流體力學(xué)講稿第三章201510a參考件1

1、1 例例 水波問題分析水波問題分析第三章第三章 流體運動的基本方程組流體運動的基本方程組2022-5-212 步一：給出水波問題的基本（假定）條件步一：給出水波問題的基本（假定）條件1）水是無粘性）水是無粘性 (不考慮水粘性不考慮水粘性)；2）水是不可壓縮流體；）水是不可壓縮流體；3）水波運動流場是無旋的。）水波運動流場是無旋的。水波問題水波問題是是理想理想不可壓不可壓流體流體的的無旋無旋運動問題運動問題水波問題水波問題必須服從必須服從不可壓不可壓勢流勢流運動的基本控制方程運動的基本控制方程2022-5-213 水的流體質(zhì)點運動方程水的流體質(zhì)點運動方程 1 1）拉格朗日形式）拉格朗日形式 -

2、2 2）歐拉形式）歐拉形式 -（利用（利用 ） pFa( . )DxyzvDttxtytztt ( .)pDvvFvvDtt步二：推導(dǎo)出水波問題的基本方程步二：推導(dǎo)出水波問題的基本方程2022-5-214 *拉格朗日流體質(zhì)點運動方程之推導(dǎo)拉格朗日流體質(zhì)點運動方程之推導(dǎo) -方程的一般形式：方程的一般形式： 式中式中, , 為作用于單位質(zhì)量流體上之體力。為作用于單位質(zhì)量流體上之體力。 -推導(dǎo)過程：采用微元分析法，如圖示，在推導(dǎo)過程：采用微元分析法，如圖示，在x x軸方軸方向由左右兩面壓強差產(chǎn)生的合力為向由左右兩面壓強差產(chǎn)生的合力為 同理，在同理，在y y和和z z軸方向由壓強差產(chǎn)生的合力應(yīng)分別為軸

3、方向由壓強差產(chǎn)生的合力應(yīng)分別為故作用于微元體上對應(yīng)的總合力為故作用于微元體上對應(yīng)的總合力為()()22p dxp dxpdydzpdydzxxpdxdydzx pFaF()()22()()22p dyp dyppdxdzpdxdzdxdydzyyyp dzp dzppdxdypdxdydxdydzzzz 2022-5-215設(shè)作用于微元體單位質(zhì)量的體力為設(shè)作用于微元體單位質(zhì)量的體力為 ，則作用于微元體上的總，則作用于微元體上的總體力為體力為 ，另微元體加速度為，另微元體加速度為 ，應(yīng)用牛頓定律可得：，應(yīng)用牛頓定律可得：即即- 也可直接由流體的納維也可直接由流體的納維斯托克斯方程斯托克斯方程 (

4、N-S方程方程)對于無粘流體，有對于無粘流體，有 ，故有，故有歐拉方程歐拉方程 ()pppijk dxdydzpdxdydzxyz FbF dxdydzFdxdydzpdxdydza dxdydzapFpaFa 2graddiv(2)grad( div )3DvFpSvDt0,PpI gradDvpFpFaDt ()pDvvFvvDtt 2022-5-216連續(xù)方程連續(xù)方程 - （涉及（涉及質(zhì)量守恒律質(zhì)量守恒律:由一個流體系統(tǒng)中的流體質(zhì)量在運動過程中保由一個流體系統(tǒng)中的流體質(zhì)量在運動過程中保持不變。按雷諾輸運定理，即在一固定空間中流體質(zhì)量的減少持不變。按雷諾輸運定理，即在一固定空間中流體質(zhì)量的

