第七章力矩分配法

1、結構力學STRUCTURAL MECHANICS制作人：周海龍INNER MONGOLIA AGRICULTURAL UNIVERSITY2010年3月內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構 力法和位移法是計算超靜定結構的兩種基本方法，但需要建立并求解聯(lián)立方程，當結構復雜時，手算求解這項工作十分繁重。為了避免求解聯(lián)立方程，人們提出許多適用的計算方法，在工程實踐中，常用的有以下三種：（1）力矩分配法（2）無剪力分配法（3）迭代法 由于這些方法的共同特點是避免建立和解算聯(lián)立方程，而以逐次漸近的方法來計算桿端彎矩，所以它是一種近似解法，故名：漸近法。7-1 力矩分配法力

2、矩分配法一、特點一、特點（1）理論基礎：位移法；（2）計算對象：桿端彎矩；（3）計算方法：增量調整修正的方法；（4）適用范圍：連續(xù)梁和無側移剛架。內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構二、基本概念二、基本概念1、轉動剛度表示桿端對轉動的抵抗能力。表示桿端對轉動的抵抗能力。在數值上在數值上 = = 僅使桿端發(fā)生單位轉動時需在桿端施加的力矩。僅使桿端發(fā)生單位轉動時需在桿端施加的力矩。SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=01SAB與桿的與桿的i（材料的性質、橫截面的形狀和尺寸、桿長）及遠端支承有關，（材料的性質、橫截面的形狀和尺寸、桿長）及遠端支承有關，而與近

3、端支承情況無關。而與近端支承情況無關。內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構注意：注意：本章的桿端彎矩及桿端位移，固端彎矩的正負規(guī)定同位移法。2、傳遞系數桿件近端發(fā)生轉角時，遠端彎矩與近端彎矩之比。桿件近端發(fā)生轉角時，遠端彎矩與近端彎矩之比。ijjiijMMC BAl4i A A2i ACAB=2i A/ 4i A=1/2BA A3i A0CAB=0/ 4i A=0BA Ai A-i ACAB=-i A/ i A=-1內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構3、分配系數桿桿 ij 的轉動剛度與匯交于的轉動剛度與匯交于 i 結點的所有桿件

4、轉動剛度之和的比值。結點的所有桿件轉動剛度之和的比值。 )(iijijSS (1)桿端力桿端力: 1M 1 1 12543 31)(43411511515114114141131131311211212aSiMSiMSiMSiM(2)由結點由結點1的平衡條件的平衡條件:內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構MM14M15M13M121 01M)()(015141312111514131215141312bSSSSMSSSSMMMMMM 即即:得得:1 MMSSMMMSSMMMSSMMMSSM151515141414131313121212 (3) 代代(b)入入(

5、a) , 得得:11j內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構當桿件上有荷載作用時，則各桿的桿端彎矩表達式可以寫為當桿件上有荷載作用時，則各桿的桿端彎矩表達式可以寫為FFFFMMMMMMMMMMMM151515141414131313121212近端彎矩結論：近端彎矩分配彎矩結論：近端彎矩分配彎矩+固端彎矩固端彎矩FFFFMMCMMMCMMMCMMMCM51151551411414413113133121121221遠端彎矩結論：遠端彎矩傳遞彎矩結論：遠端彎矩傳遞彎矩+固端彎矩固端彎矩內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構三、計算步驟三

6、、計算步驟1、固定結點、固定結點 即加入剛臂，此時各桿端產生固端彎矩，結點上有不平衡力矩，它暫時由剛臂承擔，該結點的不平衡力矩等于匯交于該結點的各桿端固端彎矩的代數和。同時可得到各桿端的分配系數。 2、放松結點、放松結點 即取消剛臂，讓結點轉動。這相當于在結點上又加入一個反號的不平衡力矩，使結點上的不平衡力矩被消除而獲得平衡。這個反號的不平衡力矩按分配系數的大小分配到各近端，于是各近端得到分配彎矩，同時各自按傳遞系數大小向遠端傳遞，于是各遠端得到傳遞彎矩。3、計算各桿端彎矩、計算各桿端彎矩 各 近端彎矩等于分配彎矩加固端彎矩；各遠端彎矩等于傳遞彎矩加固端彎矩。四、計算示例四、計算示例ABC20

