離散時間隨機(jī)信號和隨機(jī)過程A

1、第 五 章 離散時間隨機(jī)信號及隨機(jī)過程 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 討論離散時間隨機(jī)信號的表示方法、特討論離散時間隨機(jī)信號的表示方法、特性、數(shù)字特征及其估計(jì)性、數(shù)字特征及其估計(jì); ; 離散時間隨機(jī)信號通過線性非移變系統(tǒng)離散時間隨機(jī)信號通過線性非移變系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)所產(chǎn)生的響應(yīng). . 5.15.1概述概述 離散時間確定信號離散時間確定信號可以用數(shù)學(xué)公式可以用數(shù)學(xué)公式 數(shù)據(jù)表格數(shù)據(jù)表格 圖形等形式唯圖形等形式唯一和準(zhǔn)確地表示出來。如單位取樣序列一和準(zhǔn)確地表示出來。如單位取樣序列 單位階躍序列單位階躍序列 指數(shù)序列指數(shù)序列 三角序列。三角序列。 離散時間隨機(jī)信號離散時間隨機(jī)信號不可能用確定信號的表示方法表示，

2、只能用不可能用確定信號的表示方法表示，只能用概率和統(tǒng)計(jì)的方法描述。概率和統(tǒng)計(jì)的方法描述。如投硬幣，出現(xiàn)的正反面組成的序列。如投硬幣，出現(xiàn)的正反面組成的序列。 信號確定性隨機(jī)性非周期性周期性各態(tài)遍歷非平穩(wěn)平穩(wěn)非各態(tài)遍歷 確定性信號確定性信號5( )R n7( )na R n 隨機(jī)信號隨機(jī)信號 水文資料水文資料 流量概率密度估計(jì) 例例1、下列變量中，不是隨機(jī)變量的是（、下列變量中，不是隨機(jī)變量的是（ ） A一射手射擊一次的環(huán)數(shù)一射手射擊一次的環(huán)數(shù) B水沸騰的溫度點(diǎn)水沸騰的溫度點(diǎn)C拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和 D某電話機(jī)在時間某電話機(jī)在時間(0，T)內(nèi)收到的呼叫內(nèi)收到的呼叫次

3、數(shù)次數(shù) E. 語音信號語音信號 地震信號地震信號 廣播信號廣播信號 電電視視信號信號 例例1、下列變量中，不是隨機(jī)變量的是（、下列變量中，不是隨機(jī)變量的是（ ） A一射手射擊一次的環(huán)數(shù)一射手射擊一次的環(huán)數(shù) 是是B水沸騰的溫度點(diǎn)水沸騰的溫度點(diǎn) 不是不是 C拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和 是是D某電話機(jī)在時間某電話機(jī)在時間(0，T)內(nèi)收到的呼叫內(nèi)收到的呼叫次數(shù)次數(shù) 是是E. 語音信號語音信號 地震信號地震信號 廣播信號廣播信號 電電視視信號信號 是是5.2 隨機(jī)變量的描述隨機(jī)變量的描述 隨機(jī)變量隨機(jī)變量x概率分布函數(shù)定義概率分布函數(shù)定義(x不超過某個值不超過某個值X的的概率概

4、率)()xP XxX的概率 分布函數(shù)的重要性質(zhì)分布函數(shù)的重要性質(zhì)(1)單調(diào)非減函數(shù)單調(diào)非減函數(shù)(X為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù))(2)212,xxXXP XP X1若 則有（） （）()0()1xxxxPP XPP X X-X（）=（ ）=limlim (3) 右連續(xù)右連續(xù)(4) ()xP X(0)()xxP XP X()xiP XXX如果在處不連續(xù)，則在這點(diǎn)的階躍等于隨機(jī)變量在這點(diǎn)的概率。 連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù) 離散隨機(jī)變量的概率質(zhì)量函數(shù)離散隨機(jī)變量的概率質(zhì)量函數(shù)(概率密度概率密度函數(shù)不存在函數(shù)不存在)()()()( )xxXxxP XpXXP Xpx dx()xpXxX的概