5、減少率等于單位時間內(nèi)通過控制體表面流出的流體凈質(zhì)量）率等于單位時間內(nèi)通過控制體表面流出的流體凈質(zhì)量） 調(diào)和方程調(diào)和方程(拉普拉斯方程拉普拉斯方程) - （涉及亥姆霍茲定理：體力有勢的無粘正壓流體（涉及亥姆霍茲定理：體力有勢的無粘正壓流體,沿任一條由相同質(zhì)沿任一條由相同質(zhì)點構(gòu)成的封閉線之環(huán)量不隨時間變化，由此可知，流體若開始點構(gòu)成的封閉線之環(huán)量不隨時間變化，由此可知，流體若開始流動時處處無旋，則以后時刻保持無旋）流動時處處無旋，則以后時刻保持無旋） 伯努利方程（拉格朗日積分）伯努利方程（拉格朗日積分）- （涉及體力有勢的無粘正壓（涉及體力有勢的無粘正壓流體的流體的歐拉運動方程歐拉運動方程應(yīng)用）應(yīng)

6、用）0v20 2()02pgzt7 第三章第三章 流體運動的基本方程組流體運動的基本方程組 1. 系統(tǒng)與控制體系統(tǒng)與控制體 系統(tǒng)系統(tǒng) - 某一確定流體質(zhì)點集合的總體稱為系統(tǒng)某一確定流體質(zhì)點集合的總體稱為系統(tǒng),系統(tǒng)以外部分系統(tǒng)以外部分稱為外界稱為外界,其與系統(tǒng)的分界面稱為邊界。其與系統(tǒng)的分界面稱為邊界。 - 系統(tǒng)的特點為：系統(tǒng)的特點為：(i)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點始終包含在系統(tǒng)內(nèi)，系系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點始終包含在系統(tǒng)內(nèi)，系統(tǒng)邊界的形狀和空間大小一般隨運動而變；統(tǒng)邊界的形狀和空間大小一般隨運動而變；(ii)系統(tǒng)與外界系統(tǒng)與外界無質(zhì)量交換，可有力的相互作用和能量交換無質(zhì)量交換，可有力的相互作用和能量交換(類似理論力學(xué)類似

7、理論力學(xué)質(zhì)點系特性質(zhì)點系特性) 。 - 以系統(tǒng)為研究對象的運動描述方法為拉格朗日描述法。以系統(tǒng)為研究對象的運動描述方法為拉格朗日描述法。 控制體控制體 - 流體所在空間以假定或真實流體邊界包圍且一般固定不流體所在空間以假定或真實流體邊界包圍且一般固定不動而形狀任意的空間體積稱為控制體，其表面稱為控制面。動而形狀任意的空間體積稱為控制體，其表面稱為控制面。 -控制體特點為：控制體特點為：(i)控制體形狀和空間大小一般不變，相控制體形狀和空間大小一般不變，相對某一坐標(biāo)固定不動，而控制體內(nèi)質(zhì)點組成可能變化。對某一坐標(biāo)固定不動，而控制體內(nèi)質(zhì)點組成可能變化。 (ii)控制體與外界可能存在質(zhì)量和能量交換以

8、及力的相互作用。控制體與外界可能存在質(zhì)量和能量交換以及力的相互作用。 -控制體以空間變量描述運動，稱為歐拉描述法。控制體以空間變量描述運動，稱為歐拉描述法。 8 2. 雷諾輸運定理雷諾輸運定理 基本定理基本定理 - 某時刻一可變體積上某時刻一可變體積上系統(tǒng)總物理量的時間變化率系統(tǒng)總物理量的時間變化率,等于該時等于該時刻所處刻所處控制體中物理量的時間變化率控制體中物理量的時間變化率加上加上單位時間通過該控制單位時間通過該控制體邊界凈輸運的流體物理量體邊界凈輸運的流體物理量，其數(shù)學(xué)表達式為，其數(shù)學(xué)表達式為 式中，式中， 為為t時刻單位體積流體的某物理量分布函數(shù)，而時刻單位體積流體的某物理量分布函數(shù)

9、，而 為為t時刻流體域時刻流體域 上的總物理量（例如總流體上的總物理量（例如總流體 質(zhì)量為質(zhì)量為 ）。）。 分析：分析：設(shè)設(shè) 時刻體積在空間位置時刻體積在空間位置 上，上， 時刻體積在空間位置時刻體積在空間位置 上，由：上，由： ( , )f r t( )( )( , )tI tf r t d( )( )( , )tM tr t dt( ) ttt()tt()( )00( ,)( , )( )()( )limlimtttttf r tt df r t dDI tI ttI tDttt 2022-5-219 現(xiàn)將現(xiàn)將 分為分為兩部分兩部分，即與即與 (視為控制體視為控制體)重合部分重合部分 以以

