離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)和隨機(jī)過(guò)程A

1、第 五 章 離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)及隨機(jī)過(guò)程 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 討論離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)的表示方法、特討論離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)的表示方法、特性、數(shù)字特征及其估計(jì)性、數(shù)字特征及其估計(jì); ; 離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性非移變系統(tǒng)離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性非移變系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)所產(chǎn)生的響應(yīng). . 5.15.1概述概述 離散時(shí)間確定信號(hào)離散時(shí)間確定信號(hào)可以用數(shù)學(xué)公式可以用數(shù)學(xué)公式 數(shù)據(jù)表格數(shù)據(jù)表格 圖形等形式唯圖形等形式唯一和準(zhǔn)確地表示出來(lái)。如單位取樣序列一和準(zhǔn)確地表示出來(lái)。如單位取樣序列 單位階躍序列單位階躍序列 指數(shù)序列指數(shù)序列 三角序列。三角序列。 離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)不可能用確定信號(hào)的表示方法表示，

2、只能用不可能用確定信號(hào)的表示方法表示，只能用概率和統(tǒng)計(jì)的方法描述。概率和統(tǒng)計(jì)的方法描述。如投硬幣，出現(xiàn)的正反面組成的序列。如投硬幣，出現(xiàn)的正反面組成的序列。 信號(hào)確定性隨機(jī)性非周期性周期性各態(tài)遍歷非平穩(wěn)平穩(wěn)非各態(tài)遍歷 確定性信號(hào)確定性信號(hào)5( )R n7( )na R n 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào) 水文資料水文資料 流量概率密度估計(jì) 例例1、下列變量中，不是隨機(jī)變量的是（、下列變量中，不是隨機(jī)變量的是（ ） A一射手射擊一次的環(huán)數(shù)一射手射擊一次的環(huán)數(shù) B水沸騰的溫度點(diǎn)水沸騰的溫度點(diǎn)C拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和 D某電話(huà)機(jī)在時(shí)間某電話(huà)機(jī)在時(shí)間(0，T)內(nèi)收到的呼叫內(nèi)收到的呼叫次

3、數(shù)次數(shù) E. 語(yǔ)音信號(hào)語(yǔ)音信號(hào) 地震信號(hào)地震信號(hào) 廣播信號(hào)廣播信號(hào) 電電視視信號(hào)信號(hào) 例例1、下列變量中，不是隨機(jī)變量的是（、下列變量中，不是隨機(jī)變量的是（ ） A一射手射擊一次的環(huán)數(shù)一射手射擊一次的環(huán)數(shù) 是是B水沸騰的溫度點(diǎn)水沸騰的溫度點(diǎn) 不是不是 C拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和 是是D某電話(huà)機(jī)在時(shí)間某電話(huà)機(jī)在時(shí)間(0，T)內(nèi)收到的呼叫內(nèi)收到的呼叫次數(shù)次數(shù) 是是E. 語(yǔ)音信號(hào)語(yǔ)音信號(hào) 地震信號(hào)地震信號(hào) 廣播信號(hào)廣播信號(hào) 電電視視信號(hào)信號(hào) 是是5.2 隨機(jī)變量的描述隨機(jī)變量的描述 隨機(jī)變量隨機(jī)變量x概率分布函數(shù)定義概率分布函數(shù)定義(x不超過(guò)某個(gè)值不超過(guò)某個(gè)值X的的概率概

4、率)()xP XxX的概率 分布函數(shù)的重要性質(zhì)分布函數(shù)的重要性質(zhì)(1)單調(diào)非減函數(shù)單調(diào)非減函數(shù)(X為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù))(2)212,xxXXP XP X1若 則有（） （）()0()1xxxxPP XPP X X-X（）=（ ）=limlim (3) 右連續(xù)右連續(xù)(4) ()xP X(0)()xxP XP X()xiP XXX如果在處不連續(xù)，則在這點(diǎn)的階躍等于隨機(jī)變量在這點(diǎn)的概率。 連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù) 離散隨機(jī)變量的概率質(zhì)量函數(shù)離散隨機(jī)變量的概率質(zhì)量函數(shù)(概率密度概率密度函數(shù)不存在函數(shù)不存在)()()()( )xxXxxP XpXXP Xpx dx()xpXxX的概

