結(jié)構(gòu)位移計算李廉錕結(jié)構(gòu)力學(xué)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)(jigu)位移計算李廉錕位移計算李廉錕 結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)(jigu)力學(xué)力學(xué)第一頁，共105頁。1. 結(jié)構(gòu)的位移是指結(jié)構(gòu)上的某一截面在荷載或其它因素(yn s)作用下由某一位置移動到另一位置，這個移動的量就稱為該截面的位移（線位移和角位移）。 思考：變形(bin xng)與位移的差別？6-1 第1頁/共105頁第二頁，共105頁。AAAAAxAyPAxAy2. 位移(wiy)的分類6-1 概述(i sh)第2頁/共105頁第三頁，共105頁。ABDCCDVCDDVCV 截面(jimin)C、D 的相對豎向線位移為 :VVVDCCDDC CD 截面(jimin)C、D 的相對角位移為:

2、 AB CDDCC D6-1 概述(i sh)第3頁/共105頁第四頁，共105頁。AAAPAxAyt 3.位移(wiy)產(chǎn)生的原因6-1 第4頁/共105頁第五頁，共105頁。鐵路工程(gngchng)技術(shù)規(guī)范規(guī)定: 二、計算(j sun)位移的目的(1) 剛度(n d)要求在工程上，吊車梁允許的撓度1/600 跨度；橋梁在豎向靜活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度1/700 和1/900跨度高層建筑的最大位移1/1000 高度。 最大層間位移1/800 層高。6-1 第5頁/共105頁第六頁，共105頁。(2) 超靜定結(jié)構(gòu)、動力和穩(wěn)定(wndng)計算的基礎(chǔ)(3）施工(sh gng)要求 超靜

3、定(jn dn)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力不能僅由平衡條件確定，分析時必須考慮變形條件，因而需要計算結(jié)構(gòu)的位移。 在結(jié)構(gòu)的施工過程中，常需預(yù)先知道結(jié)構(gòu)變形后的位置，以便采取一定的施工措施，使結(jié)構(gòu)物符合設(shè)計圖紙的要求。6-1 第6頁/共105頁第七頁，共105頁。（3）理想(lxing)聯(lián)結(jié) (Ideal Constraint)。(1) 線彈性 (Linear Elastic),(2) 小變形 (Small Deformation),6-1 第7頁/共105頁第八頁，共105頁。本章只討論(toln)應(yīng)用虛功原理求解結(jié)構(gòu)位移。2. 功能(gngnng)法虛功原理應(yīng)變(yngbin)能(卡氏定理) 研究變形和位移

4、的幾何關(guān)系，用求解微分方程式的辦法求出某截面的位移（材料力學(xué)用過，但對復(fù)雜的桿系不適用）。1.幾何法 6-1 第8頁/共105頁第九頁，共105頁。 一、基本概念0dFWl AOFFFBd F實功： 力在其本身引起(ynq)的位移上所作的功。位移(wiy)是由外力F引起的，F(xiàn) 做的功可表示為: 1.外力(wil)的實功6-2 變形體系的虛功原理第9頁/共105頁第十頁，共105頁。 實功的數(shù)值就等于圖上三角形OAB的面積。實功是外力的非線形函數(shù)(hnsh)，計算外力實功不能應(yīng)用疊加原理。kFFkkW22121220d所以(suy) 設(shè)線彈性(tnxng)材料的彈性(tnxng)系數(shù)為k，則kF

5、 l AOFFFBd F6-2 變形體系的虛功原理第10頁/共105頁第十一頁，共105頁。2.外力(wil)的虛功 虛功：力在其它原因引起的位移上所作的功，即做功的力系和相應(yīng)的位移是彼此獨立(dl)無關(guān)的。tFW 虛功的數(shù)值是位移曲線所圍的矩形面積。 虛功中的力與位移兩者相互(xingh)獨立，計算外力虛功可應(yīng)用疊加原理。 lFOtFABFtt6-2 變形體系的虛功原理第11頁/共105頁第十二頁，共105頁。力F1在力F2引起的位移(wiy)12上作的功為虛功為121FW 例 F1力在其引起(ynq)的位移11 上作的功為實功為 11121FW F1121211FF121121221212

6、6-2 變形(bin xng)體系的虛功原理第12頁/共105頁第十三頁，共105頁。 結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的各種( zhn)位移，包括截面的線位移、角位移、相對線位移、相對角位移或者是一組位移等等都可泛稱為廣義位移。 3.廣義(gungy)位移和廣義(gungy)力廣義(gungy)位移 與廣義位移對應(yīng)的就是廣義力，可以是一個集中力，集中力偶或一對大小相等方向相反的力或力偶，也可以是一組力系。 注意：廣義位移與廣義力的對應(yīng)關(guān)系，能夠在某一組廣義位移上做功的力系，才稱為與這組廣義位移對應(yīng)的廣義力。 廣義力6-2 變形體系的虛功原理第13頁/共105頁第十四頁，共105頁。4.內(nèi)力(nil)功 定義：從桿上

