大學(xué)物理 波動(dòng) 02 哈爾濱工程大學(xué) 孫秋華

1、Harbin Engineering University孫秋華孫秋華OABxyll例例2、一平面簡(jiǎn)諧波沿正、一平面簡(jiǎn)諧波沿正x方向傳播，如圖，方向傳播，如圖，O點(diǎn)為振源。已點(diǎn)為振源。已知：知：OA=AB=10cm,振幅振幅Ao=10cm,=7.s-1，當(dāng)，當(dāng)t=1s時(shí)，時(shí)，A點(diǎn)的點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為振動(dòng)狀態(tài)為yA=0，(dy/dt)A0 ;l 。求：波動(dòng)方程的表達(dá)式。求：波動(dòng)方程的表達(dá)式。Harbin Engineering University孫秋華孫秋華解：設(shè)波動(dòng)方程為解：設(shè)波動(dòng)方程為:2cos00 xtAy O A ByyyOOOcml24512lQ)xx(ABBA2Harbin Engin

2、eering University孫秋華孫秋華OABxyllt=1s時(shí)，由于時(shí)，由于O、B關(guān)于關(guān)于A對(duì)稱，所以對(duì)稱，所以 0)(20OOdtdyAyt=1st=0 振動(dòng)方程為：振動(dòng)方程為： )xtcos(.y3325710(m)Harbin Engineering University孫秋華孫秋華2.1.4 波動(dòng)能量波動(dòng)能量 能流密度以及能流密度能流密度以及能流密度 當(dāng)機(jī)械波在媒質(zhì)中傳播時(shí)，媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)均在其平衡位當(dāng)機(jī)械波在媒質(zhì)中傳播時(shí)，媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)均在其平衡位置附近振動(dòng)，因而具有振動(dòng)動(dòng)能置附近振動(dòng)，因而具有振動(dòng)動(dòng)能. 同時(shí)，介質(zhì)發(fā)生彈性形變，因而具有彈性勢(shì)能同時(shí)，介質(zhì)發(fā)生彈性形變，因而具有彈

3、性勢(shì)能. 以固體棒中傳播的縱波為例分析波動(dòng)能量的傳播以固體棒中傳播的縱波為例分析波動(dòng)能量的傳播.一、波的一、波的能量能量xxOxdxOyydxdHarbin Engineering University孫秋華孫秋華222121vvVdmdEdk)(cosuxtAy)(sinuvxtAty2 振動(dòng)動(dòng)能振動(dòng)動(dòng)能:)xt (sinVAdEdku22221xxOxdxOyydxdHarbin Engineering University孫秋華孫秋華221ydkEdP2 彈性勢(shì)能彈性勢(shì)能xxOxdxOyyddx 楊氏模量楊氏模量:llESFxSEkdllESFEu )(sinuxtAuxy)(sind2

4、1222uxtVA22)dd(d21xyVu222121)xdyd( xdESydkEdPHarbin Engineering University孫秋華孫秋華 體積元的總機(jī)械能體積元的總機(jī)械能)uxt (sinVAdEdEdEdpk222)uxt (sinVAdEdEdpk22221討討 論論2 體積元在平衡位置時(shí)，動(dòng)能、勢(shì)能和總機(jī)械能均最大體積元在平衡位置時(shí)，動(dòng)能、勢(shì)能和總機(jī)械能均最大.2 體積元的位移最大時(shí)，三者均為零體積元的位移最大時(shí)，三者均為零.1）在波動(dòng)傳播的媒質(zhì)中，任一體積元的動(dòng)能、在波動(dòng)傳播的媒質(zhì)中，任一體積元的動(dòng)能、 勢(shì)能、總機(jī)勢(shì)能、總機(jī) 械能均隨械能均隨x、t作周期性變化，

5、且變化是作周期性變化，且變化是同相位同相位的的.Harbin Engineering University孫秋華孫秋華2） 任一體積元都在不斷地接收和放出能量，即不斷地傳播任一體積元都在不斷地接收和放出能量，即不斷地傳播 能量能量 . 任一體積元的機(jī)械能不守恒任一體積元的機(jī)械能不守恒 . 波動(dòng)是能量傳遞波動(dòng)是能量傳遞 的一種方式的一種方式 .)uxt (sinVAdEd222 能量密度能量密度：?jiǎn)挝惑w積介質(zhì)中的波動(dòng)能量：?jiǎn)挝惑w積介質(zhì)中的波動(dòng)能量.)uxt (sinAVdEdw222平均平均能量密度：能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值能量密度：能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值.22021d1AtwTwTH

6、arbin Engineering University孫秋華孫秋華二、二、 波的能流和能流密度波的能流和能流密度 能流：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)垂直通過某一面積的能量能流：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)垂直通過某一面積的能量. 平均能流：平均能流：SuwP uwSPI 能流密度能流密度 ( 波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度 ) I:通過垂直于波傳播方向的單通過垂直于波傳播方向的單位面積的平均能流位面積的平均能流. udtSuuAI2221Harbin Engineering University孫秋華孫秋華 例例 證明球面波的振幅與證明球面波的振幅與離開其波源的距離成反比，離開其波源的距離成反比，并求球面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)并求球面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)