5、率 概率質(zhì)量函數(shù)與概率分布函數(shù)的關(guān)系概率質(zhì)量函數(shù)與概率分布函數(shù)的關(guān)系: 連續(xù)隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量 x 的概率密度函數(shù)的性質(zhì)的概率密度函數(shù)的性質(zhì):)()(xpXPXxxX()0;()1;()( )( )xxbxxxapXpX dXpX dXP bP a 例例5.1 投擲硬幣投擲硬幣 例例5.2 均勻分布均勻分布 例例5.3 量化誤差量化誤差 計(jì)算概率分布函數(shù)和概率質(zhì)量計(jì)算概率分布函數(shù)和概率質(zhì)量函數(shù)較麻煩函數(shù)較麻煩,引入隨機(jī)變量的數(shù)引入隨機(jī)變量的數(shù)字特征字特征.(統(tǒng)計(jì)特性統(tǒng)計(jì)特性) 如果隨機(jī)變量是電壓或電流，那么其均如果隨機(jī)變量是電壓或電流，那么其均值就是該電壓或電流的直流分量。值就是該電壓或電流

6、的直流分量。 dxxxpxEmxx XxxxxxpxEm 隨機(jī)變量的數(shù)值特征(1) (1) 均值均值( (統(tǒng)計(jì)平均或集合平均統(tǒng)計(jì)平均或集合平均, ,期望值算子期望值算子) ) ( (連續(xù)連續(xù)) ) ( (離散離散) ) 均值的性質(zhì)均值的性質(zhì): : yExEyxE xaEaxExy yExExyE（ 與與 線(xiàn)性獨(dú)立線(xiàn)性獨(dú)立意義：反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平意義：反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.22xxmxE 22xx XE xx px dxxpxxEx22（2 2）方差）方差（3 3）均方）均方值值隨機(jī)隨機(jī) 222xxmxE意義：意義： 反映了隨機(jī)變量的波動(dòng)與離散的程度反映了隨機(jī)變量的

7、波動(dòng)與離散的程度（4 4）物理意義）物理意義 設(shè)隨機(jī)變量是電壓或電流，則設(shè)隨機(jī)變量是電壓或電流，則 均方值均方值 是在單位電阻上消耗的總的平是在單位電阻上消耗的總的平均功率均功率; ; 方差方差 是交流成分在單位電阻上消耗的是交流成分在單位電阻上消耗的平均功率；平均功率； 均值的平方均值的平方是直流成分在單位電阻上消耗是直流成分在單位電阻上消耗的平均功率的平均功率. . . .2E x2x222xxE xm 總平均功率等于交流成分的平均功率總平均功率等于交流成分的平均功率與直流成分的平均功率之和與直流成分的平均功率之和 x x的的n n階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩 x x的的n n階中心矩階中心矩nmn(

8、 )nnxnE xx px dxm 11()()( )nnxnExmxmpx dx均值均值等于隨機(jī)變量的一階原點(diǎn)矩，等于隨機(jī)變量的一階原點(diǎn)矩，均方值均方值等于隨等于隨機(jī)變量的二階原點(diǎn)矩，機(jī)變量的二階原點(diǎn)矩，方差方差等于隨機(jī)變量的二階等于隨機(jī)變量的二階中心矩。中心矩。練習(xí)練習(xí) 求在區(qū)間（求在區(qū)間（ ）均勻分布的隨機(jī)）均勻分布的隨機(jī)變量的均值和方差。變量的均值和方差。 ba, 2222121 12 2 ,0 ,1abdxabbaxdxxpmxbadxabxdxxxpmbxaabxpbaxxxbaxxx其它練習(xí)練習(xí)已知已知隨機(jī)變量為瑞利分布隨機(jī)變量為瑞利分布,求瑞利變求瑞利變量的均值和方差。量的均值

9、和方差。 222exp, 020, xxxxpx其它22202222202exp22exp22-2xxxxxmxdxxxxmdx練習(xí)練習(xí) 求正態(tài)分布的隨機(jī)變量的均值和方差。求正態(tài)分布的隨機(jī)變量的均值和方差。 222exp21mxxpx22222221exp221exp22xxxmmxdxmxmxmdx 5.3 離散隨機(jī)過(guò)程（1 1）離散隨機(jī)過(guò)程）離散隨機(jī)過(guò)程 由無(wú)限多個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的一個(gè)時(shí)間序列由無(wú)限多個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的一個(gè)時(shí)間序列構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過(guò)程構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過(guò)程. . nxn僅僅知道一個(gè)時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性是不夠的僅僅知道一個(gè)時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性是不夠的還應(yīng)該知道不同時(shí)刻隨機(jī)變量之間的關(guān)還應(yīng)該知道不同時(shí)刻