7、截取一微段,作用在該微段上的內(nèi)力(nil)在該微段的變形上做的功定義為該內(nèi)力(nil)做的功。該微段上相應(yīng)(xingyng)的變形為軸向變形 sdd剪力變形 sdd彎曲變形 skdd1FNFNsdsd +dddsSFSddsMM6-2 變形體系的虛功原理第14頁/共105頁第十五頁，共105頁。 如果變形就是(jish)由此內(nèi)力引起的，則此微段上內(nèi)力功應(yīng)為實功，其為軸力、剪力和彎矩分別做的功之和：d21d21d21dSNMnFFw因為(yn wi)sskssd1ddddddsMsFsFwd21d21d21dSN由胡克定律(h k dn l)有： EIMGAFEAF1,SN故 sEIMsGAFs

8、EAFwd21d21d21d22S2N實功數(shù)值上就等于微段的應(yīng)變能。 所以內(nèi)力實功6-2 變形體系的虛功原理第15頁/共105頁第十六頁，共105頁。 若變形與內(nèi)力彼此無關(guān)(wgun)，則此微段上的內(nèi)力功是虛功，其為ddddSNiMFFw對于整根桿的內(nèi)力虛功(x n)，則可對整根桿積分求得： dddSNiMFFWsss原因而定。 , 和 的具體表達式要視引起這個變形的具體ddd內(nèi)力(nil)虛功6-2 變形體系的虛功原理第16頁/共105頁第十七頁，共105頁?；仡?hug)（1）質(zhì)點系的虛功原理 具有理想約束的質(zhì)點系，在某一位置處于平衡的必要(byo)和充分條件是：1PF2NF1NF2PF1

9、m2mfi ri=0 對于任何可能的虛位移，作用(zuyng)于質(zhì)點系的主動力所做虛功之和為零。也即6-2 變形體系的虛功原理第17頁/共105頁第十八頁，共105頁。（2）剛體系(tx)的虛功原理 去掉約束而代以相應(yīng)的反力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平衡的必要(byo)和充分條件是： 對于(duy)任何可能的虛位移，作用于剛體系的所有外力所做虛功之和為零。FPAxFBFAyFPB-FP P +FB B=06-2 變形體系的虛功原理第18頁/共105頁第十九頁，共105頁。二、虛功原理 1. 變形體的虛功原理 設(shè)一變形體在外力系作用下處于平衡狀態(tài)。當變形體由于其他原因產(chǎn)生一符合約束條

10、件的微小連續(xù)位移時，則外力系在位移上做的虛功的總和We，等于變形體的內(nèi)力(nil)在變形上做的虛功的總和Wi，即， ieWW 這就是虛功方程(fngchng)。 （證明略）需注意： 外力(wil)系必須是平衡力系，物體處于平衡狀態(tài)；6-2 變形體系的虛功原理第19頁/共105頁第二十頁，共105頁。 位移(wiy)必須滿足虛位移(wiy)的條件滿足約束條件的非常微小的連續(xù)位移(wiy)； 外力與位移兩者之間是相互獨立沒有關(guān)聯(lián)的。平衡的外力系與相應(yīng)的內(nèi)力是力狀態(tài)；符合約束條件的微小位移與相應(yīng)的變形是位移狀態(tài)。力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上做功(zugng)之和(外力虛功)等于力狀態(tài)的內(nèi)力在位移狀

11、態(tài)的變形上做功(zugng)之和(內(nèi)力虛功)。 對于兩個相互無關(guān)的力狀態(tài)和位移狀態(tài)的，可以(ky)虛設(shè)其中一個狀態(tài)，讓另一實際狀態(tài)在此虛設(shè)狀態(tài)下做功，列出虛功方程，可以(ky)求解不同的問題。 6-2 變形體系的虛功原理第20頁/共105頁第二十一頁，共105頁。位移(wiy)狀態(tài)FPFP /2FP /2（虛）力狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）（虛）位移狀態(tài)q（3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關(guān)；（2）均為可能狀態(tài)。即位移應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件,力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡條件。 （1）屬同一體系；6-2 變形體系的虛功原理第21頁/共105頁第二十二頁，共105頁。2.桿系結(jié)構(gòu)(jigu)虛功方程 希望能很好理解(

12、lji)，盡可能達到掌握！dddSNiMFFWssseiWW6-2 變形體系的虛功原理第22頁/共105頁第二十三頁，共105頁。虛位移原理(yunl) 令實際的力狀態(tài)在虛設(shè)(xsh)的位移狀態(tài)下做功所建立的虛功方程表達的是力的平衡條件。從中可以求出實際力系中的未知力。這就是虛位移原理。 虛力原理(yunl) 令虛設(shè)的平衡力系在實際的位移狀態(tài)下做功所建立虛功方程表達的是位移協(xié)調(diào)條件，從中可求出位移狀態(tài)中的一些未知位移。這就是虛力原理(也稱為余虛功原理)。 一個力系平衡的充分必要條件是：對任意協(xié)調(diào)位移，虛功方程成立。 一個位移是協(xié)調(diào)的充分必要條件是：對任意平衡力系，虛功方程成立。3. 虛功原理的

