第二章大氣統(tǒng)計基礎(chǔ)ppt

1、大氣統(tǒng)計方法大氣統(tǒng)計方法第二章第二章 大氣統(tǒng)計基礎(chǔ)大氣統(tǒng)計基礎(chǔ)氣象資料氣象資料實測實測資料資料模式模式資料資料天氣和氣天氣和氣候分析的候分析的根本根本第一步第一步分析數(shù)據(jù)的分析數(shù)據(jù)的基本特性基本特性進(jìn)一步進(jìn)一步氣象資料的整理 用統(tǒng)計方法作氣象要素的分析和預(yù)報是依據(jù)大量的氣象觀測資料來進(jìn)行的。從概率論或統(tǒng)計學(xué)的觀點來看，某個氣象要素及其變化可看成為一個變量（或隨機(jī)變量隨機(jī)變量），它的全體在概率論中稱為總體總體，而把收集到的該要素的資料稱為樣本樣本。 利用統(tǒng)計學(xué)方法對樣本進(jìn)行分析來估計和推測總體的規(guī)律性總體的規(guī)律性就是本課程主要介紹的內(nèi)容。氣象中單個或多個要素可看成為統(tǒng)計學(xué)中單個或多個變量。本章將

2、介紹對它們的資料（樣本）進(jìn)行初步整理的方法。 我們要研究的對象是氣象要素，比如氣溫、降水量、氣壓，它們可以是月平均值、年平均值、也可以是日平均值，這要看我們所要研究的氣象問題而定。l 對于長期預(yù)報或短期氣候預(yù)測，經(jīng)常分析的是氣象要素的月或年資料。l 對于短期預(yù)報則常使用日資料，要作出預(yù)報就需要先研究它們隨時間變化的規(guī)律性。單個變量 我們把單個氣象要素記為，取它某一時間段的資料記錄作為樣本，樣本中包含個數(shù)據(jù)，記為 稱為樣本容量，每一個資料稱為所抽取的一個樣品。， 如果取某要素月平均值的年資料，那么這些數(shù)據(jù)就是一串隨時間變化的序列，我們習(xí)慣把它稱為時間序列，并記為，其中 ， 這種表示法在時間序列分

3、析中常用。 對于氣溫、氣壓及降水量等氣象要素，觀測值變化在正負(fù)無窮大之間，這種類型要素可看成為連續(xù)型隨機(jī)變量。至于有一些氣象要素，例如冰雹、暈、華等天氣現(xiàn)象，氣象資料中僅記錄此現(xiàn)象“有”或“無”，這類無法用連續(xù)型變量表示的變量，一隨用“”或“”二值數(shù)字化表征，這類變量可看成為離散型隨機(jī)變量。至于云量，用數(shù)字來分級表示的，也屬于這一類型。 當(dāng)然，變量類型可以互相轉(zhuǎn)化，例如對連續(xù)型變量如氣溫，規(guī)定一個臨界值。凡記為“”，的記為“”，那么這時的氣溫就處理成二值變量，這種做法在模式輸出預(yù)報技術(shù)中經(jīng)常被采用來作短期天氣預(yù)報中的定性預(yù)報。多個變量 氣象要素觀測是三維空間的，有各種等壓面上的要素資料，既有空

4、間，又有時間變化。這時就可以把多個要素在某一段時間收集的資料看作為多個變量的樣本，每個變量的樣本可看成為一個向量。個變量次觀測的樣本可看成為維空間中個向量，每個向量可用行向量（矩陣）表示統(tǒng)計量的數(shù)字特征統(tǒng)計量的數(shù)字特征p 平均值平均值p 距平，標(biāo)準(zhǔn)差，方差距平，標(biāo)準(zhǔn)差，方差p 協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)p 峰度系數(shù)，偏度系數(shù)峰度系數(shù)，偏度系數(shù) 中心趨勢統(tǒng)計量中心趨勢統(tǒng)計量平均值平均值平均值平均值（mean）對于包含有對于包含有 個樣本的一個變量個樣本的一個變量 ，即，即樣本平均值為：樣本平均值為：nx12, ,inx xxx12111()nniixxxxxnn變化幅度統(tǒng)計量變化幅度統(tǒng)計量