10、隨機(jī)變量之間的關(guān)系系,引入聯(lián)合概率分布函數(shù)和聯(lián)合概率密引入聯(lián)合概率分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù)度函數(shù). 5 3 mmmmmxxxxxxxxxxnnnnn，nmnnmm2，nm，nmnm，nmnnmm隨機(jī)變量 ， 的聯(lián)合概率分布函數(shù)，描述了他們之間的互相依存關(guān)系：P（X ，n，X ，m）=xX 同時(shí)xX 的概率對(duì)連續(xù)隨機(jī)變量：二維聯(lián)合概率密度函數(shù)P（X ，n，X ，m）p（X ，n，X ，m）=XX對(duì)離散隨機(jī)變量：二維聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)p（X ，n，X ，m）=xX 同時(shí)xX 的概率類(lèi)似地類(lèi)似地,可以定義高階聯(lián)合概率分布可以定義高階聯(lián)合概率分布/聯(lián)合概率密度聯(lián)合概率密度/聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)聯(lián)合概率質(zhì)量

11、函數(shù) （2 2）統(tǒng)計(jì)獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程）統(tǒng)計(jì)獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程 如果隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻的隨機(jī)變量互不如果隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻的隨機(jī)變量互不影響，則稱(chēng)諸隨機(jī)變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。統(tǒng)計(jì)影響，則稱(chēng)諸隨機(jī)變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的兩隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)等于獨(dú)立的兩隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)等于它們各自的概率分布函數(shù)之積。它們各自的概率分布函數(shù)之積。mmxxxxnn，nmnmP（X ，n，X ，m）=P（X ，n）P（X ，m） 要完整地描述一個(gè)隨機(jī)過(guò)程要完整地描述一個(gè)隨機(jī)過(guò)程,需要知道它的所有隨需要知道它的所有隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)和所有可能的聯(lián)合概率密機(jī)變量的概率密度函數(shù)和所有可能的聯(lián)合概率密度函數(shù)度函數(shù).一

12、般地一般地,不同時(shí)刻的概率密度函數(shù)是不同的不同時(shí)刻的概率密度函數(shù)是不同的,二維隨二維隨機(jī)變量機(jī)變量(xn,xm)與與(xn+k,xm+k)的聯(lián)合概率密度函數(shù)也的聯(lián)合概率密度函數(shù)也是不同的是不同的.（3）狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程）狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程如果滿(mǎn)足如果滿(mǎn)足:mmm kxxxxxxnnn+knmx，nm，n+km+kp（X ，n）=p（X ，m）=p（X）p（X ，n，X ，m）=p（X，n+k，X，m+k）稱(chēng)為狹義平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)為狹義平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程. 概率密度函數(shù)與時(shí)間變量無(wú)關(guān)，且聯(lián)合概率密度函數(shù)與時(shí)間變量無(wú)關(guān)，且聯(lián)合概概率密度函數(shù)只與兩隨機(jī)變量間的時(shí)間間隔率密度函數(shù)只與兩隨機(jī)變量間的時(shí)間間隔m

13、-m-n n有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)的隨機(jī)過(guò)程。有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)的隨機(jī)過(guò)程。例如伯努利過(guò)程就是一個(gè)狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程例如伯努利過(guò)程就是一個(gè)狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程. .（4 4）隨機(jī)過(guò)程的數(shù)值特征）隨機(jī)過(guò)程的數(shù)值特征xxxmdxnxxpmnn, 222,xEdxnxpxxEnxn222,xxxxdxnxpmxnnn狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的這些參數(shù)是與時(shí)間無(wú)關(guān)的狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的這些參數(shù)是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常量常量（5 5）相關(guān)序列和協(xié)方差序列）相關(guān)序列和協(xié)方差序列 mnmnxxmnmnxxdXdXmXnXpXXxxEmnRmn,*mnmnxxmnmnxydYdXmYnXpYXyxEmnRmn,*,mnxmxnx