13、兩種應(yīng)用6-2 變形體系的虛功原理第23頁/共105頁第二十四頁，共105頁。 注意(zh y): 虛位移原理寫出的虛功方程是一個平衡方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。BCDEAFFaaaa/2/2a例如：應(yīng)用(yngyng)虛位移原理求支座C的反力FC。ABCDEDEBCFCACDEFBF0EBCCFFF0)43()21(CCCCFFF即 FFC45故 撤除與FC相應(yīng)的約束(yush),將FC變成主動力，取與FC正向一致的剛體位移作為虛位移。列出虛功方程： 6-2 變形體系的虛功原理第24頁/共105頁第二十五頁，共105頁。 注意(zh y)：虛力原理寫出的虛功方程是一個幾何方程，可用

14、于求解幾何問題。 例：當A支座向上(xingshng)移動一個已知位移c1，求點B產(chǎn)生的豎向位移。ACBc1Aba在擬求線位移(wiy)的方向加單位力 由平衡條件 abFyAACBFyA1 令虛設(shè)的平衡力系在實際的位移狀態(tài)下做功，得虛功方程011 yAFc)()(111 cababcFcyA求得與單位力方向相同。6-2 變形體系的虛功原理第25頁/共105頁第二十六頁，共105頁。單位荷載(hzi)法 (Dummy-Unit Load Method) 是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也稱為Maxwell-Mohr Method。圖示結(jié)構(gòu)(jigu)，要求 KK=?實

15、際狀態(tài)(zhungti) 位移狀態(tài)(zhungti)虛擬狀態(tài) 力狀態(tài)6-3 位移計算的一般公式 單位荷載法第26頁/共105頁第二十七頁，共105頁。112233KKWFRCR CR C 外NsWF duMdF rds內(nèi)KNsF duMdF rdsRC 用虛功(x n)原理，位移狀態(tài)即實際狀態(tài)，另虛設(shè)一個力狀態(tài)（稱力虛設(shè)狀態(tài)），要使虛擬力的虛功(x n)正好等于所求位移，可接右圖選取虛擬狀態(tài)，用虛擬力為單位力，故稱為單位荷載法。外力(wil)虛功: 內(nèi)力(nil)虛功:由虛功方程：此式即為平面結(jié)構(gòu)位移計算一般公式。若結(jié)果為正，說明 在 上做正功，這表明的實際方向與方向相同。若結(jié)果為負，說明 在

16、 上做負功，這表明的實際方向與方向相反。 K1KF 1KF K6-3 位移計算的一般公式 單位荷載法第27頁/共105頁第二十八頁，共105頁。幾點說明(shumng)：(1) 所建立(jinl)的虛功方程 ，實質(zhì)上是幾何方程。(2) 虛設(shè)的力狀態(tài)與實際(shj)位移狀態(tài)無關(guān)，故可設(shè)單位廣義力 P=1(3) 求解時關(guān)鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關(guān)系。特點: 是用靜力平衡法來解幾何問題。單位位移法的虛功方程 平衡方程單位荷載法的虛功方程 幾何方程總的來講：6-3 位移計算的一般公式 單位荷載法第28頁/共105頁第二十九頁，共105頁。2. 結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、桁架、拱、組合(zh)結(jié)構(gòu)； 靜

17、定和超靜定結(jié)構(gòu)；1. 位移原因：荷載、溫度改變(gibin)、支座移動等；3. 材料(cilio)性質(zhì)：線性、非線性；4. 變形類型：彎曲變形、拉(壓)變形、剪切變形；5. 位移種類：線位移、角位移；相對線位移 和相對角位移。一般公式的普遍性表現(xiàn)在：6-3 位移計算的一般公式 單位荷載法第29頁/共105頁第三十頁，共105頁。BA?AB(b)試確定指定廣義(gungy)位移對應(yīng)的單位廣義(gungy)力A?A(a)F=1F=1F=16-3 位移計算的一般(ybn)公式 單位荷載法第30頁/共105頁第三十一頁，共105頁。F=1?A(c)A?AB(d)ABF=1F=16-3 位移(wiy)計

18、算的一般公式 單位荷載法第31頁/共105頁第三十二頁，共105頁。ABCd?BC(e)dF1dF1ABC2d1d(f)?ACAB11d11d21d21d11BCBCBCWddd 外6-3 位移計算(j sun)的一般公式 單位荷載法第32頁/共105頁第三十三頁，共105頁。AB?AB(g)F=1F=1C(h)C左右=？F=1F=16-3 位移計算(j sun)的一般公式 單位荷載法第33頁/共105頁第三十四頁，共105頁。由虛功原理有：W= WiNdddissssWFuMFs cFcFcFcFFWRKRRRKK1332211外力(wil)虛功 變形(bin xng)虛功 荷載作用引起的位

19、移(wiy)計算KP 等號左側(cè)是虛設(shè)的單位外力在實際的位移上所做的外力虛力，右側(cè)是虛設(shè)單位力狀態(tài)的內(nèi)力在實際位移狀態(tài)的變形上做的內(nèi)力虛功之和。6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算第34頁/共105頁第三十五頁，共105頁。對于直桿，則可用dx代替(dit)ds。計算位移的公式為NPSPPNSKP000dddlllFFMFxFxMxEAGAEI 單位力狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的軸力、剪力和矩方程式。MFF、SN 實際荷載引起結(jié)構(gòu)的軸力、剪力和彎矩方程式。 PSPNPMFF、E、G 材料的彈性模量和剪力彈性模量. A、I 桿件的橫截面面積和橫截面慣性矩. 剪力在截面上分布的不均勻系數(shù)，對于矩形截面=1.2。