7、0kN20kN/m例例1：試繪制圖示連續(xù)梁的彎矩圖3m3m6mEIEI內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構MAB=MBA=MBC=mkN 15086200mkN 150mkN 9086202MB=mkN 60解：（1）B結點加剛臂MBA+ MBC=（2）放松結點B，即加-60進行分配設設i =EI/l計算轉動剛度：計算轉動剛度：SBA=4iSBC=3i分配系數分配系數：571. 0344iiiBA429. 073iiBC分配力矩分配力矩:3 .34)60(571. 0BAM7 .25)60(429. 0BCM+=(3) 最后結果。合并前面兩個過程最后結果。合并前

8、面兩個過程內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構例例2：試計算圖示剛架，并繪制彎矩圖22. 05 . 1324245 . 1339. 05 . 1324242439. 05 . 13242424 ADACABADABADACABACACADACABABABSSSSSSSSSSSS 解：1）計算各桿端分配系數2）計算各桿端的固端彎矩內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構mkNqlMmkNlbpaMmkNlpabMFADFABFBA.4084208.6 .57532120.4 .865321202222222222結點 點 B A D C

9、 桿端 端 BA AB AC AD DA CA 分配系數 0.39 0.39 0.22 固端彎矩 分配傳遞 -86.4 -3.43 +57.6 -6.86 0.0 -6.86 -40.0 -3.83 0.0 0.0 -3.43 0. 3.最后彎矩 -89.83 +50.7-6.86 -43.88 0.0 -3.43 3）列表進行彎矩的分配與傳遞DABC3.4350.7443.8889.8314440M圖(kn.m)6.86內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構7-2用力矩分配法計算連續(xù)梁與無側移剛架用力矩分配法計算連續(xù)梁與無側移剛架 本節(jié)介紹的連續(xù)梁是具有兩個或兩

10、個以上結點角位移；本節(jié)介紹的剛架是具有多個結點角位移但無側移的結構。研究它們如何利用力矩分配法去解。一、解題步驟一、解題步驟1、先將所有具有結點角位移的結點固定，計算各桿端的分配系數、固端彎矩及各結點不平衡力矩；2、將各結點輪流地放松，即每次只放松一個結點，其它結點仍暫時固定，這樣把各結點的不平衡力矩輪流地進行分配、傳遞，直到各結點的不平衡力矩小到可忽略時，即可停止彎矩的分配和傳遞。為了減少輪流的次數，可以首先放松不平衡力矩較大的結點；或者將不相鄰的兩個結點同時放松。3、將各桿端的固端彎矩和屢次得到的分配彎矩和傳遞彎矩累加起來，便得到各桿端的最后彎矩。二、算例二、算例內蒙古農業(yè)大學第七章第七章

11、 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構1、多跨連續(xù)梁、多跨連續(xù)梁分配系數分配系數固端彎矩固端彎矩B點一次分、傳點一次分、傳B點二次分、傳點二次分、傳B點三次分、傳點三次分、傳C點第三次分配點第三次分配最后彎矩最后彎矩0.0-225.0+225.0 -135.00.00.045.0+90.0 +135.0+67.57.9+15.8+23.6+11.80.6+1.2 +1.8+0.9-0.4-0.553.5+107.0-107.0+220.0 -220.00.00.40.60.50.50.0-39.4-78.80.0-78.7-3.0-5.90.0-5.9表中彎矩單位為kN.m內蒙古農業(yè)大學第

12、七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構ABCD107135220135M圖圖(kN.m)53.52、無線位移的剛架、無線位移的剛架q=20kN/mBD6m6mCEA解：解：1) 計算分配系數：設計算分配系數：設EI/6=1結點結點B單元：單元：SBA=4 SBC=8 31BA32BC結點結點C單元：單元：SCB=8 SCE=8 SCD=4 52CECB51CD2) 計算固端彎矩：計算固端彎矩：mkNMMFECFCE60126202內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構3) 列表進行力矩分配：列表進行力矩分配：表中彎矩的單位為kN.m內蒙古農業(yè)大學第七