14、xmxmxEmnC*,mnymxnxymymxEmnCmnxxxxxxmmmnRmnC,mnyxxyxymmmnRmnC,關(guān)系關(guān)系 舉例舉例: CDMA的不同用戶(hù)是以的不同用戶(hù)是以PN（偽隨機(jī)碼（偽隨機(jī)碼）碼來(lái)編制的，地址的選擇就是用相關(guān)性來(lái)區(qū)）碼來(lái)編制的，地址的選擇就是用相關(guān)性來(lái)區(qū)分的分的. 正常情況下正常情況下, CDMA系統(tǒng)各地址碼間的系統(tǒng)各地址碼間的互相關(guān)性很小互相關(guān)性很小, 但如果互相關(guān)性很大，則多址但如果互相關(guān)性很大，則多址干擾就越大干擾就越大. 要求各要求各PN碼之間的互相關(guān)系數(shù)盡可能碼之間的互相關(guān)系數(shù)盡可能小，另外用戶(hù)越多，小，另外用戶(hù)越多，PN碼的長(zhǎng)度就會(huì)越長(zhǎng)，碼的長(zhǎng)度就會(huì)越

15、長(zhǎng)，則在接收端的同步時(shí)間也長(zhǎng)則在接收端的同步時(shí)間也長(zhǎng).（6 6）狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)序列和協(xié)方）狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)序列和協(xié)方差序列差序列 一般情況下，相關(guān)序列和協(xié)方差序列都是二維序列一般情況下，相關(guān)序列和協(xié)方差序列都是二維序列但是，狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)序列和協(xié)方差序列，但是，狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)序列和協(xié)方差序列，卻都只是時(shí)間差的函數(shù)而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，因而都只卻都只是時(shí)間差的函數(shù)而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，因而都只是一維序列。是一維序列。 *mnnxxxxEmR *mnnxmnxnxxmxmxEmC *mnnxyyxEmR *mnnymnxnxymymxEmC（7 7）廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程）廣義平穩(wěn)

16、隨機(jī)過(guò)程 均值是常數(shù)均值是常數(shù)( (與時(shí)間無(wú)關(guān)與時(shí)間無(wú)關(guān)) )、自相關(guān)序列只與時(shí)間差有、自相關(guān)序列只與時(shí)間差有關(guān)而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)的隨機(jī)過(guò)程，稱(chēng)為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程關(guān)而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)的隨機(jī)過(guò)程，稱(chēng)為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程簡(jiǎn)稱(chēng)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或平穩(wěn)過(guò)程。簡(jiǎn)稱(chēng)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或平穩(wěn)過(guò)程。( (概率密度函數(shù)以及聯(lián)概率密度函數(shù)以及聯(lián)合概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)有關(guān)合概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)有關(guān). .但統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間起點(diǎn)但統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)無(wú)關(guān), ,只與時(shí)間差有關(guān)只與時(shí)間差有關(guān).).) *mnnxxxxEmRxxxmdxnxxpmnn, 廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的條件更加寬松廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的條件更加寬松,只只對(duì)統(tǒng)計(jì)特性作出規(guī)

17、定對(duì)統(tǒng)計(jì)特性作出規(guī)定.而狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的條件更加嚴(yán)格而狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的條件更加嚴(yán)格,對(duì)概率函數(shù)作出規(guī)定對(duì)概率函數(shù)作出規(guī)定,從而統(tǒng)計(jì)特性從而統(tǒng)計(jì)特性也會(huì)滿(mǎn)足要求也會(huì)滿(mǎn)足要求. 例例5.7 隨機(jī)過(guò)程由許多隨機(jī)變量按一定的時(shí)間順序排列的一個(gè)序列隨機(jī)過(guò)程由許多隨機(jī)變量按一定的時(shí)間順序排列的一個(gè)序列, ,每個(gè)隨機(jī)變量由均值每個(gè)隨機(jī)變量由均值、方差、均方值、自相關(guān)函數(shù)來(lái)描述方差、均方值、自相關(guān)函數(shù)來(lái)描述, ,都是都是由統(tǒng)計(jì)平均或集合平均計(jì)算得到由統(tǒng)計(jì)平均或集合平均計(jì)算得到. .5.4 時(shí)間平均要得到無(wú)限多個(gè)取樣序要得到無(wú)限多個(gè)取樣序列是不可能的列是不可能的,是不現(xiàn)實(shí)是不現(xiàn)實(shí)的的.兩個(gè)實(shí)驗(yàn)兩個(gè)實(shí)驗(yàn)(投硬