20、6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移(wiy)計算第35頁/共105頁第三十六頁，共105頁。（1）梁、剛架：只考慮(kol)彎矩Mp引起的位移。 （2）桁架(hngji)：只有軸力。 桁架(hngji)各桿均為等截面直桿則xEIMMdPxEAFFdNPNEAlFFNPN6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算第36頁/共105頁第三十七頁，共105頁。 拱壩一類的厚度較大(jio d)的拱形結(jié)構(gòu)，其剪力也是不能忽略的。所以計算拱壩時，軸力、剪力和彎矩三項因素都須要考慮進去。 (4) 跨度較大的薄拱，其軸力和彎矩的影響(yngxing)相當，剪力的影響(yngxing)不計，位移計算公式為 sEI

21、MMsEAFFssddPNPN6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移(wiy)計算（3）組合結(jié)構(gòu)EAlFFsEIMMNPNPd1第37頁/共105頁第三十八頁，共105頁。 例6-1 圖示剛架，已知各桿的彈性模量E和截面(jimin)慣性矩 I 均為常數(shù)，試求B點的豎向位移BV，水平位移BU, 和位移B 。qaaACBxEI=常數(shù) 解: (1) 作出荷載(hzi)作用下的彎矩圖，寫出各桿的彎矩方程。橫梁(hn lin)BC 2P21)(qxxM)0(ax 豎柱CA 2P21)(qaxMACBql2MP0.5)0(ax 6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算第38頁/共105頁第三十九頁，共105頁

22、。(2)求B 點的豎向位移(wiy)BVACaBMa1 寫出各桿單位(dnwi)力作用下的彎矩方程式，畫出彎矩圖橫梁(hn lin)BC 豎柱CA xxM)(axM)(aoBxEIMMdPVEIxqaaEIxqxxaoaod21d2122)(85212141434EIqaxaxEIqao)0(ax )0(ax M6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算第39頁/共105頁第四十頁，共105頁。(3) 求B點的水平(shupng)位移BU 在B點加單位水平(shupng)力。畫出彎矩圖并寫出各桿的彎矩方程 BCM=a xxAaa-x1橫梁(hn lin)BC 0)(xM豎柱CA xxM)(aBxE

23、IMM0PUdEIxqaxad21)(02)(414EIqa注意：負號表示位移的方向與假設(shè)的單位力的方向相反。 )0(ax )0(ax 6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算（4）求B點的線位移B 2U2VBBBEIqa4829第40頁/共105頁第四十一頁，共105頁。 例6-2 一圓弧形懸臂梁受勻布荷載作用，設(shè)曲梁矩形截面(jimin)的彎曲剛度為EI ，半徑為r ，圓弧AB 的圓心角0 及荷載 q 均為已知，試求截面(jimin)B 的豎向及水平向位移BV和BU。 qOr0BACdyx 解: 當曲梁的半徑(bnjng)較大截面比較薄時，可忽略軸力和剪力的影響。 (1) 列出曲梁在荷載(h

24、zi)作用下的彎矩方程。假定曲梁內(nèi)側(cè)纖維受拉為正彎矩。 取B點為座標原點，任意截面C 的橫座標為x，該截面的彎矩：2P21qxM6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算第41頁/共105頁第四十二頁，共105頁。 (2) 求BV ，在B點加一豎向單位力，單位豎向力引起(ynq)的彎方程為 xM1dsin2d)sin()sin21(100034022EIqrrrqrEI采用(ciyng)極坐標表示dd,cos,sinrsrryrx22Psin21qrMsinrM由于 000030203cos31cosdsin)cos1(dsin所以 )cos31cos32(20304EIqrBC dxMMEIBP

25、V1030cos31cos32Ox1BA0rddCs6-4 靜定(jn dn)結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算第42頁/共105頁第四十三頁，共105頁。 (3) 求BU，在B點作用(zuyng)一單位向水平力，列出此水平向單位力引起的彎矩方程)cos1 (. 1ryMsMMEIBd1PUdcossin2110022rrrqrEId)cos1(sin20024EIqr030004sin3121sincos212EIqrOy1BA0rddCs6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載(hzi)作用下的位移計算第43頁/共105頁第四十四頁，共105頁。 例6-3 平面桁架(hngji)如圖，已知各桿截面積均為A=0.41

26、0-2m2彈性橫量E=200GPa，試求B點和D點的豎向位移。4m4m3m3m24kNABC解: (1) 求出實際(shj)荷載狀態(tài)下各桿的內(nèi)力。 (2) 求BV4m4m3m3m24kN-32kN-32kN-24kN40kN40kNABCFNP006-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用(zuyng)下的位移計算第44頁/共105頁第四十五頁，共105頁。 在B點加一向下的單位(dnwi)力,求此單位(dnwi)力引起的各桿軸力FN 。EAlFFPBNNV4)32()333. 1( 2540667. 1299104 . 01020016)224)(1(71080/144)341.25(666.8m1014.