5、統(tǒng)計量中的平均值描述的僅僅是氣候變量分統(tǒng)計量中的平均值描述的僅僅是氣候變量分布中心在數(shù)值上的大小，并沒有告訴我們這布中心在數(shù)值上的大小，并沒有告訴我們這種變化與正常情況的偏差和變化的波動。種變化與正常情況的偏差和變化的波動。變變化幅度統(tǒng)計量即表征距離分布中心遠(yuǎn)近程度化幅度統(tǒng)計量即表征距離分布中心遠(yuǎn)近程度的統(tǒng)計量的統(tǒng)計量。變化幅度統(tǒng)計量包括：變化幅度統(tǒng)計量包括：l距平（距平（anomaly）l方差（方差（variance）和標(biāo)準(zhǔn)差（）和標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation） 距平距平是氣象上常用的量，它也即通常所說的異常，即對平均值的正常情況的偏差。資料中某一個數(shù)值與平均值之差就是距平，

6、例如第點資料的距平為： 氣象上經(jīng)常用距平值代替原樣本中資料數(shù)值作為研究對象，因為在氣象要素的研究中，它們受年變化周期影響很大，各月的平均值不一樣。例如月、月、月平均值就各不相同。為使之能在同一水平下進(jìn)行比較，常使用距平值。用距平值作為變量的資料值，使得各變量的平均值為，可以帶來研究上的方便，也便于計算。有時直接以它作為預(yù)報值，可以給人們一個偏高或偏低的直觀了解。距平的意義距平的意義標(biāo)準(zhǔn)差與方差標(biāo)準(zhǔn)差與方差 描述樣本中資料與平均值差異的平均狀況的統(tǒng)計量就是標(biāo)準(zhǔn)差，它衡量資料圍繞平均值的平均變化幅度。平常說：“內(nèi)陸臺站氣溫日變化較沿海地區(qū)要大”。這個日變化大小的比較就是用它們的標(biāo)準(zhǔn)差來比較的。某氣

7、象要素（變量）（含個資料的樣本）的標(biāo)準(zhǔn)差計算公式為某氣象要素（變量）（含個資料的樣本）的標(biāo)準(zhǔn)差計算公式為數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化 原因及優(yōu)點原因及優(yōu)點-不同單位、不同量級數(shù)據(jù)之間不同單位、不同量級數(shù)據(jù)之間便于比較便于比較 計算公式計算公式- ， 為標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差 特點特點1-通常標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)為無量綱的數(shù)據(jù)通常標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)為無量綱的數(shù)據(jù) 特點特點2-標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的平均值為標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的平均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為1 為相關(guān)系數(shù)的引出作了鋪墊為相關(guān)系數(shù)的引出作了鋪墊zxxxxxxssxs數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理是不僅使得數(shù)據(jù)間便與比較，數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理是不僅使得數(shù)據(jù)間便與比較，其其

8、核心思想核心思想是試圖消除數(shù)據(jù)的是試圖消除數(shù)據(jù)的“位置位置”和和離離散程度散程度對進(jìn)一步分析所帶來的影響；對進(jìn)一步分析所帶來的影響； 例如，例如，1月和月和7月某日溫度相對本月長期平均月某日溫度相對本月長期平均溫度的距平相同，但溫度的距平相同，但1月和月和7月數(shù)據(jù)離散程度，月數(shù)據(jù)離散程度，即標(biāo)準(zhǔn)差不同，則距平標(biāo)準(zhǔn)化值能體現(xiàn)出這即標(biāo)準(zhǔn)差不同，則距平標(biāo)準(zhǔn)化值能體現(xiàn)出這兩月中這種溫度變化是否是屬于異常事件。兩月中這種溫度變化是否是屬于異常事件。 協(xié)方差協(xié)方差也可以體現(xiàn)兩個變量間的關(guān)系，其也可以體現(xiàn)兩個變量間的關(guān)系，其公式為公式為 但協(xié)方差是一個帶有單位的統(tǒng)計量，不便但協(xié)方差是一個帶有單位的統(tǒng)計量，不