18、幣投硬幣) 設(shè)想有無(wú)數(shù)個(gè)人設(shè)想有無(wú)數(shù)個(gè)人,他們?cè)谕粫r(shí)刻他們?cè)谕粫r(shí)刻N(yùn)以完全相同以完全相同的方式各投擲一枚硬幣的方式各投擲一枚硬幣,所有硬幣完全相同所有硬幣完全相同.可可以預(yù)料大約有一半投擲的結(jié)果為正面以預(yù)料大約有一半投擲的結(jié)果為正面,另一半另一半的人投擲結(jié)果為反面的人投擲結(jié)果為反面. 只有一個(gè)人投擲一枚硬幣只有一個(gè)人投擲一枚硬幣,不斷地以完全相同不斷地以完全相同的方式投擲無(wú)數(shù)次的方式投擲無(wú)數(shù)次.同樣可以預(yù)料同樣可以預(yù)料,投擲結(jié)果為投擲結(jié)果為正面和反面的次數(shù)各為一半正面和反面的次數(shù)各為一半. 對(duì)第一個(gè)實(shí)驗(yàn)求集合平均對(duì)第一個(gè)實(shí)驗(yàn)求集合平均;對(duì)第二個(gè)實(shí)驗(yàn)求時(shí)對(duì)第二個(gè)實(shí)驗(yàn)求時(shí)間平均間平均,兩個(gè)結(jié)果

19、一樣兩個(gè)結(jié)果一樣.第二個(gè)實(shí)驗(yàn)更有實(shí)用價(jià)第二個(gè)實(shí)驗(yàn)更有實(shí)用價(jià)值值.（1 1）隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)取樣序列的所有取樣值的隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)取樣序列的所有取樣值的算術(shù)平均值，稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間平均值，簡(jiǎn)稱(chēng)算術(shù)平均值，稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間平均值，簡(jiǎn)稱(chēng)時(shí)間平均時(shí)間平均 NNnNnxNnx121lim （2 2）取樣自相關(guān)序列）取樣自相關(guān)序列 根據(jù)隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)取樣序列，用時(shí)間平均根據(jù)隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)取樣序列，用時(shí)間平均定義的自相關(guān)序列，稱(chēng)為該隨機(jī)過(guò)程的定義的自相關(guān)序列，稱(chēng)為該隨機(jī)過(guò)程的取樣自取樣自相關(guān)序列相關(guān)序列，即，即 mnxnxNmnxnxNNnN*121lim （3 3）遍歷性隨機(jī)過(guò)程）遍歷性隨機(jī)過(guò)程 如果一個(gè)

20、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的集合平均，等于如果一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的集合平均，等于它的一個(gè)取樣序列的時(shí)間平均，則稱(chēng)它是遍歷它的一個(gè)取樣序列的時(shí)間平均，則稱(chēng)它是遍歷性隨機(jī)過(guò)程。性隨機(jī)過(guò)程。 xmnx mRmnxnxxx* 一般地一般地,在信號(hào)處理中在信號(hào)處理中,對(duì)一平穩(wěn)隨對(duì)一平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)機(jī)信號(hào)xn,如果它的所有取樣序列在某一如果它的所有取樣序列在某一確定時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性確定時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性,與它的一個(gè)取樣序與它的一個(gè)取樣序列在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特性一致列在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特性一致,則稱(chēng)則稱(chēng)xn是是各態(tài)遍歷性信號(hào)各態(tài)遍歷性信號(hào). 也就是說(shuō)單個(gè)取樣序列隨時(shí)間變也就是說(shuō)單個(gè)取樣序列隨時(shí)間變化的過(guò)程化的過(guò)程,可以包含該隨機(jī)信號(hào)所有