27、4-4BCFN001-1.333-1.333-11.6671.6674m4m3m3m24kN-32kN-32kN-24kN40kN40kNABCF00NP6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移(wiy)計算第45頁/共105頁第四十六頁，共105頁。(3) 求DV 在D點加一向下(xin xi)單位力，求出此虛設(shè)狀態(tài)ABCFN10.8330001-0.5-0.833EAlFFBNPNV29104 . 01020016)24()5 . 0(540833. 071080/ )726 .166(m1098. 24 各桿的軸力FN 。4m4m3m3m24kN-32kN-32kN-24kN40kN40kNA

28、BCFNP006-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移(wiy)計算第46頁/共105頁第四十七頁，共105頁。 在桿件數(shù)量多的情況下,不方便. 下面(xi mian)介紹計算位移的圖乘法。 EIsMMPiPd6-5 圖乘法(chngf) (Graphic Multiplication Method and its Applications)1. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力(nil)計算；2. 利用位移計算公式求靜定結(jié)構(gòu)的位移；3. 剛架與梁在荷載作用下的位移計算公式, 即:已有基礎(chǔ)：第47頁/共105頁第四十八頁，共105頁。sEIMMPdsMMEIPd1xMxEIPdtan1 xxMEIPdtan ccyE

29、IxEI 1tan(對于(duy)等截面桿)(對于(duy)直桿) xMMEIPd1)tan( xM 圖乘法(chngf)求位移公式為:EIycip圖乘法的適用條件是什么?圖乘法是Vereshagin于1925年提出的，他當時為莫斯科鐵路運輸學(xué)院的學(xué)生。6-5 圖乘法 第48頁/共105頁第四十九頁，共105頁。例.試求圖示梁B端轉(zhuǎn)角(zhunjio)。解:sEIMMPBdEIycABP2/ l2/ lEIBAB1M4/Pl1MPMi)(1612142112EIPlPllEI為什么彎矩圖在桿件同側(cè)圖乘結(jié)果為正?6-5 圖乘法(chngf) 第49頁/共105頁第五十頁，共105頁。6-5 圖乘

30、法(chngf) 幾種常見圖形的面積(min j)和形心位置的確定方法第50頁/共105頁第五十一頁，共105頁。圖乘法(chngf)小結(jié)：1. 圖乘法(chngf)的應(yīng)用條件（1）等截面(jimin)直桿，EI為常數(shù)；（2）兩個M圖中應(yīng)有一個是直線；（3） 應(yīng)取自直線圖中。cy2.若 與 在桿件的同側(cè)， 取正值；反之，取負值。cycy3. 如圖形較復(fù)雜，可分解為簡單圖形。6-5 圖乘法 第51頁/共105頁第五十二頁，共105頁。(1) 曲-折組合(zh)jjKiyyyyxMM 332211d圖形(txng)分解6-5 圖乘法(chngf) 第52頁/共105頁第五十三頁，共105頁。(2)

31、 梯-梯同側(cè)組合(zh)122211dyyxMMKi 3)2(3)2(21dcydcy6-5 圖乘法(chngf) 第53頁/共105頁第五十四頁，共105頁。(3) 梯-梯異側(cè)組合(zh)1 1y2 2yABCDabcdKM圖M圖b c取負值(f zh)2211dyyxMMKi 3)2(3)2(21dcydcy6-5 圖乘法(chngf) 第54頁/共105頁第五十五頁，共105頁。復(fù)雜(fz)圖形的處理：+=+=6-5 圖乘法(chngf) 第55頁/共105頁第五十六頁，共105頁。B求1MPMi)(24)1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq

32、42ql8/2qlq8/2ql6-5 圖乘法(chngf) 第56頁/共105頁第五十七頁，共105頁。(4) 階梯形截面(jimin)桿jjjjKiIEyIEyIEyIEyxEIMM 333322221111d6-5 圖乘法(chngf) 第57頁/共105頁第五十八頁，共105頁。例 1. 已知EI為常數(shù)，求C、D兩點相對水平位移 。CD 應(yīng)用(yngyng)舉例AlqBhq8/2qlh11hMPiM)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCD解：作荷載(hzi)彎矩圖和單位荷載(hzi)彎矩圖6-5 圖乘法(chngf) 第58頁/共105頁第五十九頁，共105頁。 例 2.

33、圖示梁EI 為常數(shù)(chngsh)，求C點豎向位移。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(1285)48224328331(1322EIqllqllllqlEIEIycC8/2ql)(241221231132EIqllqllEIEIycc6-5 圖乘法(chngf) 第59頁/共105頁第六十頁，共105頁。32/2qliM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2318221232222122132232(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/2ql2/2ql8/2ql6-5 圖乘法(chngf) 第60頁/共

34、105頁第六十一頁，共105頁。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2218223242212438231(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2ql6-5 圖乘法(chngf) 第61頁/共105頁第六十二頁，共105頁。例3. 試求圖示結(jié)構(gòu)(jigu)B點豎向位移。解:sEIMMPBydEIycPlMPMi)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1lPEIBEIll6-5 圖乘法(chngf) 第62頁/共105頁第六十三頁，共105頁。例4.已知 EI為