5、率 概率質(zhì)量函數(shù)與概率分布函數(shù)的關(guān)系概率質(zhì)量函數(shù)與概率分布函數(shù)的關(guān)系: 連續(xù)隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量 x 的概率密度函數(shù)的性質(zhì)的概率密度函數(shù)的性質(zhì):)()(xpXPXxxX()0;()1;()( )( )xxbxxxapXpX dXpX dXP bP a 例例5.1 投擲硬幣投擲硬幣 例例5.2 均勻分布均勻分布 例例5.3 量化誤差量化誤差 計(jì)算概率分布函數(shù)和概率質(zhì)量計(jì)算概率分布函數(shù)和概率質(zhì)量函數(shù)較麻煩函數(shù)較麻煩,引入隨機(jī)變量的數(shù)引入隨機(jī)變量的數(shù)字特征字特征.(統(tǒng)計(jì)特性統(tǒng)計(jì)特性) 如果隨機(jī)變量是電壓或電流，那么其均如果隨機(jī)變量是電壓或電流，那么其均值就是該電壓或電流的直流分量。值就是該電壓或電流

6、的直流分量。 dxxxpxEmxx XxxxxxpxEm 隨機(jī)變量的數(shù)值特征(1) (1) 均值均值( (統(tǒng)計(jì)平均或集合平均統(tǒng)計(jì)平均或集合平均, ,期望值算子期望值算子) ) ( (連續(xù)連續(xù)) ) ( (離散離散) ) 均值的性質(zhì)均值的性質(zhì): : yExEyxE xaEaxExy yExExyE（ 與與 線性獨(dú)立線性獨(dú)立意義：反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平意義：反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.22xxmxE 22xx XE xx px dxxpxxEx22（2 2）方差）方差（3 3）均方）均方值值隨機(jī)隨機(jī) 222xxmxE意義：意義： 反映了隨機(jī)變量的波動與離散的程度反映了隨機(jī)變量的

7、波動與離散的程度（4 4）物理意義）物理意義 設(shè)隨機(jī)變量是電壓或電流，則設(shè)隨機(jī)變量是電壓或電流，則 均方值均方值 是在單位電阻上消耗的總的平是在單位電阻上消耗的總的平均功率均功率; ; 方差方差 是交流成分在單位電阻上消耗的是交流成分在單位電阻上消耗的平均功率；平均功率； 均值的平方均值的平方是直流成分在單位電阻上消耗是直流成分在單位電阻上消耗的平均功率的平均功率. . . .2E x2x222xxE xm 總平均功率等于交流成分的平均功率總平均功率等于交流成分的平均功率與直流成分的平均功率之和與直流成分的平均功率之和 x x的的n n階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩 x x的的n n階中心矩階中心矩nmn(

8、 )nnxnE xx px dxm 11()()( )nnxnExmxmpx dx均值均值等于隨機(jī)變量的一階原點(diǎn)矩，等于隨機(jī)變量的一階原點(diǎn)矩，均方值均方值等于隨等于隨機(jī)變量的二階原點(diǎn)矩，機(jī)變量的二階原點(diǎn)矩，方差方差等于隨機(jī)變量的二階等于隨機(jī)變量的二階中心矩。中心矩。練習(xí)練習(xí) 求在區(qū)間（求在區(qū)間（ ）均勻分布的隨機(jī)）均勻分布的隨機(jī)變量的均值和方差。變量的均值和方差。 ba, 2222121 12 2 ,0 ,1abdxabbaxdxxpmxbadxabxdxxxpmbxaabxpbaxxxbaxxx其它練習(xí)練習(xí)已知已知隨機(jī)變量為瑞利分布隨機(jī)變量為瑞利分布,求瑞利變求瑞利變量的均值和方差。量的均值

9、和方差。 222exp, 020, xxxxpx其它22202222202exp22exp22-2xxxxxmxdxxxxmdx練習(xí)練習(xí) 求正態(tài)分布的隨機(jī)變量的均值和方差。求正態(tài)分布的隨機(jī)變量的均值和方差。 222exp21mxxpx22222221exp221exp22xxxmmxdxmxmxmdx 5.3 離散隨機(jī)過程（1 1）離散隨機(jī)過程）離散隨機(jī)過程 由無限多個隨機(jī)變量構(gòu)成的一個時間序列由無限多個隨機(jī)變量構(gòu)成的一個時間序列構(gòu)成一個隨機(jī)過程構(gòu)成一個隨機(jī)過程. . nxn僅僅知道一個時刻的統(tǒng)計(jì)特性是不夠的僅僅知道一個時刻的統(tǒng)計(jì)特性是不夠的還應(yīng)該知道不同時刻隨機(jī)變量之間的關(guān)還應(yīng)該知道不同時刻

