信號與系統(tǒng) Charpter 2

1、第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換在信號分析中，經常將信號從時域表示轉換到某一變換域表在信號分析中，經常將信號從時域表示轉換到某一變換域表示，即對信號進行線性變換示，即對信號進行線性變換, ,常見的變換有：常見的變換有：（1）連續(xù)時間信號的傅立葉變換；（2）拉普拉斯變換；（3）離散時間信號的z變換。拉普拉斯變換是傅立葉變換的一種推廣。拉普拉斯變換是傅立葉變換的一種推廣。z z變換則是傅立葉變換則是傅立葉變換在離散時間序列中的普遍化。變換在離散時間序列中的普遍化。1 1周期信號的頻譜分析周期信號的頻譜分析博立葉級數博立葉級數基函數：三角函數，指數函數；利用傅里葉級數研究周期信號的頻譜特性 第二章

2、第二章 傅立葉變換傅立葉變換2 三角函數的傅里葉級數三角函數的傅里葉級數三角函數集：三角函數集：可以證明該函數集即為正交函數集?？梢宰C明該函數集即為正交函數集。任何一個周期函數任何一個周期函數f(t)都可以用三角函數集中各函數分量的線性都可以用三角函數集中各函數分量的線性組合來表示組合來表示。上述第一項為信上述第一項為信號的直流分量。號的直流分量。第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換3 傅里葉級數的三角形式傅里葉級數的三角形式1110)sincos(2)(nnntnbtnaatfnnAAnn 00b 00AaAnAn 稱為幅度頻譜.稱為相位頻譜.n第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換4 4 指數函

3、數的傅里葉級數指數函數的傅里葉級數指數函數集：指數函數集：這是一個完備正交函數集。這是一個完備正交函數集。任何一個周期函數任何一個周期函數f(t)都可以用都可以用指數函數集指數函數集中各函數分量中各函數分量的線性組合來表示的線性組合來表示。第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換5 5 傅里葉級數三角形式與指數形式之間的關系傅里葉級數三角形式與指數形式之間的關系12nnCAnjnnAA e6 6 典型周期函數的頻譜典型周期函數的頻譜設周期矩形脈沖信號設周期矩形脈沖信號f(t)f(t)的脈沖寬度為的脈沖寬度為, ,脈沖幅度為脈沖幅度為E E，周期為周期為T T, ,信號在一個周期內的表達式為：信號在一

4、個周期內的表達式為：第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換將將f(t)f(t)展開成指數形式展開成指數形式傅立葉級數傅立葉級數: :12nnCA 122()2nnnEACSaT 11s i n ()222nnEAnT s i n ()222nEAT1n這里這里12TBasic Laws第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換s i n ()222nEAT若若: :（1 1）220nA（2 2）22nnAA（3 3）22 0nnAA表示方法：幅度為正表示相表示方法：幅度為正表示相位為位為0 0，幅度為負，表示相，幅度為負，表示相位為位為。Basic Laws第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換特點：特點：

5、離散線狀頻譜只出現(xiàn)在離散線狀頻譜只出現(xiàn)在 的整的整數倍上。數倍上。其包絡線按抽樣函數的規(guī)律變化。其包絡線按抽樣函數的規(guī)律變化。譜線的幅度變化呈現(xiàn)收斂狀態(tài)，譜線的幅度變化呈現(xiàn)收斂狀態(tài)，能量主要集中在第一個過零點之能量主要集中在第一個過零點之內。內。信號的時寬與頻寬成反比。信號的時寬與頻寬成反比。T T不變不變: : 1 1不變。不變。 T T增加：各分量幅度減小，增加：各分量幅度減小，1 1下下降，譜線變密。降，譜線變密。減小：各分量的幅值減小，減?。焊鞣至康姆禍p小，信號帶寬增加。信號帶寬增加。第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換7 7 非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換傅里葉變換的導

6、出：傅里葉變換的導出： 非周期函數可以認為是周期非周期函數可以認為是周期T=T=時的周期函數。時的周期函數。 T T趨于無窮大時，譜線間隔趨于無限小，離散頻譜就成趨于無窮大時，譜線間隔趨于無限小，離散頻譜就成了連續(xù)頻譜，各分量幅度趨于無窮小。了連續(xù)頻譜，各分量幅度趨于無窮小。11sin ()222nnEAnT 12T第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換設周期信號設周期信號f(t)f(t)展成指數傅立葉級數為：展成指數傅立葉級數為：可見可見 為單位頻率內的能量，一般記：為單位頻率內的能量，一般記：2nTA第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換定義：定義：F()F()為頻譜密度函數。為頻譜密度函數。 為