7、. 證證 介質(zhì)無吸收，通過兩介質(zhì)無吸收，通過兩個(gè)球面的平均能流相等個(gè)球面的平均能流相等.1s2s1r2r1221rrAA)(cos00urtrrAy2211uSuS2222221221421421ruAruA即即式中式中r為離開波源的距離，為離開波源的距離，A0為為r=r0 處的振幅處的振幅.Harbin Engineering University孫秋華孫秋華三、三、波的吸收波的吸收 實(shí)際上，波在媒質(zhì)中傳播時(shí)，媒質(zhì)總要吸收一部分能實(shí)際上，波在媒質(zhì)中傳播時(shí)，媒質(zhì)總要吸收一部分能量。吸收的能量轉(zhuǎn)換為媒質(zhì)的內(nèi)能和熱。因此，波的振幅量。吸收的能量轉(zhuǎn)換為媒質(zhì)的內(nèi)能和熱。因此，波的振幅要減小、波的強(qiáng)度將

8、減弱，這種現(xiàn)象稱之為吸收。要減小、波的強(qiáng)度將減弱，這種現(xiàn)象稱之為吸收。設(shè)：波通過設(shè)：波通過dx厚的媒質(zhì)后，振幅減少為厚的媒質(zhì)后，振幅減少為-dA，則，則為吸收系數(shù)即：AdxdAAdxdAxxeIIeAA200積積分分得得：xAHarbin Engineering University孫秋華孫秋華球球 面面 波波平平 面面 波波 介質(zhì)中波動(dòng)傳播到的各點(diǎn)都可以看作是發(fā)射子波的波源，介質(zhì)中波動(dòng)傳播到的各點(diǎn)都可以看作是發(fā)射子波的波源，而在其后的任意時(shí)刻，這些子波的包絡(luò)就是新的波前而在其后的任意時(shí)刻，這些子波的包絡(luò)就是新的波前.2.2 2.2 波的衍射與干涉波的衍射與干涉O1R2Rtu2.2.1 惠更斯

9、原理惠更斯原理一、一、 惠更斯原理惠更斯原理Harbin Engineering University孫秋華孫秋華 波的衍射波的衍射 水波通過狹縫后的衍射水波通過狹縫后的衍射 波在傳播過程中遇到障礙物時(shí)，能繞過障礙物的邊緣，波在傳播過程中遇到障礙物時(shí)，能繞過障礙物的邊緣，在障礙物的陰影區(qū)內(nèi)繼續(xù)傳播在障礙物的陰影區(qū)內(nèi)繼續(xù)傳播.二、二、 波的衍射波的衍射Harbin Engineering University孫秋華孫秋華一、一、 波的疊加波的疊加原理原理2幾列波相遇之后，幾列波相遇之后， 仍然保持它們各自原有的特征（頻仍然保持它們各自原有的特征（頻、波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向等）不變，并按照原來的方向

10、繼續(xù)波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向等）不變，并按照原來的方向繼續(xù)前進(jìn)，好象沒有遇到過其他波一樣前進(jìn)，好象沒有遇到過其他波一樣. .2 在相遇區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的振動(dòng)，為各列波單獨(dú)存在時(shí)在在相遇區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的振動(dòng)，為各列波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所引起的振動(dòng)位移的矢量和該點(diǎn)所引起的振動(dòng)位移的矢量和. .2.2.2 波的疊加原理波的疊加原理 干涉干涉Harbin Engineering University孫秋華孫秋華頻率相同、頻率相同、振動(dòng)方向平行、振動(dòng)方向平行、相位相同或相相位相同或相位差恒定的兩位差恒定的兩列波相遇時(shí)，列波相遇時(shí)，使某些地方振使某些地方振動(dòng)始終加強(qiáng)，動(dòng)始終加強(qiáng)，而使另一些地而使另一些地方振動(dòng)始終減方

11、振動(dòng)始終減弱的現(xiàn)象，稱弱的現(xiàn)象，稱為為波的干涉現(xiàn)波的干涉現(xiàn)象象.二、二、 波的波的干涉干涉Harbin Engineering University孫秋華孫秋華1s2sP*1r2r波源振動(dòng)波源振動(dòng):)cos(111tAy)cos(222tAy)2cos(1111rtAyp)2cos(2222rtAyp點(diǎn)點(diǎn)P 的兩個(gè)分振動(dòng)的兩個(gè)分振動(dòng):1）頻率相同；頻率相同；2）振動(dòng)方向平行；振動(dòng)方向平行；3）相位相同或相位差恒定相位相同或相位差恒定. 波的相干條件波的相干條件 Harbin Engineering University孫秋華孫秋華)cos(21tAyyyppp)2cos()2cos()2sin