9、便于不同要素間進(jìn)行聯(lián)系，因此需要將原數(shù)于不同要素間進(jìn)行聯(lián)系，因此需要將原數(shù)據(jù)作據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)化處理標(biāo)準(zhǔn)化處理。 得到得到相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)為：為：11cov( , )()()nxyiiix ysxx yyn122 1/21111()()11()()()() niinniiixyzizinniixyiiiixx yyxxyyrx ynnssxxyy協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)Pearson（“普通普通”）相關(guān)）相關(guān)-特點特點 相關(guān)值介于相關(guān)值介于1 1之間，即之間，即 常可以用來表示兩個變量中的一個被另一個變量解釋?？梢杂脕肀硎緝蓚€變量中的一個被另一個變量解釋的程度，但并不能從物理上解釋其中一個變量的變化是由的程度

10、，但并不能從物理上解釋其中一個變量的變化是由另一個變量所致，可能這兩個變量的變化皆由其它物理過另一個變量所致，可能這兩個變量的變化皆由其它物理過程所致。程所致。11xyr xyxy2xyr為什么？證明：線性相關(guān)的局限性線性相關(guān)的局限性數(shù)據(jù)I數(shù)據(jù)IIxyxy0028133426493852511657137691483121591161610720162017PearsonPearson相關(guān)既不相關(guān)既不robustnessrobustness，也不也不resistanceresistance048121620X0481216YR=0.6105101520X0481216YR=0.88Robust

11、ness一個統(tǒng)計分析被稱為一個統(tǒng)計分析被稱為robustnessrobustness，則，則表明該分析不會受到表明該分析不會受到數(shù)據(jù)分布特征數(shù)據(jù)分布特征的的影響；影響； 例如，當(dāng)數(shù)據(jù)遵循與高斯分布（正態(tài)例如，當(dāng)數(shù)據(jù)遵循與高斯分布（正態(tài)分布）時，平均值能夠很好的體現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布）時，平均值能夠很好的體現(xiàn)數(shù)據(jù)的中心趨勢。中心趨勢。 而當(dāng)數(shù)據(jù)不滿足高斯分布時，通常而當(dāng)數(shù)據(jù)不滿足高斯分布時，通常的平均值計算方法很可能會產(chǎn)生錯誤的中的平均值計算方法很可能會產(chǎn)生錯誤的中心趨勢結(jié)果。心趨勢結(jié)果。Resistance一個統(tǒng)計分析被稱為一個統(tǒng)計分析被稱為resistance，則表，則表明它不會受到數(shù)據(jù)明它不會受到

12、數(shù)據(jù)極值極值的影響。的影響。 例如，一組數(shù)據(jù)為11，12，13，14，15，16，17，18，19，其平均值為15，但改變數(shù)據(jù)為11，12，13，14，15，16，17，18，91，其平均數(shù)為23。Spearman排序相關(guān)系數(shù)排序相關(guān)系數(shù)數(shù)據(jù)I數(shù)據(jù)IIx(rank)y(rank)x(rank)y(rank)0(1)0(1)2(1)8(8)1(2)3(2)3(2)4(4)2(3)6(3)4(3)9(9)3(4)8(4)5(4)2(2)5(5)11(5)6(5)5(5)7(6)13(6)7(6)6(6)9(7)14(7)8(7)3(3)12(8)15(8)9(8)1(1)16(9)16(9)10(