35、常數(shù)，求鉸C 兩側(cè)截面相對轉(zhuǎn)角 。C解：作荷載(hzi)彎矩圖和單位荷載(hzi)彎矩圖AlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11iM)(2421832132EIqlqlEIEIycCD4/2ql4/2ql6-5 圖乘法(chngf) 第63頁/共105頁第六十四頁，共105頁。 例5.已知 EI 為常數(shù)(chngsh)，求A點豎向位移 。A)(4822)22182322324221232421(14222EIqlEIlqlllqlllqllEIEIycCD解：作荷載(hzi)彎矩圖和單位荷載(hzi)彎矩圖Aqlllq4/qlMP4/2ql2/11iM2/ l6-5 圖乘法(chn

36、gf) 第64頁/共105頁第六十五頁，共105頁。6. 求B點水平(shupng)位移。解：作荷載(hzi)彎矩圖和單位荷載(hzi)彎矩圖MP)(85412322113EIPlllPlEIllPlEIEIycBPlABllEI4PEIEI1注意:各桿剛度可能(knng)不同iMl6-5 圖乘法 第65頁/共105頁第六十六頁，共105頁。 7.已知EI為常數(shù)，求B截面(jimin)轉(zhuǎn)角。MP解：作荷載(hzi)彎矩圖和單位荷載(hzi)彎矩圖ABkN/m2m4kN6m2m31124Mi)(38)21443213112421(1EIEIEIycB6-5 圖乘法(chngf) 第66頁/共10

37、5頁第六十七頁，共105頁。)(31123)32(21322113EIPlllPllllPlllPllPllEIEIycB解：作荷載(hzi)彎矩圖和單位荷載(hzi)彎矩圖8. 求B點水平(shupng)位移,EI=常數(shù)。AlPBllMPPlPl2A1Bl 2MPl6-5 圖乘法(chngf) 第67頁/共105頁第六十八頁，共105頁。解：作荷載(hzi)彎矩圖和單位荷載(hzi)彎矩圖)(434)2)(2(14322113EAPlEIPllPEAllPlEIEAlNNEIyPicB9. 求C、D 兩點相對水平(shupng)位移 。CD ABllEAEICDPPEIlMPPlPl11iM

38、ll6-5 圖乘法(chngf) 第68頁/共105頁第六十九頁，共105頁。解：作荷載(hzi)彎矩圖和單位荷載(hzi)彎矩圖)(421212)2322212223122142(13kPEIPlkPlPlllPlllPlllPllEIEIycB10.求A點豎向位移(wiy), EI=常數(shù) 。1/2iMMPPl2/Pl2/PllPlAk1k6-5 圖乘法(chngf) 第69頁/共105頁第七十頁，共105頁。AlPBlPl)(310)243221(13EIPllPlllPllEIEIycABY11.圖示結(jié)構(gòu)(jigu) EI 為常數(shù)，求AB兩點(1)相對豎向位移,(2)相對水平位移,(3)

39、相對轉(zhuǎn)角 。iMMP11Pll11lliM0EIycABX0EIycAB對稱(duchn)彎矩圖反對(fndu)稱彎矩圖 對稱結(jié)構(gòu)的對稱彎矩圖與其反對稱彎矩圖圖乘,結(jié)果為零.1111iM6-5 圖乘法 第70頁/共105頁第七十一頁，共105頁。PPPl1111繪制變形(bin xng)圖時，應(yīng)根據(jù)彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點的利用。如：6-5 圖乘法(chngf) 第71頁/共105頁第七十二頁，共105頁。由溫度變化引起(ynq)的位移計算 (1)每根桿受的溫度是均勻作用(zuyng)的，即每桿上各截面的溫度是相同的。 (2)桿件的兩側(cè)的溫度可以是不同(b tn)的，但從高溫一側(cè)到

40、低溫一側(cè)溫度是按直線變化的。 (3)由于假定溫度沿桿長均勻分布,不可能出現(xiàn)剪切變形, 只有軸向變形dut 和截面轉(zhuǎn)角d。假定： 6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算第72頁/共105頁第七十三頁，共105頁。溫度引起的纖維軸向變形為：t 其中材料(cilio)的線膨脹系數(shù)，即溫度升高1時桿的應(yīng)變。 設(shè)微段 ds 的 溫度(wnd)變化為：ht1t2st1t2t0h1h2dsdsdsdt0d6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移(wiy)計算第73頁/共105頁第七十四頁，共105頁。梁段上側(cè)、下側(cè)和中心軸處纖維(xinwi)伸長分別為studd11tstudd22tstudd00t由于截面內(nèi)的溫度(

41、wnd)呈直線變化，有 11012htthtt得： hhthtt21120shthststdddd12其中t= t2 t1 ，為桿兩側(cè)的溫度(wnd)變化之差。 ht1t2st1t2t0h1h2dsdsdsdt0d6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算第74頁/共105頁第七十五頁，共105頁。 令虛設(shè)(xsh)的力狀態(tài)在結(jié)構(gòu)的實際位移狀態(tài)下做功。在擬求位移的截面虛設(shè)(xsh)一單位力，則外力在位移上做的功應(yīng)等于內(nèi)力在溫度引起的變形上做的功之和，即 dd1NFM sFtsMhtddN0式中 對結(jié)構(gòu)(jigu)中各桿求和。 MdAsM單位(dnwi)力彎矩圖中該桿彎矩圖的面積。 NNdAsF單位力

