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文檔簡介
1、無窮級數(shù)總結(jié)、概念與性質(zhì)1 .定義:對數(shù)列U1,U2,Un,Un稱為無窮級數(shù),上稱為一般項;假設(shè)局部和n1數(shù)列Sn有極限S,即limSnS,稱級數(shù)收斂,否那么稱為發(fā)散.n2 .性質(zhì)設(shè)常數(shù)C0,那么Un與CUn有相同的斂散性;n1n1設(shè)有兩個級數(shù)Un與Vn,假設(shè)UnS,Vn,那么UnVnS;n1n1n1n1n1假設(shè)Un收斂,Vn發(fā)散,那么4%發(fā)散;n1n1n1假設(shè)Un,Vn均發(fā)散,那么UnVn斂散性不確定;n1n1n1添加或去掉有限項不影響一個級數(shù)的斂散性;設(shè)級數(shù)Un收斂,那么對其各項任意加括號后所得新級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.n1注:一個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)發(fā)散,那么原級數(shù)發(fā)散;一個級數(shù)加括號
2、后收斂,原級數(shù)斂散性不確定.級數(shù)Un收斂的必要條件:limUn0;n1n注:級數(shù)收斂的必要條件,常用判別級數(shù)發(fā)散;假設(shè)1而Un0,那么Un未必收斂;nn1假設(shè)Un發(fā)散,那么limUn0未必成立.n1n二、常數(shù)項級數(shù)審斂法1.正項級數(shù)及其審斂法定義:假設(shè)Un0,那么Un稱為正項級數(shù).n1審斂法:D充要條件:正項級數(shù)Un收斂的充分必要條件是其局部和數(shù)列有界n1(ii)比擬審斂法:設(shè)Un與Vn都是正項級數(shù),且UnVn(A1,2,),n1n1那么假設(shè)收斂那么收斂;假設(shè)發(fā)散那么發(fā)散.A.假設(shè)收斂,且存在自然數(shù)N,使得當(dāng)nN時有Unkvn(k0)成立,那么收斂;假設(shè)發(fā)散,且存在自然數(shù)N,使得當(dāng)nN時有Un
3、kvn(k0)成立,那么發(fā)散;B.設(shè)Un為正項級數(shù),假設(shè)有p1使彳#un;(n1,2,),那么Un收斂;假設(shè)n1nn11Un一(n1,2,),那么Un發(fā)目攵.nn1C.極限形式:設(shè)Un與Vn都是正項級數(shù),假設(shè)lim叢l(0l),那么n1n1nVnUnn1Vnn1有相同的斂散性.注:常用的比擬級數(shù):幾何級數(shù):arn1n11r發(fā)散p級數(shù):1收斂n1np發(fā)散調(diào)和級數(shù):1111發(fā)散.n1n2n(iii)比值判別法(達(dá)郎貝爾判別法)設(shè)an是正項級數(shù),假設(shè)n1limanr1,那么an收斂;lim亙r1,那么an發(fā)散.nnann1ann1注:假設(shè)lima,1,或limJO_1,推不出級數(shù)的斂散.例工與4,雖
4、然nann,n1nn1nlima口1,lim向1,但二發(fā)散,而三收斂.nann,n1nn1nn,(iV)根值判別法(柯西判別法)設(shè)an是正項級數(shù),lim后n1n級數(shù)收斂,假設(shè)1那么級數(shù)發(fā)散.(v)極限審斂法:設(shè)Un0且limnpUnl,那么limnpunl0且p1,那么級nn數(shù)Un發(fā)散;如果p1,而limnpunl(0l),那么其收n1n斂.(書上P317-2-(1)注:凡涉及證實的命題,一般不用比值法與根值法,一般會使用比擬判別法.正項級數(shù)的比(根)值判別法不能當(dāng)作收斂與發(fā)散的充要條件,是充分非必要條件.2 .交錯級數(shù)及其審斂法定義:設(shè)Un0(n1,2,),那么(1)n1Un稱為交錯級數(shù).n