13、9)7(7)20(10)16(10)20(10)17(10)Spearman排序相關(guān)很好的體排序相關(guān)很好的體現(xiàn)了數(shù)據(jù)對之間單調(diào)關(guān)系的現(xiàn)了數(shù)據(jù)對之間單調(diào)關(guān)系的強度；強度；而而Pearson相關(guān)則反應(yīng)了數(shù)據(jù)相關(guān)則反應(yīng)了數(shù)據(jù)對之間線性關(guān)系的強度對之間線性關(guān)系的強度21261(1)niirankDrn n為數(shù)據(jù)對（為數(shù)據(jù)對（x x，y y）之間序號的差值）之間序號的差值D1rankr0.018rankr自相關(guān)（自相關(guān)（autocorrelationautocorrelation） 自相關(guān)指得是序列與自身的相關(guān)自相關(guān)指得是序列與自身的相關(guān) 時間自相關(guān)意思是序列不同時刻（過去或未來）時間自相關(guān)意思是序列不

14、同時刻（過去或未來）之間的相關(guān)，也稱為滯后相關(guān)。之間的相關(guān)，也稱為滯后相關(guān)。 通常用通常用Pearson相關(guān)來計算自相關(guān)。相關(guān)來計算自相關(guān)。-7.3-6.3-5.5-10.7-8.2-6.9-10.9-5.8-8.1-7.3-6.3-5.5-10.7-8.2-6.9-10.9-5.8-8.119981998年年1 1月北京日最低溫度月北京日最低溫度11111221 / 212 () () ()()niiinniiiixxxxrxxxx“-”表示前表示前n-1個數(shù)個數(shù)“+”表示后表示后n-1個數(shù)個數(shù)自相關(guān)自相關(guān)-續(xù)續(xù)“-”表示前表示前n-k個數(shù)個數(shù)“+”表示后表示后n-k個數(shù)個數(shù)1998年年1月

15、北京日最低溫度時滯相關(guān)月北京日最低溫度時滯相關(guān)1221/ 211()()()() nkiikiknkniiiikxxxxrxxxx01234567Lag k (days)-0.400.40.81.2rk落后交叉協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)落后交叉協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)中心趨勢統(tǒng)計量中心趨勢統(tǒng)計量 峰度系數(shù)峰度系數(shù)(kurtoris) & 偏度系數(shù)偏度系數(shù)(skewness)u 二階中心矩就是上面提到的方差；u 三階中心矩是用來描述變量概率密度分布非對稱性的，如果其計算值為正值，表明密度分布曲線的峰點在平均值的右方，反之亦然；u 四階中心矩用來描述分布曲線的陡度，如果其計算值小，反映觀測值與平均值靠近，分布曲線就

16、比較陡，反之，則表明分布曲線平緩。 對遵從正態(tài)分布的變量而言，對應(yīng)的偏度和峰度值應(yīng)為零。因此，可以通過計算某一氣象要素的偏度和峰度值，考察它們偏離零的程度，以便確定它們是否遵從正態(tài)分布。正態(tài)以及偏態(tài)分布示意圖正態(tài)以及偏態(tài)分布示意圖平均值平均值平均值平均值平均值平均值正態(tài)分布正態(tài)分布正正/ /右偏態(tài)分布右偏態(tài)分布負(fù)負(fù)/ /左偏態(tài)分布左偏態(tài)分布可用于非對稱研究，如ENSO asymmetry(Sun et al. 2013)正態(tài)以及峰度示意圖正態(tài)以及峰度示意圖統(tǒng)計量的檢驗統(tǒng)計量的檢驗 在氣象分析與預(yù)報中，為了研究氣象要素本身或氣象要素之間的關(guān)系，我們總是選取一定的樣本進(jìn)行統(tǒng)計分析，那么所得到的結(jié)果