42、軸力圖中該桿軸力圖的面積。 所以 N0MAtAht6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算第75頁/共105頁第七十六頁，共105頁。 正負(zhn f)符號取決于虛功是正功還是負功。若桿的軸心處的溫度t0 是升高，而單位力軸力圖中該桿受拉力，則此桿的內(nèi)力虛功為正功，此項取正號，反之取負號。 若溫度(wnd)變化t使桿彎曲而某側(cè)受拉，而單位力彎矩圖中該桿的彎矩也使該側(cè)受拉，則虛內(nèi)力做正功取正號，反之為負號。6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化(binhu)時的位移計算第76頁/共105頁第七十七頁，共105頁。 例6-5 圖示剛架，各桿均為矩形截面，截面高h=40cm，截面形心位于截面高度1/2處。l=4m設(shè)

43、剛架內(nèi)部(nib)溫度上升10外部下降20。線膨脹系數(shù)=110-5，試求D點的豎向位移。2m2m2m2mABCD-20 Co 10 Coh 解 (1) 在D點作用一向上的單位力F=1，作彎矩圖 和軸力圖 MNF14m4mM 圖111FN圖2214124442144NMAA6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度(wnd)變化時的位移計算第77頁/共105頁第七十八頁，共105頁。(2)計算(j sun) D點的豎向位移。CCCCC052)20(104 . 02 . 0)20(301000000.t兩側(cè)(lin c)的溫度差為 CCC30)20(100012ttt2)C5(244 . 0C30C11100005)(

44、m0179. 0101800105N0MUAtAhtD有桿軸線(zhu xin)處的溫升值為6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算第78頁/共105頁第七十九頁，共105頁。 例6-6 圖示桁架，受日照均勻(jnyn)溫升30。求C點豎向位移。 A2mCB30 解：在C點作單位力并求出各桿軸力 。 NFA00-1.732-1.7322.02.0CB1己知各桿 t0= 30,t = 0故 NCAt0V )(m103866. 0732. 12122)C11(C301040056-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移(wiy)計算第79頁/共105頁第八十頁，共105頁。制造誤差(wch)引起的位移計算：)(

45、.)(mmA272348118每個上弦(shngxin)桿加長8mm,求由此引起的A點豎向位移。118/mm4886m11A1118/118/118/6-6 靜定(jn dn)結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算第80頁/共105頁第八十一頁，共105頁。由支座移動引起(ynq)的位移計算 求由支座移動引起的結(jié)點某點的位移只是一個單純的幾何問題?？梢杂昧W(xué)方法(fngf)剛體的虛力原理來求解。 01 cRcR 式中 是由單位力F所引起的支座反力；c 是與反力 相應(yīng)(xingyng)的已知的支座位移。當二者方向一致時，其乘積取正值，相反時取負值。 在要求位移的點上沿位移的方向加一單位力F，求出在此單位力作用

46、下的支座反力R 。所有外力虛功之和應(yīng)為零有：R6-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算R第81頁/共105頁第八十二頁，共105頁。由平面桿件結(jié)構(gòu)位移(wiy)計算的一般公式： cFRKcdsFdMduFcFSNRK對于靜定結(jié)構(gòu)，支座(zh zu)移動不引起內(nèi)力，材料不變形，因此du、d和ds為零，上式簡化為: 負號系原來移項(y xin)所得，不可漏掉！6-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算第82頁/共105頁第八十三頁，共105頁。 例6-7 三鉸剛架如圖所示，若支座A下沉(xi chn)C，求BD柱的轉(zhuǎn)角。 BCDaAcaaBD解：(1) 在BD柱上作用(zuyng)單位力矩M =1，求支座反

47、力。 ADEBM=1a1a1a1a1(2) 代入公式(gngsh)計算得： acaccRBD)1( 結(jié)果得正值表示柱的轉(zhuǎn)角方向與所假定的單位力矩的方向相同。 6-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算第83頁/共105頁第八十四頁，共105頁。 例6-8 圖示剛架右邊支座的豎向位移By=0.06m(向下)，水平位移Bx=0.04m(向右)，已知l=12m，h=8m。試求由此引起(ynq)的A端轉(zhuǎn)角A)211(xyRABhBlcF（順時針方向）radhBlBxy0075. 08204. 01206. 026-7 靜定(jn dn)結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算Bx=4cmBx=4cm第84頁/共105頁第八

48、十五頁，共105頁。 1. 功的互等定理(dngl) F1作用下產(chǎn)生的內(nèi)力和變形(bin xng)稱為第一狀態(tài)，F(xiàn)2作用下產(chǎn)生的內(nèi)力和變形(bin xng)稱為第二狀態(tài)。 先加F1然后加F2的情況(qngkung)，整個加載過中系統(tǒng)做的總功為 121212122211112121FFFW表示由編號為j 的力引起i點的位移。 ij先加F2后加F1，整個過程中系統(tǒng)做的總功為 12122211122121FFFW6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 第85頁/共105頁第八十六頁，共105頁。1212221112121222111121212121FFFWFFFW因為線彈性(tnxng)體系做功與加荷的次序