13、章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構4.2 972.85BDCEA4.29M 圖（kN.m）內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構7-3 力矩分配法和位移法的聯(lián)合應用力矩分配法和位移法的聯(lián)合應用 對于力矩分配法，其只能用于計算無結點線位移的剛架，對于有結點線位移的剛架，就不能計算，為此，可以將力矩分配法與位移法聯(lián)合起來應用。用力矩分配法考慮角位移的影響；用位移法考慮線位移的影響。一、計算步驟一、計算步驟1、 用位移法求解用位移法求解 選取基本未知的線位移未知量，加鏈桿得到基本體系，建立典型方程；2、用力矩分配法計算、用力矩分配法計算 首先采用力矩分配

14、法計算出桿端彎矩，然后利用靜力平衡條件，計算系數和自由項；3、解典型方程、解典型方程 求基本未知量的值；4、用疊加法繪制彎矩圖、用疊加法繪制彎矩圖PMZMM11二、算例二、算例例：例：試計算圖（a）所示的剛架，并繪制彎矩圖。內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構 1）根據位移法的基本原理，可建立位移法的典型方程011111PFZkF系數和自由項的計算需知道PMM 和1這兩項通過力矩分配法計算。2）固端彎矩的計算基本結構由于 的作用，這相當于無側移剛架發(fā)生已知支座位移的情況，則有11Z21616966622EIEIlEIliMMABABABFBAFAB2169126

15、6622EIEIlEIliMMCDCDCDFDCFCD內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構 表表7-1 桿端彎矩的計算桿端彎矩的計算結點ABCD桿端ABBABCCBCDDC分配系數0.4710.5290.60.4MP的計算固端彎矩-177.8+88.9分配與傳遞+53.4+106.7+71.1+35.6-12.6-25.2-28.3-14.1+4.3+8.5+5.6+2.8-1.0-2.1-2.2-1.1+0.3+0.7+0.4+0.2-0.1-0.2MP-13.6-27.4+27.4+100.7-100.7+127.5內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜

16、定結構漸近法計算超靜定結構M1的計算固端彎矩-16-16-9-9分配與傳遞+3.77+7.53+8.47+4.24+1.43+2.86+1.90+0.95-0.34-0.67-0.76-0.38+0.12+0.23+0.15+0.08-0.03-0.06-0.06-0.03+0.02+0.01M1-12.6-9.2+9.2+6.94-6.94-7.97M1Z1+238.1+173.9-173.9-131.2+131.2+150.6M=M1Z1+MP+224.5+146.5-146.5-30.5+30.5+278.121666. 321612)97. 794. 6(9)2 . 96 .12(11

17、EIEIk1 .691003212)5 .1277 .100(9)4 .276 .13(1PF內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構將上述系數和自由項代入方程，可解得EIEIkFZP2169 .1821666. 31 .691111PMZMM11剛架最后彎矩圖可由疊加法求得，見圖（f）說明： 對于具有多個線位移的情況，解法相同。只不過計算比較麻煩些。內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構7-4 無剪力分配法無剪力分配法 對于無側移剛架可以采用力矩分配法去解，對于有側移剛架，可以聯(lián)合應用位移法和力矩分配法去解，但是，當有側移剛架滿足某些

18、特定條件時，則采用無剪力分配法計算比較方便。 一、適用條件一、適用條件剛架中除了無側移桿外，其余桿件全是剪力靜定桿。剛架中除了無側移桿外，其余桿件全是剪力靜定桿。無側移桿：無側移桿：如果桿件兩端線位移平行但兩端點無相對的線位移。剪力靜定桿剪力靜定桿 指的是剪力可由截面投影平衡求出來的桿。EC,DB,CF桿AB,BC桿內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構無剪力分配法的計算過程和力矩分配法是一樣的。（1）固定結點）固定結點 只加剛臂限制結點轉動而不加鏈桿阻止其線位移。立柱BC,AB都可以看成上端滑動，下端固定的鉸支梁。將剪力求出看成外荷載，于是可以求得其固端為彎矩為