5、1審斂法:萊布尼茲定理:對交錯級數(shù)(1)nU,假設(shè)UnUnn1NlimUn0,n那么(1)n1Un收斂.n1注:比擬Un與Un1的大小的方法有三種:比值法,即考察員是否小于1;Un差值法,即考察UnUn1是否大于0;由Un找出一個連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f(x),使Unf(n),(n1,2,)考察f(x)是否小于0.3 .一般項級數(shù)的判別法:假設(shè)Un絕對收斂,那么Un收斂.n1n1假設(shè)用比值法或根值法判定|Un|發(fā)散,那么Un必發(fā)散.n1n1三、幕級數(shù)1 .定義:anXn稱為幕級數(shù).n02 .收斂性阿貝爾定理:設(shè)幕級數(shù)anXn在X.0處收斂,那么其在滿足Ix|Ix0|的所有X處絕對收斂.反之,假設(shè)幕級數(shù)a
6、nxn在X1處發(fā)散,那么其在滿足|x|X1n0的所有X處發(fā)散.收斂半徑(i)定義:假設(shè)幕級數(shù)在xX0點收斂,但不是在整個實軸上收斂,那么必存在一個正數(shù)R,使得當(dāng)|xX0R時,幕級數(shù)收斂;當(dāng)an1anxX0R時,幕級數(shù)發(fā)散;R稱為幕級數(shù)的收斂半徑(ii)求法:設(shè)幕級數(shù)anXn的收斂半徑為R,其系數(shù)滿足條件limn0n或嚴(yán):;兩l,那么當(dāng)0l時,R1;當(dāng)l0時,R,當(dāng)l時,R0.注:求收斂半徑的方法卻有很大的差異.前一個可直接用公式,后一個那么須分奇、偶項(有時會出現(xiàn)更復(fù)雜的情況)分別來求.在分成奇偶項之后,由于通項中出現(xiàn)缺項,由此仍不能用求半徑的公式直接求,須用求函數(shù)項級數(shù)收斂性的方法.(iii
7、)收斂半徑的類型A. R0,此時收斂域僅為一點;B. R,此時收斂域為(,);C.R=某定常數(shù),此時收斂域為一個有限區(qū)間.3 .幕級數(shù)的運算(略)4 .幕級數(shù)的性質(zhì)假設(shè)幕級數(shù)的收斂半徑R0,那么和函數(shù)S(x)anxn在收斂區(qū)間(R,R)內(nèi)連續(xù).n0假設(shè)幕級數(shù)的收斂半徑R0,那么和函數(shù)S(x)anXn在收斂區(qū)間(R,R)內(nèi)可導(dǎo),n0且可逐項求導(dǎo),即S(x)(anXn)(anXn)nanXn1,收斂半徑不變.n0n0n1假設(shè)幕級數(shù)的收斂半徑R0,那么和函數(shù)S(x)anxn在收斂區(qū)間(R,R)內(nèi)可積,n0x且可逐項積分,即Sdt0X(antn)dt0n0antndt(xn00(R,R),收斂半徑不變
8、.5.函數(shù)展開成幕級數(shù)假設(shè)f(x)在含有點X.的某個區(qū)間I內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù),f(x)在Xo點的n階泰勒公式為f(X)f(Xo)f(Xo)(XXo)f(n1)()-一號(XXo)(n1),記Rn(x)(n1)!f(Xo)-2f(n1)2(XXo)f(n)(Xo)n!(xXo)(n1)!(n1)(XXo)介于X,Xo之間,那么f(x)在I內(nèi)能展開成為泰勒級數(shù)的充要條件為limRn(x)n0,初等函數(shù)的泰勒級數(shù)(xo0)n/no%(,I(ii)sinxn12n1(1)Xn1(2n1)!n2n(iii)cosx(J:,x(no(2n)!(iv)ln(1x)nn(1)X(1,1;/、(1)(n1)n(v)
9、 (1X)17-Xn,x(1,1),(R);n1n!1 1(vi) 4Xn,X1;4(1)nxn,X1.1 Xno/nn、(ancosxbnsinx).Xno6.級數(shù)求和幕級數(shù)求和函數(shù)解題程序(i)求出給定級數(shù)的收斂域;(ii)通過逐項積分或微分將給定的幕級數(shù)化為常見函數(shù)展開式的形式(或易看出其假設(shè)和函數(shù)s(x)與其導(dǎo)數(shù)s(x)的關(guān)系),從而得到新級數(shù)的和函數(shù);注:系數(shù)為立壬項代數(shù)和犯!級數(shù)2一求和函數(shù)時應(yīng)先將級數(shù)寫成各個幕級數(shù)的代數(shù)和,然后分別求出它們的和函數(shù),最后對和函數(shù)求代數(shù)和,即得所求級數(shù)的和函數(shù).數(shù)項級數(shù)求和利用級數(shù)和的定義求和,即limSns,那么Uns,其中nn1nsnU1U2U