49、無關(guān)，有 故得 212121FF 虛功互等定理(dngl)：狀態(tài)的力在狀態(tài)的位移上做功等于狀態(tài)的力在狀態(tài)的位移上做功。2112WW6-8 線彈性結(jié)構(gòu)(jigu)的互等定理 第86頁/共105頁第八十七頁，共105頁。由功的互等定理(dngl) 可推出位移互等定理(dngl)2. 位移(wiy)互等定理 令功的互等定理(dngl)中的力F1=F2=1 ,則有 2112112112 位移互等定理：由單位荷載F1 引起的與荷載F2相應(yīng)的位移21，在數(shù)值上等于由單位荷載F2引起的與荷載F1相應(yīng)的位移12。這里用小寫的字母表示單位力引起的位移。 在一般情況下位移互等定理可寫成： jiij 212121F

50、F6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 第87頁/共105頁第八十八頁，共105頁。注意：位移(wiy)互等定理適用于廣義力及其對應(yīng)的廣義位移(wiy)。 上圖表示了兩個狀態(tài)(zhungti)的線位移12 與21互等。 上圖表示(biosh)了線位移12數(shù)值上等于角位移21。F =212狀態(tài) 121F =1121121狀態(tài)1 22F=1221=21狀態(tài) 11112 12狀態(tài) 22= M=2216-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 第88頁/共105頁第八十九頁，共105頁。 3. 反力互等定理(dngl) 第狀態(tài)，支座1產(chǎn)生單位位移(wiy) 1V=1而引起支座反力k11 和 k21 。 第狀態(tài)，支座2產(chǎn)生(

51、chnshng)單位位移2V=1而引起支座反力k12 和 k22 k12n1k2221k111n1k2126-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 第89頁/共105頁第九十頁，共105頁。 由功的互等定理，第狀態(tài)的力在第狀態(tài)的位移上做虛功 ，等于第狀態(tài)的力在第狀態(tài)的位移上做虛功 。故有21W12W011022122111kkkk即 1221kk一般(ybn)情況下可寫成 jiijkkk111n1k212k1212n1k226-8 線彈性(tnxng)結(jié)構(gòu)的互等定理 第90頁/共105頁第九十一頁，共105頁。 支座i由于支座j發(fā)生單位位移所引起(ynq)的支座反力kij，等于支座j由于支座i發(fā)生單位位移

52、而引起(ynq)的支座反力kji。注意(zh y)：反力互等定理也適用于其他廣義力的互等。 例： k12 是反力矩， k21是反力，兩者互等只是(zhsh)數(shù)值上互等。 121k1221k11 k216-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 第91頁/共105頁第九十二頁，共105頁。4. 反力位移(wiy)互等定理 2112 r6-8 線彈性(tnxng)結(jié)構(gòu)的互等定理 第92頁/共105頁第九十三頁，共105頁。 小 結(jié) 本章討論了虛功原理以及應(yīng)用虛功原理來求解結(jié)構(gòu)的位移。虛功原理又分為虛位移原理和虛力原理，它們都是虛功原理的具體應(yīng)用。前者用于求內(nèi)力和反力，后者用于求位移。在應(yīng)用虛功原理時要涉及兩個量

53、：力系和位移。這兩者是彼此無關(guān)(wgun)的，但卻需滿足一定的條件。力系必須是平衡的；位移必須是符合約束條件的、無限小的連續(xù)位移。由于力與位移兩者彼此無關(guān)(wgun)，因此可以虛設(shè)一組力系(虛力原理)，讓它在實際的結(jié)構(gòu)位移上做功, 列出虛功方程，從中求出未知位移。 cRsMFFd)(SN 這就是(jish)虛力原理表達的虛功方程。也就是(jish)位移計算的一般公式最基本的形式。小結(jié)(xioji)第93頁/共105頁第九十四頁，共105頁。 位移和變形(bin xng)( )是結(jié)構(gòu)在給定條件下所具有的. 是實際的位移狀態(tài)。力系( )則是虛設(shè)的。 虛擬力系的設(shè)置應(yīng)當根據(jù)所求位移來相應(yīng)的設(shè)置，并根據(jù)需要求出其相應(yīng)的反力和內(nèi)力。 c;,;RMFFF;,;1SN 變形(, )是泛指的，若是荷載引起的則代入公式 即導(dǎo)出公式）。若是溫度(wnd)引起的，則代入公式、 和即導(dǎo)出溫度(wnd)變化引起的位移計算公式。 若計算支座移動引起的位移，則因靜定結(jié)構(gòu)因支座位移不會引起結(jié)構(gòu)變形，只會引起結(jié)構(gòu)的剛體位移, 這時=0 。公式等號右邊前一項為零，只剩后一項. 這就是公式(。小結(jié)(xioji)第94頁/共105頁第九十五頁，共105頁。 虛功原理本身適用(shyng)于任何變形體，但在本章推導(dǎo)位移計算公式時引入了彈性規(guī)律，故公式() 只適用(shyng)于線彈性體系。 圖乘法是具體的運