17、是否具有普遍意義呢？ 例如，我們?yōu)榱搜芯磕车叵募灸硯啄甑睦浜r(nóng)業(yè)的影響，分析出這幾年夏季的天氣形勢場在該地上游地區(qū)某個區(qū)域高空有一低槽，高度值特別低。那么我們要問這幾年該區(qū)域的低值是否是較常年顯著地低，會不會是隨機(jī)抽樣的偶然性的結(jié)果？回答這些問題就是概率統(tǒng)計中的顯著性檢驗。 一般的顯著性檢驗過程是給定一個原假設(shè)，尋找與假設(shè)有關(guān)的統(tǒng)計量及其所遵從的概率分布函數(shù)，用具體的一次抽樣的樣本數(shù)據(jù)代入統(tǒng)計量，在給定的顯著水平下（氣象上常取）作出對原假設(shè)的否定和接受的判定。當(dāng)然，這種判定也有一定的錯誤，即所謂第類錯誤（否定假設(shè)時所發(fā)生的）和第二類錯誤（接受假設(shè)時所發(fā)生的）。這兩類錯誤的概率不等，由于第類錯

18、誤的概率較小，一般情況下以拒絕假設(shè)的結(jié)論為好，即犯錯誤的可能性較小。小概率原理 一個事件如果發(fā)生的概率很小的話，那么它在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的，但在多次重復(fù)試驗中幾乎是必然發(fā)生的，數(shù)學(xué)上稱之小概率原理。 統(tǒng)計學(xué)中，一般認(rèn)為等于或小于0.05或0.01的概率為小概率。置信區(qū)間置信區(qū)間置信水平置信水平 1- 顯著水平顯著水平 統(tǒng)計檢驗流程明確要檢驗的問題，提出統(tǒng)計假設(shè)。確定顯著性水平。 針對研究的問題，選取一個適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量。 根據(jù)觀測樣本計算有關(guān)統(tǒng)計量。 對給定的，從統(tǒng)計量分布表查出與水平相應(yīng)的數(shù)值，即確定出臨界值。 比較統(tǒng)計量計算值與臨界值，看其是否落入否定域中，若落入則拒絕原假設(shè)。基本統(tǒng)

19、計量的檢驗 平均值的顯著性檢驗 兩組樣本平均值差異的檢驗 方差的顯著性檢驗 變量的分布檢驗 相關(guān)系數(shù)的檢驗平均值的顯著性檢驗 平均值的顯著性檢驗在概率統(tǒng)計中一般有大樣本檢驗（統(tǒng)計量近似遵從正態(tài)分布）和小樣本檢驗（統(tǒng)計量遵從分布）。 在氣象上，由于通常所使用的樣本容量不大，一般情況下，大多使用分布統(tǒng)計量。 在氣候變化的研究中，常常要研究某些特殊年份有何顯著特點。經(jīng)常使用的方法是將這一特殊年份的氣象要素與其它年份的平均值進(jìn)行比較。兩組樣本平均值差異的檢驗方差的顯著性檢驗變量的分布檢驗相關(guān)系數(shù)的檢驗 相關(guān)系數(shù)是衡量兩個變量之間關(guān)系密切程度的量。這個量的大小是否顯著也需要作統(tǒng)計檢驗。 對于總體不相關(guān)（

20、即總體相關(guān)系數(shù)）的兩個隨機(jī)變量，由于抽樣的緣故，其樣本相關(guān)系數(shù)不一定等于，可能出現(xiàn)其它的數(shù)值，因而樣本相關(guān)系數(shù)也是一個隨機(jī)變量。在假設(shè)總體相關(guān)系數(shù)成立的條件下，樣本相關(guān)系數(shù)的概率密度函數(shù)為 上式正好是分布的密度函數(shù)。于是，就可以用上式正好是分布的密度函數(shù)。于是，就可以用檢驗法來檢驗，即在原假設(shè)檢驗法來檢驗，即在原假設(shè)自由度的估計 簡單估計：隨機(jī)樣本數(shù)減2，即n-2 實際上氣候變量的一個突出特點就是具有紅噪聲譜，即不同時間的數(shù)據(jù)之間不是完全獨立的(不是隨機(jī)的)。氣候變量某一時刻的狀況對后面的狀況是有影響的。因此，序列的有效自由度要比n-2 要小。這會影響對相關(guān)系數(shù)信度的估計和假設(shè)結(jié)論的判斷。 很