7、幅度頻譜，為為幅度頻譜，為的偶函數的偶函數. .()F 為相位頻率譜，為為相位頻率譜，為的奇函數的奇函數. .() 同樣可以推導出：同樣可以推導出：第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換可見：可見： 非周期信號和周期信號一樣，可分解為許多不同頻率的正非周期信號和周期信號一樣，可分解為許多不同頻率的正弦分量。弦分量。 非周期信號的周期趨于無限大，基波頻率趨于無限小，包非周期信號的周期趨于無限大，基波頻率趨于無限小，包括了從零到無窮大的所有頻率分量。括了從零到無窮大的所有頻率分量。 傅里葉變換存在的充分條件（狄利赫條件傅里葉變換存在的充分條件（狄利赫條件)：第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換8 8 典

8、型非周期函數的頻譜典型非周期函數的頻譜 （1 1）矩形脈沖信號）矩形脈沖信號其數學表達式為：其數學表達式為：矩形脈沖頻譜是矩形脈沖頻譜是: :幅度譜：幅度譜：相位譜：相位譜：第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換比較典型周期信號和非周期信號的頻譜，可以看出比較典型周期信號和非周期信號的頻譜，可以看出: :非周期單位脈沖的頻譜函數曲線與周期矩形脈沖離散頻譜的包絡線形非周期單位脈沖的頻譜函數曲線與周期矩形脈沖離散頻譜的包絡線形狀完全相同，都具有抽樣函數的形狀狀完全相同，都具有抽樣函數的形狀, ,單脈沖頻譜也具有收斂性，信號單脈沖頻譜也具有收斂性，信號的絕大部分能量集中在低頻段。的絕大部分能量集中在低頻

9、段。第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換(2) (2) 單邊指數函數的傅里變換單邊指數函數的傅里變換已知單邊指數信號如圖所示，已知單邊指數信號如圖所示，其表示式為其表示式為: :其幅度譜和相位譜分別為：其幅度譜和相位譜分別為：第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換(3) 雙邊指數函數雙邊指數函數雙邊指數函數如圖所示，其表示雙邊指數函數如圖所示，其表示式為式為其頻譜函數為其頻譜函數為幅度譜和相位譜分別為幅度譜和相位譜分別為第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換（4）單位沖激信號單位沖激信號的傅立葉變換是單位沖激信號的傅立葉變換是 當當趨于趨于0 0時，矩形脈沖變成時，矩形脈沖變成(t)(t)信號，其相應頻

10、譜的第一個零點信號，其相應頻譜的第一個零點(2(2/ /) )將移到無窮遠處。將移到無窮遠處?！熬鶆蜃V均勻譜”或或“白色頻白色頻譜譜”: :信號信號(t)(t)的頻譜在整個的頻譜在整個頻率范圍內均勻分布頻率范圍內均勻分布. .第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換(5) 單位階躍函數（不符合絕對可積的條件）單位階躍函數（不符合絕對可積的條件）(A) (A) 根據傅立葉變換公式，根據傅立葉變換公式，u(t)u(t)的頻譜為：的頻譜為：直接利用公式無法求出其傅里葉變換。直接利用公式無法求出其傅里葉變換。0( )( )tu teu tLim假設假設u(t)u(t)的傅立葉變換為：的傅立葉變換為：(B)(

11、B)( )( )( )FAjB 的傅立葉變換為：的傅立葉變換為：( )teu t( )( )( )eeeFAjB0( )lim( )eFF依據傅立葉變換具有唯一性：依據傅立葉變換具有唯一性：所以所以0( )lim( )eAA0( )lim( )eBB第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換0( )lim( )eAA0( )lim( )eBB( )( )( )FAjB22000( )lim( )lim( )lim0eeAAA0當當 時時當當 時時0所以所以0( )lim( )( )eAA 0( )lim( )ejBB第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換（6）符號函數）符號函數符號函數符號函數sgn(t)