19、mkNPlMMFCBFBC.204105 . 021mkNlPPlMFAB.5 .4241021415832183mkNlPPlMFBA.5 .2741021415812181iSSCBBA1CBBACC剪力靜定桿的轉動剛度和傳遞系數為（2）放松結點）放松結點 消除剛臂上的不平衡力矩，加一個反號的不平衡力矩，并對該力矩進行分配和傳遞，以達到放松結點的目的。二、計算步驟二、計算步驟內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構在放松結點的過程中，立柱中的剪力保持不變，彎矩的分配和傳遞是在無剪力產生的情況下進行的，所以叫無剪力分配法。三、算例三、算例例：試用無剪力分配法計算圖

20、示剛架。例：試用無剪力分配法計算圖示剛架。41i 32i 解：1）求分配系數1231 iSBC 32 iSBA8 . 0BC 2 . 0BA 1BAC2）求固端彎矩mkNMFBC.75.345163mkNqlMFBA.67. 2641622mkNqlMFAB.33.5341322內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構桿端ABBABCCB分配系數0.20.8固端彎矩-5.33-2.67-3.75分配與傳遞-1.281.285.14M-6.61-1.391.3903）列表進行計算4）繪制彎矩圖內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構本章小結

21、與討論本章小結與討論一、本章小結一、本章小結 力矩分配法和無剪力分配法都屬于位移法范疇的一種漸近解法。所不同的是，位移法是通過建立和解算聯(lián)立方程同時放松各結點，結果是精確的；而力矩分配法和無剪力分配法則是通過依次放松各結點以消去其上的不平衡力矩來修正各桿端的彎矩值，使其逐漸接近真實的彎矩值。所以，稱它們是漸近解法。 力矩分配法和無剪力分配法的共同優(yōu)點是：無需建立和解算聯(lián)立方程，收斂速度快（一般只需分配兩輪到三輪），力學概念明確，能直接算出最后的桿端彎矩。它們的共同缺點是適用范圍小，力矩分配法只適用于連續(xù)梁和無側移剛架，而無剪力分配法只適用于除無側移桿件外，其余桿件均為剪力靜定桿的剛架。對于一般

22、有結點線位移的剛架，則聯(lián)合應用力矩分配法和位移法來求解，使計算更加簡便。 力矩分配法的應用有單結點力矩分配和多結點力矩分配，單結點力矩分配是力矩分配法的基礎，多結點力矩分配實際上就是重復進行的單結點力矩內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構分配。單結點的結構通過一次力矩分配和傳遞就完成了對結點的放松，結果是精確的。多結點的結構則需要進行多結點力矩分配，其結果的精度隨計算輪次的增加而提高，最后收斂于精確解，一般當結點不平衡力矩降低為各結點的最大初始不平衡力矩的1左右或達到所需精度要求時，便可認為該不平衡力矩可略去不計，即各結點已放松完畢，各結點都已轉動到實際的平衡位

23、置，便可停止計算。 在放松結點時，我們可以遵循任意次序進行，但為了使計算收斂的速度快些，宜從不平衡力矩數值較大的結點開始放松，這樣也能夠加快收斂的速度。 雖然計算機在結構計算中不斷推廣，漸近法這類手算方法的應用會有所減少，但在未知量較少的工作計算中仍不失為一種簡便實用的解法。二、討論二、討論內蒙古農業(yè)大學第七章第七章 漸近法計算超靜定結構漸近法計算超靜定結構 迭代法，即力矩迭代法，它同力矩分配法一樣，也是以位移法為基礎的一種漸近解法，也是以桿端彎矩作為運算對象，桿端彎矩也采用同樣的正負號規(guī)定。二者的區(qū)別是：在每次的漸近運算中，力矩分配法計算的是桿端彎矩新添的增量，力矩迭代法計算的是桿端彎矩全量的新一輪近似解。此外，力矩分配法一般只用于解無側移剛架，力矩迭代法可用于解有側移和無側移剛架。一、無側移剛架的力矩迭代法一、無側移剛架的力矩迭代法1、轉角彎矩的概念、轉