21、多氣候變量有很強的持續(xù)性或者很高的自相關(guān)，例如海溫。因此進(jìn)行相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗時，需要首先對時間序列的有效自由度進(jìn)行估計。 估計有效自由度的方法有很多。紅噪聲時間序列的自相關(guān)系數(shù)隨落后時間步長減少，自相關(guān)系數(shù)越大則獨立樣本數(shù)(有效自由度)越小。兩種估算方法趨勢變化對相關(guān)系數(shù)的影響 變量帶有性質(zhì)相反的趨勢變化變量帶有性質(zhì)相反的趨勢變化, 會使這二個變量之間的相會使這二個變量之間的相關(guān)系數(shù)減小關(guān)系數(shù)減小(正相關(guān)的數(shù)值減小正相關(guān)的數(shù)值減小, 負(fù)相關(guān)被夸大負(fù)相關(guān)被夸大). 變量帶有變量帶有性質(zhì)相同的趨勢變化性質(zhì)相同的趨勢變化, 會使這二個變量之間的相關(guān)系數(shù)增會使這二個變量之間的相關(guān)系數(shù)增加加(正相關(guān)

22、被夸大正相關(guān)被夸大, 負(fù)相關(guān)數(shù)值變小負(fù)相關(guān)數(shù)值變小).r=0.001r=-0.33（施能等，（施能等，2007） 無論作氣象要素的資料統(tǒng)計量分析，或者作以后陸續(xù)介紹的統(tǒng)計方法分析和預(yù)報，氣象資料的使用是一切分析的出發(fā)點。資料的代表性資料的代表性是值得十分注意的。 例如我們要預(yù)報某地降水量，用太平洋某一海域的海溫資料作為因子，就要對該地區(qū)的海溫資料的取得有一個基本了解。例如資料觀測的誤差性如何，如果該地區(qū)的資料僅是用該月中幾次船舶經(jīng)過時測量得到的觀測值平均作為該月平均海溫資料，那么這種資料的代表性就較差。 事實上，氣候資料的取得有兩個經(jīng)常遇到的問題：一是資料空間分布不均勻資料空間分布不均勻，資料

23、大多從密度較大的陸地上取得；另一是時間分布不均勻時間分布不均勻，觀測時間大部分是白天，尤其在海洋地區(qū)。不同歷史時期，由于觀測手段的改進(jìn)也會使系統(tǒng)誤差發(fā)生變化，這樣一來，資料的可靠性也是值得重視的。 因此，強調(diào)統(tǒng)計顯著性，要求用經(jīng)典統(tǒng)計理論的不同方法，例如置信區(qū)間、假設(shè)檢驗、信號噪音比等等來討論統(tǒng)計量的顯著性，絕不是過份的。蒙特卡羅檢驗 前述檢驗方法都屬于統(tǒng)計學(xué)中的參數(shù)的統(tǒng)計檢驗，它們需要樣本服從正態(tài)分布或其它一些假定。非參數(shù)檢驗則不需要樣本服從正態(tài)分布或其它假定，蒙特卡羅檢驗為非參數(shù)檢驗。 例：相關(guān)系數(shù)的蒙特卡羅檢驗 利用蒙特卡羅方法解決數(shù)學(xué)分析問題的基本思想： 建立與描述該問題有相似性的概率模型，利用這種相似性把概率模型的某些特征（如隨機(jī)事件的概率或隨機(jī)變量的平均值等）與數(shù)學(xué)問題的解答（如積分值）聯(lián)系起來。1.對模型進(jìn)行隨機(jī)模擬或統(tǒng)計抽樣，再利用所得結(jié)果求出這些特征的統(tǒng)計估計值作為原來的分析問題的近似解。 隨機(jī)數(shù)名稱命令調(diào)用格式參數(shù)說明(0,1)上均勻分布Y=rand(m,n)生