10、及及新占區(qū)域新占區(qū)域 ，而從，而從 空出部分可設(shè)為空出部分可設(shè)為 (均取均取 時刻時刻)，故有，故有 由此由此 對于第一個極限，有：對于第一個極限，有： 其中其中 為為 邊界底面積面元，邊界底面積面元， 為沿邊界外法向單位矢量為沿邊界外法向單位矢量 方向的邊長方向的邊長,也即也即體元高體元高，相應(yīng)有，相應(yīng)有 31000()()()( )limlimlimtttIttIttI ttI tttt 0( )()( )limtDI tI ttI tDtt ()tt213131213()(); ()()ttttttI ttIIII 111000( ,)( ,)()limlimlimStttf r tt

11、df r tt v ndA tIttttt ()dv n t dA dAv n t tt( )( )( , )tI tf r t d 131213()(); ()()ttttttI ttIIII 12SSS故故式中式中 為為 與與 之界面，極限表示單位時間從之界面，極限表示單位時間從 上移出的物理量。上移出的物理量。對于第二個極限有：對于第二個極限有：對于第三個極限有：對于第三個極限有：式中式中 為為 與與 之界面，極限表示單位時間從之界面，極限表示單位時間從 上移入的物理量。上移入的物理量。 與與 構(gòu)成構(gòu)成 的全部邊界的全部邊界 ,則有則有相應(yīng)相應(yīng)0()( )lim( , )tIttItIf

12、 r t dttt 320()lim( , )()StIttf r t v ndAdv ndA tt 11100( ,)()limlim( , )SSttf r tt v ndA tIttf r t v ndAtt 1S11S2S32S2S1SS控制體中物理量的時間變化率控制體中物理量的時間變化率單位時間通過控制體邊界凈輸運的流體物理量單位時間通過控制體邊界凈輸運的流體物理量*若控制體固定不變形，則可有若控制體固定不變形，則可有123100()()limlimttIttItttt 單位時間從單位時間從 表面表面S凈向外輸運的物理量凈向外輸運的物理量0( )()( )limtDI tI ttI

13、tDtt 31000()()()( )limlimlimtttIttIttI ttI tttt 13()()(), ( )( )ttttI ttIIIII tI t 也即也即( , )If r t dtt控制體中物理量的時間變化率控制體中物理量的時間變化率( )( )( , )( , )ttf r tf r t ddtt其中其中2022-5-2113 3. 微分連續(xù)性方程微分連續(xù)性方程 流體力學(xué)基本方程組的一般概念流體力學(xué)基本方程組的一般概念 - 流體運動遵循的基本定律包括：流體運動遵循的基本定律包括：質(zhì)量守恒律質(zhì)量守恒律、動量平衡動量平衡律律、動量矩平衡律動量矩平衡律、能量守恒律及熵不等式能

14、量守恒律及熵不等式，其，其補充方程包補充方程包括本構(gòu)方程和狀態(tài)方程括本構(gòu)方程和狀態(tài)方程等。定律的數(shù)學(xué)表達方式包括拉格朗等。定律的數(shù)學(xué)表達方式包括拉格朗日型和歐拉型，后者常用于對流體物理量分布的計算。另定日型和歐拉型，后者常用于對流體物理量分布的計算。另定律的數(shù)學(xué)表達形式包括律的數(shù)學(xué)表達形式包括微分和積分形式微分和積分形式。 質(zhì)量守恒律的基本含義質(zhì)量守恒律的基本含義 - 一個流體系統(tǒng)中的流體質(zhì)量在運動過程中保持不變一個流體系統(tǒng)中的流體質(zhì)量在運動過程中保持不變。按。按雷諾輸運定理，即在一個固定空間（控制體）中流體質(zhì)量的雷諾輸運定理，即在一個固定空間（控制體）中流體質(zhì)量的減少率（單位時間內(nèi)控制體中流