12、如圖所示如圖所示其表示式為其表示式為由于由于sgn(t)sgn(t)不符合絕對可積條件，不符合絕對可積條件，故使用間接方法計算。故使用間接方法計算。同理可以得到：同理可以得到：2( )Fj第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換（7 7）直流信號）直流信號 直流信號如圖所示直流信號如圖所示 其表示式為其表示式為同理可以得到同理可以得到：( )2( )F 第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換10 10 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質信號的性質既可用時間函數信號的性質既可用時間函數f(t)f(t)表示，也可用頻譜函數表示，也可用頻譜函數F()F()表示，其中只要有一個確定，另一個也隨之確定。表示，其中只

13、要有一個確定，另一個也隨之確定。（1 1）線性）線性（2 2）時移特性）時移特性 結論：結論：信號的幅度頻譜是由信號的波形形信號的幅度頻譜是由信號的波形形狀決定的，與信號在時間軸上出現(xiàn)的位置狀決定的，與信號在時間軸上出現(xiàn)的位置無關，而信號的相位頻譜，則是信號波形無關，而信號的相位頻譜，則是信號波形狀和在時間軸上出現(xiàn)的位置共同決的。狀和在時間軸上出現(xiàn)的位置共同決的。如果如果那么那么如果如果那么那么例例1 1已知矩形脈沖已知矩形脈沖f f1 1(t)(t)如圖如圖(a)(a)所示，其相位譜如圖所示，其相位譜如圖(b)(b)所示，所示，將將f f1 1(t)(t)右移右移/2/2得到如圖（得到如圖（

14、c c）所示所示f f2 2(t)(t), ,試畫出其相位譜。試畫出其相位譜。 第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換由題意可知由題意可知根據時移特性，可得根據時移特性，可得f f2 2(t)(t)的頻譜函數的頻譜函數為為第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換f f2 2(t)(t)幅度譜沒有變化，其相位譜比圖幅度譜沒有變化，其相位譜比圖(b)(b)滯后滯后/2/2、如圖（、如圖（d d）所示。要）所示。要使輸出信號的波形不失真，必須是一個線性網絡。即信號中各分量具有相使輸出信號的波形不失真，必須是一個線性網絡。即信號中各分量具有相同的相位移。同的相位移。第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換（3 3）頻

15、移特性）頻移特性如果如果那么那么0 0 為常數，該性質也叫頻譜搬移，為常數，該性質也叫頻譜搬移，這種頻譜搬移技術在通信系統(tǒng)中得這種頻譜搬移技術在通信系統(tǒng)中得到廣泛的應用。調幅，調頻都是在到廣泛的應用。調幅，調頻都是在該基礎上進行的。該基礎上進行的。由此可見，將時間信號由此可見，將時間信號f(t)f(t)乘以乘以Cos(Cos(0 0t)t) 或或Sin(Sin(0 0t)t)，等效于等效于將將f(t)f(t)的頻譜一分為二，即幅度的頻譜一分為二，即幅度減小一半，沿頻率軸向左和向右減小一半，沿頻率軸向左和向右各平移各平移0 0. .第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換例例2 2 求如下矩形調幅信號

16、的頻譜函求如下矩形調幅信號的頻譜函數數0()() c o sftGtt已知門函數的頻譜函數為已知門函數的頻譜函數為根據頻移特性可得根據頻移特性可得第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換(4)(4)對稱特性對稱特性如果如果那那么么例例3 3 求函數的頻譜函數求函數的頻譜函數tttSasin)(寬度為寬度為幅度為幅度為1 1的門函數的門函數 的頻譜函數為的頻譜函數為 , ,即即( )g t()2Sa( )()2g tSa根據對稱性可得根據對稱性可得()2()2tSag假設假設222( )2()Sa tg2( )()Sa tg2( )( )Sa tg故故SaSa(t)(

17、t)的頻譜函數為：的頻譜函數為：2()( )Fjg第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換(5) (5) 微分特性微分特性如果如果那么那么（6 6）積分特性）積分特性如果如果那么那么如果如果F(0)=0F(0)=0第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換(7)(7)卷積定理卷積定理1 1時域卷積定理時域卷積定理如果如果那么那么(8)(8)頻域卷積定理頻域卷積定理如果如果那么那么第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換11周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換周期信號的頻譜周期信號的頻譜-用傅里葉級數表示。用傅里葉級數表示。非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜用傅里葉變換表示。用傅里葉變換表示。周期信號的頻譜可以用