21、取樣可以包含該隨機(jī)信號(hào)所有取樣序列的取樣值序列的取樣值.（4 4）隨機(jī)過(guò)程的均值和自相關(guān)序列的估計(jì)）隨機(jī)過(guò)程的均值和自相關(guān)序列的估計(jì) xNnNmnxNnx101 mRmnxnxNmnxnxxxNNn 121*11*N盡可能地大盡可能地大5.5 相關(guān)序列和協(xié)方差序列的性相關(guān)序列和協(xié)方差序列的性質(zhì)質(zhì) nnxxnn mxxnxn mxxynn mxynxn myxyRmE x xCmE xmxmRmE x yCmE xmym和是兩個(gè)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：（ ）=（ ）= （）（）（ ）=（ ）= （）（） 22210 xxxxxxyxyxyxxxxxyxyxxnxn mxnn mxnxn mxxxxxyn

22、xn mynn mynxn mCmRmmCmRmm mCmRmCmRmCmE xmxmE x xm E xm E xmRmmCmE xmymE x ym E xm E y性質(zhì) ：（ ）= （ ）-（ ）= （ ）-如果均值為 ，則 （ ）= （ ）， （ ）= （ ）證明：（ ）= （）（）（ ）-（ ）= （）（）xyxyxym mRmm m= （ ）- 222220000 xxnxxxxxnnnxxnxnxxRE xCRE x xE xCE xmxm性質(zhì) ：（ ）=（ ）=證明：根據(jù)定義（ ）=（ ）= （）（） = 22xxxxxxxxxyyxxyyxxxnn mxxxxnmnxxxxx

23、xxxxxRmRmCmCmRmRmCmCmRmE x xnmnRmE xxRmCmRmmRmmCm，性質(zhì)3：（ ）= （- ）（ ）= （- ）（ ）= （- ）（ ）= （- ）證明：根據(jù)定義 （- ）=令則 （- ）=（ ）（- ）= （- ）-（ ）-（ ） 000000 xyxxyyxyxxyyxxxxxxxxRmRRCmCCRmRCmC1/21/2性質(zhì)4：（ ）（ （ ） （ ）（ ）（ （ ） （ ）特例：（ ）（ ）（ ）（ ） 22221/21/200000 /00 200000nn mnn mnn myynn mxxyyxxxxyyxyxxyyxyxxyyxyEE xE yE

24、x Rx yRRyRRRRmRRRmRR21/21/21/21/2證明： 由于是實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程（）（）（）（ ） 2（ （ ） （ ）（ ）（ ） （ ）2 （ ）/（ （ ） （ （ ）所以（ ）（ （ ） （ ） 00000225,nn nyyxxyyxxnn nyynn mn nn nmxxnnmyyyyyynn nxyyyyyxxyxRmRmCmCmn nnyxRmE y yE xxE x xRmCmRmmmE yE xmCmRmmR，0性質(zhì) ：若則有 （ ）= （ ） （ ）= （ ）證明：令 -，根據(jù)定義，有（ ）=（ ）（ ）= （ ）-由于故 （ ）= （ ）-2xxxmmCm

25、（ ）-（ ） 26xxxyxxxxyxyCCRmRm mmmmm性質(zhì) ：在隨機(jī)過(guò)程中，兩隨機(jī)變量的時(shí)間間隔越大，它們的相關(guān)性越小。時(shí)間間隔趨于無(wú)窮大的兩隨機(jī)變量，它們之間不再相關(guān)（m）=0， （m）=0 所以（m）=，（m）=limlimlim lim 61.2.xxxxRCm性質(zhì) 說(shuō)明：（m）和 （m）都是非周期序列，都隨絕對(duì)值的增大而衰減；雖然隨機(jī)變量信號(hào)的付氏變換和Z變換都不存在，但其自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)是有限能量的信號(hào)，它們的付氏變換和Z變換是存在的，可以在頻域分析這些信號(hào)。3.自相關(guān)函數(shù)反映隨機(jī)變量之間的相關(guān)性，而且可以計(jì)算均值 均方差和方差，是能全面描述隨機(jī)過(guò)程的重要參數(shù)。 m

26、xxR（m）xxC（m）2xm2x2x2E x00m5.6 功率譜1 1）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自協(xié)方差序列（或自相自協(xié)方差序列（或自相關(guān)序列）的傅里葉變換（或關(guān)序列）的傅里葉變換（或Z Z變換）稱(chēng)為功率變換）稱(chēng)為功率譜譜 mmxxxxzmCzS mmxxxxzmRzS mmjxxjxxemReS功率密度譜功率密度譜 deSRxEjxxxxn2102逆變換逆變換 deeSmRdzzzSjmRmjjxxxxmcxxxx 12121（2 2）實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜的性質(zhì)）實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜的性質(zhì)（1 1）非負(fù)）非負(fù)（2 2）實(shí)函數(shù)）實(shí)函數(shù)（3 3）偶函數(shù)）偶函數(shù)0jxxeSjxxjxxe