10、nUk.根據(jù)$n的求法又可分為:直接法、拆項法、遞推法.A.直接法:適用于uk為等差或等比數(shù)列或通過簡單變換易化為這兩種數(shù)列;k1B.拆項法:把通項拆成兩項差的形式,在求n項和時,除首尾兩項外其余各項對消掉.(ii)阿貝爾法(構(gòu)造幕級數(shù)法)anlimanxn,其中幕級數(shù)anXn,可通_X1_n0n0n0過逐項微分或積分求得和函數(shù)S(x).因此anlims(x).X1n0四、傅里葉級數(shù)1.定義定義1:設(shè)f(x)是以2為周期的函數(shù),且在,或0,2上可積,那么1 一、,1*n1ll2.收斂定理(狄里赫萊的充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間,上滿足條件除有限個第一類間斷點外都是連續(xù)的;只有有限個極值點,、
11、,C、an一f(x)cosnxdx一0f(x)cosnxdx,(n0,1,2),112bn-f(x)sinnxdx.f(x)sinnxdx,(n1,2,),稱為函數(shù)f(x)的傅立葉系數(shù).定義2:以f(x)的傅立葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)-a0(ancosnxbnsinnx).2n11f(x)a02稱為函數(shù)f(x)的傅立葉級數(shù),表示為(ancosnxbnsinnx).n1定義3:設(shè)f(x)是以2l為周期的函數(shù),且在l,l上可積,那么以1 l一、nan一f(x)cosxdx,(n0,1,2),lllbn1f(x)sinnxdx,(n1,2)為系數(shù)的三角級數(shù)1ao(ancosxbnsinx)稱為f(x)
12、的傅立葉級數(shù),表示為1f(x)a.22 n1ll那么f(x)的傅立葉級數(shù)在,上收斂,且有a0(ancosnxbnsinnx)2n1f(x),x是f(x)的連續(xù)點;1f(xo0)f(xo0),2x0是f(x)的第一類間斷點;1_2f(0)f(0),x3.函數(shù)展開成傅氏級數(shù)周期函數(shù)(i)以2為周期的函數(shù)f(x):f(x)a1anf(x)cosnxdx(n0,1,2,ancosnxn1、,1),bnbnsinnxf(x)sinnxdx(n1,2,);注:假設(shè)f(x)為奇函數(shù),那么f(x)bnsinnx(正弦級數(shù)),n12bn0f(x)sinnxdx(n1,2,);0(n0,1,2,)假設(shè)f(x)為偶
13、函數(shù),那么f(x)與2an0f(x)cosnxdx(n0,1,2,ancosnx(余弦級數(shù)),n1),bn0(n1,2,).(ii)以2l為周期的函數(shù)f(x)?11anl1n、,f(x)cosxdx(n0,1,2,n.n、ancosx+bnsinx)n1ll1ln),bn-f(x)sinxdx(n1,2,);lllan0(n0,1,2,)注:假設(shè)f(x)為奇函數(shù),那么f(x)bnsinnx(正弦級數(shù)),n1l,2lnbn-0f(x)sin丁xdx(n1,2,);假設(shè)f(x)為偶函數(shù),那么f(x)包ancosx,(余弦級數(shù))2n1l2lnan-0f(x)cosxdx(n0,1,2,),bn0(n1,2,).非周期函數(shù)(i)奇延拓:f(x),0xA.f(x)為0,上的非周期函數(shù),令F(x)I,那么F(x)除x0外在f(x),x0在,上為奇函數(shù),f(x)bnsinn1(n1,2,).(ii)偶延拓:A. f(x)為0,上的非周期函數(shù),令F(x)/x(正弦級數(shù)),bn1n0f(x)sin-xdxf(x),0xf(x),x0那么F(x)除x0外在,上為偶函數(shù),f(x尸a_ancosnx(余2n12弦級數(shù)),anof(x)cosnxdx(n0,1,2,).B. f(x)為0,l上的非周期函數(shù),令F(x)f:):那么
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