18、傅里葉變換表示嗎？周期信號的頻譜可以用傅里葉變換表示嗎？（1 1）正弦、余弦信號的傅里葉變換）正弦、余弦信號的傅里葉變換直流信號的博立葉變換為直流信號的博立葉變換為 的博立葉變換為的博立葉變換為0jte可見，指數函數，正可見，指數函數，正弦、余弦函數的頻譜弦、余弦函數的頻譜只包含位于只包含位于0 0處的沖處的沖激函數。激函數。第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換（2 2）周期信號的傅里葉變換）周期信號的傅里葉變換周期為周期為T T的信號可用傅立葉級數表示為的信號可用傅立葉級數表示為ntjnnec1其中其中C Cn n是是f(t)f(t)的指數傅立葉級數的系數的指

19、數傅立葉級數的系數, ,且且f(t)f(t)博立葉變換為：博立葉變換為：該式表明：該式表明：周期信號周期信號f(t)f(t)的傅里葉變換的傅里葉變換F()F()是由一些沖擊函數組成的，是由一些沖擊函數組成的，并位于基波并位于基波1 1的整數倍處，沖擊強度為的整數倍處，沖擊強度為f(t)f(t)的指數傅里葉級數的系數的指數傅里葉級數的系數C Cn n的的22倍。倍。第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換例例4. 求周期單位沖激序列的傅里葉級數與傅里葉變換。求周期單位沖激序列的傅里葉級數與傅里葉變換。傅里葉級數為傅里葉級數為例例5. 求周期矩形脈沖信號的傅里葉級數和傅里葉變換求周期矩形脈沖信號的傅里葉

20、級數和傅里葉變換第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換矩形脈沖信號矩形脈沖信號f(t)f(t)的的傅里葉系數為：傅里葉系數為： f(t)f(t)的傅里葉級數為的傅里葉級數為周期矩形脈沖信號的傅里葉變換為周期矩形脈沖信號的傅里葉變換為單脈沖單脈沖f f0 0(t)(t) 的傅的傅里葉變換為里葉變換為第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換Cn, F(), F0()具有相同的包絡線。具有相同的包絡線。第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換12 抽樣信號的頻譜抽樣信號的頻譜， f(t)f(t)：表示連續(xù)時間信號表示連續(xù)時間信號f fs s(t)(t): :表示被采樣以后的離散信表示被采樣以后的離散信號號p(t)p

21、(t)：表示抽樣脈沖序列：表示抽樣脈沖序列nsnTttp)()(第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換結論與討論結論與討論（1 1）信號被采樣后，其頻譜）信號被采樣后，其頻譜F Fs s()()是由連續(xù)信號頻譜是由連續(xù)信號頻譜F()F()以抽樣頻以抽樣頻率率s s為間隔周期重復得到。為間隔周期重復得到。（2）時域抽樣定理：）時域抽樣定理：fs(t)要保留要保留原連續(xù)信號原連續(xù)信號f(t)的全部信息，必須滿的全部信息，必須滿足：足：ms22smff在實際應用上：在實際應用上：(6 10)sm（3 3）抽樣定理說明：一個頻帶有限的信號）抽樣定理說明：一個頻帶有限的信號f(t)f(t)，如果其頻譜只占據

22、，如果其頻譜只占據- -m m- - + +m m的范圍的范圍, ,則信號則信號f(t)f(t)可以用時間間隔不大于可以用時間間隔不大于 的抽樣唯一地確定。的抽樣唯一地確定。)2/(1mf第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換（4 4）通常把最低允許的抽樣率）通常把最低允許的抽樣率 稱為稱為奈斯持頻率奈斯持頻率，把最大允許的抽，把最大允許的抽樣樣 間隔稱為間隔稱為奈奎斯特間隔奈奎斯特間隔。（5 5）如果）如果 ，F(xiàn) Fs s()()將產生混將產生混迭迭, ,信號信號f(t)f(t)不能由取樣信號不能由取樣信號f fs s(t)(t)完完全恢復全恢復. .2sm1313系統(tǒng)的傳輸函數和頻率響應系統(tǒng)的

