(yàn)收一批樂器共100件件,從中隨機(jī)地取從中隨機(jī)地取3件來測試件來測試(設(shè)測設(shè)測試是相互獨(dú)立的試是相互獨(dú)立的),若若3件中任意一件音色不純件中任意一件音色不純,這批樂器就拒這批樂器就拒絕接收絕接收.設(shè)一件音色不純樂器經(jīng)測試查出的概率為設(shè)一件音色不純樂器經(jīng)測試查出的概率為0.95,而一而一件音色純的樂器經(jīng)測試被誤認(rèn)為不純的概率為件音色純的樂器經(jīng)測試被誤認(rèn)為不純的概率為0.01.若若100件件