微分方程模型

1、 常微分方程模型常微分方程模型1 前言前言2 導(dǎo)彈追蹤問題導(dǎo)彈追蹤問題3 微分方程的微分方程的MATLAB仿真仿真 一、建立微分方程的方法1、按變化規(guī)律直接列方程，如： 利用人們熟悉的力學(xué)、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的規(guī)律，如牛頓第二定律，放射性物質(zhì)的放射規(guī)律等。對(duì)某些實(shí)際問題直接列出微分方程2、模擬近似法，如： 在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科中，許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律并不很清楚，而且現(xiàn)象也相當(dāng)復(fù)雜，因而需根據(jù)實(shí)際資料或大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，提出各種假設(shè)，在一定的假設(shè)下，給出實(shí)際現(xiàn)象所滿足的規(guī)律，然后利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法得出微分方程。二、建模步驟1、翻譯或轉(zhuǎn)化： 在實(shí)際問題中許多表示導(dǎo)數(shù)的常用詞，如“速率”、增長”(

2、在生物學(xué)以及人口問題研究中)，“衰變”(在放射性問題中)，以及“邊際的”(在經(jīng)濟(jì)學(xué)中)等 2、建立瞬時(shí)表達(dá)式： 根據(jù)自變量有微小改變t時(shí)，因變量的增量W，建立起在時(shí)段t上的增量表達(dá)式，令t 0，即得到 的表達(dá)式dtdw3、配備物理單位： 在建模中應(yīng)注意每一項(xiàng)采用同樣的物理單位 4、確定條件： 這些條件是關(guān)于系統(tǒng)在某一特定時(shí)刻或邊界上的信息，它們獨(dú)立于微分方程而成立，用以確定有關(guān)的常數(shù)。為了完整充分地給出問題的數(shù)學(xué)陳述，應(yīng)將這些給定的條件和微分方程一起列出。一、建模步驟關(guān)于建模步驟的一個(gè)例子例1：某人的食量是10467焦天，其中5038焦 天用于基本的新陳代謝(即自動(dòng)消耗)。在 健身訓(xùn)練中，他所

3、消耗的熱量大約是69焦 公斤天乘以他的體重 (公斤) 假設(shè)以脂肪形 式貯藏的熱量100%地有效， 而1公斤脂肪合熱量41868焦。試研究此人的體重隨時(shí)間變 化的規(guī)律例子分析1、翻譯或轉(zhuǎn)化：2、配備物理單位：3、建立表達(dá)式：4、確定條件：1、“每天”：體重的變化輸入一輸出 其中輸入指扣除了基本新陳代謝之后的凈重量 吸收；輸出是進(jìn)行健身訓(xùn)練時(shí)的消耗(WPE)2、上述陳述更好的表示結(jié)構(gòu)式： 體重的變化天=凈吸收量天一WPE天其中： 凈吸收量天10467 5038 5429（焦天) 凈輸出量天69(焦公斤天)W(公斤 69W(焦天)3、體重的變化天 (公斤天)twdtdwt0例子分析1、翻譯或轉(zhuǎn)化：2

4、、配備物理單位：3、建立表達(dá)式：4、確定條件： 有些量是用能量(焦)的形式給出的，而另外一些量是用重量的形式(公斤)給出，考慮單位的匹配，利用單位匹配例子分析1、翻譯或轉(zhuǎn)化：2、配備物理單位：3、建立表達(dá)式：4、確定條件：建立表達(dá)式微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程（組）解析解的命令:dsolve(方程方程1,方程方程2,方程方程n,初始條件初始條件,自變量自變量)To MATLAB（ff1） 結(jié) 果：u = tg(t-c) 解解 輸入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)結(jié) 果 為 : y =3e-2xsin（5x）To MA

5、TLAB（ff2）微分方程的數(shù)值解微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義（一）常微分方程數(shù)值解的定義 在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜,且大多得不出一般解而實(shí)際中的對(duì)初值問題，一般是要求得到解在若干個(gè)點(diǎn)上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個(gè)滿足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的0000121212( , ) () (),(), () ,.nnnyf x yxy xyxxxxxy xy xy xy yy對(duì)常微分方程 ：，其數(shù)值解是指由初始點(diǎn)開始的若干離散的 處的值，即對(duì)， 求出準(zhǔn)確值的相應(yīng)近似值返 回（三

6、）用（三）用MATLAB軟件求常微分方程的數(shù)值解軟件求常微分方程的數(shù)值解t，x=solver(f,ts,x0,options)ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程寫成的M文件名ts=t0,tf，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)的初值ode23：組合的2/3階龍格庫塔費(fèi)爾貝格算法ode45：運(yùn)用組合的4/5階龍格庫塔費(fèi)爾貝格算法自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時(shí)設(shè)定相對(duì)誤差10-3, 絕對(duì)誤差10-6),命令為：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分別為設(shè)定的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差例例7-11 設(shè)有初值問題，試求

7、其數(shù)值解，并與精確解設(shè)有初值問題，試求其數(shù)值解，并與精確解相比較相比較(精確解為精確解為y(t)=)。 (1) 建立函數(shù)文件建立函數(shù)文件funt.m。function yp=funt(t,y)yp=(y2-t-2)/4/(t+1);(2) 求解微分方程。求解微分方程。t0=0;tf=10;y0=2;t,y=ode23(funt,t0,tf,y0); %求數(shù)值解求數(shù)值解y1=sqrt(t+1)+1; %求精確解求精確解tyy1 y為數(shù)值解，為數(shù)值解，y1為精確值，顯然兩者近似。為精確值，顯然兩者近似。 例例 5 解微分方程組. 1)0(, 1)0(, 0)0(51. 0321213312321y

8、yyyyyyyyyyy解解 1建立M文件rigidm如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-051*y(1)*y(2);2取t0=0，tf=12，輸入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3結(jié)果如圖To MATLAB（ff5）024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81圖中，y1的圖形為實(shí)線，y2的圖形為“*”線，y3的圖形為“

9、+”線返 回導(dǎo)彈追蹤問題導(dǎo)彈追蹤問題 設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于x軸上點(diǎn)A(1, 0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對(duì)準(zhǔn)乙艦如果乙艦以最大的速度v0(常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是5v0，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程乙艦行駛多遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)彈將它擊中？解法一解法一（解析法）由(1),(2)消去t, 整理得模型:(3) 151)1 (2yyx初值條件為: 0)0(y 0)0( yTo MATLAB(chase1)軌跡圖見程序chase1解法二解法二(數(shù)值解法)1建立M文件eq1m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x); 2 取x0=0，xf=09999，建立主程序ff6m如下： x0=0，xf=09999 x,y=o