10、隨機(jī)變量之間的關(guān)系系,引入聯(lián)合概率分布函數(shù)和聯(lián)合概率密引入聯(lián)合概率分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù)度函數(shù). 5 3 mmmmmxxxxxxxxxxnnnnn，nmnnmm2，nm，nmnm，nmnnmm隨機(jī)變量 ， 的聯(lián)合概率分布函數(shù)，描述了他們之間的互相依存關(guān)系：P（X ，n，X ，m）=xX 同時xX 的概率對連續(xù)隨機(jī)變量：二維聯(lián)合概率密度函數(shù)P（X ，n，X ，m）p（X ，n，X ，m）=XX對離散隨機(jī)變量：二維聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)p（X ，n，X ，m）=xX 同時xX 的概率類似地類似地,可以定義高階聯(lián)合概率分布可以定義高階聯(lián)合概率分布/聯(lián)合概率密度聯(lián)合概率密度/聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)聯(lián)合概率質(zhì)量

11、函數(shù) （2 2）統(tǒng)計(jì)獨(dú)立隨機(jī)過程）統(tǒng)計(jì)獨(dú)立隨機(jī)過程 如果隨機(jī)過程在不同時刻的隨機(jī)變量互不如果隨機(jī)過程在不同時刻的隨機(jī)變量互不影響，則稱諸隨機(jī)變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。統(tǒng)計(jì)影響，則稱諸隨機(jī)變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的兩隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)等于獨(dú)立的兩隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)等于它們各自的概率分布函數(shù)之積。它們各自的概率分布函數(shù)之積。mmxxxxnn，nmnmP（X ，n，X ，m）=P（X ，n）P（X ，m） 要完整地描述一個隨機(jī)過程要完整地描述一個隨機(jī)過程,需要知道它的所有隨需要知道它的所有隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)和所有可能的聯(lián)合概率密機(jī)變量的概率密度函數(shù)和所有可能的聯(lián)合概率密度函數(shù)度函數(shù).一

12、般地一般地,不同時刻的概率密度函數(shù)是不同的不同時刻的概率密度函數(shù)是不同的,二維隨二維隨機(jī)變量機(jī)變量(xn,xm)與與(xn+k,xm+k)的聯(lián)合概率密度函數(shù)也的聯(lián)合概率密度函數(shù)也是不同的是不同的.（3）狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程）狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程如果滿足如果滿足:mmm kxxxxxxnnn+knmx，nm，n+km+kp（X ，n）=p（X ，m）=p（X）p（X ，n，X ，m）=p（X，n+k，X，m+k）稱為狹義平穩(wěn)的隨機(jī)過程稱為狹義平穩(wěn)的隨機(jī)過程. 概率密度函數(shù)與時間變量無關(guān)，且聯(lián)合概率密度函數(shù)與時間變量無關(guān)，且聯(lián)合概概率密度函數(shù)只與兩隨機(jī)變量間的時間間隔率密度函數(shù)只與兩隨機(jī)變量間的時間間隔m

13、-m-n n有關(guān)，而與時間起點(diǎn)無關(guān)的隨機(jī)過程。有關(guān)，而與時間起點(diǎn)無關(guān)的隨機(jī)過程。例如伯努利過程就是一個狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程例如伯努利過程就是一個狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程. .（4 4）隨機(jī)過程的數(shù)值特征）隨機(jī)過程的數(shù)值特征xxxmdxnxxpmnn, 222,xEdxnxpxxEnxn222,xxxxdxnxpmxnnn狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程的這些參數(shù)是與時間無關(guān)的狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程的這些參數(shù)是與時間無關(guān)的常量常量（5 5）相關(guān)序列和協(xié)方差序列）相關(guān)序列和協(xié)方差序列 mnmnxxmnmnxxdXdXmXnXpXXxxEmnRmn,*mnmnxxmnmnxydYdXmYnXpYXyxEmnRmn,*,mnxmxnx