12、()2sin(tan122111222111rArArArAcos2212221AAAAA1s2sP*1r2r)2cos(1111rtAyp)2cos(2222rtAyp點(diǎn)點(diǎn)P 的兩個(gè)分振動(dòng)的兩個(gè)分振動(dòng)12122rr 常量常量Harbin Engineering University孫秋華孫秋華討討 論論1 ) ) 合振動(dòng)的振幅（波的強(qiáng)度）在空間各點(diǎn)的分布隨位置合振動(dòng)的振幅（波的強(qiáng)度）在空間各點(diǎn)的分布隨位置 而變，但是穩(wěn)定的而變，但是穩(wěn)定的.,2, 1 ,02kk,2, 1 ,0)12(kk2121AAAAA其他其他21AAA振動(dòng)始終振動(dòng)始終加強(qiáng)加強(qiáng)21AAA振動(dòng)始終振動(dòng)始終減弱減弱2 ) )

13、cos2212221AAAAA12122rr Harbin Engineering University孫秋華孫秋華波程差波程差12rr 若若 則則21221AAA振動(dòng)始終振動(dòng)始終減弱減弱21AAA振動(dòng)始終振動(dòng)始終加強(qiáng)加強(qiáng),2, 1 ,0)21(kk2121AAAAA其他其他,2, 1 ,0kk3 ) )討討 論論cos2212221AAAAA12122rr Harbin Engineering University孫秋華孫秋華例例1、如圖所示，波源、如圖所示，波源 S 發(fā)出的一列簡(jiǎn)諧波沿發(fā)出的一列簡(jiǎn)諧波沿 x 軸方向傳軸方向傳播，在其傳播路徑上有一障礙物，播，在其傳播路徑上有一障礙物， 其上

14、有兩個(gè)關(guān)于其上有兩個(gè)關(guān)于 S 對(duì)稱對(duì)稱的小孔的小孔S1 和和 S2 ，間距，間距 a=S1 S2= 4 ， 是波源發(fā)出的波的波是波源發(fā)出的波的波長(zhǎng)。長(zhǎng)。 求：圖示軸上干涉加強(qiáng)與減弱的位置。求：圖示軸上干涉加強(qiáng)與減弱的位置。SS2S1xHarbin Engineering University孫秋華孫秋華解：解：S1、S2為兩個(gè)相干波為兩個(gè)相干波 源，且初位相相同。源，且初位相相同。設(shè)：兩波相遇時(shí)設(shè)：兩波相遇時(shí),S1 P=x則則 222xarPS加強(qiáng)：加強(qiáng)： kxxakxr22即：402222kxkkaxQ加強(qiáng)點(diǎn)的分布：加強(qiáng)點(diǎn)的分布： 0,17. 1,3,5 . 74321xxxxSS2S1xP

15、xrHarbin Engineering University孫秋華孫秋華減弱：減弱： 2) 12(2) 12(22kxrakxr即即：5 . 30) 12( 2) 12(642kxkkxQ減弱點(diǎn)的分布：減弱點(diǎn)的分布： 54. 0,95. 1,25. 5,75.154321xxxxHarbin Engineering University孫秋華孫秋華例例2、在同一條直線上有兩個(gè)相干波源、在同一條直線上有兩個(gè)相干波源S1 和和 S2 ，它們相距，它們相距 a， S2的位相比的位相比S1 超前超前 ，若，若 a=2 ， 是波源發(fā)出的波的是波源發(fā)出的波的波長(zhǎng)。求：兩列相干波在其連線上傳播時(shí)干涉波長(zhǎng)。

16、求：兩列相干波在其連線上傳播時(shí)干涉 的情況。的情況。S2S1axHarbin Engineering University孫秋華孫秋華S1 點(diǎn)的振動(dòng)方程：點(diǎn)的振動(dòng)方程：S2 點(diǎn)的振動(dòng)方程：點(diǎn)的振動(dòng)方程： tAtycos)0 ,(11)cos(),(22tAaty（1）S2 外側(cè)的干涉情況：外側(cè)的干涉情況：S1 點(diǎn)的波動(dòng)方程：點(diǎn)的波動(dòng)方程：S2 點(diǎn)的波動(dòng)方程：點(diǎn)的波動(dòng)方程： 2cos),(11xtAxty)(2)cos(),(22axtAxty兩波在兩波在 x 處的位相差：處的位相差： 52)(2xax解：設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)選在解：設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)選在 S1 點(diǎn)，正向由點(diǎn)，正向由S1 S2 Harbin En

17、gineering University孫秋華孫秋華可見：滿足減弱條件。但因可見：滿足減弱條件。但因A1=A2，不能完全相消。即為沿，不能完全相消。即為沿 x 軸傳播的振幅為軸傳播的振幅為|A1-A2|的簡(jiǎn)諧波。的簡(jiǎn)諧波。S1外側(cè)同理。外側(cè)同理。（2） S1 、S2 之間的干涉情況：之間的干涉情況：S1 點(diǎn)的波動(dòng)方程：點(diǎn)的波動(dòng)方程：S2 點(diǎn)的波動(dòng)方程：點(diǎn)的波動(dòng)方程： 2cos),(11xtAxty2)cos(),(22xtAxty注意：注意：22)cos()(2)cos(),(222xtAxatAxtyHarbin Engineering University孫秋華孫秋華加強(qiáng)點(diǎn)的分布：加強(qiáng)點(diǎn)的分布： 4/7, 4/5, 4/3, 4/