23、傳輸函數和頻率響應頻率響應頻率響應：以單位沖激信號為激勵時，系統(tǒng)產生的沖擊響應為：以單位沖激信號為激勵時，系統(tǒng)產生的沖擊響應為h(t)h(t)，其傅里其傅里葉變換葉變換 為頻率響應（為頻率響應（或傳輸函數或傳輸函數).).第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換14 綜合題綜合題例例1 （必考）（必考）求圖示各信號的傅里葉變換。求圖示各信號的傅里葉變換。 提示：提示： ，利，利用傅里葉變換時移特性用傅里葉變換時移特性 ( )()2g tSa 提示：提示：先利用歐拉公式，再先利用歐拉公式，再利用傅里葉變換的公式計算利用傅里葉變換的公式計算 提示：提示： 1( )()()22f tg tg t第二章第二

24、章 傅立葉變換傅立葉變換例例2 2 利用對稱性求下列函數的傅里葉變換利用對稱性求下列函數的傅里葉變換 提示提示：利用：利用 ，先利用傅里葉變換對稱性，再利用傅里，先利用傅里葉變換對稱性，再利用傅里葉變換時移特性葉變換時移特性 ( )()2gtSa例例3 3 求下圖所示函數的博里葉逆變換求下圖所示函數的博里葉逆變換提示： (a)(b)0( )( )( )j tFFAe202002( )( )( )02jjAAeFFAAe 利用傅里葉反變換公式計算利用傅里葉反變換公式計算第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換例例4 4 試求圖示周期信號的頻譜函數，圖試求圖示周期信號的頻譜函數，圖(b)(b)中沖激函數

25、的強度均為中沖激函數的強度均為1.1. 提示：提示：（a a）11( ) cos()22FFFt221( )Tjn tTnTCft edtT(b)(b)(b) （b b）( )( )()2TTfttt() 2()nnF jCn 第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換例例5 5 求圖示升余弦脈沖對表示為求圖示升余弦脈沖對表示為試用以下方法求其頻譜函數試用以下方法求其頻譜函數(1)(1)利用傅里葉變換的定義利用傅里葉變換的定義. .(2)(2)將它看作是門函數將它看作是門函數 與與 函數的乘積。函數的乘積。2( )g t11cos()2t第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換例例6 6 某某L1IL1I系

26、統(tǒng)的頻率響應為系統(tǒng)的頻率響應為若系統(tǒng)輸入若系統(tǒng)輸入f(t)f(t)cos(2t)cos(2t)，求該系統(tǒng)的輸出，求該系統(tǒng)的輸出y(t)y(t)。 提示提示: :() (2)(2)Y jj (sin2 ) (2)(2)Ftj 例例7 7（必考）（必考） 如圖如圖a a所示系統(tǒng)，已知乘法器的輸入為所示系統(tǒng)，已知乘法器的輸入為 tttf)2sin()()3cos()(tts系統(tǒng)的頻率響應為：系統(tǒng)的頻率響應為：求輸出求輸出y(t)y(t). .第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換tttf)2sin()()3cos()(tts乘法器的輸出信號為：乘法器的輸出信號為：)()()(tstftx依頻域卷積定理可

27、知：依頻域卷積定理可知：1()()* ()2X jF jS j)()(jFtf( )()s tSj這里：這里：由于寬度為由于寬度為的門函數與其頻譜函的門函數與其頻譜函數的關系是數的關系是)2()(Satg根據對稱性可得根據對稱性可得()2()2tSag假設假設444(2 )2()Satg42(2 )()Sa tg42(2 )( )Satg故故f(t)f(t)的頻譜函數為：的頻譜函數為：s(t)s(t)的頻譜函數為：的頻譜函數為：第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換系統(tǒng)的頻率響應函數可寫為系統(tǒng)的頻率響應函數可寫為顯然它可以寫為顯然它可以寫為第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換例例8 8 如圖所示系統(tǒng)，已知如圖所示系統(tǒng)，已知)2(2)(tSatf)sgn()(jjH求系統(tǒng)的輸出求系統(tǒng)的輸出y(t)y(t)提示：提示：利用利用 和對稱性，和對稱性，并假設并假設4 4，可得到：，可得到：)2()(Satg4()( )F jg（2 2）122()() ()( (1)(1)F jH jF jj gg 2122221()()* sin(4)21( (5)(3)(3)(5)2Y jF jFtgggg（3 3）（1 1）1441()() *cos(4 )21(4)(4)2YjFjFtgg（4 4）12222()( )( )(5)(5)21.( )* (5