27、SeSjxxjxxeSeS mmxyxyzmRzS mmjxyjxyemReS或或性質(zhì)：性質(zhì)：jyxjxyeSeS練習(xí)練習(xí) 求均值為零、方差為求均值為零、方差為 、自相關(guān)序、自相關(guān)序列為列為 的白噪聲隨機(jī)過(guò)程的的白噪聲隨機(jī)過(guò)程的功率譜。功率譜。2x mmRxxx2 222 mxxxxmmmmmjxxmSzRm zm zSe 練習(xí)練習(xí) 求隨機(jī)相位正弦序列的功率譜求隨機(jī)相位正弦序列的功率譜 0sin nAnx 是在是在 內(nèi)均勻分布的隨機(jī)相位。內(nèi)均勻分布的隨機(jī)相位。),( 02 cos cos21 2cos21cos21 sinsin , 0,21002020200項(xiàng)為而第是常數(shù)，因?yàn)槠渌黰mAmE

28、AmEAnAnAEmnxnxEmRpxx 002022022 ,2121 4 22 cos200000AeSedeeeeeAeeeAemAemReSjxxmjmjmmjmjmmjmjmjmmjmjmjmmmjxxjxx所以因?yàn)榫毩?xí)練習(xí) 設(shè)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)序列設(shè)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)序列為為求該隨機(jī)過(guò)程的功率譜。求該隨機(jī)過(guò)程的功率譜。 1 ,mxxmR 220000cos211 11111 1 1 jjmmjmmmjmmmjmmmjmmmjmmmjxxjxxeeeeeeeemReS前前3個(gè)例子個(gè)例子:功率譜都是功率譜都是實(shí)實(shí)的的非負(fù)非負(fù)的的偶函數(shù)偶函數(shù)5.7 離散隨機(jī)信號(hào)通過(guò) 線(xiàn)性非移變系統(tǒng)有一沖激響

29、應(yīng)為有一沖激響應(yīng)為的線(xiàn)性非移變系統(tǒng)，的線(xiàn)性非移變系統(tǒng)，它的輸入端作用一它的輸入端作用一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) ，在輸出端得到另一在輸出端得到另一平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) kkkxknhknxkhny nh nx ny1. 的均值的均值 nyym consteHmkhmknxEkhknxkhEnyEmjxkxkky0 2. 2. 的自相關(guān)序列的自相關(guān)序列 nymnnRyy, mkrmRrhkhrmnxknxErhkhrmnxrhknxkhmnynyEmnnRyyrxxkrkkryyR E , khhhhxxhhlxxklxxyylkhkhlRmRmRlRlmRlkhkhlmRmRlkr w

30、here 3. 3. 的功率譜的功率譜 ny zSyy nx ny lRlmRmRhhlxxyy zHzHzSzSzHzHzmRzSzmRzSzmRzSzSzSzSxxyymmhhhhmmxxxxmmyyyyhhxxyy11 , where zHpzz0zz zSyypzz1pzz0zz01zz nh 2jjxxjyyeHeSeS在 為實(shí)序列的情況下，有如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么如果輸入是一個(gè)均值為零、方差為 的平穩(wěn)白噪聲隨機(jī)信號(hào)，那么 2x22jxjyyeHeS 1yyxxSzSz H z Hz輸入隨機(jī)信號(hào)與輸出隨機(jī)信號(hào)的互相關(guān)序輸入隨機(jī)信號(hào)與輸出隨機(jī)信號(hào)的互相關(guān)序列列 mRmhkmRkhkmnxnxkhkmnxkhnxmnynxEmRxxxxkkkxy E E mhmhkmhkhmRkhh mRmhmRxxxy mRmRmRhhxxyy mRyy mRxy mhmhmRmRxxyy mhmRmRxyyy mhmhmRmRxxyy mRmhmRxxxy mhmRmRxyyy mhmh hHHH 2x2xxx22xxxxyx2xyxxy2xjjxy2x如果輸入是一個(gè)零均值的平穩(wěn)白