14、xmxmxEmnC*,mnymxnxymymxEmnCmnxxxxxxmmmnRmnC,mnyxxyxymmmnRmnC,關(guān)系關(guān)系 舉例舉例: CDMA的不同用戶是以的不同用戶是以PN（偽隨機(jī)碼（偽隨機(jī)碼）碼來編制的，地址的選擇就是用相關(guān)性來區(qū)）碼來編制的，地址的選擇就是用相關(guān)性來區(qū)分的分的. 正常情況下正常情況下, CDMA系統(tǒng)各地址碼間的系統(tǒng)各地址碼間的互相關(guān)性很小互相關(guān)性很小, 但如果互相關(guān)性很大，則多址但如果互相關(guān)性很大，則多址干擾就越大干擾就越大. 要求各要求各PN碼之間的互相關(guān)系數(shù)盡可能碼之間的互相關(guān)系數(shù)盡可能小，另外用戶越多，小，另外用戶越多，PN碼的長度就會越長，碼的長度就會越

15、長，則在接收端的同步時間也長則在接收端的同步時間也長.（6 6）狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)序列和協(xié)方）狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)序列和協(xié)方差序列差序列 一般情況下，相關(guān)序列和協(xié)方差序列都是二維序列一般情況下，相關(guān)序列和協(xié)方差序列都是二維序列但是，狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)序列和協(xié)方差序列，但是，狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)序列和協(xié)方差序列，卻都只是時間差的函數(shù)而與時間起點(diǎn)無關(guān)，因而都只卻都只是時間差的函數(shù)而與時間起點(diǎn)無關(guān)，因而都只是一維序列。是一維序列。 *mnnxxxxEmR *mnnxmnxnxxmxmxEmC *mnnxyyxEmR *mnnymnxnxymymxEmC（7 7）廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程）廣義平穩(wěn)

16、隨機(jī)過程 均值是常數(shù)均值是常數(shù)( (與時間無關(guān)與時間無關(guān)) )、自相關(guān)序列只與時間差有、自相關(guān)序列只與時間差有關(guān)而與時間起點(diǎn)無關(guān)的隨機(jī)過程，稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程關(guān)而與時間起點(diǎn)無關(guān)的隨機(jī)過程，稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程簡稱為平穩(wěn)隨機(jī)過程或平穩(wěn)過程。簡稱為平穩(wěn)隨機(jī)過程或平穩(wěn)過程。( (概率密度函數(shù)以及聯(lián)概率密度函數(shù)以及聯(lián)合概率密度函數(shù)與時間起點(diǎn)有關(guān)合概率密度函數(shù)與時間起點(diǎn)有關(guān). .但統(tǒng)計(jì)特性與時間起點(diǎn)但統(tǒng)計(jì)特性與時間起點(diǎn)無關(guān)無關(guān), ,只與時間差有關(guān)只與時間差有關(guān).).) *mnnxxxxEmRxxxmdxnxxpmnn, 廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程的條件更加寬松廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程的條件更加寬松,只只對統(tǒng)計(jì)特性作出規(guī)

17、定對統(tǒng)計(jì)特性作出規(guī)定.而狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程的條件更加嚴(yán)格而狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程的條件更加嚴(yán)格,對概率函數(shù)作出規(guī)定對概率函數(shù)作出規(guī)定,從而統(tǒng)計(jì)特性從而統(tǒng)計(jì)特性也會滿足要求也會滿足要求. 例例5.7 隨機(jī)過程由許多隨機(jī)變量按一定的時間順序排列的一個序列隨機(jī)過程由許多隨機(jī)變量按一定的時間順序排列的一個序列, ,每個隨機(jī)變量由均值每個隨機(jī)變量由均值、方差、均方值、自相關(guān)函數(shù)來描述方差、均方值、自相關(guān)函數(shù)來描述, ,都是都是由統(tǒng)計(jì)平均或集合平均計(jì)算得到由統(tǒng)計(jì)平均或集合平均計(jì)算得到. .5.4 時間平均要得到無限多個取樣序要得到無限多個取樣序列是不可能的列是不可能的,是不現(xiàn)實(shí)是不現(xiàn)實(shí)的的.兩個實(shí)驗(yàn)兩個實(shí)驗(yàn)(投硬