15、體質(zhì)量的減少）等于單位時減少率（單位時間內(nèi)控制體中流體質(zhì)量的減少）等于單位時間內(nèi)通過該控制體表面流出的流體凈質(zhì)量間內(nèi)通過該控制體表面流出的流體凈質(zhì)量,也即有也即有 微分形式連續(xù)性方程推導(dǎo)微分形式連續(xù)性方程推導(dǎo)如圖示如圖示 ()()udx udx dydz txx()uuuxxx2022-5-2115 () t dxdydzt16 17()fafaaf 對于均質(zhì)不可壓流體對于均質(zhì)不可壓流體均質(zhì)不可壓流體均質(zhì)不可壓流體2022-5-2118 *積分法推導(dǎo)積分法推導(dǎo)定常運動或均質(zhì)定常運動或均質(zhì)不可壓流中，有不可壓流中，有管道截面上流動均勻的均質(zhì)不可壓管道截面上流動均勻的均質(zhì)不可壓流體滿足關(guān)系流體滿足

16、關(guān)系1 12 2V AV AVAc 對于定常流動，單位對于定常流動，單位時間通過流管各截面的時間通過流管各截面的流體質(zhì)量守恒流體質(zhì)量守恒2022-5-2119* 在定常流中，流管形狀不變，像固定的管道在定常流中，流管形狀不變，像固定的管道 2/2例例 在在下圖所示下圖所示的收縮噴管流場中，設(shè)的收縮噴管流場中，設(shè) 截面附近的截面附近的 點的點的軸向速度為軸向速度為 ，速度梯度為速度梯度為 ， 點在點在 點的上方點的上方 處。處。 求求 點橫向速度分量。點橫向速度分量。分析：分析：由不可壓縮流動連續(xù)性方程由不可壓縮流動連續(xù)性方程可得可得本例說明本例說明 點點 x方向正的速度梯度引起方向正的速度梯度

17、引起y 方向負的速度梯度方向負的速度梯度，兩側(cè)質(zhì)點向軸心流動。，兩側(cè)質(zhì)點向軸心流動。1A1asmu38.101 -s86.24xu1a1a1a0yvxuv24.86 /= 0.0050.124/vusyyxymvvms 而， 故1a5mm2022-5-21定常運動中，有定常運動中，有流動均勻的均質(zhì)不可壓流體流動均勻的均質(zhì)不可壓流體2022-5-2122*收縮噴管定常流動：遷移加速度收縮噴管定常流動：遷移加速度 下圖為一圓錐形收縮噴管，長為下圖為一圓錐形收縮噴管，長為36cm，底部，底部A0和和A3的直徑分別的直徑分別為為9cm和和3cm，恒定流量，恒定流量Q=0.02m3/s;試試按一維流動計

18、算四個按一維流動計算四個依序等距依序等距截面截面（如圖示）（如圖示）上的速度和加速度。上的速度和加速度。9/2 3/20.045tan0.0450.0453612xrxx其中其中A的半徑為：的半徑為：2022-5-2123分析：分析：取軸向流動方向為取軸向流動方向為x軸，軸，底部為原點。噴管內(nèi)為定常流動，底部為原點。噴管內(nèi)為定常流動，當(dāng)?shù)丶铀俣犬?dāng)?shù)丶铀俣龋ㄋ俣鹊木植繉?dǎo)數(shù)）（速度的局部導(dǎo)數(shù)）為零，只有遷移加速度為零，只有遷移加速度（速度的（速度的位變導(dǎo)數(shù)）位變導(dǎo)數(shù)）。按一維流動計算。按一維流動計算，設(shè)，設(shè)V為為距底部距離為距底部距離為x的的管截面上管截面上的平均速度的平均速度，則對應(yīng)的，則對應(yīng)的面積、速度和加速度面積、速度和加速度算式算式分別為分別為 2230.02350.0436/(/ ),(/)VxVQA m saV