函數(shù)的極值與最大值PPT學習教案

1、會計學1函數(shù)的極值與最大值函數(shù)的極值與最大值 2. 一個特殊情形 結論：若函數(shù)f(x)在一個開區(qū)間內(nèi)可導且有唯一的極值點x0，則當f(x0)為極大（?。┲禃r，f(x0)就是f(x)在該區(qū)間內(nèi)的最大（?。┲?。 例2 求函數(shù) 的最大值。342xxy3. 實際問題 在實際問題中，若函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)只有一個駐點x0，且從實際問題本身又可以知道f(x)在該區(qū)間內(nèi)必有最值，則f(x0)就是所要求的最值（不必判斷）。第1頁/共13頁 例3 用邊長為48厘米的正方形鐵皮做一 個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒。問怎樣截才能使鐵盒容積最大？48x48-2

2、x48-2xx第2頁/共13頁 例4 如圖所示的電路中，已知電源電壓為 E，內(nèi)阻為r，求負載電阻R為多大時，輸出功率最大？rER第3頁/共13頁第四節(jié) 曲線的凹凸與拐點 一、凹凸性 定義 如果在某區(qū)間內(nèi)的曲線弧位于其上任一點切線的上方，則稱此曲線弧在該區(qū)間內(nèi)為凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)的曲線弧位于其上任一點切線的下方，則稱此曲線弧在該區(qū)間內(nèi)為凸的。OxyABCDE 例如，右圖中，曲線弧 ABC在區(qū)間(a ,c)內(nèi)是凸的；弧CDE 在區(qū)間(c ,b)內(nèi)是凹的。acb第4頁/共13頁 幾何上，對于凹的曲線弧，切線的斜率隨x的增大而增大，即 為x的增函數(shù)，即 )(xf )(xf 0。對于凸的曲線弧，切線的

3、斜率隨x的增大而減小，即 為x的減函數(shù)，即 。)(xf 。0)( xf 定理（凹凸性判定定理） 設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a ,b)內(nèi)具有二階導數(shù)。 （1）若在(a ,b)內(nèi) ，則曲線y=f(x)在(a ,b)內(nèi)為凹的；0)( xf （2）若在(a ,b)內(nèi) ，則曲線y=f(x)在(a ,b)內(nèi)為凸的。0)( xf凹凸第5頁/共13頁 例1 判定曲線 的凹凸性。xy1 x +)0 ,(), 0( y xy1 例2 判定曲線y=x3的凹凸性。 x 0 0 +y=x3)0 ,(), 0( y 第6頁/共13頁 二、拐點的定義和求法 定義 連續(xù)曲線上凹的曲線弧與凸的曲線弧的分界點叫做曲線的拐點。例如，例

4、2中的點(0,0)即為曲線y=x3的拐點。拐點的求法：（1）確定函數(shù)y=f(x)的定義域（2）求出)(xfy （3）令 ，解出這個方程在函數(shù)y= f(x)的定義域內(nèi)的實根0 y （4）對于解出的方程 的每個實根x0，考察 在x0左右近旁的符號。若0 y)( xf 的符號相反，則點(x0,f(x0)為拐點；否則不是拐點。)( xf 第7頁/共13頁 例3 求曲線 的凹凸區(qū)間和拐點。233xxy x 1 0 +曲線y=f(x) 拐點(1,-2) 1 ,(), 1 ( y 例4 判斷曲線 是否有拐點？1) 12(4xy第8頁/共13頁 三、函數(shù)圖形的描繪（微分法作圖） 例5 用微分法作函數(shù) 的圖象。

5、xxy331 x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1) 1,(), 1 ( 曲線 極大值 拐點 極小值yy + 0 0 +y=f(x) (0,0) 0 + + +323232132-1Oxxy33112-2xy33-1第9頁/共13頁 有時，還可結合所謂水平、垂直漸近線作圖。 定義 對于函數(shù)y=f(x)，若bxfxxx)(lim)()(存在，則稱直線y=b 為曲線y=f(x)的水平漸近線；若)(lim)0()0(000 xfxxxxxx存在，則稱直線x=x0 為曲線y=f(x)的垂直漸近線。 例如，直線y=1及x=2分別為曲線 的水平和垂直漸近線。121xyOyx1 2 31y=1121xy 注意：曲線是由雙曲線 平移而得到的。xy1x=2第10頁/共13頁 用微分法作函數(shù)圖象的一般步驟：（1）求函數(shù)的定義域 （2）判斷函數(shù)的有界性、奇偶性、周期性 （3）求函數(shù)的一階導數(shù)，并解出駐點；求函數(shù)的二階導數(shù)，解出二階導數(shù)為零的點 （4）用函數(shù)的駐點及二階導數(shù)為零的點，將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，列出一個綜合表，以綜合判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值及曲線的凹凸性和拐點（包括凸增、凸減、凹增、凹減等） （5）判斷曲線有無水平或垂直漸近線（若有的話，則求出之） （6）適當補充若干個輔助點，綜合作