18、幣投硬幣) 設(shè)想有無數(shù)個人設(shè)想有無數(shù)個人,他們在同一時刻他們在同一時刻N(yùn)以完全相同以完全相同的方式各投擲一枚硬幣的方式各投擲一枚硬幣,所有硬幣完全相同所有硬幣完全相同.可可以預(yù)料大約有一半投擲的結(jié)果為正面以預(yù)料大約有一半投擲的結(jié)果為正面,另一半另一半的人投擲結(jié)果為反面的人投擲結(jié)果為反面. 只有一個人投擲一枚硬幣只有一個人投擲一枚硬幣,不斷地以完全相同不斷地以完全相同的方式投擲無數(shù)次的方式投擲無數(shù)次.同樣可以預(yù)料同樣可以預(yù)料,投擲結(jié)果為投擲結(jié)果為正面和反面的次數(shù)各為一半正面和反面的次數(shù)各為一半. 對第一個實(shí)驗(yàn)求集合平均對第一個實(shí)驗(yàn)求集合平均;對第二個實(shí)驗(yàn)求時對第二個實(shí)驗(yàn)求時間平均間平均,兩個結(jié)果

19、一樣兩個結(jié)果一樣.第二個實(shí)驗(yàn)更有實(shí)用價第二個實(shí)驗(yàn)更有實(shí)用價值值.（1 1）隨機(jī)過程的一個取樣序列的所有取樣值的隨機(jī)過程的一個取樣序列的所有取樣值的算術(shù)平均值，稱為隨機(jī)過程的時間平均值，簡稱算術(shù)平均值，稱為隨機(jī)過程的時間平均值，簡稱時間平均時間平均 NNnNnxNnx121lim （2 2）取樣自相關(guān)序列）取樣自相關(guān)序列 根據(jù)隨機(jī)過程的一個取樣序列，用時間平均根據(jù)隨機(jī)過程的一個取樣序列，用時間平均定義的自相關(guān)序列，稱為該隨機(jī)過程的定義的自相關(guān)序列，稱為該隨機(jī)過程的取樣自取樣自相關(guān)序列相關(guān)序列，即，即 mnxnxNmnxnxNNnN*121lim （3 3）遍歷性隨機(jī)過程）遍歷性隨機(jī)過程 如果一個

20、平穩(wěn)隨機(jī)過程的集合平均，等于如果一個平穩(wěn)隨機(jī)過程的集合平均，等于它的一個取樣序列的時間平均，則稱它是遍歷它的一個取樣序列的時間平均，則稱它是遍歷性隨機(jī)過程。性隨機(jī)過程。 xmnx mRmnxnxxx* 一般地一般地,在信號處理中在信號處理中,對一平穩(wěn)隨對一平穩(wěn)隨機(jī)信號機(jī)信號xn,如果它的所有取樣序列在某一如果它的所有取樣序列在某一確定時刻的統(tǒng)計(jì)特性確定時刻的統(tǒng)計(jì)特性,與它的一個取樣序與它的一個取樣序列在長時間內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特性一致列在長時間內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特性一致,則稱則稱xn是是各態(tài)遍歷性信號各態(tài)遍歷性信號. 也就是說單個取樣序列隨時間變也就是說單個取樣序列隨時間變化的過程化的過程,可以包含該隨機(jī)信號所有

21、取樣可以包含該隨機(jī)信號所有取樣序列的取樣值序列的取樣值.（4 4）隨機(jī)過程的均值和自相關(guān)序列的估計(jì)）隨機(jī)過程的均值和自相關(guān)序列的估計(jì) xNnNmnxNnx101 mRmnxnxNmnxnxxxNNn 121*11*N盡可能地大盡可能地大5.5 相關(guān)序列和協(xié)方差序列的性相關(guān)序列和協(xié)方差序列的性質(zhì)質(zhì) nnxxnn mxxnxn mxxynn mxynxn myxyRmE x xCmE xmxmRmE x yCmE xmym和是兩個實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程：（ ）=（ ）= （）（）（ ）=（ ）= （）（） 22210 xxxxxxyxyxyxxxxxyxyxxnxn mxnn mxnxn mxxxxxyn

22、xn mynn mynxn mCmRmmCmRmm mCmRmCmRmCmE xmxmE x xm E xm E xmRmmCmE xmymE x ym E xm E y性質(zhì) ：（ ）= （ ）-（ ）= （ ）-如果均值為 ，則 （ ）= （ ）， （ ）= （ ）證明：（ ）= （）（）（ ）-（ ）= （）（）xyxyxym mRmm m= （ ）- 222220000 xxnxxxxxnnnxxnxnxxRE xCRE x xE xCE xmxm性質(zhì) ：（ ）=（ ）=證明：根據(jù)定義（ ）=（ ）= （）（） = 22xxxxxxxxxyyxxyyxxxnn mxxxxnmnxxxxx

23、xxxxxRmRmCmCmRmRmCmCmRmE x xnmnRmE xxRmCmRmmRmmCm，性質(zhì)3：（ ）= （- ）（ ）= （- ）（ ）= （- ）（ ）= （- ）證明：根據(jù)定義 （- ）=令則 （- ）=（ ）（- ）= （- ）-（ ）-（ ） 000000 xyxxyyxyxxyyxxxxxxxxRmRRCmCCRmRCmC1/21/2性質(zhì)4：（ ）（ （ ） （ ）（ ）（ （ ） （ ）特例：（ ）（ ）（ ）（ ） 22221/21/200000 /00 200000nn mnn mnn myynn mxxyyxxxxyyxyxxyyxyxxyyxyEE xE yE

24、x Rx yRRyRRRRmRRRmRR21/21/21/21/2證明： 由于是實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程（）（）（）（ ） 2（ （ ） （ ）（ ）（ ） （ ）2 （ ）/（ （ ） （ （ ）所以（ ）（ （ ） （ ） 00000225,nn nyyxxyyxxnn nyynn mn nn nmxxnnmyyyyyynn nxyyyyyxxyxRmRmCmCmn nnyxRmE y yE xxE x xRmCmRmmmE yE xmCmRmmR，0性質(zhì) ：若則有 （ ）= （ ） （ ）= （ ）證明：令 -，根據(jù)定義，有（ ）=（ ）（ ）= （ ）-由于故 （ ）= （ ）-2xxxmmCm

25、（ ）-（ ） 26xxxyxxxxyxyCCRmRm mmmmm性質(zhì) ：在隨機(jī)過程中，兩隨機(jī)變量的時間間隔越大，它們的相關(guān)性越小。時間間隔趨于無窮大的兩隨機(jī)變量，它們之間不再相關(guān)（m）=0， （m）=0 所以（m）=，（m）=limlimlim lim 61.2.xxxxRCm性質(zhì) 說明：（m）和 （m）都是非周期序列，都隨絕對值的增大而衰減；雖然隨機(jī)變量信號的付氏變換和Z變換都不存在，但其自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)是有限能量的信號，它們的付氏變換和Z變換是存在的，可以在頻域分析這些信號。3.自相關(guān)函數(shù)反映隨機(jī)變量之間的相關(guān)性，而且可以計(jì)算均值 均方差和方差，是能全面描述隨機(jī)過程的重要參數(shù)。 m

26、xxR（m）xxC（m）2xm2x2x2E x00m5.6 功率譜1 1）平穩(wěn)隨機(jī)過程的平穩(wěn)隨機(jī)過程的自協(xié)方差序列（或自相自協(xié)方差序列（或自相關(guān)序列）的傅里葉變換（或關(guān)序列）的傅里葉變換（或Z Z變換）稱為功率變換）稱為功率譜譜 mmxxxxzmCzS mmxxxxzmRzS mmjxxjxxemReS功率密度譜功率密度譜 deSRxEjxxxxn2102逆變換逆變換 deeSmRdzzzSjmRmjjxxxxmcxxxx 12121（2 2）實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜的性質(zhì)）實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜的性質(zhì)（1 1）非負(fù)）非負(fù)（2 2）實(shí)函數(shù)）實(shí)函數(shù)（3 3）偶函數(shù)）偶函數(shù)0jxxeSjxxjxxe

27、SeSjxxjxxeSeS mmxyxyzmRzS mmjxyjxyemReS或或性質(zhì)：性質(zhì)：jyxjxyeSeS練習(xí)練習(xí) 求均值為零、方差為求均值為零、方差為 、自相關(guān)序、自相關(guān)序列為列為 的白噪聲隨機(jī)過程的的白噪聲隨機(jī)過程的功率譜。功率譜。2x mmRxxx2 222 mxxxxmmmmmjxxmSzRm zm zSe 練習(xí)練習(xí) 求隨機(jī)相位正弦序列的功率譜求隨機(jī)相位正弦序列的功率譜 0sin nAnx 是在是在 內(nèi)均勻分布的隨機(jī)相位。內(nèi)均勻分布的隨機(jī)相位。),( 02 cos cos21 2cos21cos21 sinsin , 0,21002020200項(xiàng)為而第是常數(shù)，因?yàn)槠渌黰mAmE

28、AmEAnAnAEmnxnxEmRpxx 002022022 ,2121 4 22 cos200000AeSedeeeeeAeeeAemAemReSjxxmjmjmmjmjmmjmjmjmmjmjmjmmmjxxjxx所以因?yàn)榫毩?xí)練習(xí) 設(shè)隨機(jī)過程的自相關(guān)序列設(shè)隨機(jī)過程的自相關(guān)序列為為求該隨機(jī)過程的功率譜。求該隨機(jī)過程的功率譜。 1 ,mxxmR 220000cos211 11111 1 1 jjmmjmmmjmmmjmmmjmmmjmmmjxxjxxeeeeeeeemReS前前3個例子個例子:功率譜都是功率譜都是實(shí)實(shí)的的非負(fù)非負(fù)的的偶函數(shù)偶函數(shù)5.7 離散隨機(jī)信號通過 線性非移變系統(tǒng)有一沖激響

29、應(yīng)為有一沖激響應(yīng)為的線性非移變系統(tǒng)，的線性非移變系統(tǒng)，它的輸入端作用一它的輸入端作用一個平穩(wěn)隨機(jī)信號個平穩(wěn)隨機(jī)信號 ，在輸出端得到另一在輸出端得到另一平穩(wěn)隨機(jī)信號平穩(wěn)隨機(jī)信號 kkkxknhknxkhny nh nx ny1. 的均值的均值 nyym consteHmkhmknxEkhknxkhEnyEmjxkxkky0 2. 2. 的自相關(guān)序列的自相關(guān)序列 nymnnRyy, mkrmRrhkhrmnxknxErhkhrmnxrhknxkhmnynyEmnnRyyrxxkrkkryyR E , khhhhxxhhlxxklxxyylkhkhlRmRmRlRlmRlkhkhlmRmRlkr w

30、here 3. 3. 的功率譜的功率譜 ny zSyy nx ny lRlmRmRhhlxxyy zHzHzSzSzHzHzmRzSzmRzSzmRzSzSzSzSxxyymmhhhhmmxxxxmmyyyyhhxxyy11 , where zHpzz0zz zSyypzz1pzz0zz01zz nh 2jjxxjyyeHeSeS在 為實(shí)序列的情況下，有如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么如果輸入是一個均值為零、方差為 的平穩(wěn)白噪聲隨機(jī)信號，那么 2x22jxjyyeHeS 1yyxxSzSz H z Hz輸入隨機(jī)信號與輸出隨機(jī)信號的互相關(guān)序輸入隨機(jī)信號與輸出隨機(jī)信號的互相關(guān)序列列 mRmhkmRkhkmnxnxkhkmnxkhnxmnynxEmRxxxxkkkxy E E mhmhkmhkhmRkhh mRmhmRxxxy mRmRmRhhxxyy mRyy mRxy mhmhmRmRxxyy mhmRmRxyyy mhmhmRmRxxyy mRmhmRxxxy mhmRmRxyyy mhmh hHHH 2x2xxx22xxxxyx2xyxxy2xjjxy2x如果輸入是一個零均值的平穩(wěn)白